ECS1 H. Boucher pour le 02/02/2021 Devoir maison no5
La pr´esentation, l’orthographe et la qualit´e de la r´edaction seront prises en compte.
Les r´esultats des questions non r´esolues pourront ˆetre admis pour la suite.
Les r´esultats devront ˆetre encadr´es .
La recherche de l’int´egralit´e du sujet est indispensable pour tous.
Cependant, vous r´edigerez un devoir par binˆome. Bien sˆur les ´ecritures des deux signataires devront apparaˆıtre de mani`ere significative dans la copie.
Exercice 1
On d´efinit la fonctionf parf(x) = sinx x .
Rapide ´ etude de f
1. Montrer quef est d´efinie et d´erivable sur R∗ et calculer sa d´eriv´ee.
2. Montrer quef0 est du mˆeme signe queh:x7→xcosx−sinx.
3. Montrer quef est prolongeable par continuit´e en 0. On note par la suite encore f ce prolongement.
4. Montrer quef est d´erivable en 0 et d´eterminer f0(0).
Un th´ eor` eme d’analyse
Soit a < b des r´eels et une fonction g : [a,b] → R continue sur [a,b]. On suppose g(a) 6 g(b) et on pose y ∈[g(a), g(b)]. Le but de cette partie est de montrer que y admet un ant´ec´edent c∈ [a,b] par g. On pr´esente deux m´ethodes diff´erentes (il est donc bien sˆur interdit d’utiliser des r´esultats de la question 6 dans la question 7).
5. Effectuer un dessin expliquant la situation.
6. Premi`ere m´ethode : on d´efinit A={x∈[a,b], g(x)6y}.
(a) Montrer queA admet une borne sup´erieure. On note c= sup(A).
(b) Justifier qu’il existe (xn)n∈Nune suite d’´el´ements de A telle quexn−−−−−→
n→+∞ c.
(c) Montrer queg(c)6y.
(d) Montrer queg(c)>y.(on pourra v´erifier que c’est imm´ediat sic=bet examiner plus pr´ecis´ement le cas c < b).
7. Deuxi`eme m´ethode : on d´efinit les suites (an) et (bn) de la mani`ere suivante.
Tout d’aborda0=aetb0=b. Puis pourn∈N, si an etbn sont d´efinis, alors on calculecn= an+bn
2 .
Sig(cn)6y, on pose
(an+1 =cn bn+1=bn
. Sinon, on pose
(an+1=an bn+1 =cn
(a) Placer sur l’axe des abscisses (sur le dessin suivant ou apr`es l’avoir reproduit) les valeurs ai etbi
pour i∈ {1,2,3}.
1
y
a b
Cg
(b) Montrer que (an) et (bn) convergent vers une mˆeme limite que l’on notera c.
(c) Montrer que∀n∈N, g(an)6y6g(bn). En d´eduire que g(c) =y.
8. Comment ´etablir le r´esultat dans le cas o`u g(a)>g(b) ?
Une suite
9. D´eterminer le signe de f0(kπ) en fonction dek∈N∗.
10. Montrer que pour toutk∈N∗, il existe ak ∈]kπ,(k+ 1)π[ tel quef0(ak) = 0.
11. Montrer que pour tout k∈N∗, h est strictement monotone sur ]kπ,(k+ 1)π[(on pourra d´eriver h et on discutera suivant la parit´e de k). En d´eduire que les r´eelsak sont uniques.
12. Comportement (limite ´eventuelle et un ´equivalent) de la suite (ak)k∈N∗. (a) D´eterminer la limite de la suite (ak) quandktend vers +∞.
(b) D´eterminer lim
n→+∞
ak kπ.
(c) Montrer que pour toutk∈N∗,ak= tan(ak−kπ). En d´eduire queak−kπ−−−−→
k→+∞
π 2.
Une autre suite
On s’int´eresse maintenant `a la suite (un) d´efinie par u0= 0 etun+1 =f(un).
13. Effectuer l’´etude compl`ete de (un). Indications :
• On pourra montrer que [0,1] est un intervalle stable parf.
• On montrera que f admet un unique point fixe sur [0,1] `a l’aide d’une ´etude deu(x) =f(x)−x.
Pour montrer que u est strictement monotone, on pourra montrer que u0(x) est du signe de v(x) =xcos(x)−sin(x)−x2 et d´eriverv pour finir l’´etude.
• On pourrait avoir besoin d’´etudier s´epar´ement les suites extraites (u2n) et (u2n+1).
2
