MPSI 2 Semaine 17
Dans la suite on fixendansN∗ et les lettresa,b, c,. . . désignent des entiers relatifs.
Exercice 1 Anneaux de congruences
1. On note a≡bmodn, ce qui se lita est congru à b modulo n, la propriété n|(b−a), c’est-à-dire qu’on a : a≡bmodn⇔ ∃k ∈Z, a=b+kn. Montrer que c’est une relation d’équivalence, i.e.
qu’elle est réflexive, symétrique et transitive.
2. On note¯al’ensemble{x∈Z|x≡amodn}. Montrer qu’on aa¯=a+nZet qu’on peut trouverd dansa¯tel que 0≤d≤n−1.
3. PourkdansNet si a≡bmodn, montrer sans faire de récurrenceak ≡bkmodn.
4. Sia≡bmodnetc≡dmodn, montrera+c≡b+dmodn,a−c≡b−dmodnetac≡bdmodn.
5. On note Z/nZ l’ensemble des classes d’équivalence pour la relation de congruence modulo n.
Montrer que c’est un anneau et que l’application a7→¯aest un morphisme d’anneaux de Z dans Z/nZ.
Exercice 2 Inversibilité
1. Utiliser une relation de Bézout pour démontrer queaappartient à Z/nZ× si et seulement s’il est premier avecn. En déduire queZ/nZest un corps si et seulement sinest premier.
2. Sin∧c=d, montrer ca≡cbmodn⇔a≡bmod nd.
3. On appelle système complet de représentants modndes entiers a1, a2, . . ., an tels queZ/nZ soit réunion disjointe dea¯1,a¯2,. . .,a¯n. Sin∧c= 1montrer queca1,ca2,. . .,canest aussi un système complet de représentants modn.
4. Montrer que l’équationax≡bmodnadmet des solutions si et seulement si, en notantd=a∧n, ddivisebet qu’alors elle a exactementdsolutions.
Exercice 3 Corps premiers On se donnepun nombre premier.
1. Montrer qu’on a pk
≡0 modppour 1≤k≤p−1.
2. En déduireap≡amodp.
3. Sia6≡0 modp, montrer qu’on aap−1≡1 modp.
4. Pourα∈N∗, montrera≡1 modpα⇒ap≡1 modpα+1.
5. Montrer que les coefficients de (1−x)−p sont divisibles par p, à l’exception de ceux de degré multiple de pqui sont, eux, congrus à 1 modulop. On pourra considérer(1−xp)−1−(1−x)−p. Exercice 4 Unités et fonction d’Euler
1. Sia≡bmodneta≡bmodm, montrera≡bmodn∨m.
2. On note ϕ(n) le cardinal deZ/nZ×. On appelle système complet de représentants premiers àn des entiersa1,a2,. . .,aϕ(n)tels queZ/nZ× soit réunion disjointe dea¯1,a¯2,. . .,aϕ(n)¯ . Sin∧c= 1 montrer queca1,ca2, . . .,caϕ(n)est aussi un système complet de représentants premiers àn.
3. Supposonsn∧m= 1. Siaetbparcourent des systèmes complets de représentants modulonetm respectivement, montrer que am+bn parcourt un système complet de représentants modulonm.
En déduire que Z/nZ×Z/mZest isomorphe àZ/nmZ.
4. Montrer que les unités se correspondent et donc que les groupes Z/nZ××Z/mZ× et Z/nmZ× sont isomorphes.
5. En déduire queϕest multiplicative au sens suivant :n∧m= 1⇒ϕ(nm) =ϕ(n)ϕ(m).
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6. Montrerϕ(n) =nY
p|n
1−1
p
où le produit s’étend sur les diviseurs premiers den.
7. MontrerP
d|nϕ(d) =n, où la somme s’étend sur tous les diviseurs positifs den.
8. Sia∧n= 1, montreraϕ(n)≡1 modn.
Exercice 5 Ordre modulon
1. Pour a premier à n, soit d la plus petite valeur strictement positive de x pour laquelle ax ≡ 1 modn. On l’appelleordre deamodulon. Montrerd|ϕ(n). On pourra montrer que l’ensemble des xprécédents est un sous-groupe deZ.
2. Montrer que, pour tout entierapremier à 561, on aa560≡1 mod 561. Est-ce que 561 est premier ? 3. Montrer que siaest d’ordren−1, alorsnest premier.
Exercice 6 Construction de polygones réguliers à la règle et au compas
On cherche à construire l’angleαn= 2π/nà la règle et au compas, ou encoreexp(iαn).
1. Montrer que si on sait construireαn etαmavecn∧m= 1, alors on sait construireαnm.
2. On suppose n premier et on s’intéresse aux racines du polynômeΦn(X) =Xn−1+· · ·+X+ 1.
Exprimer les racines deΦ3 etΦ5 uniquement en extrayant des racines carrées.
3. On considèreΦ17. Montrer queek= exp(ikα17)parcourt les racines deΦ17sikparcourtZ/17Z×. 4. Montrer que 3 est d’ordre 16 modulo 17 et que, pour tout entierm,−3m≡3m+8mod 17.
5. On note xi =P
m≡imod 2e3m pour 0≤i≤1 et yi =P
m≡imod 4e3m pour 0 ≤i≤3. Exprimer lesxi et lesyi comme sommes de cosinus de multiples deα17.
6. Montrer quex0 etx1 sont racines deX2+X−4et quex0est la plus grande des racines.
7. Montrer quey0et y2 sont racines deX2−x0X−1 et quey0 est la plus grande des racines.
8. Montrer quey1et y3 sont racines deX2−x1X−1 et quey1 est la plus grande des racines.
9. Montrer que2 cos(α17)et 2 cos(4α17)sont racines deX2−y0X+y1et en déduire
cos(α17) = −1 +√ 17 +p
34−2√ 17 +
q
68 + 12√
17−16p
34 + 2√
17−2(1−√ 17)p
34−2√ 17
16 .
10. Expliquer pourquoi cette méthode, dûe à Gauß, ne fonctionne que sinest un nombre premier de la forme2k+ 1. Montrer qu’alorsnest un nombre de Fermat, i.e. de la formeFm= 22m+ 1.
11. Montrer queF5est divisible par 641 en remarquant641 = 54+ 24= 5.27+ 1. Pouvez-vous trouver un nombre de Fermat premier pourm >4?
A O E
KI
F
N5 N3
P5 B P4
P2
P3
P1
Voici une construction plus géométrique. Soit(O;−→OA,−−→OB)un repère or- thonormé et :
– I= (3O+B)/4,
– E sur[OA]tel que OIE[ = 14OIA,[ – F sur[AO)tel queEIF[ =π4,
– K l’intersection de[OB]avec le cercle de diamètre[AF]et
– N3etN5les points d’intersection de(OA)avec le cercleC(E;EK)avec N3 sur[OA].
Soit enfin P3 et P5les points d’intersection des perpendiculaires à (OA) passant parN3 et N5respectivement.
1. En notantγ=OIE[, montrer2 cos(AOP3) + 2 cos(AOP5) = tan(γ)et2 cos(AOP3).2 cos(AOP5) = tan(γ−π4).
2. Montrery1= tan(γ)et y2= tan(γ−π4).
3. En déduire que A,P3 et P5 sont les premier, quatrième et sixième sommet d’un polygone régulier à 17 côtés et terminer la construction.
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