A NNALES DE LA FACULTÉ DES SCIENCES DE T OULOUSE
G. H UMBERT
Sur les coniques inscrites à une quartique
Annales de la faculté des sciences de Toulouse 1resérie, tome 4, no3 (1890), p. L1-L8
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L.I SUR LES
CONIQUES INSCRITES A UNE QUARTIQUE,
PAR M. G. HUMBERT.
f. On sait
qu’une quartique,
c’est-à-dire une courbe duquatrième
ordre sans
point double,
admet soixante-troissystèmes
deconiques inscrites, chaque conique
inscrite la touchant enquatre points (i); l’équation générale
des
coniques
d’unsystème
est de la forme .~ étant un
paramètre
variable et U = o,V - o,
W = odésignant
des co-niques.
Nous nous proposons ici de faire connaître certaines
propriétés simples
de trois
coniques
inscrites desystèmes
différents. Observons que,d’après l’équation (i)~
les huitpoints
de contact de deuxconiques
du mêmesystème
sont sur uneconique ;
cettepropriété
est bien connue. On saitaussi que chacun des soixante-trois
systèmes
deconiques comprend
sixcouples
debitangentes
de laquartique,
et il estclair, d’ailleurs,
que letème est déterminé
quand
on se donne un de cescouples
debitangentes.
Hesse a fait
connaître,
et M.Cayley
a discuté àfond,
unalgorithme qui
met en évidence les relations des
vingt-huit bitangentes
entre elles et avec lessoixante-trois
systèmes
deconiques;
nous allonsrappeler
sornmairementcette méthode.
Les huit chiffres I, 2,
3, 4, 5, 6,
7,8,
combinés deux àdeux,
donnent(1) Dans un intéressant Mémoire, inséré au tome III, page D.i l de ces Annales, M. An- doyer a établi que le nombre des systèmes de coniques proprement dites quadruplement tangentes à une courbe du quatrième degré, à un point double, est de 3o et non de 31.
comme l’indiquent les Leçons de Clebsch sur la Géométrie. Cette proposition avait été dé- montrée par nous dans un Mémoire inséré au tome II (4e série) du Journal de Mathéma-
tiques pures et appliquées, et publié en t886; M. Andoyer l’a complétée en donnant la signification précise du trente et unième système.
vingt-huit symboles,
12,I3,
...,~8, représentant respectivement
lesvingt-huit bitangentes,
et l’onpeut appliquer
le mode dereprésentation
demanière à vérifier les conditions suivantes.
2. Les six
couples
debitangentes appartenant
à un mêmesystème
de co-niques
inscrites sont, aupoint
de vue de lanotation,
de deuxtypes.
On ob-tient tous les
systèmes
dupremier type
en divisant les huit chiffres en deux groupes dequatre
et en combinant deux à deux lesquatre
chiffres dechaque
groupe; ainsi legroupement 1234, 5678
donne les sixcouples 12,34;
oI~,23; 5c),~$; 5~,~7~; 58,67.
On obtient tous les
systèmes
du secondtype
en combinant deux deschiffres,
i et 2 parexemple,
avec les six autres, cequi
donne les sixcouples
13,23;
]I4,2~~;
]I5,2~;
]r6,26;
] I~,2’~; ]18,28.
Au
point
de vuegéométrique,
iln’y
a aucune différence entre les trente-cinq systèmes
dupremier type
et lesvingt-huit
dusecond ;
la notation seule lesdistingue.
3. Il résulte d’une
Remarque précédente
que deuxcouples
debitangentes
d’un même
système
ont leurs huitpoints
de contact sur uneconique.
Il estaisé de
voir,
à l’aide del’algorithme,
si trois ouquatre bitangentes
de sym-holes donnés ont leurs six ou huit
points
de contact sur uneconique.
Cela
posé,
on vérifie sansdifficulté,
à l’aide de lareprésentation
deHesse,
les
propositions
suivantes dont Steiner a donnéquelques-unes
sans démon-atration (1)
:Deux
systèmes
deconiques
inscrites ont en communquatre
ou six bi-tangentes.
Dans le
premier
cas, lesquatre bitangentes
communes ont leurshuit points de
contact sur uneconique,
et ellesappartiennent
à un troi-sième
système..
Dans le
second,
les sixbitangentes
de chacun des deuxsystèmes,
non °communes à
l’autre, appartiennent
à un même troisièmesystème.
Ainsi,
lepremier système
étantI234, 5678
et le second1256, 3478, il
y aura
quatre bitangentes
comrnunes 12,3’~, 56, ~8, appartenant
aussi ausystème 1278, 3 56.
Soit une des
bitangentes
communes, 12 parexemple,
lesbitangentes
asso-(1) ) Journal de Crelle, t. XLIX. C’est dans le mêmevolume que se trouve le Mémoire de Hesse ..
ciées de 12 dans le
premier
et dans le secondsystème,
c’est-à-dire3~
et56,
sont associées entre elles dans le troisième.Au
contraire,
lepremier système
étanttoujours 1234, 5678
et le second1235, 46~8,
il y a sixbitangentes
communes,i 2, ~ 3, 23, 6~, ~i8, ~ 8 ;
lesautres
bitangentes
des deuxsystèmes,
c’est-à-dire15, 25, 35, y, 24, 3!~, 56, 5~, 58, 46, 4~, l~8
forment lesystème
du secondtype
déterminépar les
caractères 4
et 5.Soit une
bitangente
commune telle que 12 ; ses associées dans lepremier
et dans le second
système,
c’est-à-dire34
et35,
sont associées entre elles, dans le troisième
système ;
mais leurs sixpoints
de contact ne sont pas surune
conique,
comme dans lepremier
cas.On
peut ajouter qu’un système
aquatre bitangentes
communes avec trentesystèmes,
et sixbitangentes
communes avec trente-deux autres.4. Cela
posé,
nous allons donner unepropriété
de troisconiques inscrites,
appartenant respectivement
à troissystèmes
tels que ceux que nous avons considérés tout à l’heure.Soient d’abord trois
systèmes ayant quatre bitangentes
communes; dési-gnons par
les
équations
de cesdroites,
par V = o celle de laconique qui
passe par les huitpoints
de contact ;l’équation
de laquartique
H sera de la formeLes trois
systèmes
deconiques
inscritesauxquels appartiennent
lesquatre bitangentes
ontrespectivement
pouréquations,
a,~3,
y étant desparamètres variables,
Or,
enposant
on a
identiquement
On en déduit que la
cubique
S passe par les douzepoints
de contactavec H des trois
coniques A, B, C ;
deplus,
elle coupe chacune de ces co-niques
en deux nouveauxpoints,
et il existe uneconique
G doublementtangente
àA, B,
C en cespoints.
Ainsi : :Soient deux
coniques
inscrites à unequartique
etappartenant
àdeux
systèmes ayant quatre bitangentes
communes. Toutecubique passant
par leurs huitpoints
de contact coupe laquartique
enquatre
nouveauxpoints, qui
sont lespoints
de contact d’une autre co-nique inscrite, appartenant
au troisièmesystème, qui comprend
lesquatre bitangentes
communes aux deuxpremiers.
Inversement,
troisconiques appartenant respectivement
à ces troissystèmes
ont leurs douzepoints
de contact sur unecubique;
elles sontdoublement
tangentes
à une mêmeconique qu’elles
touchent en dessitués sur la
cubique précédente.
En
particulier,
les troissystèmes comprennent respectivement quatre
couples
debitangentes
distinctes desquatre bitangentes
communes ; six bi-tangentes appartenant
à trois de cescouples,
choisis danschaque système respectivement,
ont leurs douzepoints
de contact sur unecubique
et tou-chent une
conique ( ~ ).
Hesse et Steiner ont démontré directement cette pro-position
que nous trouvons ici comme casparticulier
d’un théorèmeplus général.
On saitqu’on peut
grouper lesbitangentes
en 1008hexades jouis-
sant de la
propriété précédente.
5. Soient maintenant deux
systèmes ayànt
sixbitangentes
communes;désignons
par z = o l’une d’elles et par y = o, x = o lesbitangentes
asso-ciées de z dans
chaque système ;
ces deuxbitangentes
sont associées dansun troisième
système qui comprend
les sixbitangentes
dechaque système
non communes à l’autre.
L’équation
de laquartique peut
se mettre sous l’une des trois formesL = 0, :NI = o, ~i = o; l = o, m .- o, n = o
désignant
desconiques.
Onvoit aisément
qu’on
pourradisposer
des facteurs constantsqui figurent
( ~ ) La conique, dans ce cas, peut être une droite double.
dans
L, M,
..., n pour que l’on aitidentiquement
On en déduit
par suite L - M ou L + ~I est divisible par z; on a donc
p, c~, r étant linéaires en x, y, z.
Comme
L, M,
N ne sont déterminésqu’au signe près, puisque L2,
~ ~
figurent
seuls dansl’équation
de laquartique,
onpeut écrire,
sans dimi-nuer la
généralité,
et l’on est conduit à
distinguer
deux cas.Si, d’abord,
onprend
lesigne -
dans N -L,
on écrira pour lasymé- trie,
enchangeant
M en - Met p
en - ~,et, par
suite;
a, ~, v
étant des constantes. On en conclutet, en
appelant
V la valeur commune de ces troisexpressions,
on a pourl’équation
de laquartique
les formesd’où l’on conclut immédiatemenL
La
quartique
est alorset les trois
systèmes
deconiques
déterminés par lescouples
debitangentes
yz, ~x, xy ont
quatre bitangentes
communes, dont les huitpoints
de con-tact sont sur la
conique
V : c’est le cas étudié tout à l’heure.La seconde
hypothèse
estd’où
La relation donne alors de même
on en tire
et, par
suite,
~ étant une fonction linéaire
de x, y,
z.L’équation
de laquartique,
2014
//~
= o~ est alorsOn vérifie aisément que les six
points
de contact des troisbitangentes
.x~, y, z ne sont pas sur une
conique,
par suite lessystèmes
déterminés par lescouples
yz, zx ont sixbitangentes
communes, et leursbitangentes
noncommunes forment un troisième
système auquel appartient
lecouple
xy.Les trois
systèmes
deconiques
inscrites déterminés par lescouples
yâ, zx, xy ont pouréquations, a, ~3,
y étant desparamètres variables,
Les
points
de contact d’uneconique
dupremier système, A,
sont à l’in-tersection des deux
coniques
Or,
si nous considérons la fonction du troisième ordre en x, y, z,la courbe S = o passe par les
points
de contact de laconique
A. et de laquartique, d’après
la forme même de sonéquation.
Si nousdéveloppons,
nous voyons que S est
symétrique
en x, y, .~ ; p, q, ~°; a,~,
y,ne
change
pasquand
onpermute x,
y, z, enpermutant
de la même manièrep, q, r et
a, ~3,
y, et en laissant t invariable. Il en résulte que lacubique
Spasse par les douze
points
de contact desconiques A, B,
C avec laquartique.
Cette
cubique
coupe laconique A,
en outre desquatre points
de contact,en deux nouveaux
points;
comme onpeut
écrirela droite
qui joint
les deux nouveauxpoints
a pouréquation
ou, en
ordonnant,
Elle est
symétrique
en x, y, .~ ; p, q~, r ; a,~,
Y; il en résulte que les sixpoints,
distincts despoints
de contact avec laquartique,
où lacubique S
coupe les
coniques A, B, C,
sont sur une même droite et, parsuite,
lesconiques A, B,
C ont, deux àdeux,
troispoints
d’intersection enligne
droite situés sur la
cubique
S. Cespropriétés
se vérifient directement sur. les
équations
de lacubique
et desconiques.
Si l’ondésigne
par D == o l’é-quation
de la droite dont ils’agit,
par H = o celle de laquartique,
on al’identité
Ces résultats
peuvent
s’énoncer ainsi :Soient deux
coniques
inscrites à unequartique,
etappartenant
à deuxsystèmes différents, qui
ont sixbitangentes
communes. Toutecubique
menée par leurs huit
points
de contact a pour neuvièmepoint fixe
uredes
points
communs aux deuxconiques;
elle coupe de nouveau la quar-L.8
tique
enquatre points qui
sont lespoints
de contact d’une troisième co-nique inscrite, appartenant
ausystème qui comprend
les sixbitangentes
de chacun des deux
premiers,
non communes à l’autre.Inversement,
troisconiques appartenant respectivement
à ces troissystèmes
ont leurs douzepoints
de contact sur unecubique;
cesconiques, prises
deux àdeux,
ont dou~epoints
d’intersection, dont trois sont enlig ne
droite et sont situés sur lacubique précédente.
Chacun des trois
systèmes comprend
sixcouples
debitangentes; mais, d’après
cequi précède,
l’ensemble des sixcouples
se compose seulement de dix-huit droites distinctes. Onpeut répartir
cesbitangentes
en sixtriangles
..., asbs
CG, et choisir les notations des sommets de telle sorte que les douze côtés issus des sommets a forment les sixcouples
du
premier système;
demême,
les sixcouples
issus des sommets b appar- tiendront au secondsystème
et ceux issus des sommets c au troisième. Il résulte du théorèmegénéral précédent
que les deuxbitangentes
issuesd’un sommet a, deux autres issues d’un sommet b et deux autres issues d’un
sommet c, ont leurs douze
points
de contact sur unecubique;
onpeut
lesrépartir
en troiscouples
de telle sorte que les sommets des troiscouples
soient en
ligne
droite. Hesse et Steiner ont montréqu’il
y a hexades de cette sorte.Dans un autre travail nous ferons une
application
des résultatsprécédents
à la surface de Kummer et à d’autres surfaces
remarquables
duquatrième
ordre. ,