Mini projet d’Analyse numérique : Minimisation de fonctions non-linéaires
en traitement du signal et de l’image sujet proposé par A. Chambolle antonin.chambolle@polytechnique.fr
1 Segmentation et régularisation de signaux
On s’intéresse à des problèmes de régularisation de signaux ou d’images. L’idée est qu’on dispose d’un signalg(x)qui est l’observation d’un signal (ou des niveaux de gris d’une image)u(x), plus un bruitn(x)qui est supposé être un signal très oscillant.
On suppose que n(x)est un bruit stationnaire de moyenne nulle, dont on connaît la varianceσ2. En première approximation, on peut supposer que sur notre domaine Ω, on a R
Ωn(x)2dx=|Ω|σ2, par conséquent la fonctionuinconnue doit vérifier Z
Ω
(u(x)−g(x))2dx = σ2|Ω|. (1) Evidemment cette information est largement insuffisante pour retrouver uparmi l’infinité de fonctions qui vérifient (1). On doit donc faire des hypothèses supplémen- taires sur u (dites hypothèses “a priori”, c’est-à-dire, dépendant du type de signal observé et non de l’observation donnéeg).
2 En dimension 1
1. Commençons par étudier le problème de régularisation d’un signal 1D. On suppose que la classe de signauxuqui nous intéresse est régulière mais que des discontinuités sont possibles (cette hypothèse est surtout pertinente pour les images 2D, pourquoi) ? On suppose que notre signal est un vecteur(ui)Ni=1 deN échantillons aux pointsi, i= 1, . . . , N, et on introduit une variable “fictive” vi+1
2 ∈ {0,1},i= 1, . . . , N−1, qui indique si oui (vi+1
2 = 0) ou non (vi+1
2 = 1), le signal est discontinu entre iet i+ 1.
Lorsque le signal est continu on suppose que la différence|ui+1−ui|2 doit être petite.
Et on introduit aussi une pénalitéψ(v)(ψ(1) = 0,ψ(0) = 1) pour les discontinuités.
Au final,(u, v)doit minimiser
E(u, v) =
N−1
X
i=1
αvi+1
2|ui+1−ui|2+βψ(vi+1 2),
oùα, β >0sont des paramètres donnés. Et comme rien n’est tout blanc ou tout noir, et que surtout il n’est pas évident de définir proprement sur un signal discret ce qu’est une discontinuité, on va admettre que la variablevi+1
2 puisse prendre des valeurs dans tout l’intervalle[0,1], voireR+, et admettre desψun peu plus générales (mais toujours décroissantes, positives).
1
1.a On va considérer les cas suivant
ψ(v) = 1−v (v∈[0,1]) (2)
ψ(v) = v−1−lnv (v∈[0,1]) (3)
ψ(v) = 1
v (v >0) (4)
Dans chaque cas, calculerF(u) := minvE(u, v). Cette fonction est-elle convexe ? 1.b Dans le dernier cas (4), ceminest en réalité uninf (pourquoi ?) Comme dans la méthode numérique on aura besoin d’avoir un “vrai” minimum, on introduit un petit paramètre ε > 0 et on remplace v > 0 par la contrainte v ≥ ε. Que devient alors l’énergieF(u) = minv≥εE(u, v)?
2. Pour simplifier, au lieu de la contrainte (1), on va chercher un minimiseur de l’énergie globale
G(u, v) = E(u, v) + λ
N
X
i=1
|ui−gi|2 (5) oùλ >0 est un multiplicateur de Lagrange pour la contrainte (dont on admet l’exis- tence...)
Quelles sont les dérivées deGpar rapport aux variablesui?vi+1
2? Quelle équation doit vérifier un minimiseur ?
Dans le cas (4) avec la contraintev≥ε, vérifier que la condition est aussi suffisante.
Que peut-on dire dans les deux autres cas ?
3. Imaginer une stratégie pour calculer un minimiseur (ou au moins, essayer) de (5), avec Scilab. Comparer les solutions des trois méthodes pour différents choix deg. (On choisira des signaux de diverses régularités, avec éventuellement des discontinuités, et un bruit Gaussien aléatoire plus ou moins important, on utilisera pour cela la fonction rand(.,’normal’).)
4. Quel serait l’équivalent continu de l’énergie H: u 7→ min
v G(u, v)
dans chacun des trois cas ? Cette énergie est-elle convexe ? Admet-elle un minimum ? Que peut-on dire dans le cas (4), si l’on remplace la contraintev≥εparε≤v≤1/ε?
3 Le cas bidimensionnel
Dans le cas bidimensionnel, on ne va s’intéresser qu’au cas (4). On se donne un domaineΩ, une triangulation et on suppose queuest une discrétisation d’une fonction dans un espace de type P1, etvdans un espace de type P0. On regarde donc le problème
minu,v
Z
Ω
αv|∇u|2+β
vdx +λ Z
Ω
|u−g|2dx (6)
2
avec à nouveau une contrainte0< ε≤v≤1/ε.
1. Quel est le problème “continu” équivalent ? Montrer qu’à v fixé, le problème de minimisation enu est bien posé, et de même à ufixé, pour le problème en v. (Que sait-on dire du problème global ? En particulier, que peut-on dire d’un couple(u, v) où chaque variable serait minimiseur, l’autre étant fixée ?)
2. Implémenter ce problème avec FreeFem++, par minimisations alternées. Essayer différentsg, dont des gdiscontinus : qu’observe-t-on ?
3. On aimerait traiter le cas ε = 0. Dans ce cas, si on minimise par rapport à la variablev, le problème (6) devient
minu µ Z
Ω
|∇u|dx + λ Z
Ω
|u−g|2dx (7)
pour une constante µ que l’on déterminera, et le min est pris sur les fonctions u dans l’espace d’éléments finis P1. Pour minimiser ce problème une méthode assez efficace, dérivée de l’algorithme d’Uzawa, est la “méthode de directions alternées avec multiplicateur” (ADMM = “alternating direction method of multiplier”) qui est une méthode dite de Lagrangien augmenté : on écrit le problème
minu,p sup
q
µ Z
Ω
|p|dx + Z
Ω
q·(∇u−p)dx + α
2|∇u−p|2dx + λ Z
Ω
|u−g|2dx (8) où p, q sont des variables auxilaires dans l’espace d’éléments finis P0. Montrer (en calculant explicitement le sup surq) que ce problème est bien équivalent à (7).
4. La minimisation de (8) par rapport à la variable pest explicite, à condition de savoir résoudre des problèmes de la forme
min
y∈Rd
τ|y| + |x−y|2
2 (9)
oùx∈Rd, d≥1 (en pratique on aurad= 2). Montrer qu’une formule possible pour la solution de (9) est :
y = x− 1
max{|x|/τ,1}x . (10)
5. La méthode consiste alors à alterner les trois étapes suivante : – minimisation par rapport àu(que l’on écrira en FreeFem++),
– minimisation par rapport àp(qui est donnée par la formule explicite (10) qu’on implémentera également),
– mise à jour du multiplicateur :q←q+α(∇u−p).
(Eckstein, Bertsekas 1992). Comparer les résulats avec la méthode précédente. On pourra raffiner le maillage avec “adaptmesh” le long des discontinuités (quand observe- t-on des discontinuités ?)
5. Quel est l’intérêt de cette méthode en restauration d’images ?
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