DM 8 Horloge à quartz

DM 8 Horloge à quartz

Corrigé

(D’après X MP 2001)

Un circuit électrique équivalent au cristal de quartz est représenté figure 7. Le condensateurC0est la capacité du composant et les élémentsC1,L1etR1sont la représentation sous forme d’une impédance électrique des effets piézoélectriques associés à la vibration du quartz. Les éléments et leurs valeurs sont notés de la même manière, par exemple, la valeur de la capacité du condensateurC0est notée elle aussiC0. On poseωs= 1

pL1C1

etQ=L1ωs

R1

. Adoptant les valeursC1=3, 00 · 10⁻¹⁵F,L1=7, 86 · 10³H,R1=32 · 10³ΩetC0=1, 50 · 10⁻¹²F.

1 Applications numériques :

• Pulsation et fréquence "série" : ωs= 1

pL1C1

=2, 059 · 10⁵rad.s⁻¹ et fs=ωs

2π =3, 278 · 10⁴Hz

• Pulsation et fréquence "parallèle" :

ωp= s

1+C1

C0ωs =2, 061 · 10⁵rad.s⁻¹ et fp=ωp

2π =3, 281 · 10⁴Hz

#il faut aller jusqu’au quatrième chiffre pour observer une différence entre les deux pulsations.

• Facteur de qualité :

Q=L1ωs

R₁ =5, 06 · 10⁴

#le facteur de qualité du quartz est très supérieur à celui de n’importe quel RLC, d’où l’intérêt de ce composant.

MPSI Devoir maison 8 - Horloge à quartz 2020-2021

C₀

C₁ L1

2 Montrons d’abord le résultat de l’énoncé :

Z = (Z_C1+Z_L1)Z_C0 Z_C1+Z_L1+Z_C0 =

³ 1

jC1ω+j L₁ω´

1 jC0ω 1

jC1ω+j L1ω+_jC¹_0ω

= 1

jC0ω

1−L1C1ω² 1+^C_C¹₀−L1C1ω²

= 1

jC0ωs ω ωs

1−^ω_ω²2 s

a²−^ω_ω²2 s

en posant a= s

1+C1

C0

= 1

jC₀ωsx 1−x²

a²−x² en posant la pulsation réduite x= ω ωs

Par définition de la réactance

I m(Z(j x))= − 1 C0ωsx

1−x² a²−x² Traçons la.

En bleu, pourx≤1 etx>a, la réactance estnégative: le dipôle à un comportementcapacitif. En rouge, pour 1≥x<a, la réactance estpositive: le dipôle à un comportementinductif.

3 On remplaceL1parL1+^R_jω¹ afin de prendre en compte la résistanceR1du modèle de la figure 7. Calculons en effet l’impédance de ce nouveau dipôle

Z_L=j µ

L1+R1

jω

¶

ω=j L1ω+R1

On a bien remplacé la bobine idéale par une bobine en série avec une résistance.

4 L’énoncé nous donneZ(ωs)= R₁ 1+_Q^{j C}_C⁰₁

etZ(ωp)≈C₁ C0

Q

(C1+C0)ωs ≈ R₁ (R1C0ωs)².

Dans le cas général, l’impédance se met sous la formeZ(ω)=R(ω)+j X(ω) avecRla partie résistive etXla partie réactive.

On peut prévoir que la partie réelle de l’impédance est positive à cause des pertes énergétiques provoquées par la résistanceR₁, cela correspond aussi à l’expressionZ(ωp) donnée avant. On vérifie en outre que la valeur de l’impédance est de l’ordre de 340 MΩce qui correspond effectivement aux 327 MΩannoncés par

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MPSI Devoir maison 8 - Horloge à quartz 2020-2021 le sujet. La courbe en pointillés est doncRe(Z) et la courbe en trait plein la partie imaginaireI m(Z). On constate que la partie imaginaire de l’impédance s’annule comme dans le cas d’une résonance d’intensité en circuit RLC série.

Ici, la situation est pourtant différente, on peut parler d’antirésonance puisque l’impédance passe par un maximum. Le facteur de qualité correspond bien à ce que l’on définit habituellement. On peut constater sur le graphique que la largeur indiquée de_Q¹ correspond bien à un intervalle de fréquence tel qu’on pouvait s’y attendre à savoir celui pour lequelZ(ωp)/2<Re(Z)<Z(ωp).

5 Le graphique propose d’étudierZ(x)/Z(a) 1 puisqu’enx=a=1, 001, ce rapport vaut 1. On constate qu’en x=1, donc pourf =fs, on aZ(ωs)=10⁻⁴Z(ωp). L’impédance à cette pulsation est la plus faible. Pour une tension donnée, le courant électrique qui circulera sera donc le plus important. On travaille à une fréquence f_s=32768 Hz car cette fréquence correspond à une puissance de 2. On a 32768=2¹5. Ceci permet de faire agir ensuite sur la tension de départ, 15 circuits électroniques qui divisent la fréquence du signal par 2 et de venir sur 1 Hz qui correspond à une période de 1 s.

6 On a

∆f₀

f0 = −4 · 10⁻⁶

Cela permet d’en déduire que_∆^δt_t = +4 · 10⁻⁶. La fréquence diminue, la période augmente. On peut calculer ainsi que la montre retarde de 2 minutes par an.

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