Examen du 26 février 2019

UE7 Arithmétique et géométrie Université de Nice

Examen du 26 février 2019

1 heure 30

La correction tiendra grandement compte de la clarté et de la concision de la rédaction.

L'utilisation de calculatrice, de téléphone portable et autre gadget est interdite.

Exercice 1. Les questions de cet exercice sont indépendantes entre elles.

1) Soient K ⊂ L une extension de corps et x, y ∈ L deux éléments algébriques sur K de degrés respectifs metn.

i) Rappeler la dénition du corps K[x, y]et montrer que l'on a [K[x, y] :K]6mn.

ii) Simetn sont premiers entre eux, montrer qu'on a[K[x, y] :K] =mn.

2) i) Rappeler la dénition d'une réexion par rapport à un hyperplan ane dans un espace ane euclidien.

ii) DansR³, montrer que la composée de deux réexions est une rotation ou une translation.

iii) Montrer que c'est une translation ssi les deux plans sont parallèles.

3) i) Rappeler la dénition des polynômes cyclotomiquesΦ_n.

ii) Enoncer (sans la démontrer) l'identité qui relieXⁿ−1 aux polynômes cyclotomiques.

iii) Montrer que pour tout n∈N,Φ_n∈Z[X]. iv) Montrer que l'on aΦ₂(X) =−Φ₁(−X).

v) Montrer que si n>3 est un entier impair, alorsΦ_2n(X) = Φ_n(−X). 4) Exprimer à partir des polynômes symétriques élémentaires :

X²Y²+Y²Z²+Z²X².

5) Soit pun nombre premier,q =pⁿ etF_q un corps ni à q éléments. Pour α∈F_q, on pose N(α) =α·α^p·α^p2. . . α^pn−1.

Montrer que pour toutα∈F_q, on aN(α)∈F_p.

* **

Exercice 2. Pour toutn>1, on noteS_n le groupe symétrique. Ce groupe agit naturellement sur l'algèbre des polynômes A_n:=Q[X₁, . . . , X_n]en permutant les variables.

On dit que P ∈ A_nest antisymétrique s'il vérie :

∀σ∈S_n, σ·P =ε(σ)P, où ε:S_n→ {±1} désigne la signature

1) Montrer que U_n:= Q

16i<j6n

(X_i−X_j)∈ A_n est antisymétrique.

2) En identiantA_navec An−1[X_n], montrer que siP est antisymétrique, ses coecients sont aussi antisymétriques (pour l'action de S_n−1 sur A_n−1).

3) SiP ∈ Aest antisymétrique, montrer que pour tout16i6n−1, on aP(X1, . . . , Xn−1, Xi) = 0. Quelle divisibilité de P en déduit-on ?

4) En déduire que tout polynôme antisymétriqueP ∈ A_ns'écrit de manière unique P =U_n·Qavec Qsymétrique.