• Aucun résultat trouvé

Algèbres de Lie semi-simples graduées par un système de racines et sous-algèbres C-admissibles.

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Partager "Algèbres de Lie semi-simples graduées par un système de racines et sous-algèbres C-admissibles."

Copied!
47
0
0

Texte intégral

(1)

HAL Id: hal-00129567

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00129567

Preprint submitted on 8 Feb 2007

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Algèbres de Lie semi-simples graduées par un système de racines et sous-algèbres C-admissibles.

Josiane Nervi

To cite this version:

Josiane Nervi. Algèbres de Lie semi-simples graduées par un système de racines et sous-algèbres C-admissibles.. 1997. �hal-00129567�

(2)

'&)(+*-,/.102(+3

,'465879(:0<;>=?03,/79.#,@3#BACDACA+EA

FHGJILK?MN!M2OQPMSRTM1ULV2WXILYZM1U

[]\_^8`Ja

# cbdB'e

,gf9,ih

4jk4!eml"b<#k'n46o"prqcop;S4jset##' u;v#w -xcyln

z

WXI

{_|~}1C€E)‚„ƒ‚8…i†E

‡ˆŠ‰'‹vŒ WUZUŽ‘-V2W1YZŽC’O“”XF•—–™˜gG)”1F1•TF1˜gš

ˆ ’™Y›UœV Œ PM1Uo“@W Œž?ŸM2 ?ILM1U~¡/MS¢8ŽCM>U£M2¤#Ž‘¥£U£ŽC¤

z ŒM2U  IrW¡/K—PM2M1U

z

W1I6K?OBU£¦?U£Y ŸM2¤M—¡/M>IrWVŽCO?MUG@U£’™K8U§¥£W ŒC_ŸM¨ ?IZM1U

‹

¥©W™¡/¤#ŽªUZU£ŽC 

Œ

M1Uš

(3)

! "#$% &'()"

%*+, --

./0,12

3547698:;=<?>/<@9A 8

B

"%2+ )%2C+,"D

E <FG:@HF98JIKJ<:ML47N@O45P5Q-<IF98SRTU9V<F0:WPKJ8J@XKJ<YKJ8Z<;*<; F9@H<KJ<6?:WKJ[\<P@H<6OT<]^8J<Y69<_*8S`a6H8J_*LKJ<6

[5@0:WTNOV<<6OL:@bN;*6Hc 69F\<_*<Od,;8T=<G@0:WI8J;<6OFH<KJKZ<6Xe N</KZ<6OTfV<-d;8J6H69<; FGg^h7iX<@9_:W;<FGjh

k(4 4&T=cmlifkonYpTOV<-d,;8JF98J45;q@9<L=@98J69<L:W@rh^ib<;s5:@HFutvOh^w,<KJ_:W;4AliOw=nX<FMvOh,>G<x<@

l>/<-nCy<FK:Y;=45F98J47;zT<O6H45N6{`{:WKJ[\<P@H< E `9:T_o8J69698JPKJ<TOV<A5<KJ47LLOV<</L:@|Mh&j}NP,<; F9x:WKZ<@<F

e&N=8~Q-47N<GN=;*@~47KJ<G8J_*L,45@HF0:; FT:W;6XK:YIK€:W696H8d,Iu:FH8Z47;T<6OL:W8J@9<6bTN:WKZ<6uhOp9l‚j}Nƒ-n9tl‚jON,„2n9t

lj}N…2nCy

]^<6/T<N†oL@9<_o8J<@96OL:W@0:W[5@0:WLx<6/6947;&FOT=<69FH8Z;OV<6z\:‡d† <@OKJ<6/;45F-:FH8Z47;6b<FG@-:LL,<KJ<@OKJ<6

TfV<-d;8JFH8Z47;6O<FOKJ<6/@V<6HNKJF0:FH6O;OV<I<6960:W8J@9<6*\:‡K:MKJ<IF9N=@9<T<6OTfV<_*47;69FH@0:WF98J45;62h

]^<L:W@0:W[5@0:WLx<…oV<F-:PKJ8JF^K1U9V<e&N=8ZA5:WKJ<;I<<; F9@9<bKJ<6:KJ[\<P@9<6T<X]ˆ8J<‰6H<_*8S`1698J_*L=KZ<6[5@-:TNOV<<6

L:@^N;‡69c 69F\<_*<T<@-:I8J;<6<Fe&N=85AXV<@98Sd<;&FN;<I47;T8JF98J45;Y6HNLLK2V<_o<; F0:8J@H<‰TU8J@H@V<TN=IF98S`

P8JKZ8JFV<OT<OI<@HF0:8J;<6O@9<L@V<69<;&F-:FH8Z47;6OKJ8uV<<6Y\:YK:Y[5@-:TN:WF98J45;M<FbKJ<6f:WKJ[\<P@H<6bT<G]^8J<GI45; `

F9<;:W; FN;</6945N=61`9:KJ[\<P=@9< E `9:T_o8Z6H698JPKJ<5h E <K€:/;47N6L,<@9_o<FT<OIK€:W696H8d,<@XI<6f:WKJ[\<P@H<6

[5@0:WTNOV<<6uh

E 45_*_o<zI45@947KJK€:W8J@9<*47;m47PF98J<; Fe N<(T:;=6zI<ŠIu:62tXK1U‚:KJ[\<P@9<TOV<LKJ4cXV<<':696H4 I8uV<<m\:qK:

[5@0:WTN:WF98J45;o<69F/6945;(L@H45L@H<P8S`1I45_o_zNF-:; Fuh

]^<GL,:@0:W[5@-:Lx</‹V<FHNT8J<YKZ</Iu:6bT<6O:KJ[\<P@9<6O69<_o8`1698J_oLKJ<6[7@0:T=NfV<<6OL:W@XN=;*69c 6HF\<_o<

T<Y@0:I8Z;=<6G6H8Z_oLKJ<_*<;&FŒK€:WI^V<5h

v; d;'KJ<YL:W@0:[7@0:WLx<mV<F9N=T8J<KJ<Iu:6O[V<;OV<@-:K60:W;6GK:‡I45;=T8JF98J45;(TU8J@9@V<TNIFH8JP8JKZ8JFV<?T=N

L:@-:[5@-:Lx=<Ž…=hz>/45N6YcV<F0:P=KZ8J6H6945;=6K:IK:6H698SdIu:WF98J45;qI47_*LK\<FH<zT<6z:KJ[\<P@9<6YT<*]ˆ8J<

69<_o8`1698J_oLKJ<6[5@-:TNOV<<6GL,:@ON;o69c 69F\<_*<T=<?@-:I8J;<6uh

O‘5’W“Z”J•9–—”‘˜™9š2›5œ u˜”š7‘ŸžOx<oLN@HL4769<*4WRGF9x8J6ML:L,<@M8J6zFH4'<69F-:PKJ8J69x :(KJ8J;s'P,<F1¡X<<;

69<_o8`1698J_oLKJ<G]^8J<z:KJ[7<P@0:W6G[7@0:T=<T'P cd;=8ZFH<@94 47FG69c 6HF9<_o6?:6/T<-d;=<TP c'g^h=iX<@H_:W;

:;Tmj‡hk(4 4 Tcmlifkn¢p£69<<(:KJ694(F9x=<*L:WL<@‡P&crh^ib<;s5:W@9F:;TvOhw,<KJ_:W;4AliOw=n

:;T F9x=<L:WL<@*P c¤vOhŒ>G<x=<@l>/<-nCy:;T¥F9x<';=45F98J47;m4R E `9:T_o8J69698JPKJ<o69NP `9:KJ[7<P@0:

8Z; FH@94 TNI<TP&c‡|zh5j}NP<;&FHx:KJ<@2t5¡Ox=8ZI-xMLK:2c 6¦:W;z8J_oL47@9F0:W; F@947KJ<X8J;MF9x<OIK:W69698SdI2:F98J47;

4R‰@H<TNIF98JA5<T=N:KL:8J@962hJp9l‚jONƒ§n9tl‚jON„~n{t,l‚jON…~nCy

¨1;*F9x=<Gd,@969FG:W;T*6H<I47;T(L:@-:[5@-:x6b¡b<G8J;T8JIu:WF9<GFHx<Y;45F-:FH8Z47;6X:W;T*@H<Iu:KJK^FHx<YT<-d;8S`

F98J45;6G:W;T*@H<69N=KZFH6Y¡Ox8JI0xo¡O8JKZK^P,<Y;<<T=<T8J;o45N@OL@H4 4RC62h

žOx<'F9x=8Z@HT#L:W@0:[7@0:WLx#69x=4¡O6*F9x=<'<e N8JA5:KJ<;I<'P<F1¡X<<;©6H<_*8S`1698J_*LKJ<*]ˆ8Z<q:KJ[5<P=@0:6

[5@0:WT<T P cd;=8ZFH<'@94 47F69c 69FH<_*6*:W;T ¡Ox8JI0xtf:WTT8JF98J47;:KJKJc&tA5<@98SRCc¤:W; 8Z@H@9<T=NI8JP8JKJ8ZF1c

I45;T=8ZFH8J45;qRC47@z6H45_*<@H<L@H<69<; F-:F98J47;6*I47_*8J;[oRC@H45_ªFHx<*[7@0:T=8Z;=[t:;=T¤]^8J<(:KJ[5<P=@0:6

I45; F0:W8J;8J;[': E `9:T=_*8J696H8ZP=KZ<Y6HNP `9:KJ[5<P=@0:h«žOx8J6z:KJKJ4¡O6?:oI47_*LKJ<FH<zIK:W69698SdI2:F98J47;4WR

F9x<6H<[5@-:T<T]^8J<?:WKJ[5<P@-:62h

¬ 6G:YI47@947KZK:W@9c8J;F9x:WFXI2:69<7t45;=<G45P=F0:8J;6bF9x=<GR1:IFbF9x:WFXFHx<Y69LKJ8JFX:WKZ[7<P@-:z:W69694 I8:WF9<T

F94F9x=<?[7@0:WTN:FH8J45;*8J6O<e N:WKFH4z8JF96OT=45NPKJ<YI47_*_NF-:; Fuh

¨1;FHx<L:@-:[7@0:L=x‹,t^¡X<M69FHNTcqF9x<I2:69<4WRX69<_*8S`a6H8J_*LKJ<]^8J<:KJ[5<P=@0:6Y[7@0:T=<TP c:

698J_*LKJcMK:I<T(@H4&47FO69c 69FH<_h

­8J;:WKJKZc8J;(F9x=<zL:W@0:W[5@0:WLx'MF9x<M[5<;<@0:WKIu:6H<8J6G69FHNT8J<T'¡O8JFHx45NFOFHx<M8Z@H@9<T=NI8JP8JKJ8ZF1c

I45;T=8ZFH8J45;q¡Ox8JI0x¡O:6‡N69<T—8J;L:W@0:W[5@0:WLxm…h«®<[58JA5<MF9x<MRNKJKIK:6H698SdIu:WF98J45;4WR}:WKZK

69<_o8`1698J_oLKJ<f]ˆ8Z<:WKZ[7<P@-:6O[5@-:T<TP c«d;8JF9<Y@94 47FO69c 69FH<_*62h

(4)

D ‰‡ , !

g 458J<; FzN;=<?:KJ[\<P@9</T<]^8J<G6HN@ <F

N;o69c 69F\<_*</T<G@-:I8J;<6bd;81t58J@H@V<TN=IF98JPKJ<Y<F

@V<TN=8ZFOT=<@0:W;[ ƒ5hg 478JF KJ<Y@V<6H<u:N'<;&FH8J<@G<;=[5<;T=@V<L:W@

h

!"C%2+"

D D lifknzliOw=nzl>G<-n“‚’

™

•˜G’5™5›7œ

!

š7œ"

•˜

$#

’5™5›5œ%

•§”

& ”'()7›+*

˜bœ ‘

#

’7™,7›5œ-5˜”š5‘

/.10

24365 7 8 2

›+5‘ •“9:uœ

““

8

2<;

=?>A@-B

•”

˜Œ•

œ7“

*

‘˜Œ•”DCFE

HG

>A@IBKJ

&

”£”'L’

M

™

•”N* “

›

O

“ZšPQ

R

›5š7‘˜“

•SP2•˜+

* ›

™,7u”‘

•

•§˜

T

•§˜M™

“J”J•U

0š* *

œ ‘

•§š7œ7•

#

’

M

™ ›

˜V

™”W ™

“X5˜”NV

*

‘˜!zœ ‘

•§š7œ7•

#

’

M

™ ›

!Y 5™˜Z7‘

4\

“9-š7‘›5”˜”š7‘

2^]

8 2

š5œ ™˜š5œ ˜C"E

_G >A@IB`J

6q‘š5˜a5˜”š7‘

2

›

•”’7‘

“R

•

™5›5”£u”

“X›

›5”b*

‘ •”š5‘dc^W•-•§š22”K

eC •”C

;

=f@

˜ Kg

= [ J

&

”£””'ihOš7œ ™O˜Cš7œ&˜kj'›

[

\/l-mKn

pZj,y2’5”˜ˆ•RW“97”™

*

‘˜,•œ ™8

2

+V

O“9VMW“

œ&™ ™9š ™ Cbpajy

J

&

”bVO'

•§˜

‘5’

‘›7™U

% 7™G“

•o8

2 \ CFE

J

’

M

™

•˜

I

“+

•š5œ7•

#

“’p

™

›

O

“Zš+P

•-•šu2”-

“R“’p

™

$#

’5™5›7œ

J

q

+r,

D9sˆD

g 86M<6HF

`1[5@0:WTNOV<<:WKZ47@96

=Tt

243+u

8 2 0 t

2v3+u lw8

2yx 8/z

2 n

{|

*zš7‘ •˜C™5˜”š5‘ hY¨1K6HN-}*FOT<YAXV<@98Sd<@Ge N<~8

g ] t

2v3+u lw8

2 x 8 z 2 n9h

]U‚:KJ[\<P@9<<6HF<;[7<;T@V<<YL:@KJ<68

2

L,45N@C"E

L,:@I47;6V<e&N=<; Fut F947NFzV<KuV<_*<;&F

T<`8

g

6uU9V<I@H8ZF/I45_o_*</N;<M6945_o_*</TU9V<KuV<_*<; FH6GT<K:ŽRC45@H_*<zl€

2- xM‚‚M‚

l€

2Kƒ x€ 24„

n

‚‚M‚

n

4 \N^€

24… E<8

24… ‚

†G;F9<KfV<KuV<_*<;&F;47;z; NK,:LL:W@9FH8Z<;&F/\:8

24„ˆ‡y2-ƒ,‡Š‰‹‰‹‰‡y2-

p,<;A5<@9F9NT=<OK€:

`1[5@-:TN,:F98J47;y

<FOK:6H45_*_o<XT=<6G@-:I8J;<6CpŒ6dŽŽŽRC6 :LL:W@9FH8Z<;&F\:

dG

>A@IB

h‘/N8JF9F9<\:‡@9<[7@947NL<@

F945N=6OKZ<6V<KuV<_*<; FH6f:WLL:@HF9<;,:; F\:MN;*_<_*<O6H45N6{`a<69L:WI<`8

2

t=LN8J69e N<YK:6H45_o_*<bT<6

6945N=61`1<69L:WI<6’8

2

t“CE

t,<6HF?T=8Z@H<IFH<5t^I<6qV<K2V<_o<; F96/6945; F/T:;68

g

hG]:M6945_o_*</T<6

@0:I8Z;=<6”C Œ •ŽŽMŽ–dC  <69F; NKJKJ<5h`—/;<;TOV<TN8JFe N<`C Œ •ŽŽMŽHC  z Œ

=™˜

C  <69F

N;<@-:I8J;<T=<

<FGe N<YI-x:IN=;'T<6qV<K2V<_o<; F96l€

2- x‚M‚‚

l€

2-ƒ x € 24„

n

‚M‚‚

n:LL:W@9FH8Z<;&F

\:(lš8

2- x 8 z 2-

n9h

›œ

q

+r,

D9ˆD

g 8Q'<69F

`1[5@0:WTNOV<<*:WKJ45@96'<69FML:W@1Ra:W8ZFH<'pN

= l x

Wn£y/<FM45;m:

l[ x 8 2 n = 8 2

L47N@OF947NFžC"E

h

v;m<Ÿ^<F2to DC¡E

8JK<† 8J69F9<¢j£E¤[ F9<Kbe N<¢CbpZj,y

;

=¥@

<FMF947NFmV<KuV<_*<; FYT<¦8

2

L<N=FG6uUHV<I@98J@9<T€

2 = Œ

24§9¨©

l‹j

x € 2

n9t L:@OI47;6V<e&N=<; FutJl9 [

x 8 2 n = 8 2 Eml x

n9h

]:MTOV<_o45;6HF9@-:F98J47;T<K:@H<_:W@9e N<Mƒ5h‚„hL@947NA5<ª8

g

El x n9h

(5)

+r, DD

e&N=<

6H458JF6H8Z_oLKJ<_*<;&F,K:I^V<7h:@I45; FH@9<Oib<;s5:@HFut5w,<KZ_(:;4A/<F>/<x<@2t5I45_*_o<;45N6

KZ</Ra:W8J6945;=6X62U:AŸ @-:;I-x8J6H69<; FGT=<?I<F9FH<zI47; F9@0:W8J;&FH<5h>G47N6O@9<A&8J<;=T@947;6GT:W;6OK:T=<@9;8\<@H<

L:@HF98J<pG‹ y6HN@GKJ<YIu:6O4^\N

<69F/698J_*L=KZ<_*<; FK:I^V<YKJ45@H69e N<M<69F/69<_o8S`a6H8Z_oLKJ<5h

sˆD‡ )M!++

"Y(%$^Œ=+

Or, ‰

E <6Y<69L:WI<647; FG;47F0:_o_*<; FV<FV< V<FHNT8uV<6YL:@/|zh^jON=P<; FHx:KJ<@/T45; FG;=45N6/<_*L@HN; `

F945;=6OKZ<6O;45F-:F98J47;6p9l‚jONƒ-nCyh^>/45N6O@-:LL,<KJ45;=6GP@H8C\<A5<_o<; FXT:W;6OI<e N8^6HN8JFOe N<KJe N<6

@V<6HNKJF0:FH6GNFH8JKZ<6uh

s^D

D ^%2 ¦)W%u O+, -- C

¦‰=+

Or, bb

C

bŽŒz £

Y)+,

^DY "¤,)

O

2 %+"D

g 458JFMN;<Y:KJ[\<P=@9<GT=<?]^8J<O6H<_*8S`1698J_*LKJ<I45_*L=KZ<†&<7t/[/N;</6945N=61`9:KJ[\<P=@9<YT< E :W@9F-:;T<

<F KJ<Y69c 6HF\<_o<?T=<@0:WI8J;<6OT<K:‡L:8J@H<Žpb

x

[yh

g 8C EtO;47N6TOV<6H8Z[7;<@H45;6oL:@

2

K1UN;8Je N<#V<K2V<_o<; FT<ml z 2 x

K27nzp£4 \N|K2 <69F

KaU<6HL:I<G@0:WT8JI8J<K,T<OT8J_*<;=698J45;(ƒG:6H694 I82V<z\:C‰y¦F9<K,e N<Cbp

2 y =

„h E U<69FbK:/I45@-:I8J;<

T<CXh

]U<;6H<_PKJ< <F-:; FN;=<P:6H<T<t2;45N=6^TfVV <698J[7;<@947;6L:@e‡qp£@9<6HLh

z

y,K1U<;69<_PKJ<

T<6@-:I8J;<6YL,456H8ZFH8JA5<6p@H<69Lhz;OV<[&:WF98JA5<6-y/@9<K:FH8JA5<_o<; Fz\:Mhzg 8<69FN;=<zL:W@9FH8Z<MT<

zt};45N6TOV<698J[5;=<@947;6(L:@ KaU<;=69<_PKJ<oT<6*@-:I8J;<6*I47_P8J;:8J6947;6MKZ8J;OV<2:8J@9<6

TU9V<KuV<_*<; FH6T< tŒL:@!"# ‡ p@H<69Lh$"#

z

y¢KaU<;=69<_PKJ<T<6z@-:I8J;<6L,456H8JF98JA5<6

p@9<69LhŒ;fV<[&:WF98JA5<60yOT=<%&h

g 458JFo[('¢KaU47@9F9x=45[547;:K=T<%‡T:;6[

[)'

=¡>

™E [ x

Cbp'y

=d@IB

]^<YI<; F9@-:KJ8J60:WF9<N@+*,'GT=<`[)'GT,:;6<6HF

*'

=-

n

p,[ ' y =

[. /

2430 '21

2

—G;(@H<_:W@9e N<@-:Me&N=<”[

=

[)' 0 t

243

'

2 h

]U‚:KJ[\<P@9<3*,'Y<6HFGN;<:WKZ[\<P@H<@V<T=NIF98JA7<T<I<;&FH@9<^[)'G<F%*4' = l5*' x

*,'Hn<69F/N;<z:WKZ[\<P@H<

T<]ˆ8Z<o69<_o8S`a6H8Z_oLKJ<T47;&F$[&p6y

= t

243

'

7

2

<6HFN;<*6H45N6{`{:WKJ[\<P@H<*T<

E

:W@9F0:W;h]ˆ<6

@9<6HF9@98JIFH8J45;6/T<6'V<KuV<_*<; F96OT=<8(\:$[ pyŒRC47@9_o<; FXN;=<P:6H<YT<YK€:‡L:W8Z@H<p9*4' x [ p' yHyh

—G;(TOV<§d;8JFOKJ<6?:WKZ[\<P@H<6O;8JKJL47F9<; F9<6;:

‡' = t

2v3)<>=

z 0 '21

=

K2

<FOT<_(:;8\<@H<?:;,:KJ45[7N<?:

z' h

]U‚:KJ[\<P@9<A@B'

=

*,'C:

‡'

<69F/N;<Y6947N61`9:KJ[\<P@9<L,:@0:WP47KJ8Ze N</69F-:;T:W@9T(T<oh

—G;(TOV<§d;8JFO<;6HN8JF9<K1U9V<KuV<_*<;&F>3'/T<’[L:W@OKJ<6V<e N:FH8J45;6

Cbp3'y

=H@

 DC"ED

Cbp3'y

= „  DC"ED$E>

]U9V<KuV<_*<;&F>3'/<69F/T:;=6[('Wh

47N@F$E

t45;oL4769<

mHG

py

=¡>

€ E^

x l ' x

€on

=

„2Fv€

B ‚

(6)

= t

G

3 m G

p6y l

m

py

x

m

p6yn m

‡

py  

x E

*' = m g

p6y : ‡'

=¥t

Πm

p6y : z

' = t

z Πm p6y

]^<6Y6947N61`1<6HL:I<6 mHG

p6yGTOV<-d;8J696H<; FYN;<

`1[@0:T=N:FH8Z47;T<(:LL,<KuV<<M[5@0:WTN:WF98J45;(T<

F1c&L,<ML:@-:P,45KJ8Je&N=<5t,<FK:@H<L@V<69<; F0:WF98J45;T=< *' T:;6YI-x:WIN;qT<6<6HL:I<6 mHG

p6yY69<@0:

;45FV<<*p9*' x mHG

p6y9yh

+Œ+ C%2+"HsˆD D D

Šq™

™

•

‘˜a5˜”š7‘mp9*,'

x m

ŒpyHy

•˜Y”™™

›7œ u˜”

“

•”

˜/•

œ7“

#

*

‘˜O•”b5™9›

&

$EJy

= ƒ &

/

•˜

# #

›7”™

•”@B'

•˜%* 5”N*!“

' J

pA5478J@GL:W@G<† <_oLKJ<

lj}Nƒ-n^45Nl‚jON,„2n9t5KJ<_o_*<O„h‚…h‚…=hyh

>G45N=6X:T47LF9<@945;=6‰K:/I47;&A7<; F98J45;M[5@-:Lx=8Ze N<bT<b|zh5j}NP,<; F9x:WKZ<@e N8 I45;6H8J69F9<\:/<;=I<@1`

IKJ<@G6HN@OKJ<?[7@0:WLx<YT</c&;=s&8J;oT<%FH45N6OKJ<6(V<KuV<_*<; F96OT=<8$E> h

v† <_*LKJ< I

]^<6@9<L@V<6H<; F0:WF98J45;6/p9*,'

x m

Œpy9y¦69<bTfV<I47_*L,4569<;&F:KJ45@H6T<bK:b_:W;8C\<@9<69N=8ZA5:W; F9<5hž45NFH<

L:@HF98J<OT<;¥<69Fb8JT<; F98SdGV<<M\:/N;6947N61`1[5@-:Lx</T</c ;s 8Z;MT:W;6KJ<e N<K,45;M;<OI47;698JT^\<@H<

e&N=<KJ<6G6H45_*_o<F96O:6H694 I82V<6:N=†#V<K2V<_o<; F96GT=<% <FGKJ<6Y:@u<F9<6Ye N8KJ<6Q-458J[7;<; Fuhb¨1K<69F

:KJ45@H6OL4769698JPKJ<YT<YL:W@9KJ<@OT<6/I45_oL4760:W;&FH<6OI47;;<† <6/TUN;<YF9<KJKJ<YL:@HF98J<5h

g 86C<ED E>M;=45N6O;47F9<@H45;6J

2

K:MI47_*L,456-:; F9</I45;;=<† <T<

G > C B

I45; F9<;,:; FCbh

—G;(TOV<§d;8JFI

2 = 2

˜>

C B [ 2 = t

-3

2 = [ 2 . t

-30

1

: ‡' = t

-30

1 = z 0 ' 1 =

m

Œup6

2 y = m

Œ2py:

‡'

g 873'

<6HFGK1U9V<KuV<_*<; FT=<”[

2

AXV<@98Sd :W; F

Cbp3'

y = „ <F p3'

y

=_@

 ^ED

2

45;':z:WKJ45@96I

m

Œup

2 y

=•>

€ ED:

‡' x

l,3'

x

€on

=

„–€

B

+Œ+ C%2+"<s^D

D9sˆD

p9l‚jONƒ-n^L@947LhGƒ7h„=h‚„h‚y

& ”’

M

™ 2

•˜Oœ ‘

“’p

™ ›

Œ”

•”N* “

›7š5‘˜}“

’7™, – ›

{P‘ 5”£‘

•§˜

2

˜ 2 = : z

'

&*,'

 : ‡'

&

”£”'(“‚’

™ @ ' 2 =

*,'

 : ‡'

•˜bœ&‘

•š5œ7•

#

“‚’

™ 7™,

šW“Z”N:2œ

*!!7”N*!“

› 2 J

&

”£””'#"š5”˜ = Œ .^%$ .

‚M‚‚

.FŽMŽŽa &'“Xz›

0š* š•”˜”š7‘›

‘o”›

5œM•”N* “ •

˜•š5”˜

= Œ . '$ .¦ŽMŽŽ.+(&Š“9M›

-š+* šW•§”£˜C”š7‘*-š5™™

• š5‘=›+5‘=˜

› J

"š5”˜)«“R

‘ •

* “

›

•¢”£‘›5”

•G˜

“S•:uœ

qp$E>y

=+*vJ,

‘)$“Jš5™-•

*,'

=.-

3/

- / ' *'

(7)

J

&

”bVO'

,

‘^

m Πpy

= 0

243 z ' m Πp

2 y

˜-–v+:2œ

m Πp

2 y

•˜*' #

•˜a

“ o

˜”™™U

›5œ u˜”

“

•§š7œ7•

“R7u˜”š5‘Š›

*' \

˜b›5š7‘!š7™˜C”£š5™”•š5œ7•

““

› *' J

& V'

•

“+

*

‘˜•; '

paC"EDCE>yš7™S*

‘˜Œœ&‘

’

› [ ' J

g 458J<; F KJ<[5@H45NL,<:TuQ-478J;&FOT=< ,t ' KZ<MI<; FH@0:KJ8J60:WF9<N=@?T=< ' T:;=6«h?]ˆ<z[7@945N=L<

' <6HF?:N=69698KJ<G6947N61`1[5@H45NL,<z:W;:KJc F98Je N<GT=<zr :2c :; F?*' L,45N@G:WKZ[\<P@H<?T=<z]^8J<5h

>G45N=6O;45FH<@947;6zp '

x m

ŒupyHyOK:‡@9<L@V<69<;&F-:FH8Z47;T=< 'YT:;=6

m

Œupy}T45; FOK:‡TfV<@98JAbV<<<69F

K€:‡@9<L@V<6H<; F0:WF98J45; p9*,'

x m

ŒupyHyh

Ž!&+,

1s^D

D9ˆD

p9lG8SnCy

’7™9š7œ

I

'q‘/¦:uœœ ‘m‘=š+*

™

WŒ‘”O›6š7™

”˜

•›+5‘ •

m

Œ2py

J

O‘ 5™˜”2œ5“J”

™ \

”J“

7”J•˜

œ ‘

š5™

”˜

5™”J•

#

š5œ-V

™˜

\

k

•˜

# #

›5”™

:2œ

p'

x m

Œup6y9y

•˜bœ&‘

•

%

™

–š*zš-’

‘ & ›

˜ZP

v 7™,

šW“Z”N:2œ

'5h

!"C%2+"¤sˆD

DD

p9l‚g/nCy

•

ª

™

–=š+*Mš0’

‘

p ' x m ΠpyHy

•˜M›5”˜™

’7œ7“Z”

™

•I”J“

7”J•˜

œ ‘

“+

*

‘˜›

“Rš5™

”˜

š7œ-V

™˜

)

˜‡œ&‘ ”‘4VM7™”N5‘=˜™

“97˜C”˜

“:2œ

“

•0•”

‘(›

‘ •§š7”˜‘š7‘'‘œ7“

J

Y

˜˜

-š5‘›7”˜C”£š5‘

•˜

‘-š5™

:uœ ”NV“

‘=˜

“Jš5™-•S:2œ

“

’5™Hš5œ

I$

•˜O™

›7œ&2˜” \  :2œ ”

•˜b“

RW•Ž”£u”

\

5œS7”˜:uœ

“

••š5œ7•

#

’5™Hš5œ

I

•›6”J•š7˜C™Hš ”

’

‘o

™”N:2œ

•Y•š5”

‘˜b™U

›5œ u˜”

J

s^D9sˆD ", )

$

0%2

%uWDG.

2NX)=%u+"q/)WY¦! +,+

"

C! )%2C

G!

5?(%$^(Œ+

ˆr, ,D

+Œ+ C%2+" s^D9sˆD D

p9lY4nCy š7œ5•Š•§œ

šW•

™9š7‘ •L:2œ

3'

•˜‡“R

“+

*

‘˜¢•

*M”

#

•§”b* “

›6œ ‘

$ #

˜™” “ ˜\

k

•˜

# #

›5”™

:2œ”J“

7”J•˜

€ E m

Œup6y

˜ E m z Œupy ˜

“•

:uœ

l x

€on

=

3'

‚

& ”'š7™

”£˜

š5œ-V

™˜

›

p ' x m Πpy9y

•˜ˆ“R

‘ •

* “ ›

•^E

m Œ pyY˜

“S•:uœ”€“

7”J•˜

œ ‘

$ #

˜™” “

˜›

“9š5™S*

p

x ' x y

J Y

•

“+

*

‘˜•/•š5‘˜

+ v

“+

•<

“+

*

‘˜£•f’

‘

™”N:uœ

• J

&

”£”'Žp ' y x m Œ p6y9y

•§˜bœ ‘

•

%

™U

–=š+*Mš0’p

‘

™

’7œ7“Z”

™ J

+Œ+ C%2+"|s^D9sˆD9sˆD

p9l‚jON ƒ-nCy

+

š•š7‘ •*p ' x m Œ py9yo”™™

›7œ u˜”

“ J

•z-š7‘›5”

#

˜C”š7‘ •Y•œ&”bVM7‘˜

•Y•š5‘˜)

:uœ ”NV“

‘˜

• J

& ”'«p '

x m

ŒpyHy

•˜X™

’7œ7“Z”

™ J

&

”£”'83'

•˜“

“+

*

‘˜•

*z”

#

•”N* “

›6œ&‘

$ #

˜™” “ ˜J

E

<F9FH<?L=@945L,456H8JF98J45;L,<@9_o<F;47F0:W_*_*<;&FTU9V<F0:WPKJ8J@K:YKJ8Z6HF9<OT<6X<6HL:I<6GL@V<x47_*45[\<;<6

8Z@H@V<T=NIF98JPKJ<6Y@V<[5NKJ8J<@H6?T=<zF1c L,<L:@-:P,45KJ8Je N<e N8<69FY@9<L=@94 TN8JF9<T,:;6/K€:

%2

\:

K€:¢d;(T<YK1U‚:@9FH8JIKJ<5h

q

+r, sˆD9sˆD9^D

pHl‚jONƒ§n{tˆF9xh(„h‹h‚y g 8>:'S‡ <69FMN;<*:WKJ[\<P@H<*I47_*_NF-:FH8ZA<

:KJ45@H6

m

Œupy

=

:'S‡—<FOK1U<6HL:I<YL@V<x47_*45[\<;<Y8J@9@V<TNIFH8JPKJ<?T=<?F1c L,<L:W@0:P,45KJ8Je N<G<69F

T8JF‰I45_*_N=F0:FH8SR0h E <6Œ<69L:WI<6b6947;&FŒ45PFH<; N6<;M8J_*L,4560:W; FX\:/K1UN=;8Je&N=<X@-:I8J;<C<EDE

T<Od[7N@9<@f:2A7<IGN;oI4 <}*I8J<; FYƒOT:;=6XK:/TOV<I47_*L,456H8ZFH8J45;MT<GK:YLKJN6b[5@-:;T=<O@0:I8Z;=<GT<

e‡Oh

]:‡KZ8J6HF9<GT=<6O<69L,:I<6/L@V<x45_o45[\<;<6b8Z@H@V<T=NIF98JPKJ<6OI45_*_N=F0:FH8SRC6<6HFO@9<L=@94 TN8JF9<‡T:;6

K€:

%2

)s

<;(d;(TU‚:W@9F98JIKJ<5h

(8)

s^D9ˆD.Y+"%u )%2+" M+ §0 /a2 WD

jG:L=L<KJ47;6'L,45N@'I45_*_o<;I<@K:—TOV<-d,;8JF98J45;T<66H45N6{`{:WKZ[\<P@H<6 :WT_*8J6H698JPKJ<6*<F E `

:T_o8Z6H698JPKJ<6b8J;&FH@94 TN8JFH<6OL:@O|MhjONP,<; F9x,:KJ<@OT:W;6l‚jON„~n{h

g 458JFzp *,'

x m

Τp6yYN;q<69L,:I<L@V<x47_*45[\<;<T=<zF1c L,<zL:W@0:WP47KZ8Je N<T,:;6YN;<:KJ[\<P@9<MT<

]^8J<Y69<_o8`1698J_oLKJ<Q,h

>G45FH45;6 K1U<;69<_PKJ<zT<6@9<6HF9@H8ZIF98J45;6M;47;; NKJKJ<6YT<6mV<KuV<_*<;&FH6YT<+ \:<[)'tK:@H<-`

69F9@H8JIF98J45;\:^[)'/TUN;<Y@0:WI8J;<C <F-:; FO;47FVV << Cbh

47N@C"Et 47;TOV<-d;8JF

8 2

=•>

€ E^

x

l,

x

€on

=

CXp6'yO€

x   E1[)'

B ‚

+Œ+ C%2+"<s^DX^D D

 DC"E

\ 8 2 = t

2

˜Œ•” CFE E> “Zš7™-• 8 2 = m Œ p

2 y ‚

]:MT<N=†&8\<_o<'V<[ :KJ8JFV</<69F/8Z_o_#V<T=8€:WF9<b698KaU47;*@9<_:@He N<Ge N<

m

Œup

2 y = /

3Š§

'

©

4 \NYp

2

y—<6HFOKaU<;=69<_PKJ</T<6G@-:I8J;<6GT<YK:YR45@9_o< =

C$ t E&

2

h

!"C%2+"|s^D9ˆD9sˆD

0š7œ “ p

x

y

•˜O›5”˜7›+*M”J•-•§”

“

•”

˜O•

œ7“

*

‘˜b•” š7œ ™

˜Cš7œ&˜ŠC"E E x p9*,'

x m

Œup6

2

y9y

•˜œ ‘

• ™U

–=š+*Mš0’p

‘

™

’7œ7“Z”

™ \

/

•˜

# #

›5”™

•I”J“

7”J•˜

€ z 2

E<8 z 2 x € 2 E"8

2 ˜

“•:2œ

pN€ z 2 x ' x € 2

y¢•§š7”˜bœ&‘

$ #

˜™” “

˜h

!"C%2+"^s^D9ˆD9ˆD

-š5œ “ p

x

y

•˜›7”˜

Y#

5›+*M”J•-•”

“

•”

˜^•

œ5“

*

‘˜•§” š7œ ™

˜Cš7œ&˜ C E EJ

x p *' x m Πp6

2

yHy

•˜Yœ ‘

•

!

™

–š*zš-’

‘

”™™

›7œ u˜”

“

™

’7œ7“Z”

™

0š* *Mœ ˜Z7˜C”h

Ž!&+,

sˆD9^DD

p9l‚jON…~nF9xh…h‚…h‚y "”^“

-š5œ “ p6

x

y

•˜Š5›+*M”J•-•”

“ \

“9S+*M”J““

› • $ #

˜™” “

˜£•ªpN€ z 2 x 3'

x € 2 y š5œ ™"C<EDDE

‘5’

‘›7™

œ ‘

•š7œ5•o“‚’

™

•”N*

#

“ '«›+5‘ •

\

›5”£˜

•š5œ7•

#

“’p

™

7›+*M”J•-•§”

“

•-•šu2”-

5œ'-š5œ “ p

x

y

J

"”G›

o

“Jœ7•*p

x

y

•§˜

Y#

7›+*M”J•-•§”

“ \

W“Zš5™§•z“

‘ • * “

Ÿ›

•*™,7u”‘

•™

•˜C™

”‘=˜

•£

[ ' \

•˜Œ“

•SP2•§˜

* ›

™,7u”‘

•›

“9 7”™

pN ' x [ ' y

˜6 '

•˜

I

“+

“9•š7œ5•

#

’

M

™

Y#

5›+*M”J•-•”

“

W•0•š2u”-

R

5œ(-š5œ “ p

x

y

J

q

+r, ”sˆD9ˆDˆD

]:/IK:696H8SdIu:FH8J45;MT<6L:@HF98J<6X:WT_*8J6H698JPKJ<6Xp£@9<6HL<IF98JA5<_*<; F E `

:T_o8Z6H698JPKJ<6-ybT:;6/KJ<6:KJ[\<P=@9<6/T<Ž]ˆ8J<698J_*L=KZ<6G:mV<FV<mV<F0:WPKJ8J<*\:L:W@9FH8Z@/T<MK€:MF-:PKJ<*ƒ

p@9<69LhŒF0:P=KZ<„7yh

]:MKJ8J69F9</T<6/6945N=61`9:KJ[\<P=@9<6 E `{:WT_*8J696H8JPKJ<6<6HFGI<KJKJ<YT<K:

%u

h

?:W;6K:qL@9<_*8C\<@9<(I47KJ45;;<ŠT<'I<FHF9<qF0:WPKJ<<69F(T<6H698J;OV<'KJ<'T8:W[5@0:W_*_<T< Gc ;s 8J;

:696H4 I8uV<z:N'I45NLKJ<5p6

x

y}<FGT:W;6GK:MT<N† 8C\<_*<YI45KJ47;;<Y<69FY_o<; F98J45;;OV<GKJ<F1c L<‡T<K:

6945N=61`9:KJ[\<P=@9<

E

`9:T_o8J69698JPKJ< '7h

—G;(@H<_:W@9e N<@-:Ye N<YI<F9FH<F0:WPKJ<G;<Y_o<; F98J45;;=<OL:6bKJ<GIu:W6OF9@98JA 8:K

=.*

t5I5U<6HF1`\:2`1T8J@9<

' = h

Références

Documents relatifs

17 Dans cette question – la plus longue du problème – commencer par démontrer, en utilisant les résultats établis à la question 11, que s’il existe une base de trigonali-

C'est seulement dans le cas de dimension «finie que les groupes B^ et B sont conjugués (cf Tits C33 p 544) et que l'on peut donc se contenter de ne considérer qu'un seul de

L’accès aux archives de la série « Publications du Département de mathématiques de Lyon » im- plique l’accord avec les conditions générales d’utilisation

Soit fi une algèbre de Lie A-graduée, relativement à e .fi 0 est une sous- algèbre de Lie (au sens usuel) de fi.. Pour que A soit e-commutative il faut et il suffit que A ^ le

L’accès aux archives de la série « Publications du Département de mathématiques de Lyon » im- plique l’accord avec les conditions générales d’utilisation

directe d’idéaux sympathiques irréductibles (c’est-à-dire sans idéaux sympathiques non triviaux). Ces trois résultats sont classiques si l’on remplace sympathique

Cet inva- riant ainsi que des résultats antérieurs obtenus dans un article sur les formes trilinéaires alternées permettent de classifier ces algèbres de Lie quand elles

Finalement, nous utilisons dans la section 8 une propriété de l'algèbre des co variants d'un groupe engendré par des pseudo-réflections, ainsi qu'un résultat de Soergel, pour