Fast and Simple Computations on Tensors with Log-Euclidean Metrics.
46
0
0
Texte intégral
(2) INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE. Fast and Simple Computations on Tensors with Log-Euclidean Metrics. Vincent Arsigny — Pierre Fillard — Xavier Pennec — Nicholas Ayache. N° 5584 May 2005. N 0249-6399. ISRN INRIA/RR--5584--FR+ENG. Thème BIO. apport de recherche.
(3)
(4)
(5) "!#$ &% (') * + ,#-/.102 34 $65789%: 348; <=?> @BAB>CED FHGI=KJL>MONQP&=?ARFIFIATS/=KU?U?VWFIXYN:Z[V]\9=?ABFP^AB>:> AB@_N:`=?@ba cLUdVWGD MLVW@ba:A egf1hikjl8monYprq]sutwvohHixjItgy{z}|~}|zB{jHt |jvtg1z}{{ j {|R wvuj& jHf1j f{jOWQRpTsRR/p] jIt. E¡ ¢H£¤b¥{¦£§¨ |ik{uvbvz©|R1t|Rkvojtw|R tHªz?« jR«Qtws]ikikjvo z$|Btwz©voz}¬juj®11z¯vj ojI~ikvo z}jHtQz}ikjH{z¯° H~uz}iz}{ª{WjH Qz©ki]s |Bvoj±]vtH« m²kikjHuz~{z}ikz}{1ªvf{jHtoj|Rik{uvvoz}|1t:f¬jgyjI|Rixj |ikik|³$z¯vfvf{j 1toj/|´ µ/e8°dT$m*«1egf{j&~ttoz}H~L1~©zujHE´¶ ikjH³4|R o·x´¶| gvj1to| $|ik{uvz©{ ftQi]s {j´¶jHvtHªR³$f1z}fkf1RtQ ojIjHRv~©s¸~©jI¸vo|&vf{j1toj$|´$z}ji{1z}xikjvo z}Htt~©voj 1voz}¬j« qu|´¹ Hª4|{~}sº»k1j°dz©]¬b z}Bv¸ikjv oztkf1RºyWjjH¼{ o|R|BtwjIª½³$f1z}f_f1¬j j±{j~}~©jHRvkvf{j|R ojvoz~ 1 o|RjH oz©vojIt y{{vk~}jHR¾v|¿|ik{~}j±º~©R| z¯vf{it ³$z©vof¼Tf1z©Rf_|ik{uvbvoz}|~g|RtwvH«ºm²ºvf{z}t wvz¯° ~©jRªg³4j[{ jHtojBvEÀ1j³Á´¹ikz©~}~}sÂ|´/ikjv oztHª~©~}jH¼Ã9|°d1~©zujIÄ«Åegf{jHtoj[ikjvo ztf1¬Rjvof{j tikjj±{j~}~}jBvvof1j| jvz}H~4{ o|RjH wvz©jIt Rt b»{j°?z}]¬b z}Rvikjvo z}Ht¸1#s]z©jH~}À¬Rj s¿toz}ixz}~ j° to{~©vt z©À{ vozjR«l8uvvf{js¿~©jI¿v|[i 1fÀik| jtoz©ik{~}jE|Rik{uvvoz}|1tHª ³$z¯vf¾i 1fÀ~}z©RfBvoj |ik{uvbvz©|R1~g|BtvIª¬jH osÀ~}|Rtojv|Tvf{j|Rtwvk|´vf{j ~}Rtotoz~81~©zujI¾´¶ ikjH³4|R o·L«#m²1ujHjHª z©jHik{{z|Rix1uvvoz}|1t8yWjH|Rikj/½1~}z}{jH|Rik{uvvoz}|1t8z} vof{j ~}|R oz©vof1ixz/u|iz}E³$z©vof Ã9|°?~}z}ujIxikjvo ztH« Æ¿j{ jHtojBvz}kvof{zt½ wvz}~©jgvf{j|Rix1~©jvoj$vf{j|R os ´¶| Qvf{jHtoj$ikjvo ztHªR tof{|b³Çj±uWj z©ikjHRv~ ojItw1~¯vt$´¶| /i 1~¯vz©~}z©1jH z©Bvj |R~}voz}|ĪLujtwj¸j±]vo W|~bvz©|R[|´QvojH1to| t^ {ztw|vo |{z{z¯ÈL1toz©|R|´ vj1to| g®1jH~}1t« É[ÊBËLÌÍ Î ¤bÏ ¢§ q]s]ikikjv ozx|Btwz©voz}¬juj®1{z©vojkibvo zjHtHªÄ[jIuz}H~Qm²iRz©11ªÄµ/e8°dÐm*ªÄ$z©jHiu° 1z} [jvo z}Htªu4µ^½tHª1m²Bvj |R~}voz}|ĪuQ±]v |R~}voz}|Ī{Ñ^{z}to|v o|R{zÒ z}~¯vj z©{«. Unité de recherche INRIA Sophia Antipolis.
(6) 389 $)8)%:& $9%Á$( $ $E%:)$3 $ 8 % k $),#-/.102 34 $ $4; ¢
(7) § Ã9jHt$H~{~t$tw1 $~©jIt8vojtwjH{ tHª{ jHtwvw° kuz} oj ~}jHt$ibv ozjItg Hj~}~©jItgtws] i v ozB{jHt$®1{z}jHt W|Rtoz©voz}¬jHtxjHº~ z}ijH oz}j i Iuz~}jª8{ ztotojBv¸{1tkuj{|i¸y{ ju±º|Bvoj±BvjHtH«¾_z©ij z}j iIuz}H~}jª1jHtH~{~tto|Bv^ujH¬j]1t^|1 Rvtg¬jH ~ uvoz}~©ztbvoz}|[ujIt$z}ikjItuj vojH1toj{ tuj {z¯´ ° ´¶twz}||yuvj]{jHt/1 Itw|R11j iR vz}B{jx]1~ Hz© j«Ã9jxHu jxj1~©zuz}j#~ttwzB{j W|{ ~}jHt H~{~t½to{ 4~©jItQvojH1toj{ t½sBBv½uj^1|i y1 ojHu±k ´¹{vtHªBjHzL&ikj ^ HjHikixjHBv &~ uvz©~}ztovoz}|Euj i vo z}B{jIt^$z}ji1{z©jH{{jIt|ikikj¸~©vojH obvoz}¬jR« toB { HtojBvHªLtoj{~}jHtujHti vo zR1jHt/b»{j° z}]¬b z}RvjHt8¬bz}jBv v { |W|Rt jHtHª]R1z|Bvg j±uj~}~©jHBvojHt8{ |1 oz v Ht4vof H| z}B{jIt½iz}tgikh1jB v {jHtg~}|R oz©vof{ikjIt½|Rik{~©j±ujHt4jv| uvojHu±jvjik1t$uj ~}{~?«:µ/t8jv$ ovoz~}jª]{|R1t½1 ItwjHRv|1t 1{j1|{¬Rj~}~©j´¹ikz}~©~}j&uji vo z}B{jItªu1jH!~ HjHtgÃÄ|R°d1~}zuz©jH{{jIt« ¨ jHt8i v ozB{jHt8|RRvg~}jHt8i "ikjHt j±{j~}~}jBvojIt^{ |1 oz v Ht$vf |R ozB{jHt/B{jx~©jIt^i v ozB{jHt »k1jHtw°?z}]¬ ozBvjHt$jv/{ |uu{ztwjHBv/ujIt ° to{~©vvtvo hHt toz©ikz}~}z© jHtj{ vozB{j«Ðz}t/jH~©~}jHt/ikh{jHB#v ujHt H~{~t/y{z©jHT{~}1t toz©ik{~}jHtHªÄ¬jI 1Â| uv~}| z©vof{ikzR1jy{z}j_{~©t ´¹z©y1~©jRªQvo hHt¸{ |]f1ju¼| uvk{ÂRu jEj~}z}uz}j_~ttwzB{j« ½_jÈWjvHª8~©jIt~}{~}tk$z}ji{{jtuj¬]z}j{{jHBv{jHt~}{~tkj1~©zuz}j1t{1tk~}j{|iz}{j~©|RR° z©vof{ikzR1j ¬jI ~©jIti v ozB{jHtÃÄ|°?½1~}z}{z©jH{{jHtH« $|R1t1 ItwjHRv|1t^{1tjv/ ovoz~}j~kvof | z}j |ik{~}hvj^uj^jHtQi v ozB{jHtjv41|1t{|{{|R1tujIt Hto{~©vbvtQj±u% z©ikjHRvu±x|R{ ½~ z©BvojH oW|~bvz©|R i¸{~©voz}~©z} Hz© jªu~ j±]vo W|~bvz©|RujH1twj&jv$~}uz©ÈL1twz}|1z}to|v o|Rj&uj&f1ixt$uj vojH1twjH{ t« &Î £I¢ Ì (¦ ' ¢T§ Ðvo z}jHt/tws]ik i v ozB{jHt ®1{z}jHt/|Btwz©voz}¬jItªz}iRj z©j¸i Iuz~}jªÄµ/e8°²Ð$m*ªi ° v ozB{jHt$z©jHik{{z}j{1jHtHªu½µ^4tªz©BvojH oW|~bvz©|RĪuj±]v |R~}voz}|ĪB®1~©vo Rj/{z}to|v o|RjR«.
(8)
(9) "!
(10) # $ . %. $ , & & Î (£ '){¥u(£ ' Î+* : -/. ) Ê 0¤ )1' ÊBÍ Î32 £(4 Ê5 4 Ê]Î ¤ ËÂÎ32764Î+81Ì9 ¦ ''KÏ Ê ¥ * & Ê £¤ 'K¦¢ F ;=< '¹¥1¢H>¢ '¹¦R¥ '@? ¤ Î+A½Ê ¤£(' Ê ¢ Î32 £(4 ÊB54ÊC* ¢ Î ¤ED A ¥1¦ Ê %1H« G $^|vbvoz}|t «/«&« «&«&« «&« «&« «&«&«/«&« «&« «&«&« «&« «&«/«&« «&«&« «&« «&« «&«&«/«&« I %1« 7Tbvo z©±EQ±u|R{jBvz}~ « «&« «&« «&«&«/«&« «&« «&«&« «&« «&«/«&« «&«&« «&« «&« «&«&«/«&« I %1« % Ñ^~©Rjy{ z/ |Wj ovoz}jHt(«&« «&« «&«&«/«&« «&« «&«&« «&« «&«/«&« «&«&« «&« «&« «&«&«/«&«JGG %1« µz©ÈWjH ojHRvz}~Ä |Wj ovoz}jHt « «&« «&«&«/«&« «&« «&«&« «&« «&«/«&« «&«&« «&« «&« «&«&«/«&J « GG %1« ¨ |Rik1bvz©y{z}~}z¯vsEl8jv³4jHjÑ~}jy1 z} µz¯ÈLj jBvz}~Ä |Wj ovoz}jHt$« «&« «&« «&«&«/«&J « G ,/64+Î 81Ì 9 ¦ ''KÏ Ê ¥ * & Ê £¤ 'K¦¢ +Î * >£ 4 Ê 54CÊ * ¢ Î K¤ D A ¥{¦ Ê &C; H« G Ð{~¯vz©1~©zvoz}|z© vf{je9jH1to| q]1Rj « «&« «&«&« «&« «&«/«&« «&«&« «&« «&« «&«&«/«&J « GH « 7e jtw|R ^q]1j&t$kÃÄz}j |{ ³$z¯vf vof{jÃ9|R oz©vof1ixz/[{~©voz}{~©zvoz}| «&« «&«&«/«&J « G « % Ã9|°?~}z}ujI[jv oztg|REvf{je j1to| $ÃÄz}j& |1« «&«/«&« «&«&« «&« «&« «&«&«/«&J « G>L « N Ñ MQjI*v| ^q]1RjqBv o1vo{ j&|vof1je9jH1tw|R q]1j « «&«/«&« «&«&« «&« «&« «&«&«/«&J « G>I ¡ ' ''¶>£ ' Ê ¢¸¥ * Q Ï DÄ£H¥{(£ '¹¢H(£ 'K¦¢ Í '¶>£ 4 64+Î 81Ì 9 (¦ ''KÏ Ê ¥ * & Ê £H0¤ 'K¦¢ O ? ¤ Î ¡ ¥uP -
(11) R {H« GTS/jH{j ~Äz©jHik{{z[qBvvoztvz}H~9Ò1 ikj³8| · « «&« «&«/«&« «&«&« «&« «&« «&«&«/«&« {« 7^1u|Rie j1to| t«&« «&« «&« «&«&«/«&« «&« «&«&« «&« «&«/«&« «&«&« «&« «&« «&«&«/«&«# G {« % Ò1 If{jv[jI1t$1 ¨ |b¬b z}1jIt½³$z©vof[ÃÄ|R°d1~©zujH[jvo z}Ht¾« «&« «&« «&«&«/«&«# G {« S/jH{j ~ÄÃ9|°?~}z}ujIqBvvoztvz}H~9Ò1 ixjH³4|R o· «&« «&«/«&« «&«&« «&« «&« «&«&«/«&«U % : < Î A ¥{0¤ 'K¢ 3Î *WV¸Ê £ Í Ê]CÊ *"6½3Î 8{$Ì 9 (¦ ''¹Ï Ê ¥ * ¥ * Ï Y X * ÊRÌ Z* ){¥u¤ '¹¥ * £ & Ê £H0¤ 'K¦¢ -
(12) ; L1H« G ½~©jHixjHBv s nWj bvz©|R1tg1 m²]¬b z}1j « «&«&« «&« «&«/«&« «&«&« «&« «&« «&«&«/«&« L1« 7Ã9|°?~}z}ujI1 Ñ$»{j°?m²]¬b zBvgÐjHtЫ&« «&« «&«/«&« «&«&« «&« «&« «&«&«/«&«R L1« % S/jH|ikjv oz/m²Bvoj W|~bvoz}| |´:µ^jvojH oikz}1Bvt«&«&« «&« «&«/«&« «&«&« «&« «&« «&«&«/«&«R L1« ¨ z©voj z}|´¶| gvof1j&½B1~}z¯vsE|´ vof{je ³4|k[jI1tx« «&« «&«/«&« «&«&« «&« «&« «&«&«/«&«\ [ L1« 7à jH gÑ^{ztw|vo |]sz©[Ã9|°d1~©zujIÐjHt « «&« «&«/«&« «&«&« «&« «&« «&«&«/«&«\ [ Î Z * £ Ê ¤ A½Î '¹¥u>£ ' 3Î *`_Pa \Ê * ¢ B Ê 9cb £H¤¥ A½Î 'K¥u(£ ' +Î * ¥ * Ï * 'K¢ Î £¤ +Î A 'KK¦ de' '¶£ Ê ¤ ' *f8 ] AA ''K¦¥u>£ ' 3Î * £ ^ [uH« G Ð{~¯vz©~}z}{jH m²Bvoj W|~bvoz}|«&« «&«&«/«&« «&« «&«&« «&« «&«/«&« «&«&« «&« «&« «&«&«/«&h « %R [u« qu|~}¬Bz}{k½µ½tz}[k$z©jHi{{ze j1to| ^q]j «&« «&«/«&« «&«&« «&« «&« «&«&«/«&h « %
(13) G [u« % µjtwj&Q±]v |R~}voz}| ³$z¯vj f i ik|{zµz©ÈW1toz}|Ç«&« «&«/«&« «&«&« «&« «&« «&«&«/«&h « %B [u« Ñ^{ztw|vo |{z Ò z}~©voj z}{ «&« «&« «&«&«/«&« «&« «&«&« «&« «&«/«&« «&«&« «&« «&« «&«&«/«&h « %% F < 3Î * ¦ ' (¢ ' +Î * ¢ ; ,. kkml n
(14) o o p$q. -
(15) g.
(16) . $ U e . 5 / 7 e jtw|R tHª:zK« j«#tws]ikikjv ozW|Rtoz¯vz©¬Rjuj®1{z©voj ojI~8ikvo z}jHtHªQ{WjH ¸z}¾i]sÀ|RRvj±]vt z©ÂikjH]° z~z}ikz}{ µ^z©ÈWtwz}|2e j1to| T1jvoz[$jItw|R11j[m²iz}{ ¹µ/e8°²Ð$ m
(17) Gdª$ik|]{j~}z©{À|´ 1bv|ikz~4¬b z}y{z©~}z©vsªQtvbvz}twvozt¸|¾ jRz}twvo bvz©|RÀ ojItw1~¯vt«}«©«#egf{jHs# oj~tw|¿ÐjH{j ~½vo|]|~8z} z}iRj/1~}sutwztªujItwWjHz}~©~}s´¶|R gtojRikjBvvoz}|ĪuR o|R{{z}{1ª]ik|vz©|R 1~}sutwztg1voj±]vo{ j&twjHikju° vbvz©|R d« Ò{{ ovof{jH oik|R ojRªvof1jsº{jI z}Â|vof{jH ojItwjI fÀ®1jH~}{tEtw1f¼tkto|~}z}ÂikjHf1{ztk| {z}À{sBikz}Htª ³$f{j jxvof{jHz© ¸¬]z}to1~}z Hbvz©|R¿1¿{ |]jHttwz}{zt&{jjIujH d«Em²À|R {j vo|ÐH os |Ruv|ik{uvbvoz}|t$³$z¯vfvof{jItwj |yujI*vtHª{|R{j{jHjH{tgv|Euj®1{j&vf{j uztv1j&yjv³4jHjv³8|kvojH1tw|R t 1[|ik{~}jvoj |Wj bvoz}|~L´¶ ikj³8| ·L«4m²[1 wvz}{~ Iªuvof{ztz}t^{jHjHtto os³$f1jÐ|R{j&³$z}tof{jIt$vo| Rj{jH ~©z jvo|Ðvf{jvj1to| kRtwjvof{j 1to1~4vo|]|~t¸1twjIÀ|ÂtoH~ |R ¬RjH*v| o°?¬b~©{jI#z©ijHt¸twf Rt{ztw|vo |{z/®1~©voj tHªWRj|uujItwz R*voz}¬j¸|Bv|{ t [Q1T|vf{j /Q ovoz~ µz©ÈWjH ojHRvz}~:½B1bvz©|R1t°. ¹½µ½t
(18) y1RtwjIÀikjvof1|]1tv|T jHtwvo| jª j1f11jªQtojikjHRv¸vojH1tw|R w°d¬b~}{jH¿z}ijIt«#n{jH¾~to| Rj{jH ~©z j8i]s¸twvvoztvz}H~]v|B|R~}t³$f{j uz©ÈWjH ojHRvz}~{jH|ikjv os¸{{ |RRf zt{|uvjHªRttof{|b³$ z} HG d«n^vf{j ³$ztwjRª|{jgf1Rt:vo| j~}s¸to|~}j~}s|k|RjH voz}|1t Wj o´¶| ixjIx| j±]vo vojH ´¶ |i vj1to| t/~©z}·j¸®1 tv&jHz©Rj]¬jI*vo|R t L ?ª o|vvoz}|1t/ibv ozjI t b ?ªÄ³$f1z}f¿{u´¶|R wv{1bvj~}sT{{|v/v·Rj z}Bvo|H|R{Bv$~©~Lvf{j&z}u´¶| ibvoz}| o z}jHy]svj1to| tH« egf{jvojtw|R ½twj^z}tQ ov½|´Lvof1j¬jI*vo|R ½to1j$|´ÄtoB1 ojgibv ozjIt«Qq]||R{juz} ojI*vo~}sx1twj ½1~}z}{jHtv o1vo{ j|RtoB1 oj$ibv ozjItQv| uj®{j&ikjvo z}$|Rvof1jvojH1to| ½to1j«:Ò{|R ½z}1tv1jª |R{j&1toj vof1j´¶|R~©~}|b³$z}{k1~}zujH{z}twv1j . d(S, T ) = T race((S − T )2 ). 12. .. G
(19). egf{zt z}ttwvo z}fBvw´¶|R o³g ºvo|_1twj# ~©jI{^ t !3 v|_toz©ik{~}j#|ik{{vbvz©|R1tH«(l8uv vof1z}t ´¶ ikjH³4|R o·kzt${ *vz}H~}~©s1vof{jH| jvz}H~}~©s{tovozt´¹R*vo|R osk´¶|R gvof{ jj iz} ojIto|1tH« Ò z} twvHª vof{zt ´¶ ikj³8| ·[f1Rty|R{1{ osT{ o|Ry{~}j i &z¯vxu|]jHt&{|v{ j¬jHBv/vf{j1jI 1jx|´ toz}{{~ gibv ozjIt$u{ z©1|ik{{vbvz©|R1tH«egf{j j& j/iBsE|]|uE jHRtw|R1t8³$fBsvof{jHstof{|{~ {|v {WjH I«9½fBsutoz}H~}~©sRª uz©ÈW1toz}|xj±{vo~}sjHB1~]vo | jH o|/z©µ/e8°dT$m zt:z}ixW|Rttoz©y{~}j« mdv¸yWj$¬jH os toi~}~KªRy{uv4{j®1{z©vojH~©E s 3Hj |1« Ñt~}|{Rt:vof1j$vojHixWj bv{ j$z}t½f{z©Rf{j :vf1 0 " jH~©¬]z}ĪBix|R~©jI{~}jHt . R. k i b | ¬ j } z . ]. u } z o jI*vz©|R1t«:Ðvof{jHikvoz~©~}sª]$ jH o| jz}j]¬b~}{jz} |b¬b z}1j$ivo z¯±z}ix1~©z}jHt # y1to|~}uvojjH wvz}BvsÐz©Àuz} ojI*vz©|RĪ9³$f{zf#z}tjz©vof{jH {f]sutwz~©~}sÐz}ixW|Rttoz©y{~}jk| &z}ik{~©z}jHt&vof1vvof{j {z©ikjtwz}|1~©z©vs[|´8vof1jkto1Rjk³$f{j jxvof{j u|i ¬RjH*v| ~}z©¬RjHt zt/vo|]|~} oRj«xm²vf{zt&|Bvj±]vHª9 ]{~}~jz}jH]¬~©1j/zt8vof1jtwz}|´ j o|R g| gz©ik{ |Wj $ik|uujH~©z}{1« e4s]{z}H~}~©s_vf{z}t{ |y{~}ji {jI tERtEto|B|R tE|{jyjHz}1tEvo|Âto|~}¬j#n uz}1 os¼µ^z©ÈLj jBvoz~ 4Rbvoz}|$t ?n/µ½t
(20) $| $j¬Rj ³4|R toj/½µ^4t«8egf{z}tz}tgvf{jRtwj/´¶|R gvof{j&jItvz©ibvz©|R|´ vojtw|R t4´¶ |i ³Yµ/e8°²Ð$mg{bv{ª{|R gvof{j jR{~ %z Ibvoz}||´ vojH1tw|R t8®j~{tª{vof{j {j1toj&j±]vo W|~bvz©|RE|´:to1 toj vj1to| 8{bv{«}«©«:Æ f{jHvof1jHtoj^jHB1voz}|1t8 jyWjz}{¸to|~}¬jIª1jRvoz}¬jjHz©Rj]¬b~}{jHt4{WjH 41 j° 1 o|jH*vz©|RxtwvojHz}t{jHjHtto osR«9¬Rjk³$z¯vfk| ovof1||R1~]{ |jI*vz©|Rx|Rk{|u°d{jHRbvz©¬Rj8tos]ikixjvo z} ivo z}jHtHªibv ozjIt³$z©vofB1~©~:jz}jH]¬~©1jHt^H{1|vjItoz©~}s yjktw1{{ jHttwjI«egf{zt{ o|Ry{~}ji f1t^vo| yWjR{u jHttwjIªByjItwj^to|~}¬]z©1 ½µ½t8|vj1to| ½®1j~{t4z}t8 oz~1zttw{jz© {1~©zvoz}|1tH« m²! & ?ª Rj|Rixjvo z}8|R1twvo z}1't ¶z?« jR« W|Rtoz¯vz©¬Rj$uj®11z¯vj{jIto(t
(21) j8z}BvojH bvojIz} vf{j$]{ikj z}H~{tf{jikjIt twjI v|¸ {½µ^4t$1E{|u°dW|Rtoz¯vz©¬Rj^jz}jH]¬~©1jHt8 j ) ¬|Rz}ujI« i^|b³4jH¬jH HªRvof{j/ibvf{jibvz}H~. *,+fk*.-.
(22) .
(23) "!
(24) # $ . 1~}sutwzt4|´ zttw{jItgtw1f t8j±uztvj1j|´ to|~}uvoz}|t½|´ to1fE½µ½t$zt$twvoz}~©~ĸ ojItwjI ftw1yujHvHª{ vf{jHtoj j¬R|~}uvoz}|1t$|{~y{~©|b³Y{z© ®11z¯vj voz}ixjRª{z?« jR«Q|k|uv$|´ vf{j vojH1tw|R $tw1Rj z}®{z¯vj voz}ikj« q]jI|R1ª vj1to| | ojItwW|{tvsB1z}H~}~©s[v|Ð $ $ R«Eegf{j¬b~}{j|´4z©vt {jvojH w° ikz}1Bvkz}tikjHRtw{ j |´vf{j[uz}toWj twz}|Â|´/^ S totoz}º 1{|i ¬jI*v| x³$f{z}fÂf1txvf{j[toikj |b¬b z}1jR« egf{j~}Rtotoz}H~W~©z}{jI $z}Rvj |R~}voz}||´ v³4|¸vojH1tw|R t8~}jHR{tgz© ik|RtwvtojHt8v| z©BvojH w° W|~bvz©|R|´Lvof1jujvoj ikz©BvtQ³$f1z}fzct Wtovozt´¹R*vo|R os 9~}|y1~{ib±uz©i¸{i z}t½1tw~}~©sx ojIf{jI yWjv³8jjH¾vf{jEv³8|vojtw|R tH«Àegf{z}txikjH1t¸vof1v¸vf{j[ttw|uz}vojH#z}BvojH oW|~bvjH S 1ttwz¾ u|i ¬RjHvo| f1tTtv oz*v~©s¿~} oRj uztojH toz©|RÀbv¸to|ikjW|z}Bv yjv³4jHj#vf{jv³8|[j±]vo jikz©voz}jHtH«m²Àvof{j Htoj|´µ/e8°dÐm*ªÄvof1z}t ixjI1t&vof1vvof{jz©Bvj |R~}vojH#uz©ÈL1twz}|À1 o|ujItot #yWjEtwvo z}vo~}s~ jH yWjv³8jjHÐvf{jxv³4| j±]vo jikz©voz}jHt ¸egf{zt zt/toj z©|R1t/uj´¶jI*vHª 1z¯vik|{|vo|1z}¸z©Bvj |R~}voz}|T|´ {jvojH oikz}1Bvt³8|{~yWji¸1fik| j^{ j´¶jH y{~©jR« Æ¿j^³$z}~}~ j´¶jH ½v|vof1z}t4jÈLjHvgR7t
(25) c # \« mdv½{WjH t:z}xik|Btv½vwvojHikuvtvo|& jHtwvo| j8| :®1~©vojH QvojH1tw|R w°d¬b~}{jH¸z}ikjIt:³$z¯vf1~}zujHxikjvo z}Ht« qujj$´¶|R ½z}1tv1j$vof1jtoix|]|vof{z}{ jHto{~©vtQ|Ryuvz©{jIkz©! [ |j G0[]ªR| Qvf{j^ jHto{~©vt½z}¬jky]sxvof{j 1 · twz}bvo1 oj/{ jHtoj ¬Bz}{ |b³Çz} & ?«e |ER{u jHttgvof{zt/uj´¶jI*vHªWz©v³gt${ |W|RtojHz} %uªb{ªL v|ik|uuz¯´¶s
(26) vf{j |R oz}jBvvoz}||´:vj1to| t^1^ 3Ävof1jz} jHz©Rj]¬b~}{jHtH«$egf{z}t^z}t{|v|Rix1~©jvoj~}s tbvz}tw´¹vo|R ostoz©j&|1j&³4|R{~} ~to|x³$ztofv| ojItv| j jz}j]¬b~}{jItg³$f{z}f[ oj&to{yujHv$vo|{|Rz}toj ~©z}·j |R oz}jBvbvoz}|t« egf{z} ª]vof{j ~}z}ujI ikjvo zztg~tw|x{1tbvz}tw´¹vo|R oskz}Evj ikt8|´ tosBikikjv osR«Qegf{j 1~}zujH ikjI´¶| N vojH1tw|R t S1, .., SN ztgz}¬jHy]s 1 E(S1 , .., SN ) = N. N X. !. Si .. K
(27). 8l uv vof{zt
(28) ixjI {|BjItÄ{|v s]z}j~ vof{j8zujBvoi=1 z©vs/´¶| $vojH1to| 1&z©vt z©]¬Rj twj Ämd´uvojH1tw|R t ik|uujH~$¬ ozy1z©~}z¯vsRª|1j³8|{~¾~}z}·j z©_i]s¾RtwjIt v|Tv·Rj \ xixjIÄ«_Ñ_z}to|v o|R{z ¬b oz1jk|´ σ2 1#{|vof{jH z}to|v o|R{zk¬ ozjk|´ 1/σ2 tof{|{~¿z©ÀiBs#1{~©zvoz}|1t j~ |Ruv^Rz©¬Rj& z}to|v o|R{z}/ikjH|´:¬ ozj «½egf{zttos]ixikjvo s{ z©1z©1~©jHyj&j±u{ ojItotojHz} vf{jk´¶|~}~}|b³$z©{ ³gs # $ ( \ S1 7→ S −1 # H$Y b«m²¿1 wvz}{~} Hª vf{j&ikjH|´ v³8| vj1to| t S 1 S −1 tof{|R{~}yWj vof{j&zujBvz¯vsR« e |Ez} {i¸¬jBv$vf{jHtoj uz©»{~©voz}jHtHª|vof{jH ikjv ozt^f1¬j yWjjT{ o|R|BtwjI´¶| $vf{jvj1to| ^to1Rjª vf{ztvz©ikj 1|v½1~}z}{jHTy{uv&$z©jHi{{z9«m²[vof1j¸1{ o|Bf{ |W|RtojHz} G(LuªLufª G(%ufª G& gªWvof{j vj1to| xtwjf1t¸{|y|R{1{ oz}jHt kB1~©~gjz}jH]¬~©1jHt ojbv¸z}u®11z¯vj uztwvj«#egf{j tws]ikikjvo s 1 oz}1z}{~}jzt½ jHtojI*vjH«Qegf]1tHªvf{jtof{| ov|ikz}{RtQikjHRvz©|R{jHEyW|b¬j j|b¬Rj |ikj$ik| j|b¬jH »{j°dz©]¬b z1j zt |yuvz}{jH«egf{zt ikjH1t/vof1v |Rix1uvvoz}|1t& ojxz©]¬b zBv/³$z©vof# jHtojI*v vo| Ðb»{j f{Rj&|´|]| uz}1bvjHtH«$Ã9twv^y{{v{|v^~©jItwvHªvof{j¸tw³8j~}~©z}{jÈWjI*vvsB1z}H~Ä|´1~}zujH H~{~}1t4|vj1to| t4f1t8uzto{jI jHz}vf{zt8z©jHik{{z´¶ ikjH³4|R o·L«:egf{jHtojvf{j|R ojvoz~W{ |u° jH wvz©jIt ojj±uj~}~©jHBvHª:y{uv¸vof{j |ik{{vbvz©|R1~4y{{ ujÀzt¸f{z©RfÄ«Ðegf{zt ztjItotojBvz}~©~}su1jvo|Tvof{j { ¬vo{ j|´ vf{jk$z©jHi{{zÐto1Rj 8vf{j¸|ik{uvbvoz}|[|´jH|]{jHtoz}Ht^j{jH oRsR Ruz©jHBvt~©~ f¬j&tw1y1tvBvoz~ | jH*vz©|R1t8³$z¯vf[ ojItwWjHvvo|kvf{jz} ^tw1~Ä1~©zujIÐ|R{BvojH o1 wvt«½m²to{z©voj|´ vf{jHtojvjHf{1z}H~}z¯vz©jItª] ´¶{~}~©s|RjH voz}|1~u´¶ ikj³8| ·´¶|R ½½µ½t8z}t4{ jHtojBvojIkz©! HG>L ?ª]j±]jHik{~©z©®1jI ³$z©vof[ujH1toj/j±]vo W|~bvoz}| 1{z}to|v o|R{z®1~©vojH oz}{k|´ vojH1tw|R tH« Æ¿jk{ o|R|BtwjxE1j³ z©jHik{{zT´¶ ixjH³4|R o·vo|´¶{~}~©sT|b¬j |Rikj&vof{jItwjk|Rik{uvvoz}|1~:~©z}ikz¯° vbvz©|R1t/³$f{z©~}j|R1twjH o¬]z}{vof{jtikj¸j±{j~}~}jBv vof{jH| jvoz~:{ o|RjH wvz©jIt« ¨ |Bvo s vo| vof1jb»{j° kkml n
(29) o o p$q.
(30) $ U e L. z}]¬b z}Rv tojª^³4j|yuvz} ºto1jг$z©vofYº]{~©~&{ o¬bvo{ j« egf{j1j³$z}ji1{z}2ikjv ozt {jHt z©yWjHz©vof1z}t ³8| ·Ð jxH~}~©jI 64Î+81Ì9 ¦(''KÏ Ê ¥ * Ê £H¤0'K¦¢ «¸egf{j|ik{~}j±uz¯vs[|´8Rtoto|uzbvojI |ik{uvbvz©|R1tgz}t$~©ik|Btv$zujBvoz~Lvo|kvf{|Rtoj |´ vof{j&~ttoz}H~1~©zujI´¶ ixjH³4|R o· egf{jE·js¿zujH|´8vf{zt 1{ o|Bf¿z}tvo|T{j®1{jv³4|[{jH³ tv o1vo{ jHt|#vojH1to| t«Ò z© tvxP U j
(31) gªBz?« jR«: |{twvo 1*v{ jz©E³$f{z}f~}jy1 z}8|Wj bvz©|R1t~}z}·jz}]¬j toz©|Rk1ki 1~¯° vz©1~©zvoz}|[ jtwik|]|vfik{{z}{RtH«4q]jI|R1ª 3
(32) U $
(33) 8³$f{z}fÐ|ik{~}jikjBvtgvof{j Ã9z©jR o|R{#tv o1vo{ jk³$z¯vf¾{j³(t~ i¸{~¯vz©1~©zvoz}|Ä« e9||1 ·]{|b³$~©jIujRªvof1jHtojtv o1vo{ jHt oj|ik{~}jvj~}sx1j³ z}vof{j~©z©vojH vo{ j^1twf1jH&1j³ ~}z©RfRv4|vf{jvj1to| 8tw1RjR« egf{j$z©jHiu° 1z}´¶ ikjH³4|R o·ERtoto|uzbvjHEvo|vf{jy{z}z©]¬b zBv$ixjvo z}Ht$|vf{zt{|b¬Rj~Ätwvo 1*v{ oj&zt$1 wvz}{~ ~©s toz}ix1~©jR«Emdv jHto{~©vt&z}¾~ttwz~Q1~©zujH¾|Rix1uvvoz}|1t&z}¿vof{jE~©|RR z©vof{ikzx{|iz}Ä«egf{z}tz}t ³$f]s[³8jkf1¬j¸y1uv%z HjH¿twfikjv ozt U
(34) U$1«km² ovoz{~ IªLvof{j$z}ji{{zÒ1 If{jv ikjI¿z}t toz©ik{~}sÐ|y{vz}{jITy]sT|ik{uvz©{vof1j z¯vf{ikjvozxikjHz©¿vf{jk~©|RR z©vof{iu|Riz} i{{z}{kz¯vy1R·vo|xvf{j vojH1tw|R u|iz© ³$z¯vf vof{j&ibv oz©±Ej±]W|1jBvoz~?« egf{jH| jvz}H~}~©sRªbvof{zt~}jHR{t:v|&j±{jH~©~}jBvz}B¬b oz1j$1kz}Bvoj W|~bvoz}|x{ |Wj ovoz}jHtHª¬Rj s twz}ikz©~ v|vf{|Rtoj|´½»{j°dz©]¬b z1j&ixjvo z}Ht«m²[vojH oit|´½|ik{uvbvoz}|~9j»z}j1sªWvof{jxuz©ÈWjH ojH1j¸z}t ¬Rj stoz©R{z©®RvI«±]Wj z}ixjHBv~}~}sª:z©¾vof{jE{{~}z}Hbvz©|R1ttwvo1uz}jH¾z©#vf{z}tx ovoz~}jª:|Rik{uvvoz}|1t ³$z©vofÃÄ|R°d1~©zujHEikjv ozt$ oj bv$~}jHRtv voz}ikjHt8´¹twvojH 8vof1 z}vof{j»k1j°dz©]¬b z}Bv8RtwjR«QÒ{| vf{j jHtik{~}z©1x|´ vj1to| ®1j~{tHª1ÃÄ|R°d1~}6zujH |ik{uvbvoz}|t jH¬jH yWj 50 vz©ikjHt´¹twvojH | jH¬jHik| j« Ã9jvQ1t {|b³ºujvz©~Bvof1jg|BvojHBvt |´{vf{ztQ ovoz~}j«9m²kq]jHvoz}|]ª³8j4Rz©¬Rj4¸|b¬Rj ¬Bz}j³#|´{vof{jg{jH³ jHto{~©vt/|y{vz}{jIÐf{jH ojR«¸egf{jItwjk jHto{~¯vt j¸jItoz©jH ^v| R RtwT³$f{j#|R1twzujH ojIÐ~}|y~}~©sRª³$z¯vf{|uv vf{j¸vojHf1{z}H~}z¯vz©jIt^|Rг$f{zf[vof1jsÐ j ytojH« egf{j³4j¸{ jHtojBvz}q]jI*voz}| %vf{j ´¶11{ikjHRv~ vf{j|R ojvoz~B1 o|RjH wvz©jIt9|´1vojH1to| t ³8j8 ojH~©s&|Rx´ voj ³g {t« $j±]vIª³4jg{ |ujHjH&v|/vof{j8vof1j| s&|´vof{j Ã9|°?~}z}ujIikjv ozt^z©Tq]jI*vz©|R[1ªW³$f{z}fÐtof{|b³t$f1|b³Y|R{j Ð|R1tv o*v^Ã9z©jR o|R{[1[ MQjI*v| Qq]1j4twvo 1*v{ jHt |vj1to| tH« nvf{jHtoj4twvo 1*v{ jHtHª^tojIz~]~tt9|´1ikjvo zt ~}~}jHÃ9|° ½1~}z}{jH# jx1 ovoz{~ ~}sÐtv z©RfRvo´¶| ³8 v|1twjR«¸m²¾q]jI*vz©|R#]ª ³4jx{ jHtojBv vof{jRtoto|uzbvojI 1 o|Ry1y{z}~}z}twvozE1¾twvbvz}twvoz~½´¶ ikjH³4|R o·Lª:z©Â³$f{zfÂ$z}ji1{z}¾{|voz}|1t¸|ºvojtw|R t¸|z}1z}uj ³$z©vof1~©zujHT{|voz}|1t|Tvof{jHz© /~}|R oz©vof1iktH«/m²¿q]jI*voz}| Luª³8j f{z}f{~}z}fBvvf{jkuz¯ÈLj jjHt/ toz}ixz}~ z¯vz©jItyWjv³8jjHTvf{jÃÄ|R°d1~}zujHд¶ ikj³8| ·{ ojItwjHBvojHz}#q]jI*vz©|R1Tvof1j ojIjBv~©s z}Bvo |uu1jI»{j°dz©]¬b zBv4´¶ ikjH³4|R o·L«Qegf{j³8j/vo{ vo|1{~©zvoz}|1tgz}Ðq]jHvoz}| [ ³$f{j j ³4j |ik1 oj¸ ojItw{~©vt z}¿z©BvojH oW|~bvz©|RĪj±]v |R~}voz}|T1{ztw|vo |{z&®1~©vojH oz}{|y{vz}{jIг$z©vof¿vof{j Ã9|°?~}z}ujIÐ1T»k1j°dz©]¬b z}Bv´¶ ikj³8| ·]tH«egf1j¸ jHto{~©vt|yuvz}{jHÐ oj¸¬jH os[toz©ikz}~} HªWy{uv oj½|yuvz}{jH&i¸1f&´¹Rtvj 9z}vf{j4Ã9|°?~}z}ujIHtoj4 j½~to|i 1f¸twz}ik{~©jH 9v|^z}ik{~©jHikjBvH«  + !O+ $&%r¼,#-/.102 34 $ 5789%: 38 egf1jvof{jH| sºuj¬Rj~}|WjHÂz©_vf{j[{j±]vEtojHvoz}|1tkzty1RtwjIº|R_B{z©vojÐto|{f1z}twvozvojHÂibvf{jibvz}H~ ivoj z~t«m²Tvof{zt/twjI*voz}|9ªW³8j¸to{iki %z Hj&vof1j¸iz}Ð jHto{~©vt|yuvz}{jH[z}q]jI*vz©|R1t^ªÄ]ª LE []«egf{z}t³8sRªRvf{j& jH{j $f1¬Rj&¸R~©|Ry1~L¬]z}j³Å|vof{j vf{j|R osE{j¬jH~©|RjIEz} vof{zt$ ovoz~}j« Ï * ' CÊ * Ê ¢I¢ 3Î 2 (£ 4 E 9 b '¹¢H£ ÊC* ¦ Ê ¥ * Ê 64+Î 8 ¥u¤ '¶>£ 4 Ñ^t$tof{|b³$z}[q]jHvoz}|Eª]vo|kvj1to| z}t Rtoto|uzbvjHk{1z}B{ j H \
(35) L ³$f{z}fEz}ct « mdv8¬jH oz©®1jHt S = exp(L) ³$f{jH oj exp ztSvf{j . g% g'. *,+fk*.-.
(36)
(37) "!
(38) # $ . [. ivo z¯±kj±uW|{jHRvz}~K«:e | jHRftws]ikikjv oz$ibv oz©±xzt8ttw|uzbvjHxy]sxvof{jj±u|R{jBvz}~&vj1to| I« m² |R wvf{|1| ik~ytoz}t8z} ³$f1z}f zt$uzR|1~Kª L z}tg|Ryuvz©1jHyBsvo 1tw´¶| ikz©{¸vof1j/jHz©Rj]¬b~}{jHt |´ S z}Rv|xvof{jHz© t~} 8~}|B z¯vf{iS« Ê ¦£ Î ¤ D A ¥{¦ Ê D£H¤ ¦ £ ¤ ÊÂ+Î * 58CÊ * ¢ Î ¤¢ q]z©jxvof{jHz© &zt |1j°?vo|°d|1j i{1z©{yWjv³8jjH vf{jvojtw|R to1jª/uj{|vojI Sym+(n) 1 vf{jÀtw1Rj|´¸tos]ixikjvo z}Tikvo z}jHt Sym(n) ª^|R{j H¿z}¬j Sym+(n) $
(39) U $?
(40) y]s[vo twW| ovoz}{vof{jR{uz©voz}| + 1Ðvf{jt~ i¸{~©voz}{~©zvoz}| ?. | Sym+(n) ³$z¯vf vof{j&j±]W|1jBvoz~?« egf{ztuj®1{jHtk|R Sym?+(n) vof1j \
(41) 3 $
(42) ¾vf{j H H 3 $ ªuz}¬jHy]s? ~ . S1
(43) S2 := exp (log(S1 ) + log(S2 )) λ ~ S := exp (λ. log(S)) = S λ . 0. %
(44). egf1j^~}|R oz©vof1ixzi¸{~©voz}{~©zvoz}|zt 8|Rz©1z}{jHt4³$z¯vfvof1jibv oz©±i {~©voz}{~}z}Hbvz©|R ³$f1j{jH¬j 8vf{j v³4|xvj1to| t S1 1 S2 |iki uvj&z© vf{j&ibvo z©±twjH1toj« Æ z©vof 1 ªgvof{jTvojtw|R EtwjTf1ty]s¼|R1tv o*voz}| $
(45) U $
(46) « n{j tof{|R{~} {|
(47) voj vf1bv~vf{zt$z}t 3vof{j&tw1~ĬjI*v| to1jtv o1vo{ jujH oz}¬jI´¶ |ivof{j R{uz©voz}|[ t~} $i {~©voz}{~}z}Hbvz©|R[|[toB1 oj&ivo z}jHtH«4Æ z©vof[vf{j~bvovoj tv o1vo{ jª1vof{jvojtw|R ^twj&zt E¬jI*vo|R /to1Rjª³$f1j jHt^³$z¯vfTvf{zt1j³twvo 1*v{ j¸z©v ^E¬RjH*v| twjR«&egf{j¸1|voz}||´½¬RjHvo| to1Rj&ujWj{t$|vof1jtv o1vo{ j |{j&|1toz}{j tªu1|v$|{~}s|Rvf{j&twj z©vtoj~©´« 64+Î 81Ì 9 (¦ ''KÏ Ê ¥ * &Ê £H¤ '¹¦¢ Æ f{j¼|1j|1tozuj tx|{~}sÀvof1jÐi {~©voz}{~}z}Hbvz©|R |_vof{jvj1to| to1Rjªu|R{j f1t$ U twvo 1vo{ jªuz?« jR«ktw1Rj ³$f{zfzt$yW|vfxf]s]jH to{ o´¹
(48) j/1xR o|R{ z}&³$f{zf~}jHy{ z} |RjH voz}|1tÄ oj ( 3 C *«:egf{z}t9¬]z©jH³$|Rz©Bv9ztÄz}ik|R wvBvHªyWjH1tojQvof{j vf{j|R osk|´ $z}ji1{z}Eikjv oztgHEyWj {{~}z}jHEvo|kÃÄz}jR o|R{1t½vo|kuj®11j/ikjvo z}Htª]z?« jR«:{z}twv1jItª z}[¸´¶ ixjH³4|R o·k³$f{jH oj 1to1~91~©sutoz}tg1twvvoztvz}H~Lv|B|R~}t$H yj&Rj{jH ~©z jI! KtwjHj HG .
(49) « Ñ^ix|R{$z©jHi{{zikjvo zt/z©#ÃÄz}jx |{1tHªWvof{jkik|Rtwv&|]¬Rj{z}jBvz}¿{ R*vz}jªL³$f{jvof1js j±uz}twvHªL j 0 + *ªLzK« j«uz}twv1jIt$vf1bv oj z©]¬b z}BvyBs i 1~¯vz©{~}zbvz©|RTz©]¬jH w° toz}|Ä« Ò{| vof1jvojH1to| :ÃÄz}j½ |1Īy{z©z}]¬b z}Rv ikjvo zt j±uz}twv 1 oj41 ovoz{~ ~}s/toz©ik{~}j« Æj8f1¬Rj yuv%z HjHEto1fixjvo z}H7t
(50) $ kikjvo ztHª{twz}1jvof1js|R o jHtoW|1kv|¸½1~}z}{jH ikjv ozt8z} vf{j&~}|R oz©vof1ixz/u|iz}Ä«QÒ{ |i x1~}zujH 1| i k.k |R Sym(n) ª]vof{jHsyWj&³$ z¯vovoj . ¹
(51) d(S1 , S2 ) = k log(S1 ) − log(S2 )k. ¡ ' Ê ¾¢[¥ * Ï D Ë Ê £¤ Ë ? 0¤ ' * ¦ ' A ' Ê ¨ |Bvo s[vo|Ðvof{jE~}Rtotoz~½1~}zujH VxÎ * Ï ¥{¤ Ë ? ¤ Î
(52) ´¶ ikjH³4|R o·Ð|RÀvojH1to| tª |{j ¾~}jH ~}stojj´¶ |i ½W« ¹
(53) vof1v¸ibv ozjIt&³$z¯vfº]{~}~½|R {jHRb° vz©¬RjjHz©Rj]¬b~}{jHtk oj bvÂz©u®{z¯vj[uz}twv1j ´¶ |i vj1to| tk1º³$z©~}~${|v1jI kz©_{ voz~ |ik{uvbvz©|R1t« [|R ojH|b¬jH Hª{z}twv1jIt j{|v4f11jHky]sxz©]¬Rj twz}|ĪzK« j« vof1j 3 3 3 ½zt4¬j z©®1jH« ÑtE|twjIR1j1jªvof{jxÃÄ|°?½1~}z}{jH[ikjI[yWjv³8jjÐvojtw|R t^³$z©~}~ yWj¸EjH{j ~}%z Ibvz©|R |´Qvof{j \$ $ 1¾1|v¸|´vof1j oz©vof{ikjvozikjHÂt¸z}¾vof1j ~}Rtotoz}H~41~}zujHÂRtwjR«¿egf1z}t zt 1z~´¶| z}1twvjд¶|R [Â| ojI*vEz}Bvoj W|~bvoz}|Y|´¸{jvojH oikz}1BvtE³$f{jH v³8|¾vj1to| t j z}BvojH oW|~bvjH« kkml n
(54) o o p$q.
(55) . $ U e Z* ){¥u¤ '¹¥ *. ¦ Ê ¡ Ë D ' ' '¹¥u¤ '¹£ Ë Ñik|{[~©~QÃÄ|R°d1~©zujHTikjv ozt |RTvf{jxvojH1tw|R &tw1RjRª9tw|Rikj ojz©]¬b zBv½y]stwz}ikz©~ z©vs ¹ o|vbvz©|R{~}1tgtoH~}z©1
(56) *«Qegf{zt4ixjI1t½vofbvgz¯´ vojtw|R t4 j|b¬b oz1j ivo z}jHtHª9|Rix1uvvoz}|1t |RTvj1to| t/1twz}{[to1f¿ ikjv ozk³$z}~©~yWjkz©]¬b zBv&³$z¯vf¿ jHtoWjH*v v| f{Rj^|´:|]| uz}1bvjHt4|yuvz}{jHEy]sE¸toz}ixz}~ z¯vsR«:ÑÇtoz©ikz}~} oz©vsB°?z}]¬b z}Rv8ÃÄ|°?½1~}z}{jHEixjvo z}. ¹isByWj/vof{jtoz}ix1~©jItv|R{j
(57) ¸z}tgRz©¬Rj yBs e Rj {log(S1) − log(S2 )}2 .. K
(58) d(S1 , S2 ) = ¢ ' * (£ 4 Ê 6½3Î 8 ¥u¤ '¹(£ 4
(59) '¹¦ aÎ ¾#¥ ' * egf{jÐvj1to| ¬jI*vo|R to1jг$z©vofY 9 (¦ ''KÏ Ê ¥ * < ¥ 'K(¦
(60) ' W Ã9|°?~}z}ujIixjvo z}ztgz©´¹vgzto|ik| {f{z1 g³$z¯vfEvf{j|R o jHtoW|1uz}{¸1~}zujH to1Rjk|´tosBikikjv ozkibv ozjIt« Ñ^t[|1tojHB{jH1jRªÄvof1jE$z}ji{1z}´¶ ikjH³4|R o·´¶|R tvbvz}twvozt 1¾1~}sutwztzt j±]vo jikj~}s¿toz}ix1~©z©®1jHĪi 1fÂtwz}ik{~©jH vf1ºz© uª G>%u@ª GH& d«m²Â1 ovoz{~ Iª vof{j Ã9|°?~}z}ujIixjI|´ N vj1to| tgztgz}¬j y]s 1 2. ELE (S1 , ..., SN ) = exp. ! N 1 X log(Si ) . N i=1. L
(61). ! U He C $ # # +
(62) HP
(63) Hf
(64) e C 7 ` # $ $ $ )3 $
(65) , $ Y7
(66) # # H\
(67) 3 `3 #$ $U K Y # # U #
(68)
(69) + « i^j1jªLtvbvz}twvoz~Ävo|]|R~}t |R ^½µ½t [yj¸jH{j ~}z%H jH v|vojH1tw|R t^¬jH os ojIuz}~}s«Ðvof{jHikvoz~ ztoto{jIt^to1fÐt^j±uz}twvojH1j. 1¿{{zB{j{jItot|´twf¿4µ^½t |#vj1to| t& jtwz}ik{~©s¿1 wvz}{~} RtwjIt |´gvof{j~}Rtotoz~Q4µ^ vf{j|R osE| ¬jHvo|R g®1j~{t$ G(I d«½egf{ztgztktv oz}·]z©{k jHto{~©v^twz}1jto|x´¹ gvf{j vof{jH| s|´ vof1j&j±uz}twvojH1j 1{{zR1j{jItotg|´ Rj{jH ~W4µ^½t^|vojH1tw|R tgzt$twvoz}~©~9|RjH ojItwjI f®1j~ & ?« < Î A ¥u¤ '¹¢ +Î *¿Í '¶>£ 4¾ X * ÊRÌ Z * ){¥u¤ 'K¥ * £ & Ê £H0¤ 'K¦¢ m² G(L&?ª] |ik{~}jvoj´¶ ixjH³4|R o· ´¶| ½vof{j1twj |´{b»{j°dz}B¬b ozBvÄikjv ozt9| vojH1to| tÄztÄ{ jHtojBvojI« Ã9|°?~}z}ujI&b»{j°?z}]¬ ozBvikjv ozt s]z}j~¬Rj stwz}ikz©~ g jHto{~¯vt8z©{1~©zvoz}|1t4~©z}·j/ jHtik{~}z©{ªuuj1toj j±]vo W|~bvz©|R|´ tw1 toj1bv |R {z}to|v o|R{z®1~©voj z}{ ¹tojjÀq]jI*voz}|N [&
(70) *«(egf{j¿|{~}s_{z¯ÈLj j1jzt tw~}z©RfBvo~}sÂik| j{ztw|vo |{z vj1to| txz©Âvof1jÐÃÄ|°?½1~}z}{jH ojItw1~¯vt«¼egf{j[ jH~$uz©ÈLj j1jHt j z©Âvof{jÐ|ik{uvbvz©|R1~$|Btv 1 vof1j¸toz©ik{~}z}z¯vs |´z}ik{~}jikjBvvoz}|Ä«$m²ujjIªWÃ9|°?~}z}ujI[|Rik{uvvoz}|1t j ´¹twvojH ^y]s ´¹R*v| Q|´Lbv~}jHRtv 6 z©xvf{j{1~©zvoz}|1tQ|1toz}{j jHz}xvof{zt wvz}~©jR« [|R ojH|b¬jH Hªb~}~{ÃÄ|R°d1~©zujH |ik{uvbvz©|R1t9 oej )3 H toz©j~}z}ujIz}&vf{j½~}|B z¯vf{ikz}{|iz}Īb1&{|^{|v91toj41 o¬bbv{ j | ojI*vz©|R1t4Rtgz© vf{jb»{j°?z}]¬ ozBv$RtwjR«. 9 38 Ç%:&g% $ + !#$ 9&% x38 Æ¿j8yjHz} ³$z©vofk^ujIto oz}uvoz}|¸|´{vf{j4´¶{1{ixjHBv~]{ |Wj ovoz}jHt &vo|]|R~}t 1tojHz}¸vof{zt ³4|R o·L«9Ò z} twvHª ³8j$ jH~©~{vof{jj~}jikjBv os { o|RjH wvz©jItQ|´Lvf{j^ibv oz©±¸j±u|R{jBvoz~?«:egf{j³8jj±{ixz}{jgvf{jjH{j ~ 1 o|RjH wvz©jIt$|´ vojH1tw|R tH«gegf{jHtoj&{ |Wj ovoz}jHt oj&|´ v³8|kvs]jIt 8~}jy1 z} [uz¯ÈLj jBvz}~K«nvof{j |R{j f11ĪQvojH1tw|R txf1¬Rj~©Rjy{ z{ |Wj ovoz}jHtxyWjH1tojEvf{js¾ ojtoWjHz~g·]z}1¾|´z}B¬Rj ovoz}y{~}j ivo z}jHtHª1 |R¼vof{j|vf{j f1_vof{jHs¼H2yWj|1tozuj jH¼R~©|Ry1~}~©s¼tÀf]s]jH to{ o´¹j ¶|
(71). *,+fk*.-.
(72)
(73) "!
(74) # $ . I. + H
(75) 1_vf{j j´¶|R oj[f1¬RjÐuz©ÈWjH ojHRvz}~Rj|Rixjvo sº{ |Wj ovoz}jHtH«Oegf{jHtojÐ{ |Wj ovoz}jHt j[{|v }z 1ujHjH1ujHRv Q|vf{j&|RRv osRªvf{jsE oj/|Rixbvoz}y{~}jz}¸{ |´¶|R{1³gs«:egf{zt8|ik1voz}y{z©~}z©vsz}t vf{j|R oj/|´ vof1j{{ |RRfEujH¬j~}|WjHf{jH ojR«.
(76) a Êf* '¶£>' Î3* & # C # H # \B `
(77) # 3
(78) C # ` # e # n # Sym+ (n)
(79) @ # c
(80) e . # . GL(n). . # 3KU + . . Sym(n) # .
(81) . # $ $ . $ 1 0 H
(82) .
(83)
(84) U $ $ . M (n) n∗n . $
(85). \ (λ1 , ..., λn ) # \ %. 7
(86) . . ?. . . n∗n $ . n∗n $ . . #e #$ . E. m. $ . . $
(87) $
(88) $ # Y #
(89) . M Sp(M ) c
(90) H . . $ . . . M. (λi )i∈1...n. 1 c
(91)
(92) . $ Y ( \ $ # $ # B > . +φ: `E c→
(93) F
(94) U \ E + 3 H + # # m ∈ E . . n∗n. .
(95) H0 ! $
(96) \\
(97) . dM. Dm φ.dM. egf{j ujH{|ikz}1bvz©|R# "oe9jH1tw|R 8q]j%$/|RikjHt½´¶ o|Ri)µe8°²Ð$m) HG .
(98) ª]³$f{j j/{z¯ÈL1toz©|R|b¬b oz1j ivo z}jHtg j&~}~}jHEvojtw|R tH« '&. () * +, -/.0-124356 7. egf1jj±uW|{jHRvz}~{{~sutjHBvo ~{ |~}j$z©K e + ¹tojj %1ªB Gª I ,
(99) *«QÆ¿j³$z}~©~W|twzuj ½f{j j$|{~}s vf{jibv oz©±Ð¬jH toz©|RT|´4vf{jj±uW|{jHRvz}~Kª9³$f{z}f¿zt&Ev|]|~Qvf1bv&³8jxj±]vojtwz}¬jH~©sÐtwjkz}vf{j{j±Bv tojHvoz}|1tH«[Æ¿jE jH~©~4z¯vt¸{j®1{z©voz}|9ª1#Rz©¬Rjz¯vt jH~©jHikjBv os{ o|RjH wvz©jIt«Ðà twv y{uvk{|v ~©jItwvHª ³8jERz©¬Rjvof1j lg·Rj o° ¨ ik{yjH~©~©° i^tou|R wÈÀ´¶|R oi¸{~{«Tmdvkzt¸T¬j s¿®1{jEvo|]|~4vof1vx1 o|b¬]zujHt¸ujjH z}1toz©RfBvt&z}¾ÃÄz}Yj S/ o|R{1tH«Æ¿j³$z}~©~½®11#z©v f{z}f{~}sTtwj´¶{~v|T|Rix jkÃ9|°?~}z}ujI#ikjH1t vo| »{j°dz©]¬b zBv4ikjH1t$z}qujH« L1« P∞ M a Ê f* '¶>£ ' 3Î * -8 ! #j
(100) + E U exp(M ) M exp(M ) = 9!,
(101)
(102) \ G
(103) ∈ GL(n) 3 # # M ∈ M (n) N G = log(M ).
(104) . G = exp(M ). # . k. M. En=0 $k! . m²Âj1j ~?ª:vof{j ~©|RR oz©vof{i |´/Ð jH~8z}B¬Rj ovoz}y{~}jEibv oz©±Àiks#{|vxj±uz}twvHª1¾z©´^z©vxj±]ztwvtxz¯v isx{|v8yj/{{zB{j«Qegf{j~}R·k|´Äj±uztvj1j^zt4j1j ~11f{j{|Rikj{|Rz©|1{jHvojHEÃÄz}j^ |11t« n1j^jH{j ~}~}s¸{jHjH{t # j±u|R{jBvoz~t½vo|x ojIfj¬Rj skj~}jikjB v R ?«Qegf{j/~·k|´91{z}B{jH{jHtt4z}t jItotojBvz}~©~}su1jvo|vof{j¸z© {j1j |´: |vbvz©|R1t 4 o|vvoz}{|´½Ð{R~©j α z}t^vof1j¸tikjt^ o|vbvz©1 kkml n
(105) o o p$q.
(106) GI. $ U e . | ´ {R~©j α + 2kπ ³$f1j j k z}tgz©BvjjH H«q]z}1j^vf{j ~©|RR z©vof{i(|´ |vbvoz}|Eikvo z¯±E{z© jHvo~}s {jWj1{t¸|Àz©vt¸ |vvoz}|À1~}jHt ¹|{j{R~©jEtou»jItz} %µ¸ª y{uvxtoj¬Rj ~½{~}jHt j{jHjHtto os ³$f1j n > 3
(107) *ªWz¯v/z}t^{|v^1{z}B{jR«ci|b³8j¬Rj Iª{³$f{jHTibv oz©±zttou»z}jBv~©s~}|Rtoj&vo|vof{j¸z}ujHBvoz©vsª vf{jÀ~©|RR oz©vof{i ~}³8sutj±uz}twvtHª91Tik|R ojH|b¬j ik|R{ ~©~Qj±uz}twvoz}{~©|RR oz©vof{itHªLvof{jH oj~©³gsut j±uz}twvt8|1j^³$z©voftwi~}~}jHtwv8{|R oiªu~©~}jH 3
(108) 1 \
(109) x«mdv$z}t8Rz©¬Rjy]skvof1j´¶|R~©~}|b³$z}{¸toj z©jIt log(Id + M ) =. ∞ X (−1)k+1. k. [
(110). M k.. egf1z}t4twjH oz}jHt½z}t8y1to|~}uvj~}s¸|R]¬j jHBvQ´¶| kM k <k=11 ³$f{jH oj k.k zt½E~}jHy{ 1| i ªBz?« jR« ¬Rj z¯´¶s]z}{ ´¶|R ~}~9tR jibv ozjIt M, N « kM.N k ≤ kM k.kN k 5 4 Ê]Î ¤ Ê & ∞ ( \ ! c + #
(111) exp : M (n) → GL(n) C M ∈ M (n). \E
(112) $ P 3 U $ ∞ X 1 DM exp .dM = k! k=1.
(113) . . k−1 X. dM ∈ M (n). M. l=0. k−l−1. . .dM.M. l. !. . ¹
(114). .. ? ¤ ÎÄ3Î 2 egf{j4toik|B|vof{1jHttÄ|´ z}t twz}ik{~}s |R1twjIB{j1j|´uvf{j½1{z¯´¶|R oiOy1tw|R~©{voj½|]¬jH oRj1j |´z¯vt twjH oz}jHt^j±u1twz}|Ðz}TBs[exp|ik1v/tojv/|´ M (n) «/egf1jxuz©ÈLj jBvoz~ z}t|y{vz}{jIT~ttoz}H~}~©s y]sE¸vj iy]svojH oi uj z}¬voz}||´ vof{jtoj z©jItguj®11z©{kvf{j&j±uW|{jHBvoz~?« Æ¿j8tojj4f{j jvf1bv vof{j8{|Ru°d|iki {vbvz©¬]z©vs |´{vf{j4ivo z¯±&i 1~¯vz©{~}zbvz©|R¸|ik{~}z}HbvojIt9toj z©|R1to~©s vf{juz©ÈWjH ojHBvozbvoz}|¿|´4vof{jj±u|R{jBvoz~?ª9³$f1z}f¿z}ti 1f#twz}ik{~}j &z}vf{jt~ &Htoj« i|b³8j¬Rj Iª v·]z}{xvof{j v Rj/z©½W« ¹
(115) 8s]z©jH~}{t !# ! $
(116) < Î ¤ Î ' '¹¥u¤ Ë & 3 $ ∀M, N ∈ M (n) : (M.N ) = (N.M ) # !# U $. (DM exp .dM ) =. !# U $. I
Documents relatifs
In infantile Pompe disease patients, the glycogen storage diffusely affects brainstem motor and sensory neurons, and the whole spinal cord sensory neurons, interneurons, and
De ce point de vue, il est possible d’affirmer que la mission est accomplie : les projets de renouvellement urbain (GPV et ORU) élaborés depuis 1998 dans une centaine de villes
cosinus (en bleu à gauche) et d’une droite (en noir à droite) sur les données simulées pour 4 années à une température de 45°C, avec un bruit de fond interne réduit de 100,
Florence CARRÉ ~ Réoccupations funéraires de sépultures collectives néolithiques dans la boucle du
2 Vue plus en détails dans le chapitre 1... 2 phénomène d’agrégation des protéines amyloïdes en fibres et d’autres facteurs impor- tants doivent être pris en compte comme
In this chapter, we prove an a posteriori error estimates for the generalized overlapping domain decomposition method with Dirichlet boundary conditions on the boundaries for
Revue française d’héraldique et de sigillographie – Études en ligne – 2020-10 © Société française d’héraldique et de sigillographie, Paris,
Dans ce cas, comme les coulées du Bras de Sainte-Suzanne appartiennent au massif de La Montagne daté à plus de 2 Ma (McDougall, 1971), l’ensemble des coulées pahoehoe
