D.S. DE MATHEMATIQUES
23 – 11 – 2018 Term. ES et Term. L (spé)
CALCULATRICE AUTORISEE
EXERCICE 1 : ( 6 pts)
1) Soit la fonction p définie sur I = [-3;3] par p(x)=4x3−6 x2+10 . a) Calculer la dérivée de p.
b) Dresser le tableau de variation de p.
c) Calculer p(-1) puis, à l'aide des variations de p, en déduire le tableau des signes de p(x).
2) Soit la fonction f définie sur J = [-3;1[∪]1;3] par f(x)=2x3– 2x−8
x−1 . On appelle C sa courbe représentative.
a) Montrer que f '(x)= p(x) (x−1)2 .
b) A l'aide des résultats de 1c), dresser le tableau de variation de f.
c) Déterminer une équation de la tangente à C au point d'abscisse 2.
EXERCICE 2: ( 4 pts)
Dans la jungle, pour une certaine espèce d'animal, un bébé a 60 % de chance d'arriver à l'âge adulte.
On a un groupe de 15 bébés de cette espèce et on appelle X la variable aléatoire représentant le nombre de bébés qui atteindront l'âge adulte.
1) Déterminer les valeurs prises par X ? 2) Donner, en expliquant, la loi que suit X.
3) Traduire à l'aide de X et calculer la probabilité de chacun des événements suivants : a) avoir exactement 8 bébés qui atteindront l'âge adulte.
b) avoir au moins un bébé qui atteindra l'âge adulte.
4) Parmi ces 15 bébés, combien peut-on espérer en avoir qui atteindront l'âge adulte ?
EXERCICE 3: ( 2,5 pts)
Un sac contient les 21 jetons indiscernables numérotés ci-contre.
On pioche au hasard un jeton du sac.
Un jeu est organisé ainsi : pour une mise de trois euros, on gagne autant d'euros que le nombre indiqué sur le jeton.
On appelle X la variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur.
1) Déterminer les valeurs prises par X.
2) Déterminer la loi de probabilité de X.
3) Calculer l'espérance de X et interpréter ce résultat.
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EXERCICE 4 : ( 7,5 pts ) Partie A :
On considère la suite (un) définie par u0=500 et pour tout entier naturel n, un+1=0,7 un+300 .
1) a) Dans un repère ( unités : 1 cm pour 100 ), à l'aide des droites d'équations y=x et y=0,7 x+300 , construire u1 ; u2 et u3.
b) A l'aide du graphique précédent, quelles conjectures peut-on faire sur les variations et la limite de (un) ? 2) Calculer u1 et u2.
3) On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par vn=un−1000 . a) Démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique de raison 0,7.
b) Exprimer vn en fonction de n.
c) En déduire que pour tout entier naturel n, un=1000−500×0,7n . 4) Déterminer les variations de la suite (un).
5) Déterminer la limite de la suite (un).
Partie B :
Dans une ville, un nouveau lycée vient d’ouvrir ses portes et accueille 500 élèves pour sa première rentrée en 2015.
D’une année sur l’autre, le proviseur du lycée prévoit une perte de 30% de l’effectif et l’arrivée de 300 nouveaux élèves.
1) a) Calculer le nombre d'élèves en 2016 et 2017.
b) Montrer que cette situation peut être modélisée par la suite (un) de la partie A où un désigne le nombre d'élèves de l'année 2015 + n.
c) Interpréter les résultats des questions 4 et 5 de la partie A.
2) Le proviseur décide d'utiliser un algorithme pour afficher tous les effectifs du lycée des années 2016 à 2015+N.
Parmi les trois algorithmes ci-dessous, un seul convient. Lequel ? (on justifiera la réponse) Demander N
U ← 500
Pour I allant de 1 à N U ← 0,7 I + 300 Afficher U
Fin Pour
Demander N U ← 500
Pour I allant de 1 à N U ← 0,7 U + 300 Afficher U
Fin Pour
Demander N U ← 500
Pour I allant de 1 à N U ← 0,7 U + 300 Fin Pour
Afficher U
