Langages formels, calculabilité et complexité TD1
26 septembre 2014
Exercice 1 Récurrence structurelle (base)
Un arbred-aire complet est un arbre enraciné ordonné dont chaque nœud intérieur a éxactementdenfants.
Voici des exemples d’arbres binaires (2-aires) complets :
1. Donner une définition par récurrence structurelle de l’ensemble des arbresd-aires complets.
2. Quels sont les nombres de nœuds possibles d’un arbred-aire complet ? Démontrer par récurrence struc- turelle.
3. Quelles sont les cardinalités des répartitions possibles en feuilles et nœuds intérieurs d’un arbred-aire complet ? Démontrer par récurrence structurelle.
4. Trouver et démontrer par récurrence structurelle une borne inférieure et une borne supérieure sur le nombre de nœuds d’un arbred-aire complet de hauteurh.
Exercice 2 Automates (base)
Trouver des automates finis pour les langages suivants :
1. Les mots sur l’alphabet {a,b}contentant le facteuraabouaaab.
2. Les mots sur l’alphabet {a,b}contentant un nombre pair deaet un nombre impair deb.
3. Les mots sur l’alphabet {a}dont la longueur est un multiple de 3.
4. Pour toutd∈N, les mots sur l’alphabet {a}dont la longueur est un multiple ded.
5. Les représentations binaires des entiers positifs pairs.
6. Pour toutd∈N, les représentations binaires des entiers positifs qui sont multiples ded.
7. Pour toutc,d∈N, les représentations binaires des entiers positifs ayant la formec+k·daveck∈N.
Exercice 3 Mots (avancé)
Deux motsvetwsont dits conjugués s’il existexet ytels quev=x yetw=yx.
1. Montrer que cette relation est une relation d’équivalence.
2. Soientxet ynon-vide. Montrer l’équivalence de :
1
a)x y=yx
b) Il existek,l∈Ntels quexk=yl.
c) Il existe un motzetk,l∈Ntels quex=zkety=zl.
Exercice 4 Mots infinis périodiques (avancé)
Un mot infiniwsur un alphabetΣest une série infinie (wn)n≥0d’éléments deΣ. Le motwest périodique s’il existe un entier strictement positifptel quewn+p=wn pour toutn≥0. Dans ce cas,pest une période dew.
1. Soientpetqdeux périodes d’un mot infini périodiquew. Montrer que pgcd(p,q) est une période dew.
En particulier, l’ensemble des périodes dewest de la formep0·Noù p0est sa période minimale.
Un mot infini west ultimement périodique s’il existe un entier strictement positif pet un entier positif Np tel quewn+p=wn pour toutn≥Np. Dans ce cas, pest une période ultime dewet Np une prépériode dew correspondante àp.
2. Soient pet qdeux périodes ultimes d’un mot infini ultimement périodiquew. Montrer que pgcd(p,q) est une période ultime dew.
3. Montrer que l’ensemble des prépériodes d’un motwest independant de la période ultimep.
Un mot infiniwest uniformément récurrent si pour tout facteur finivil existe un entier positifnvtel quevest un facteur de tout facteur dewde longeurnv. Autrement dit, tout facteur est uniformément contenu dansw.
4. Montrer que tout mot périodique est uniformément récurrent. Un mot ultimement périodique est-il nécessairement uniformément récurrent ?
Le mot de Thue-Morseτest defini par la récurrenceτ0=0,τ2n=τn etτ2n+1=1−τn. Il est donc un mot sur l’alphabet {0, 1}. On aτn=0 si et seulement si le nombre de 1 dans la répresentation binaire denest pair.
5. Montrer que le mot de Thue-Morse est uniformément récurrent.
6. Montrer que le mot de Thue-Morse n’est pas ultimement périodique.
2
