Association de var iab les qualitativ es

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Testdukhi-deuxd’indépendance TestsdeMac-Nemaretd’homogénéitémarginale exactsdeFisher,deBarnardetdeFisher-Freeman-Halton

Association de var iab les qualitativ es

FrédéricBertrand1 1IRMA,UniversitédeStrasbourg Strasbourg,France Master1 14-03-2012 FrédéricBertrandAssociationdevariablesqualitatives

Testdukhi-deuxd’indépendance TestsdeMac-Nemaretd’homogénéitémarginale TestsexactsdeFisher,deBarnardetdeFisher-Freeman-Halton

Sommaire

1Testdukhi-deuxd’indépendance Introduction Contextedutest Procéduredetest Conditionsd’applicationdutest Statistiquedutest Règlededécisionetconclusiondutest CorrectiondeYates Étudedesrésidus 2TestsdeMac-Nemaretd’homogénéitémarginale Contextedutest Procéduredetest Hypothèsestestées Conditionsd’applicationdutest Statistiquedutest Règlededécisionetconclusiondutest FrédéricBertrandAssociationdevariablesqualitatives Testdukhi-deuxd’indépendance TestsdeMac-Nemaretd’homogénéitémarginale exactsdeFisher,deBarnardetdeFisher-Freeman-Halton

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3TestsexactsdeFisher,deBarnardetde Fisher-Freeman-Halton TestexactdeFisher Hypothèsestestées Conditionsd’applicationdutest Statistiquedutest Règlededécisionetconclusiondutest TestexactdeBarnard TestexactdeFisher-Freeman-Halton Contextedutest Procéduredetest FrédéricBertrandAssociationdevariablesqualitatives Testdukhi-deuxd’indépendance TestsdeMac-Nemaretd’homogénéitémarginale TestsexactsdeFisher,deBarnardetdeFisher-Freeman-Halton

Introduction CorrectiondeYates Étudedesrésidus

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1Testdukhi-deuxd’indépendance Introduction Contextedutest Procéduredetest Conditionsd’applicationdutest Statistiquedutest Règlededécisionetconclusiondutest CorrectiondeYates Étudedesrésidus FrédéricBertrandAssociationdevariablesqualitatives

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Introduction CorrectiondeYates Étudedesrésidus Exemple Nombredesourisdéveloppantunetumeuraupoumonaprès expositionàlafuméedecigarettes GroupeTumeurprésenteTumeurabsenteTotal Contrôle191332 Traitement21223 d’aprèsEssenbergs,Science,1952. Question:Existe-t-iluneassociationentreledéveloppement delamaladieetl’apparitionducancer? FrédéricBertrandAssociationdevariablesqualitatives Testdukhi-deuxd’indépendance TestsdeMac-Nemaretd’homogénéitémarginale TestsexactsdeFisher,deBarnardetdeFisher-Freeman-Halton

Introduction CorrectiondeYates Étudedesrésidus Remarque LorsquenousdisposonsdedeuxvariablesqualitativesXetY, lesmoyennesetlesvariancesn’existentplus. Parconséquent,lescoefficientscommelecoefficientde corrélationlinéaireoulesrapportsdéfinisdanslesautres chapitresn’ontpluslieud’exister. Ilnerestedoncqu’unseulélémentexploitable:laloi conjointeducouple(X,Y). FrédéricBertrandAssociationdevariablesqualitatives Testdukhi-deuxd’indépendance TestsdeMac-Nemaretd’homogénéitémarginale exactsdeFisher,deBarnardetdeFisher-Freeman-Halton

Introduction CorrectiondeYates Étudedesrésidus Troisquestionsnaturelles Àpartirdecetteinformation,troisquestionssemblent naturellesetpertinentes: Q1.LesvariablesXetYsont-ellesindépendantes? Q2.LesdistributionsconditionnellesdeYsachantX (respectivementXsachantY)sont-elleshomogènes? Q3.Ladistributionducouple(X,Y)est-elle«proche»d’une distributionthéorique? FrédéricBertrandAssociationdevariablesqualitatives Testdukhi-deuxd’indépendance TestsdeMac-Nemaretd’homogénéitémarginale TestsexactsdeFisher,deBarnardetdeFisher-Freeman-Halton

Introduction CorrectiondeYates Étudedesrésidus Indépendanceentredeuxvariables Uneméthodepourrépondreàlapremièrequestion: «LesvariablesXetYsont-ellesindépendantes?» consiste: •àconstruireletableaudecontingenceassociéaux variablesXetYsousl’hypothèsed’indépendance,lequel estobtenueneffectuantleproduitdesfréquences marginales. FrédéricBertrandAssociationdevariablesqualitatives

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Introduction CorrectiondeYates Étudedesrésidus Indépendanceentredeuxvariables(suite) ••Puiscomparerladistributionempirique,c’est-à-direcelle contenuedansletableaudecontingence,avecla distributionthéorique,c’est-à-direcelleobtenueparcalcul. L’interprétationrésultantdelacomparaisondecesdeux distributionsestalorslasuivante: 1Silesdeuxdistributionssontidentiques,lesvariablesXet Ysontindépendantes. 2Silesdeuxdistributionssontdifférentes,lesvariablesXet Ynesontpasindépendantes(ellespeuventêtreliées, corréléesounon-corrélées). FrédéricBertrandAssociationdevariablesqualitatives Testdukhi-deuxd’indépendance TestsdeMac-Nemaretd’homogénéitémarginale TestsexactsdeFisher,deBarnardetdeFisher-Freeman-Halton

Introduction CorrectiondeYates Étudedesrésidus Remarque Pourautant,ilesttrèsrareenpratique,mêmedanslecasde variablesréellementindépendantes,d’observeruneégalitédes distributionsthéoriquesetempiriquesetcelapourdeux raisons: 1dufaitquenousobservonsunéchantillonetnonpasla populationentière 2àcausedeserreursdemesure. FrédéricBertrandAssociationdevariablesqualitatives Testdukhi-deuxd’indépendance TestsdeMac-Nemaretd’homogénéitémarginale exactsdeFisher,deBarnardetdeFisher-Freeman-Halton

Introduction CorrectiondeYates Étudedesrésidus

Test du Khi-deux

Indépendance Contextedutest Letestduχ2 d’indépendancesertàétudierlaliaisonentre deuxcaractèresqualitatifsXetY. Nousconsidéronsdoncletableauci-aprèsoùcorrespondau nombred’individusobservésayantlamodalitéipourXetla modalitéjpourY. FrédéricBertrandAssociationdevariablesqualitatives Testdukhi-deuxd’indépendance TestsdeMac-Nemaretd’homogénéitémarginale TestsexactsdeFisher,deBarnardetdeFisher-Freeman-Halton

Introduction CorrectiondeYates Étudedesrésidus Tableaudedonnées H H H H H H

XY Modalité1···ModalitéJTotaux Modalité1m1,1···m1,Jm1,• ··· Modalitéimi,1···mi,Jmi,• ··· ModalitéImI,1···mI,JmI,• Totauxm•,1···m•,Jm•,•=n FrédéricBertrandAssociationdevariablesqualitatives

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Introduction CorrectiondeYates Étudedesrésidus Contextedutest(suite) Lanotationmi,•correspondàP

J jmetlanotationmi,j•,j=1 P correspondà

I im.Leprincipedutestconsisteài,j=1 comparerleseffectifstelsquenouslesavons,àlarépartition quenousaurionssilesvariablesétaientindépendantes.Dans cecas,enconsidérantquelesmarges (m,...,m,...,m,m,...,m,...,m)1,•i,•I,••,1•,j•,J sontfixées,nouspouvonscalculercetterépartitionthéorique danschacundeséchantillons.Nousavonsalors: mmi,••,j c=·i,j m•,• FrédéricBertrandAssociationdevariablesqualitatives

Introduction CorrectiondeYates Étudedesrésidus Hypothèsesdutest H0:LesvariablesXetYsontindépendantes contre H1:LesvariablesXetYnesontpasindépendantes. FrédéricBertrandAssociationdevariablesqualitatives Testdukhi-deuxd’indépendance TestsdeMac-Nemaretd’homogénéitémarginale exactsdeFisher,deBarnardetdeFisher-Freeman-Halton

Introduction CorrectiondeYates Étudedesrésidus Conditionsd’applicationdutest Considéronsunéchantillonforméderéalisations indépendantesducoupledevariablesaléatoires(X,Y)etde taillen=m•,•.Leseffectifsthéoriquesci,jetl’effectiftotal del’échantillonm•,•doiventvérifierlesinégalités: ci,j>5etm•,•>50. FrédéricBertrandAssociationdevariablesqualitatives Testdukhi-deuxd’indépendance TestsdeMac-Nemaretd’homogénéitémarginale TestsexactsdeFisher,deBarnardetdeFisher-Freeman-Halton

Introduction CorrectiondeYates Étudedesrésidus Statistiquedutest Sil’hypothèsenulleH0estvraieetlorsquelesconditions d’applicationdutestsontremplies, χ2 (obs)=I X i=1

J X j=1(mi,j−ci,j)2 ci,jestuneréalisationd’une variablealéatoirequisuitapproximativementlaloiduKhi-deux à(I−1)(J−1)degrésdeliberté. FrédéricBertrandAssociationdevariablesqualitatives

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Introduction CorrectiondeYates Étudedesrésidus Règlededécisionetconclusiondutest Pourunseuilfixéα,lestablesdelaloiduKhi-deuxà (I−1)(J−1)degrésdeliberténousfournissentunevaleur critiquecαtellequePH0χ2 ((I−1)(J−1))6cα =1−α. Alorsnousdécidons: siχ2 (obs)>cαH1estvraie, siχ2 (obs)<cαH0estvraie. Remarque:Danslecasoùnousnepouvonspasrejeter l’hypothèsenulleH0etparconséquentnousl’acceptons,nous devrionscalculerlerisquedesecondeespèceβdutest. FrédéricBertrandAssociationdevariablesqualitatives Testdukhi-deuxd’indépendance TestsdeMac-Nemaretd’homogénéitémarginale TestsexactsdeFisher,deBarnardetdeFisher-Freeman-Halton

Introduction CorrectiondeYates Étudedesrésidus Remarques Cetestposeplusieursdifficultés: 1Cetest,telqu’ilestexposé,nepeutpasêtreappliquéà deséchantillonsappariés. 2S’ilyaplusdedeuxmodalités,nouspouvonsessayerd’en regroupersicelaestpossible,c’est-à-diresicelaaun sens. 3Commentfairelesregroupementsenclasselorsquecela s’avèrenécessaire,parexemplesilesvariablesétudiées sontcontinues? FrédéricBertrandAssociationdevariablesqualitatives Testdukhi-deuxd’indépendance TestsdeMac-Nemaretd’homogénéitémarginale exactsdeFisher,deBarnardetdeFisher-Freeman-Halton

Introduction CorrectiondeYates Étudedesrésidus Remarques(suite) 4Lesconditionsd’applicationsonttrèscontraignantes. Uneffectiftotalnsupérieurà50etdesfréquences d’apparitiontoutessupérieuresà5. DanslelivredeJ.Bouyer,[1],ainsiquedansceluideG. PupionetP.-C.Pupion,[3],ilestindiquéqueletestest encoreutilisablesileseffectifsthéoriquessonttous supéreursà3. J.Bouyer,[1],évoquemêmelapossibilitédesecontenter dufaitqu’ilyaitmoinsde20%descellulespour lesquellesleseffectifsthéoriquessoientinférieursà5. FrédéricBertrandAssociationdevariablesqualitatives Testdukhi-deuxd’indépendance TestsdeMac-Nemaretd’homogénéitémarginale TestsexactsdeFisher,deBarnardetdeFisher-Freeman-Halton

Introduction CorrectiondeYates Étudedesrésidus Remarques(suite) (Suite)Néanmoinstouslesauteurss’entendentpourdire quesidansunetellesituationvousobteniezdesvaleurs prochesdelasignificativité,ilestimpératifdecompléter l’étudeparl’utilisationdecertainsdesautrestests présentésici. FrédéricBertrandAssociationdevariablesqualitatives

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Introduction CorrectiondeYates Étudedesrésidus Remarques(suite) 5Lorsquelesconditionsnesontpasremplies,ilexistedes corrections,parexemplecelledeYatesoulestestsexacts deFisheretdeFisher-Freeman-Haltonprésentées ci-après. 6Lanécessitédefondreplusieursmodalitésenuneseule pourquelesconditionsd’applications,mentionnéesau paragrapheci-dessus,soientrempliesmodifieles variablessurlesquellesporteletest. FrédéricBertrandAssociationdevariablesqualitatives Testdukhi-deuxd’indépendance TestsdeMac-Nemaretd’homogénéitémarginale TestsexactsdeFisher,deBarnardetdeFisher-Freeman-Halton

Introduction CorrectiondeYates Étudedesrésidus Remarques(suite) 8Cetestnetientpascomptedel’éventuelleprésenced’un ordresurleslignesoulescolonnesdutableaude contingence. Sil’onpeutordonnerlesmodalitésdel’undesdeux facteurs,onpréférerautiliseruntestdeKruskal-Wallisetsi l’onpeutordonnerlesmodalitésdesdeuxfacteurson utiliserauntestdeJonckheere-Terpstra. FrédéricBertrandAssociationdevariablesqualitatives Testdukhi-deuxd’indépendance TestsdeMac-Nemaretd’homogénéitémarginale exactsdeFisher,deBarnardetdeFisher-Freeman-Halton

Introduction CorrectiondeYates Étudedesrésidus Remarques(suite) (Suite)Onpourraalors,sil’onrejettel’hypothèsenulle H0:«LefacteurXn’apasd’effetsurlaréponseY», étudierlesraisonsàl’originedelanon-indépendanceà l’aided’untestpost-hoc. Lecasd’untableauàdeuxlignesetkcolonnesouàh lignesetdeuxcolonnespeutégalementêtreétudiéàl’aide d’untestdeMann-Whitney. 8Pourdesmodélisationspluscomplexeset,parexemple, l’étudedecorrélationspartielles,nouspourrionsutiliserun modèlelog-linéaire. FrédéricBertrandAssociationdevariablesqualitatives Testdukhi-deuxd’indépendance TestsdeMac-Nemaretd’homogénéitémarginale TestsexactsdeFisher,deBarnardetdeFisher-Freeman-Halton

Introduction CorrectiondeYates Étudedesrésidus CorrectiondeYates Lorsquel’onétudiel’indépendancededeuxvariablesetque certainesdesfréquencesattenduessousl’hypothèsenulleH0: «XetYsontindépendantes»sontinférieuresà5,onpeut corrigerlastatistiquedutestpourprendreencomptecette situation. Attentionilfautnéanmoinsquetouteslesfréquencesattendues soientsupérieuresà3. LacorrectiondeYatesestunecorrectiondecontinuitéqui consisteàutiliserlastatistiquedetestmodifiéedelamanière suivante. FrédéricBertrandAssociationdevariablesqualitatives

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Introduction CorrectiondeYates Étudedesrésidus StatistiquemodifiéedeYates χ2 n=hX i=1

kX j=1

Ni,j−Ni,•×N•,j n

2 1 − 2 N×Ni,••,j n oùNestlenombrealéatoiredecouple(X,Y)quidansuni,jij échantillonindépendantidentiquementdistribuédetaillen P appartientàlaclasseC,N=i,ji,•

Pk jNetN=i,j•,j=1

h iN.i,j=1 FrédéricBertrandAssociationdevariablesqualitatives

Introduction CorrectiondeYates Étudedesrésidus Remarques Attention,onn’utiliseralacorrectionquesil’unedes fréquencesattendueseststrictementinférieureà5. Siaucontraireellessonttoutessupérieuresouégalesà5,on montrequelacorrectiondeYatesnemodifiequepeulavaleur delaréalisationdelastatistiquedutest. CommelesignaleJBouyer,[1],cepointdevue,c’est-à-direle faitderéservercettecorrectionàdepetitséchantillons,n’est paspartagépartouslesauteurs. FrédéricBertrandAssociationdevariablesqualitatives Testdukhi-deuxd’indépendance TestsdeMac-Nemaretd’homogénéitémarginale exactsdeFisher,deBarnardetdeFisher-Freeman-Halton

Introduction CorrectiondeYates Étudedesrésidus Remarques(suite) Sil’undeseffectifsthéoriquesestinférieurà3,onn’apas d’autresolutionqued’appliquerletestexactdeFisherdécrit ci-après. Plusgénéralement,P.Dagnélie,[2],conseillel’utilisation systématiquedutestexactdeFisherlorsquel’effectiftotalnest inférieurouégalà40. FrédéricBertrandAssociationdevariablesqualitatives Testdukhi-deuxd’indépendance TestsdeMac-Nemaretd’homogénéitémarginale TestsexactsdeFisher,deBarnardetdeFisher-Freeman-Halton

Introduction CorrectiondeYates Étudedesrésidus Étudedesrésidus Lorsquel’hypothèsed’indépendanceestvérifiée,lestermes dontlescarréssontlescontributionsàlavaleurχ2 n: Ni,j−Ni,•×N•,j n r Ni,•×N•,j n sontapproximativementdesvariablesaléatoiresquisuivent desloisnormalescentréesréduites. FrédéricBertrandAssociationdevariablesqualitatives

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Introduction CorrectiondeYates Étudedesrésidus Étudedesrésidus(suite) Onamontréqu’unemeilleureapproximationdelaloinormale centréeréduiteestobtenuesil’onconsidèrelesvaleurs ci-dessusetquel’onlesdivisepardesestimationsdesécarts typescorrespondants: s 1−Ni,• n 1−N•,j n . FrédéricBertrandAssociationdevariablesqualitatives Testdukhi-deuxd’indépendance TestsdeMac-Nemaretd’homogénéitémarginale TestsexactsdeFisher,deBarnardetdeFisher-Freeman-Halton

Introduction CorrectiondeYates Étudedesrésidus Étudedesrésidus(suite) Onobtientfinalementlesécartsréduits: Ni,j−Ni,•×N•,j n s 1−Ni,• n 1−N•,j n Ni,•×N•,j n Onpeutalorsétudierlesécartsréduitscommeonleferaitpour desrésidusobtenusaprèsunerégressionparexemple:étude delanormalité,viaundiagrammequantile-quantilepar exemple,identificationd’éventuellesvaleursaberrantesounon représentatives,voirlecourssurcesujet. FrédéricBertrandAssociationdevariablesqualitatives Testdukhi-deuxd’indépendance TestsdeMac-Nemaretd’homogénéitémarginale exactsdeFisher,deBarnardetdeFisher-Freeman-Halton

Introduction CorrectiondeYates Étudedesrésidus Retouràl’exemple Nombredesourisdéveloppantunetumeuraupoumonaprès expositionàlafuméedecigarettes GroupeTumeurprésenteTumeurabsenteTotal Contrôle191332 Traitement21223 d’aprèsEssenbergs,Science,1952. Question:Existe-t-ilunecorrélationentreledéveloppement delamaladieetl’apparitionducancer? FrédéricBertrandAssociationdevariablesqualitatives Testdukhi-deuxd’indépendance TestsdeMac-Nemaretd’homogénéitémarginale TestsexactsdeFisher,deBarnardetdeFisher-Freeman-Halton

Introduction CorrectiondeYates Étudedesrésidus Réponse Pourtesterl’existencedecelien,ilestpossibledeprocéderà untestduχ2 : Lesdénombrementsattendussontnotéssousles dénombrementsobservés SuccèsEchecTotal 121223 16,736,27 2191332 23,278,73 Total401555 Khideux=1,091+2,910+0,784+2,092=6,878 DL=1,c=3,841 FrédéricBertrandAssociationdevariablesqualitatives

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Contextedutest Procéduredetest

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2TestsdeMac-Nemaretd’homogénéitémarginale Contextedutest Procéduredetest Hypothèsestestées Conditionsd’applicationdutest Statistiquedutest Règlededécisionetconclusiondutest FrédéricBertrandAssociationdevariablesqualitatives

Contextedutest Procéduredetest

Tests de Mac-Nemar et d’homogénéité marginale

TestdeMac-Nemar Contextedutest Cetests’appliqueàdestableauxdecontingenceàdeuxlignes etàdeuxcolonnesquidénombrentlesrésultatsdedeuxtests obtenussurlesmêmesindividus.Chacundestestspeut prendrelavaleurAouBet,decefait,cestableauxsontdonc delaformesuivante: X/YABTotaux An1,1n1,2n1,• Bn2,1n2,2n2,• Totauxn•,1n•,2n FrédéricBertrandAssociationdevariablesqualitatives Testdukhi-deuxd’indépendance TestsdeMac-Nemaretd’homogénéitémarginale exactsdeFisher,deBarnardetdeFisher-Freeman-Halton

Contextedutest Procéduredetest Hypothèsestestées L’hypothèsenulleH0quenouscherchonsàtesterestqueles totauxmarginauxdechaqueréponsesontlesmêmespour chacundesdeuxtests: n1,1+n1,2=n1,1+n2,1etn2,1+n2,2=n1,2+n2,2. Ainsilejeud’hypothèsesauquelletestdeMac-Nemarpermet des’intéresserest: H0:n1,2=n2,1 contre H1:n1,26=n2,1. FrédéricBertrandAssociationdevariablesqualitatives Testdukhi-deuxd’indépendance TestsdeMac-Nemaretd’homogénéitémarginale TestsexactsdeFisher,deBarnardetdeFisher-Freeman-Halton

Contextedutest Procéduredetest Conditionsd’applicationdutest Lesconditionssontlessuivantes: n1,2+n2,1>20etn1,2etn2,1assezgrands. Statistiquedutest LavaleurdelastatistiquedutestdeMac-Nemar,avec correctiondecontinuitédeYates,observéesurl’échantillonest donnéeparlaformulesuivante: McN(obs)=n1,2−n2,1−12 n1,2+n2,1· FrédéricBertrandAssociationdevariablesqualitatives

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Contextedutest Procéduredetest Remarque Pourobtenirlastatistiquedutestsanscorrectiondecontinuité, nousremplaçonslenumérateurn1,2−n2,1−12 par n1,2−n2,12 . Sil’hypothèsenulleH0estvérifiéeetlorsquelesconditions d’applicationsontremplies,lastatistiqueMcNsuit approximativementlaloiduKhi-deuxχ2 (1). FrédéricBertrandAssociationdevariablesqualitatives Testdukhi-deuxd’indépendance TestsdeMac-Nemaretd’homogénéitémarginale TestsexactsdeFisher,deBarnardetdeFisher-Freeman-Halton

Contextedutest Procéduredetest Règlededécisionetconclusiondutest Pourunseuilfixéα,lestablesdelaloiduχ2 ,à1degréde liberté,nousfournissentunevaleurcritiquecαtelleque PH0χ^{2 1}6cα =1−α.Alorsnousdécidons: siχ2 (obs)>cαH1estvraie, siχ2 (obs)<cαH0estvraie. Danslecasoùnousnepouvonspasrejeterl’hypothèsenulle H0etparconséquentnousl’acceptons,nousdevonscalculer lerisquedesecondeespèceβdutest. FrédéricBertrandAssociationdevariablesqualitatives Testdukhi-deuxd’indépendance TestsdeMac-Nemaretd’homogénéitémarginale exactsdeFisher,deBarnardetdeFisher-Freeman-Halton

Contextedutest Procéduredetest Règlededécisionetconclusiondutest(suite) Sinousutilisonsunlogicieldestatistiquecelui-cinousfournit unep-valeur.Alorsnousdécidons: sip-valeur6αH1estvraie. sip-valeur>αH0estvraie. FrédéricBertrandAssociationdevariablesqualitatives

Contextedutest Procéduredetest Remarques 1Cetestpermetdecomparerdeuxproportionsdanslecas oùlesdeuxéchantillonssontappariés. 2Letestd’homogénéitémarginaleestuneextensiondu testdeMac-Nemaraucasdesvariablesqualitativesàplus dedeuxmodalités.Ilpermetdecomparerdesproportions, aunombrededeuxouplus,lorsqueleséchantillons,au nombrededeuxouplus,sontdépendants. FrédéricBertrandAssociationdevariablesqualitatives

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TestexactdeFisher TestexactdeBarnard TestexactdeFisher-Freeman-Halton

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3TestsexactsdeFisher,deBarnardetde Fisher-Freeman-Halton TestexactdeFisher Hypothèsestestées Conditionsd’applicationdutest Statistiquedutest Règlededécisionetconclusiondutest TestexactdeBarnard TestexactdeFisher-Freeman-Halton Contextedutest Procéduredetest FrédéricBertrandAssociationdevariablesqualitatives Testdukhi-deuxd’indépendance TestsdeMac-Nemaretd’homogénéitémarginale TestsexactsdeFisher,deBarnardetdeFisher-Freeman-Halton

TestexactdeFisher TestexactdeBarnard TestexactdeFisher-Freeman-Halton Cadred’application Dansdeuxpopulationsindépendantes,uncaractèrequalitatif XpouvantprendrelamodalitéAestobservé. Lesfréquencesd’apparitiondeAdanslesdeuxpopulations sontlesnombresinconnusπA,1etπA,2. Soitnilenombredepersonnesprésentesdansl’échantilloni, nA,ilenombredepersonnesdel’échantilloniquiprésententla modalitéAetfA,ilafréquenceassociée. Posonsn•=n1+n2lasommedesdeuxeffectifsdesdeux échantillonsetp=(nA,1+nA,2)/n•. Lestestsunilatérauxsedéduisentfacilementdelaprocédure quenousallonsintroduire. FrédéricBertrandAssociationdevariablesqualitatives Testdukhi-deuxd’indépendance TestsdeMac-Nemaretd’homogénéitémarginale exactsdeFisher,deBarnardetdeFisher-Freeman-Halton

TestexactdeFisher TestexactdeBarnard TestexactdeFisher-Freeman-Halton Hypothèsestestées Noussouhaitonschoisirentrelesdeuxhypothèsessuivantes: H0:πA,1=πA,2 contre H1:πA,16=πA,2. FrédéricBertrandAssociationdevariablesqualitatives

TestexactdeFisher TestexactdeBarnard TestexactdeFisher-Freeman-Halton Conditionsd’applicationdutest Lesdeuxéchantillonssontindépendantsetformésde réalisationsindépendantesducaractèreX.Leseffectifsn1et n2peuventnepasêtreégaux. Statistiquedutest LavariablealéatoirenA,1suitlaloihypergéométrique H n,n1,nA,1+nA,2 n•

. FrédéricBertrandAssociationdevariablesqualitatives

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TestexactdeFisher TestexactdeBarnard TestexactdeFisher-Freeman-Halton Règlededécisionetconclusiondutest Lesvaleurscritiquesdutest,cα/2etc1−α/2,sontluesdansune tabledelaloihypergéométrique. Silavaleurdelastatistiquecalculéesurl’échantillon,notée nA,1(obs),n’appartientpasàl’intervalle]cα/2;c1−α/2[,alorsle testestsignificatif.NousrejetonsH0etnousdécidonsqueH1 estvraieavecunrisquedepremièreespèceα. Silavaleurdelastatistiquecalculéesurl’échantillon,notée nA,1(obs),appartientàl’intervalle]cα/2;c1−α/2[,alorsletest n’estpassignificatif.NousconservonsH0avecunrisquede deuxièmeespèceβ. FrédéricBertrandAssociationdevariablesqualitatives Testdukhi-deuxd’indépendance TestsdeMac-Nemaretd’homogénéitémarginale TestsexactsdeFisher,deBarnardetdeFisher-Freeman-Halton

TestexactdeFisher TestexactdeBarnard TestexactdeFisher-Freeman-Halton TestexactdeBarnard PourletestexactdeBarnard,leshypothèsestestéesetles conditionsd’applicationdutestsontlesmêmesquecellesdu testexactdeFisher.Lastatistiquedutestesttropcomplexe pourêtredécritedanscecours.Nousutilisonsunlogicielde statistiquequinousfournitunep-valeur.Nousdécidonsalors: sip-valeur6αH1estvraie, sip-valeur>αH0estvraie. FrédéricBertrandAssociationdevariablesqualitatives Testdukhi-deuxd’indépendance TestsdeMac-Nemaretd’homogénéitémarginale exactsdeFisher,deBarnardetdeFisher-Freeman-Halton

TestexactdeFisher TestexactdeBarnard TestexactdeFisher-Freeman-Halton Introduction L’extensiondutestexactdeFisheraucasoùlesdeuxvariables étudiéesontunnombrefiniquelconquedemodalités,mais supérieuràdeux,aétéréaliséeenpremierparG.H.Freeman etJ.H.Haltonen1951,c’estpourquoicetestestaussiparfois appelétestdeFreeman-HaltonoudeFisher-Freeman-Halton. FrédéricBertrandAssociationdevariablesqualitatives Testdukhi-deuxd’indépendance TestsdeMac-Nemaretd’homogénéitémarginale TestsexactsdeFisher,deBarnardetdeFisher-Freeman-Halton

TestexactdeFisher TestexactdeBarnard TestexactdeFisher-Freeman-Halton Contextedutest SoitXetYdeuxvariablesquantitativesdiscrètesou qualitatives. Nousnousdonnonsunéchantillonaléatoire ((X1,Y1),...,(Xn,Yn))suivantlaloide(X,Y)ainsiqu’un échantillon(x,y)forméd’uneréalisationdechaque(Xi,Yi), 16i6n. Enfinnousnotonsxl’échantillondesréalisationsdeXety l’échantillondesréalisationsdeY. Nousconsidéronsletableaudeseffectifsni,j,reproduit ci-après,dechacunedeshmodalitésdeXetdeskmodalités deYapparaissantdansl’échantillon(x,y). FrédéricBertrandAssociationdevariablesqualitatives

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TestexactdeFisher TestexactdeBarnard TestexactdeFisher-Freeman-Halton Tableaudedonnées H H H H H H

XY 1···j···kTotaux 1n1,1···n1,j···n1,kn1,•

. . . . . . . . . . . . . . .

ini,1···ni,j···ni,kni,•

. . . . . . . . . . . . . . .

hnh,1···nh,j···nh,knh,• Totauxn•,1···n•,j···nk,•n•,•=n FrédéricBertrandAssociationdevariablesqualitatives

TestexactdeFisher TestexactdeBarnard TestexactdeFisher-Freeman-Halton Contextedutest(suite) Danscetableau,lesmarges(n1,•,...,nh,•,n•,1,···,n•,k) n’apportentpasd’informationsurl’éventuelledépendancedeX etdeY. Eneffet,ellesn’indiquentquelarépartitiondeseffectifsentre leshmodalitésdeX,indépendammentdelavaleurdeY,etla répartitiondeseffectifsentreleskmodalitésdeY, indépendammentdelavaleurdeX. Cesontlesvaleursprisespar n1,1,n1,2,...,n1,k,n2,1,...,n2,k,...,ni,j,...,nh,k−1etnh,kqui serventpourétudierladépendancedeXetdeY. FrédéricBertrandAssociationdevariablesqualitatives Testdukhi-deuxd’indépendance TestsdeMac-Nemaretd’homogénéitémarginale exactsdeFisher,deBarnardetdeFisher-Freeman-Halton

TestexactdeFisher TestexactdeBarnard TestexactdeFisher-Freeman-Halton Familledetableauxayantlesmêmesmarges L’idéedutestexactdeFisherestdeconsidérerl’ensembleΓ destableauxayantlesmêmesmarges (n1,•,...,nh,•,n•,1,...,n•,k)queletableaudeseffectifs observésci-dessus: Γ(n1,•,...,nh,•) (n•,1,...,n•,k)=                 n1,1···n1,j···n1,k

. . . . . . . . .

ni,1···ni,j···ni,k

. . . . . . . . .

nh,1···nh,j···nh,k

, FrédéricBertrandAssociationdevariablesqualitatives

TestexactdeFisher TestexactdeBarnard TestexactdeFisher-Freeman-Halton Familledetableauxayantlesmêmesmarges(suite) avec

                   n1,1+...+n1,k=n1,•

. . .=

. . .

nh,1+...+nh,k=nh,• n1,1+...+nh,1=n•,1

. . .=

. . .

n1,k+...+nh,k=n•,k

                  

. Lesmarges(n1,•,...,nh,•,n•,1,...,n•,k)étantfixées,la connaissancedehk−h−k+1=(h−1)(k−1)valeurs déterminecelledetouteslesautres. FrédéricBertrandAssociationdevariablesqualitatives