1 Probabilités conditionnelles feuille n°1
A : Introduction : quelques rappels utiles 1. Vocabulaire des événements
Soit un ensemble (lire oméga) appelé univers, ensemble de toutes les possibilités, de toutes les éventualités.
▪ Expérience aléatoire : Une expérience aléatoire (on dit aussi: une épreuve) est une expérience dont le résultat dépend du hasard. Exemple : Le jeu de pile ou face; le tirage du loto ...
▪ Éventualité : Les éventualités (ou: les issues) d'une expérience aléatoire sont les résultats possibles de cette expérience Au jeu de pile ou face, il y a deux éventualités: pile et face.
▪ Univers : L'univers d'une expérience aléatoire est l'ensemble des éventualités de cette expérience.
La notation classique de l'univers est.
▪ Événement : Un événement est une partie (un sous-ensemble) de l'univers.
Soit l’expérience aléatoire : Un lancer de dé à six faces, les faces étant numérotées de 1 à 6.
Dans ce cas l'univers est: = {1, 2, 3, 4, 5,6}.
L'événement A = {2, 4,6}, est décrit par la phrase: « le résultat du lancer est un nombre pair ».
▪ Événement élémentaire : On appelle événement élémentaire tout événement contenant une seule éventualité.
▪ Réalisation d'un événement : On dit que l'événement A est réalisé lorsque le résultat de l'expérience appartient à A.
▪ Événement certain, événement impossible : L'événement certain est l'événement toujours réalisé:
l'univers. L'événement impossible est l'événement jamais réalisé: l'ensemble vide.
2. Opérations sur les événements
Soit 1'univers d'une expérience aléatoire.
Définition (A et B)
Soient A et B des événements. L'événement
AB
est l'événement « A et B ». ABest réalisé uniquement quand A et B sont tous deux réalisés.
Définition (A ou B)
Soient A et B des événements. L'événement
AB est l'événement « A ou B ».
ABest réalisé quand A seul est réalisé, ou quand B seul est réalisé, ou quand A et B sont réalisés tous les deux.
Définition (Événement contraire) Soit A un événement.
L'événement A est l'événement contraire de l'événement A.
A est réalisé quand A n'est pas réalisé.
On remarque que A = A et A = A . Définition . (Événements incompatibles) Soient A et B des événements.
On dit que A et B sont incompatibles lorsqu'ils ne peuvent être réalisés en même temps;
autrement dit: A et B sont incompatibles si A = B .
2 3. Probabilité
▪ Dans le cas où les issues d’une expérience aléatoire sont équiprobables, la probabilité d’un événement A composé de k éventualités se calcule de la manière suivante :
( ) '
'
nombre d élément de A nombre de cas favorables k p A =nombre d élément de E = nombre de cas possibles = n
▪ A étant un évènement, les issues qui réalisent l’événement A sont celles qui ne réalisent pas A.
Comme p(A) + p (A) = 1 alors on a p(A) =1 - p (A).
▪ A et B deux événements d’un même univers :
➔ Les issues qui réalisent l’événement A B sont celles qui réalisent A et B.
➔ Les issues qui réalisent l’événement A B sont celles qui réalisent A ou B.
▪ A et B deux événements d’un même univers, on a, p A( B)=p A( )+p B( )−p A( B) Si A et B sont incompatibles cela signifie queA = B et donc p (A B) = p(A) + p(B)
▪ Une probabilité P sur associe à chaque événement une valeur numérique qui mesure la chance qu'a cet événement d'être réalisé. P vérifie toujours toutes les conditions suivantes :
➔ Pour tout événement A de 0P A( ) 1 .
➔ P( ) 1 = .
➔ P( ) =0.
➔ (Additivité) Si A et B sont deux événements incompatibles, alors : P A( B)=P A( )+P B( ) Fichiers Géogébra :
1- Diagramme de venn 2- Evénements incompatibles Exemple1 :
On lance un dé truqué. La loi de probabilité de la variable aléatoire X donnant le numéro de la face obtenue est
xi 1 2 3 4 5 6
p(X = x
i) = p
i 1 8
1 8
1 4
1 8
1 4
1 8
1/Soit A l’événement « obtenir un nombre pair » et B =
5 alors ( ) ( ) ( ) 3 1 58 4 8
p AB = p A +p B = + = 3 5
( ) 1 ( ) 1
8 8 p A = −p A = − =
2/avec A l’événement « obtenir un nombre pair » et B l’événement « obtenir un multiple de 3 » On a : ( ) 3
p A =8 ; ( ) (3) (6) 1 1 3 4 8 8
p B = p + p = + = ; ( ) (6) 1
p AB = p =8, alors 3 3 1 5
( ) ( ) ( ) ( )
8 8 8 8 p AB = p A + p B −p AB = + − = . Exemple2:
Une urne contient 100 jetons (de différentes formes et couleurs) est telle qu’en choisissant un jeton au hasard :
• La probabilité de choisir un jeton blanc (événement B) vaille 0,3 ;
• La probabilité de choisir un jeton rectangulaire (événement R) vaille 0,7 ;
• La probabilité de choisir un jeton blanc ou rectangulaire vaille 0,9 ; Calculer p(BR) et en déduire le nombre de jetons blancs et rectangulaire.
3
A partir de ces rappels, faire ATTENTION de bien analyser les énoncés de probabilité :
« avec remise » ou sans remise » : lors de plusieurs tirages d’une boule dans une urne, le problème est complètement différent selon que la boule tirée est remise dans l’urne ou non…
Lors du calcul d’une probabilité, bien vérifier l’ensemble de référence (univers) précisé dans
l’énoncé. Si rien n’est indiqué, cela signifie que l’on se place dans le cas le plus général…
4
F F
TotauxA
10 7 17A 4 9 13
Totaux 14 16 30
B- Probabilités conditionnelles 1- Étude d'exemples.
Exemple 1
On considère l'univers n formé des trente élèves de la classe de Terminale ES1.
L'expérience aléatoire consiste à choisir un élève au hasard dans cette classe.
On considère les deux événements suivants :
A : « l'élève choisi fait de l'allemand en LV1 » A est l'événement contraire.
F : «l'élève choisi est une fille » F est l'événement contraire.
Chacun de ces deux caractères partage n en deux parties : A et 𝐴 ainsi que F et 𝐹 On obtient le tableau des effectifs suivants :
F 𝐹 Totaux
A 10 7 17
𝐴 4 9 13
Totaux 14 16 30
Chaque élève a exactement la même chance d'être choisi. Nous sommes donc en situation d'équiprobabilité
- La probabilité que l'élève choisi fasse de l'allemand est donnée par : p(A)=
𝑁𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠𝑁𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠
=
1730
- La probabilité que l'élève choisi soit une fille est donnée par p(B)=
𝑁𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠𝑁𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠
=
1430
Maintenant, On choisit au hasard un élève qui fait allemand en LV1.
Calculer la probabilité que ce soit une fille.
On change d'univers : Le nouvel univers est A. L'élève choisi est donc dans A∩F
« On choisit un élève qui fait allemand en LV1 », la probabilité que cet élève soit une fille, notée p
A(F), est donnée par :
p
A(F) =
𝑁𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠𝑁𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠
=
1017On peut encore écrire : P
A(F) =
𝑝(𝐴∩𝐹) 𝑝(𝐹)5
Exemple 2
Dans une classe de 36 élèves, 23 élèves ont 18 ans, 29 élèves sont des filles et 17 filles ont 18 ans. On choisit au hasard un élève de la classe. On s’intéresse aux événements suivants : A « l’élève est une fille » , B « l’élève a 18 ans », l’événement « l’élève est une fille de 18 ans » est noté
AB:
( ) 29
P A =36
;
( ) 23P B =36
;
( ) 17 P AB =36Mais si on sait que l’élève est une fille, l’ensemble de référence change : la probabilité que l’élève ait 18 ans sachant que c’est une fille, est alors :
18 17
29 nombre de filles de ans
nombretotal de filles =
On remarque alors que :
( ) ( ) 17 / 36 17 ( ) 29 / 36 29A
P A B
P B
P A
= = =
2- Définition.
Si
p A( )0respectivement
p B( )0, la probabilité conditionnelle de l’événement B sachant que l’événement A est réalisé, notée
p BA( )ou
p B A( / ), est définie par :
( ) ( / ) ( )
A ( )
p A B p B p B A
p A
= =
La probabilité conditionnelle de l’événement A sachant que l’événement B est réalisé, notée
B( )
p A
ou
p A B( / ), est définie par :
( )
( ) ( / )
B ( )
p A B p A p A B
p B
= =
Ou
p A( B)= p A B( / )p B( )= p B A( / )p A( )Attention p
A
(B) est différent de p(B) en général
En effet, dans cette définition, « l'univers est restreint à B ».
-L'ensemble de toutes les issues possibles est égal à B
-L'ensemble de toutes les issues favorables est égal à A∩B
Conséquence très importante : (en écrivant l'égalité des produits en croix) : Pour tous événements A et B de tels que P (B) ≠0 ,
on obtient la formule des probabilités composées :
p A( B)= p A B( / )p B( )= p B A( / )p A( )
6
3- Arbre pondéré - Tableau à double entrée.
3.1-Arbre de probabilité conditionnelle
On traduit souvent la situation sous la forme d’un arbre de probabilité Conditionnelle.
La première branche est pondérée par
P A( )et
P A( )La deuxième branche est pondérée par les probabilités conditionnelles
Règles de construction et d'utilisation des arbres pondérés
•
Le cheminement sur un arbre se fait de gauche à droite.
•
Les lettres placées aux nœuds de l'arbre représentent des événements
•
La racine de l'arbre correspond à l’univers.
•
Chaque branche reliant 2 nœuds successifs A → B est affectée de la probabilité de passer de A à B
C’est à dire
pA( )Bla probabilité conditionnelle de B sachant A.
•
" Loi des nœuds": La somme des probabilités
affectées aux branches issues d'un même nœud est égale à 1.
•
A chaque nœud N correspond l'intersection des événements associés aux nœuds du chemin reliant le nœud N à la racine.
•
La probabilité d'un événement qui correspond à plusieurs chemins de l'arbre à partir de la racine est la somme des probabilités correspondant à chacun de ces chemins.
Exemple
Une urne contient 3 boules rouges 2 boules vertes et 2 boule bleu.
On tire successivement deux boules sans remise. On s’intéresse à la probabilité de l’événement « On obtient exactement une boule rouge »
Arbre pondéré : Notre expérience aléatoire peut être modélisée par un arbre pondéré : Sur chaque branche on indique les probabilités : Sur la branche
• →R1on place la probabilité
( 1) 3P R =7
Sur la branche
R1→R2on place la probabilité d’avoir une boule rouge au deuxième tirage sachant qu’on a déjà eu une rouge au premier (l’urne est différente)
Calcul de :
1( 2) P RR
:
1 2
2 1 ( )
6 3 PR R = =
Le chemin
• →R1→R2correspond à l’événement R
1
et R
2
c’est à dire R
1
∩ R
2
. Calcul de
P R( 1R2):
1 2 1 1 2
3 1 1
( ) ( ) ( )
7 3 7 P R R =P R PR R = =
A
A
B
B B
B
A B
A B
A B
A B
RACINE
NOEUD BRANCHE PRIMAIRE
BRANCHE SECONDAIRE TRAJET
R1
R2 V2
B2 R2 V2 B2 V1
B1
R2 V2 B2
7
3.2- Représentation par un tableau croisé
3.3- probabilité de l’intersection des événements A et B : A B
Des deux égalités précédentes, on déduit :
• P A( =B) P AB( )P B( )si
P B( )0• P A( =B) P BA( )P A( )
si
P A( )0. 3.4-Probabilité de l’événement contraire
• P AB( )+P AB( ) 1=
ou encore
PB( )A = −1 PB( )A•
De même,
P BA( )+P BA( ) 1=ou encore
P BA( )= −1 P BA( )•
De même,
P BA( )+P BA( ) 1=ou encore
P BA( )= −1 P BA( )3.5-Arbre de probabilité : Il permet de visualiser les données et de calculer des probabilités.
Règles à retenir
•
La somme des probabilités partant d’un même nœud vaut toujours 1
•
Un chemin A
→B correspond à l’évènement A∩B, sa probabilité se calcul en multipliant les probabilités rencontrées sur le chemin
•
Ne pas confondre p
A
(B) et p(A∩B)
A
ATotal
B
P AB( ) P AB( )1
B P AB( ) P AB( )
1
A
AB
P BA( ) P BA( ) B P BA( ) P BA( )Total 1 1
A
ATotal
B
P A( B) P A( B) P B( ) B P A( B) P A( B) P B( )Total
P A( ) P A( )1
•
Représentation par un tableau croisé
Chemin Probabilité
A B
P A( =B) P AB( )P B( )AB P A( B)=P AB( )P B( ) AB P A( B)=P AB( )P B( )
AB P A( B)=P AB( )P B( ) B
B
A
A P( B )
P ( A )
A A
P( B )
B
P ( A ) B P ( A )
P ( A ) B
B
...
...
...
...
8
4- Formule des probabilités totales.
a) Définition et propriété préliminaire : Soient les événements B , B
1
, B
2
et B
3
et B
4
qui vérifient
•
B = B
1
B
2
B
3
B
4
•
B
i
et B
j
incompatibles c’est à dire
BiBj = pour
i j. On dit alors que B
1
, B
2
, B
3
et B
4
forment une partition de B.
Dans ces conditions
p B( )= p B( )1 + p B( 2)+p B( 3)+ p B( 4)b) . Formule des probabilités totales admise
Si l’univers Ω est la réunion de quatre événements B
1
, B
2
, B
3
et B
4
deux à deux incompatibles et A étant un événement. On a :
1 2 3 4
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
p A = p AB + p AB + p AB + p AB
;
1 2 3 4
( ) ( ) A( ) ( ) A( ) ( ) A( ) ( ) A( ) p A = p A p B +p A p B +p A p B +p A p B
Cas général
est l’ensemble des évènements élémentaires d’une expérience aléatoire.
A
1, A
2, …, A
ndésignent des sous-ensembles de.
Dire que A
1, A
2, …, A
nforment une partition de signifie que les A
isont deux à deux disjoints et que A
1A
2…
A
n=. .
Propriété : Formule des probabilités totales (admis) A
1, A
2, …, A
nforment une partition de.
Alors la probabilité d’un événement quelconque A est donné par :
1 2
( ) ( ) ( ) ... ( n)
p A = p AB + p AB + + p AB
C’est à dire, lorsque P(B
i) 0 pour tout i :
1 2
( ) ( ) A( ) ( ) A( ) .... ( ) A( n)
p A = p A p B + p A p B + + p A p B
Exercices : Feuilles n° : 1- 2 – 3 - 4
B
1 B
2 B1
B
A 3
4
n =4
9
c) Rappels sur la loi binomiale
1- Epreuve de Bernoulli et loi de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire ayant deux issues, l’une appelée « succès » notée S de probabilité p et l’autre appelée « échec » noté. 𝑺 de probabilité q = 1 − p.
On note X la variable aléatoire comptant le nombre de succès. X ne prend que les valeurs 0 et 1
Le tableau donnant la loi de probabilité de X est appelé loi de Bernoulli de paramètre p.
issue K 𝑺 S
p(X=K) 1-p p
issue K 0 1
p(X=K) 1-p p
Cette loi de probabilité est appelé loi de Bernoulli de paramètre p.
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi de Bernoulli est telle que :
son espérance mathématique est E(X) = p et sa variance V(X) = p.(1-p) 2- Schéma de Bernoulli et loi binomiale
La répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes (l’issue obtenue lors d’une épreuve ne dépend pas des issues obtenues lors des autres épreuves)
s’appelle un schéma de Bernoulli.
a- EXEMPLES
Exemple 1 :On répète 3 fois une épreuve de Bernoulli successivement et de façon indépendante.
La probabilité du succès est p(S) = p, la probabilité de l’échec est p(S) = 1 − p = q.
10
L’expérience comporte huit issues, chacune de ces issues pouvant être schématisée à l’aide d’un mot de trois lettres :
{S S S ; S S 𝑆 ; S 𝑆 S ; S 𝑆 𝑆 ; 𝑆 S S ; 𝑆 S 𝑆 ; 𝑆 𝑆 S ; 𝑆 𝑆 𝑆 } Fichier Géogébra : Arbre de la loi binomiale
Exemple 2:
On lance trois fois de suite un dé bien équilibré et on note X la variable aléatoire comptant le nombre de fois où on a obtenu 1.
X suit la loi ………..
Arbre pondéré Tableau de la loi de probabilité
k
p(X=k)
11
b- COEFFICIENTS BINOMIAUX
Soit n un entier naturel non nul et k un entier compris entre 0 et n.
On répète successivement n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
On appelle coefficient binomial et on note (
𝑛𝑘) le nombre de chemins réalisant k succès parmi n épreuves de Bernoulli répétées.
On définit d’autre part (
00) = 1
Dans l’exemple précédent, il y a (
32) = 3 chemins pour lesquels il y a deux succès Utilisation de la calculatrice sur un exemple à adapter : Pour calculer
Pour calculer (
83)
8 nCr 3 56 Pour obtenir nCr, touche math-menu-PRB.
56 issues réalisent 3 succès parmi 8 épreuves de Bernoulli 3- LOI BINOMIALE
a- Définition :
Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de succès obtenus dans un schéma de Bernoulli à n épreuves où la probabilité du succès de chaque épreuve est p.
La loi de probabilité de la variable aléatoire X est appelée loi binomiale de paramètres n et p. Cette loi est notée B (n; p). Elle est définie par :
p(x = k) = (
𝑛𝑘)p
k(1-p)
n – kpour tout entier k tel que 0 ≤ k ≤ n
Preuve :
Il y a (
𝑛𝑘) issues réalisant l’événement (X= k) et chacune de ces issues a pour probabilité p
k(1-p)
n –k(puisque parmi les branches de l’arbre menant à cette issue, il y en a k pondérées par p et (n-k) pondérées par(1-p) .Donc p(x = k) = (
𝑛𝑘)p
k(1-p)
n – kExemple : On joue 5 fois de suite à un jeu pour lequel la probabilité de gagner vaut 0,4.Quelle est la probabilité de gagner exactement 2
fois ?...
Remarque
L’évènement « obtenir au moins un succès » est l’évènement contraire de l’évènement F
«obtenir n échecs consécutifs » d’où
p(X ≥ 1) = 1 −p(X = 0) = 1 −(1 − p)
n12
EXEMPLE
La loi de probabilité de la loi binomiale B (4; p) de paramètres 4 et p (avec q = 1 − p) est :
b- Propriété :
Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres n et p, alors : E(X) = n.p et V(x) = n.p.(1-p)= npq où q = 1-p
k 0 1 2 3 4
p(x=k) q
44.p.q
36.p².q² 4.p
3.q P
413 Calculatrice
Si une variable aléatoire suit la loi binomiale de paramètres n (nombre d’épreuves indépendantes répétées) et p (probabilité d’obtenir un succès), pour calculer p(X = k) avec la calculatrice, on procède de la manière suivante:
▪ MENU puis sélectionner STAT
▪ Ensuite touche F5 pour DIST
▪ Puis F5pour BINM
▪ Bpd pour calculer p(X = k) et Bcd pour calculer p(X ≤ k)
▪ Saisir Les paramètres DATA :
Variable si on ne veut calculer que pour une valeur de k, ou bien LIST si on veut faire le calcul pour les valeurs de k saisies au préalable dans une liste.
Exemple 1 :
X suit la loi binomiale B(10; 0, 2).
Calculer p(X = 3),
p(X = 3) 0,2
Exemple
Calcul avec une liste
X suit la loi binomiale B(20; 0, 4).
Calculer p(X ≤ 2), p(X ≤ 3), p(X ≤ 5) puis p(X ≤ 6) On peut utiliser la liste1 pour saisir les valeurs de k puis la fonction Bcd et sauvegarder les résultats dans
La liste 2
On a alors :
p(X ≤ 2) 0; 0036 p(X ≤ 3) 0; 016 p(X≤ 5) 0; 13 et p(X ≤ 6) 0; 25
AP : Méthodologie Probabilités conditionnelles
Méthode 1: Comment calculer une probabilité conditionnelle ? On considère deux événements A et B.
•On traduit en termes de probabilités les données de l'énoncé.
L'énoncé donne P A( B)et P A( ) ou P A( B) etP B( ).
•On calcule la probabilité P BA( ) ou P AB( ) cherchée en appliquant la formule :
( ) ( )
A ( )
P A B
P B P A
= ou ( ) ( )
B ( )
P A B P A
P B
=
Exemple:
Dans un lycée, 80 % des élèves partent à la mer en été et 28 % partent à la mer en été et à la montagne en hiver.
On interroge un élève au hasard et on appelle E l'événement : « il part à la mer en été » et H l'événement : « il part à la montagne en hiver »
Calculer la probabilité que l'élève interrogé parte en hiver à la montagne, sachant qu'il part en été à la mer.
• L'énoncé donne: P E( H) 0,28= etP E( )=0,80.
• La probabilité que l’élève parte en hiver à la montagne, sachant qu’il part en été à la mer est : ( ) ( ) 0, 28 0,35
( ) 0,80
E
P E H
P H P E
= = = .
Méthode 2: Comment calculer la probabilité de l'intersection de deux événements avec une probabilité conditionnelle ?
On considère deux événements A et B.
•On traduit en termes de probabilités les données de l'énoncé.
L'énoncé donne P BA( ) et P A( )ou P AB( ) et P B( ).
•On calcule la probabilité P A( B)cherchée en appliquant la formule : P A( =B) P AB( )P B( ) ou P A( =B) P BA( )P A( ).
Exemple: Une urne contient des boules indiscernables au toucher. 60 % des boules sont blanches, et parmi elles, 25 % portent un numéro. On prélève au hasard une boule de l'urne et on appelle
B l'événement :« la boule prélevée est blanche »et N: « la boule prélevée porte un numéro ».
Calculer la probabilité que la boule prélevée soit blanche et porte un numéro.
L'énoncé donne: P B( ) 0,6= et P NB( ) 0, 25= .
La probabilité que la boule prélevée soit blanche et porte un numéro est : P B( N)=P NB( )P B( ) 0,6 0, 25 0,15= = .
Méthode 3 : Comment construire un arbre de probabilité ?
On identifie les événements A, B et C (ou A,A et C) .On traduit en termes de probabilités les données de l’énoncé, puis on représente la situation par un arbre :
•Du premier nœud de l'arbre part deux branches. À l'extrémité des deux branches on note les deux
événements A et B (ou A et A ) considérés et sur une des branches la probabilité correspondante donnée dans l’énonce ;
•des seconds nœuds de l'arbre partent deux branches. À l'extrémité des deux branches de chaque nœud , on note l'événement C, l'événement Ccontraire de C et sur l'une des branches la probabilité conditionnelle donnée dans l'énoncé.
•On complète l'arbre, en utilisant la propriété suivante: pour les branches issues d'un même nœud, la somme des probabilités est égale à 1.
Exemple: Un entrepreneur fabrique des pièces détachées grâce à deux machines MA et MB. MA fournit 45% de la production totale; MA et MB produisent respectivement 2% et 3 % de pièces défectueuses.
On prend au hasard une pièce. Soit les événements A: « la pièce provient de MA », B : « la pièce provient de MB » et D : « la pièce est défectueuse ».
Représenter cette situation par un arbre.
•L'énoncé donne:
P(A) = 0,45 et P DA( )=0,02 etP DB( )=0,03
•On représente la situation par un arbre:
•du premier nœud de l'arbre part deux branches:
à l'extrémité des deux branches on note les deux événements A et B et sur la première branche la probabilité de
L’événement A; on en déduit. par soustraction la probabilité de l'événement B : ( ) 1 ( ) 1 0,45 0,55
P B = −P A = − =
•De chaque second nœud de l’arbre partent deux branches: à l’extrémité des deux branches de chaque nœud , on note les événements D et D et sur la première branche de chaque nœud la probabilité conditionnelle.
P DA( )=0,02et P DB( )=0,03; on en déduit par sous- traction les probabilités conditionnelles : ( ) 1 ( ) 1 0,02 0,98
A A
P D = −P D = − = et P DB( ) 1= −P DB( ) 1 0,03 0,97= − =
Méthode 4 : Comment calculer la probabilité d'un événement à l'aide d'un arbre ?
•On représente la situation par un arbre (voir méthode 4).
•On calcule la probabilité de chaque chemin conduisant à l'événement cherché, en effectuant le produit des probabilités de ses branches
•On calcule la probabilité cherchée, en effectuant la somme des probabilités des chemins qui y aboutissent.
Exemple: Une expérience aléatoire est représentée par l'arbre de probabilité ci-dessous.
Calculer ( )P D .
Il y a deux chemins qui conduisent à l'événement D : AD et BD.
P A( D)=P A( )P DA( ) 0,45 0,98 0,441= = P B( D)=P B( )P DB( ) 0,55 0,97 0,5335= =
( )P D =P A( D)+P B( D) 0,441 0,5335 0,9745= + =
A
B
D
D 0,45
0,02
D D
0,55
0,98
0,97
...
...
...
...
0,03
A
B
D
D P( A )=0,45
P ( D )=0,02
D D
P( B)=0,55
A
P ( D )=0,98A
P ( D )=0,03
P ( D )=0,97 B
B
...
...
...
...
5- Exercices d’application Exercice1
Dans une usine d’automobiles, trois chaînes « a », « b » et « c » fournissent respectivement 25%, 35% et 40%
de la production de moteurs. Certains de ces moteurs sont écartés comme défectueux, dans les proportions suivantes : 5% pour la chaîne « a », 4% pour la chaîne « b » et 1% pour la chaîne « c ».
On prend un moteur au hasard et on définit les évènements suivants :
A : « Le moteur est issu de la chaîne « a » » ; B : « Le moteur est issu de la chaîne « b » » ; C : « Le moteur est issu de la chaîne « c » » ; D : « Le moteur est défectueux ».
Les résultats sont donnés à 10-4 près.
1. Traduire les données de l’énoncé en utilisant les notations des probabilités et tracer un arbre pondéré illustrant la situation
2. Calculer P(D).
3. Quelle est la probabilité qu’un moteur sorte de la chaîne « a » sachant qu’il est défectueux ?
4. Calculer la probabilité qu’un moteur sorte de la chaîne « c » sachant qu’il n’est pas défectueux ?
Solution :
1. Les renseignements donnés par le texte sont les suivants :
P(A) = 0,25 ; P(B) = 0,35 ; P(C) = 0,4 ; PA(D) = 0,05 ; PB(D) = 0,04 ; PC(D) = 0,01.
2. Utilisons la formule des probabilités totales pour calculer P(D) :
P(D) = P(D ∩A) + P(D B) + P(D C) = P(A) PA(D) + P(B) PB(D) + P(C) PC(D) = 0,25 0,05 + 0,35 0,04 + 0,4 0,01 = 0,0125 + 0,014 + 0,0004 . P(D) = 0,0305.
Exercice2 :
Un test d’une maladie est effectué sur la totalité d’une population.
Une étude statistique établit que 70 % de la population réagit négativement au test (événement N ) , 20 % réagit faiblement au test (événement F ) et 10 % réagit fortement au test ( événement R ) . La probabilité pour une personne de cette population d’être atteinte de la maladie (événement M ) est :
• 0,9 lorsque le test est fortement positif
• 0,6 lorsque le test est faiblement positif 0,05 lorsque le test est négatif
Par hypothèse, on a donc :
P ( R ) = 0,1 , P ( F ) = 0,2 , P ( N ) = 0,7 , PR(M) = 0,9 ,
PF(M) = 0,6 et PN(M) = 0,05
Les événements R , F et N constituent une partition de la population.
D’après la formule des probabilités totales, on en déduit que : P ( M ) = PR(M) P ( R ) + PF(M) P ( F ) + PN(M) P ( N ) = 0,9 0,1 + 0,6 0,2 + 0,05 0,7 = 0,245
La probabilité pour qu’une personne de cette population soit atteinte de la maladie est donc égale à 0,245.
A B C
D D
D D D 0,35 D
0,25
0,4
0,05 0,04 0,01
R F N
M M
M M M M
6- Exercices d’entraînements
Exercice 1-
La médiathèque d'une université possède des DVD de deux provenances, les DVD reçus en dotation et les DVD achetés. Par ailleurs, on distingue les DVD qui sont de production européenne et les autres. On choisit au hasard un de ces DVD. On note :
D l'évènement « le DVD a été reçu en dotation » etD l'évènement contraire,
U l'évènement « le DVD est de production européenne » etUl'évènement contraire.
On modélise cette situation aléatoire par l'arbre incomplet suivant dans lequel figurent quelques probabilités : Par exemple, la probabilité que le DVD ait été reçu en dotation est p D( )=0, 25
On donne, de plus, la probabilité de l'évènement U : p U( )=0, 7625. 1.a. Donner la probabilité de U sachant D
b. Calculer p(D).
2.a. Calculer la probabilité que le DVD choisi ait été reçu en dotation et soit de production européenne ( donner la valeur exacte).
b. Montrer que la probabilité que le DVD choisi ait été acheté et soit de production européenne est égale à 0,6.
3.Sachant que le DVD choisi a été acheté, calculer la probabilité qu'il soit de production européenne Exercice 2
Une entreprise fabrique des cartes graphiques pour ordinateurs.
Deux ateliers de fabrication se répartissent la production d’une journée de la façon suivante : l’atelier A produit 900 cartes et l’atelier B produit 600 cartes.
Les contrôles de qualité ont montré qu’un jour donné, 2 % des cartes produites par l’atelier A et 1 % des cartes produites par l’atelier B sont défectueuses.
On prélève au hasard une carte dans le production d’une journée. On note : – A l’évènement « la carte prélevée sort de l’atelier A » ;
– B l’évènement « la carte prélevée sort de l’atelier B » ; – D l’évènement « la carte prélevée est défectueuse ».
1. À l’aide des informations ci-dessus, déterminer les probabilités P A( ), P B( ), P DA( ), et P DB( ). 2. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
3. Définir les évènements
A D
etB D
, puis calculer leurs probabilités.4. Montrer que P D( )=0, 016. 5. Calculer P AD( ).
6. Les évènements A et D sont-ils indépendants ? Justifier.
Exercice 3
Dans cet exercice, on donnera les valeurs exactes des probabilités.
Lue achète un lot de 20 clés USB de deux marques, Cralinte et Kincoss, toutes les clés ayant la même forme extérieure. De la première marque il a pu acquérir cinq clés de capacité 512 Mo, deux de 1 Go et une de 2 Go. De la seconde il ramène huit clés de capacité 512 Mo, deux de 1 Go et deux de 2 Go.
(1 Go = 1 000 Mo). Il choisit au hasard l’une de ces clés.
On note dans la suite les évènements suivants :
• G : « La clé choisie est de marque Gralinte » ;
• K : « La clé choisie est de marque Kincoss » ;
• A : « La capacité de la clé choisie est de 512 Mo » ;
• B : « La capacité de la clé choisie est de 1 Go » ;
• C : « La capacité de la clé choisie est de 2 Go ».
1. a. Donner la probabilité de l’évènement K,
b. Donner la probabilité de l’évènement A sachant K.
c. Recopier et compléter l’arbre de probabilité suivant, en écrivant sur chaque branche la probabilité correspondante :
4. Quelle est la probabilité que Luc ait choisi une clé de 512 Mo ?
D
D
U
U U U 0,25
0,65
0,4
G
A B
A B C
1/6 C K
Exercice 4
Une agence de voyages propose exclusivement trois destinations: la destination A, la destination G et la destination M. 50% des clients choisissent la destination A. 30% des clients choisissent la destination G.
20 % des clients choisissent la destination M.
Au retour de leur voyage, tous les clients de l’agence répondent aune enquête de satisfaction. Le dépouillement des réponses ace questionnaire permet de dire que 90% des clients ayant choisi la destination M sont satisfaits, de même que 80% des clients ayant choisi la destination G. On prélève au hasard un questionnaire dans la pile des questionnaires recueillis. On note les évènements : A : « le questionnaire est celui d’un client ayant choisi la destination A »;
G : « le questionnaire est celui d’un client ayant choisi la destination G »;
M : « le questionnaire est celui d’un client ayant choisi la destination M » ; S : « le questionnaire est celui d’un client satisfait »;
S: « le questionnaire est celui d’un client insatisfait ».
1. Traduire les données de l’énoncé sur un arbre de probabilité.
2. Traduire par une phrase les évènements GSet MS puis calculer les probabilitésP G
(
S)
et P M(
S)
.
L’enquête montre que 72% des clients de l’agence sont satisfaits. En utilisant la formule des probabilités totales,
3. calculer P A
(
S)
. En déduire P S , probabilité de l’évènement S sachant que l’évènement A est réalisé. A( )
4. Le questionnaire prélevé est celui d’un client qui est satisfait. Le client a omis de préciser quelle destination il avait choisie. Déterminer la probabilité qu’il ait choisi la destination G
5. On prélève successivement au hasard trois questionnaires dans la pile d’enquêtes. On suppose que le nombre de questionnaires est suffisamment élevé pour considérer que les tirages successifs sont indépendants,
Calculer la probabilité de l’évènement : « les trois questionnaires sont ceux de clients insatisfaits » (on donnera le résultat arrondi au millième).
Exercice 5
Dans un village de vacances, trois stages sont proposés aux adultes et aux enfants. Ils ont lieu dans la même plage horaire ; leurs thèmes sont : la magie, le théâtre et la photo numérique.
150 personnes dont 90 adultes se sont inscrites à l’un de ces stages. Parmi les 150 personnes inscrites, on relève que : la magie a été choisie par la moitié des enfants et 20% des adultes ;
27 adultes ont opté pour la photo numérique ainsi que 10% des enfants.
Recopier et compléter le tableau suivant
On appelle au hasard une personne qui s'est inscrite à un stage. On pourra utiliser les notations suivantes
A l’évènement « la personne appelée est un adulte » ; M l’évènement « la personne appelée a choisi la magie » ; T l’évènement « la personne appelée a choisi le théâtre » ;
N l’évènement « la personne appelée a choisi la photo numérique ».
1. Quelle est la probabilité que la personne appelée soit un enfant ?
2. Quelle est la probabilité que la personne appelée ait choisi la photo sachant que c'est un adulte ? 3. Quelle est la probabilité que la personne appelée soit un adulte ayant choisi le théâtre ?
4. Montrer que la probabilité que la personne appelée ait choisi la magie est 0,32.
5. Le directeur du village désigne une personne ayant choisi la magie. Il dit qu'il y a deux chances sur trois pour que ce soit un enfant. A-t-il raison ? Justifier votre réponse.
6. On choisit, parmi les personnes qui désirent suivre un stage, cinq personnes au hasard. On assimile ce choix à un tirage avec remise. Quelle est la probabilité qu'une seule personne ait choisi la magie .
Exercice 6
Une enquête est réalisée auprès des clients d'une compagnie aérienne.
Elle révèle que 40% des clients utilisent la compagnie pour des raisons professionnelles, que 35% des clients utilisent la compagnie pour des raisons touristiques et le reste pour diverses autres raisons.
Sur l'ensemble de la clientèle, 40% choisit de voyager en première classe et le reste en seconde classe.
En fait, 60% des clients pour raisons professionnelles voyagent en première classe, alors que seulement 20%
des clients pour raison touristiques voyagent en première classe.
On choisit au hasard un client de cette compagnie. On suppose que chaque client à la même probabilité d'être Magie Théâtre Photo numérique Total Adultes
Enfants
Total 150
choisi.
On note : A l'événement « le client interrogé voyage pour des raisons professionnelles » T l'événement « le client interrogé voyage pour des raisons touristiques »
D l'événement « le client interrogé voyage pour des raisons autres que professionnelles ou touristiques »
V l'événement « le client interrogé voyage en première classe ».
Si E et F sont deux événements, on note p E( ) la probabilité queEsoit réalisé, et pF( )E la probabilité queEsoit réalisé sachant queFest réalisé. D'autre part, on notera l'événement contraire de E .
1.Déterminer : p A( ), p T( ), p V( ), p VA( )et p VT( ).
2.a. Déterminer la probabilité que le client interrogé voyage en première classe et pour des raisons professionnelles.
b. Déterminer la probabilité que le client interrogé voyage en première classe et pour des raisons touristiques.
c. En déduire la probabilité que le client interrogé voyage en première classe et pour des raisons autres que professionnelles ou touristiques.
3. Déterminer la probabilité que le client interrogé voyage pour des raisons professionnelles sachant qu'il a choisi la première classe.
4. Soit un entier n supérieur ou égal à 2. On choisit n « clients de cette compagnie aérienne d'une façon indépendante. On note pnla probabilité qu'au moins un de ces clients voyage en seconde classe.
a. Prouver que : pn= −1 (0,4)n .
b. Déterminer le plus petit entier n pour lequel pn 0,9999. Exercice 7
Un appareil de très haute technologie est installé dans un laboratoire industriel.
L’installateur assure une maintenance à l’issue de chaque semaine d’utilisation. Pour cette maintenance, soit il doit se déplacer (intervention directe sur l’appareil ), soit une assistance téléphonique suffit.
A l’issue d’une semaine de fonctionnement, trois situations sont possibles :
Situation A : l’appareil a fonctionné normalement ; Situation B : l’appareil a eu des arrêts épisodiques ; Situation C : l’appareil a eu des arrêts très fréquents.
Dans la situation A, l’installateur doit se déplacer 1 fois sur 2.
Dans la situation B, l’installateur doit se déplacer 7 fois sur 10.
L’installateur sait par expérience que, à l’issue de chaque semaine de fonctionnement, la probabilité d’être dans la
situation A est 0,6 ; la probabilité d’être dans la situation B est 0,3 ; la probabilité qu’il doive se déplacer est 0,6.
Partie A : L’appareil a été utilisé pendant une semaine.
On considère les événements suivants : A : « On se trouve dans la situation A » B : « On se trouve dans la situation B » C : « On se trouve dans la situation C »
S : « L’installateur se déplace » T : « L’installateur effectue une assistance téléphonique » On pourra construire un arbre pondéré que l’on complètera au fur et à mesure.
1. Calculer la probabilité de l’événement T.
2. Démontrer que, lorsqu’on se trouve dans la situation C, la probabilité que l’installateur se déplace est 0,9.
3.On sait que l’installateur s’est déplacé. Déterminer la probabilité que l’on ait été dans la situation B.
Partie B : L’installateur devra effectuer la maintenance trois semaines de suite.
On admet que les événements qui surviendront au cours de chacune de ces trois semaines sont indépendants.
1. Quelle est la probabilité que l’installateur ait à effectuer exactement deux déplacements sur les trois semaines ?
a) Donner la loi de probabilité associée au nombre de déplacements à effectuer sur les trois semaines.
b) Montrer que l’espérance mathématique de cette loi vaut 1,8.
c) Pour l’installateur, un déplacement revient à 300 € (l’assistance téléphonique ne lui coûte rien).
L’installateur décide de proposer à son client un forfait pour trois semaines de maintenance.
2. Déterminer le montant minimum de ce forfait afin que l’installateur puisse espérer rentrer dans ses frais.
Exercice 8
Une revue professionnelle est proposée en deux versions : une édition papier et une édition électronique consultable via internet. Il est possible de s’abonner à une seule des deux éditions ou de s’abonner à l’édition papier et à l’édition électronique. L’éditeur de la revue a chargé un centre d’appel de démarcher les personnes
figurant sur une liste de lecteurs potentiels. On admet que lorsqu’un lecteur potentiel est contacté par un employé du centre d’appel, la probabilité qu’il s’abonne à l’édition papier est égale à 0,2 ; s’il s’abonne à l’édition papier, la probabilité qu’il s’abonne aussi à l’édition électronique est égale à 0,4 ; s’il ne s’abonne pas à l’édition papier, la probabilité qu’il s’abonne à l’édition électronique est égale à 0,1. Une personne figurant sur la liste de lecteurs potentiels est contactée
par un employé du centre d’appel.
On note : A l’évènement « la personne s’abonne à l’édition papier », B l’évènement « la personne s’abonne à l’édition électronique », A l’évènement contraire de A, B l’évènement contraire de B.
1.a. Reproduire et compléter l’arbre suivant :
b. Donner la probabilité de B sachant A et la probabilité de B sachant A.
2. Calculer la probabilité que la personne contactée s’abonne à l’édition papier et à l’édition électronique.
3. Justifier que la probabilité de l’évènement B est égale à 0,16.
4. Les évènements A et B sont-ils indépendants ?
5 . On suppose que la personne contactée s’est abonnée à l’édition électronique.
Quelle est alors la probabilité qu’elle soit aussi abonnée à l’édition papier ?
6. Pour chacune des personnes contactée, le centre d’appel reçoit de l’éditeur de la revue • 2 € si la personne ne s’abonne à aucune des deux éditions ;
• 10 € si la personne s’abonne uniquement à l’édition électronique ;
• 15 € si la personne s’abonne uniquement à l’édition papier ; • 20 € si la personne s’abonne aux deux éditions.
a. Reproduire et compléter, sans donner de justification, le tableau ci-dessous donnant la loi de probabilité de la Somme reçue par le centre d’appel pour une personne contactée.
Somme reçue en euros
2 10 15 200 Probabilité
b. Proposer, en expliquant votre démarche, une estimation de la somme que le centre d’appel recevra de l’éditeur s’il parvient à contacter 5000 lecteurs potentiels.
exercice 9
Un site Internet offre la possibilité à des particuliers de vendre des objets aux enchères. Pour chaque objet, la durée des enchères dure une semaine. Si une annonce reçoit une enchère, alors la vente de l’objet est
obligatoire à la fin des enchères et ce, même si le vendeur juge le prix de vente trop peu élevé. Sur ce site, une étude statistique a montré que 3/ 5 des annonces reçoivent une première enchère le lendemain de leur
parution ; dans ce cas, 75% des vendeurs sont satisfaits du prix de vente final ; 1/ 3 des annonces reçoivent une première enchère au bout de trois jours et, dans ce cas, 57% des vendeurs sont satisfaits du prix de vente final de leur objet ; Les autres annonces ne reçoivent aucune enchère et le vendeur retire alors son objet de la vente.
On choisit au hasard une annonce mise en ligne sur le site. On note :
L : l’évènement « l’annonce reçoit une première enchère le lendemain de sa parution » ; T : l’évènement « l’annonce reçoit une première enchère au bout de trois jours » ; A : l’évènement « l’annonce ne reçoit aucune enchère » .
S : l’évènement «le vendeur est satisfait du prix de vente final de son objet » et Sson évènement contraire.
1. Traduire la situation par un arbre de probabilité.
2. Calculer la probabilité que l’annonce ait reçu une première enchère le lendemain de sa parution et que le vendeur soit satisfait du prix de vente final.
3. Démontrer que la probabilité que le vendeur soit satisfait du prix de vente de son objet est 0,64.
4.Un objet est vendu à un prix qui satisfait son vendeur. Quelle est la probabilité que cet objet ait reçu une première enchère dès le lendemain de la parution de l’annonce
5. Marc a mis en vente le même jour trois jeux vidéo identiques sur ce site. On suppose que les déroulements de ces enchères sont indépendants les uns des autres. Calculer la probabilité qu’à la fin des enchères, Marc soit satisfait du prix de vente final d’au moins deux de ces jeux vidéo .
Exercice 10
Pour faire connaître l’ouverture d’un nouveau magasin vendant des salons, le directeur fait distribuer des bons publicitaires permettant de recevoir un cadeau gratuit sans obligation d’achat. Une enquête statistique préalable a montré que, parmi les personnes qui entrent dans le magasin 90 % entrent dans le magasin avec ce bon
B
B A
A
B B 0,2
publicitaire. Parmi elles, 10 % achètent un salon. Parmi les personnes qui entrent sans bon publicitaire, 80 % achètent un salon.
Une personne entre dans le magasin. On note : B l’évènement « la personne a un bon publicitaire ».
B l’évènement « la personne n’a pas de bon publicitaire ». S l’évènement « la personne achète un salon ».
S l’évènement contraire de S.
1. Dessiner un arbre pondéré représentant la situation.
2. À l’aide de B, B, S, S traduire les évènements suivants et calculer leur probabilité à 10−2 près ;la personne n’achète pas de salon sachant qu’elle est venue avec un bon publicitaire ; la personne achète un salon ; la personne est venue avec un bon publicitaire sachant qu’elle a acheté un salon.
Le bon publicitaire et le cadeau associé coûtent 15 € au magasin. Un salon vendu rapporte 500 € au magasin s’il est vendu sans bon publicitaire.
3.Compléter le tableau suivant qui donne la loi de probabilité du bénéfice réalisé par le magasin selon la situation de
la personne entrant.
Situation de la personne entrant
La personne a un bon publicitaire et achète un salon
La personne a un bon publicitaire et
n’achète pas un salon
La personne n’a pas
de bon publicitaire et achète un salon
La personne n’a pas de bon publicitaire et
n’achète pas un salon
Bénéfice réalisé par
le magasin en euros 485 − 15 500 0
Probabilité
4. Calculer le bénéfice moyen du magasin réalisé par personne entrant. Le directeur pense changer la valeur du cadeau offert. Soit x le prix de revient, en euros, du nouveau bon publicitaire. Calculer, dans ce cas, l’espérance E de la loi de probabilité du bénéfice du magasin en fonction de x.
5. Le directeur souhaite réaliser 76 € de bénéfice moyen par personne entrant. Quel doit être le prix de revient x du nouveau bon publicitaire ?
Exercice 11
Lors d’une enquête réalisée par l’infirmière auprès d’élèves de classes de terminale, on apprend que 60% des élèves sont des filles. De plus 40% des filles et 30% des garçons fument.
1. On choisit un élève au hasard. On note A l’événement : « L’élève choisi fume », et p A( )la probabilité de cet événement. On note F l’événement : « L’élève choisi est une fille ». Quelle est la probabilité que :
a) Cet élève soit un garçon ? b) Cet élève soit une fille qui fume ? c) Cet élève soit un garçon qui fume
?
2. Déduire des questions précédentes, en le justifiant, que P(A) = 0,36.
3. L’enquête permet de savoir que :
Parmi les élèves fumeurs, la moitié ont des parents qui fument ; Parmi les élèves non fumeurs, 65% ont des parents non fumeurs.
On note B l’événement : « L’élève choisi a des parents fumeurs ». On notera pD( )C la probabilité de l’événement C sachant l’événement D. Dans cette question, on pourra s’aider d’un arbre pondéré.
a) Calculer les probabilités P A( B) et (P AB) .En déduire p B( ).
b) Calculer pB( )A , probabilité qu’un élève fume sachant qu’il a des parents fumeurs.
Calculer p AB( ), probabilité qu’un élève fume sachant qu’il a des parents non fumeurs.
Quelle remarque amène la comparaison de ces deux résultats ?
4. On rappelle que, pour chaque élève choisi, la probabilité qu’il soit fumeur est égale à 0,36. On choisit quatre élèves de terminale au hasard. On admettra que la population d’élèves de terminale est suffisamment grande pour que le choix d’élèves au hasard soit assimilé à un tirage avec remise.
A l’aide d’un arbre pondéré, calculer la probabilité qu’aucun de ces quatre élèves ne soit fumeur ?
