HAL Id: jpa-00249729
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Submitted on 1 Jan 1997
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Étude théorique de matériaux bianisotropes synthétiques contrôlables
Fabrice Auzanneau, Richard Ziolkowski
To cite this version:
Fabrice Auzanneau, Richard Ziolkowski. Étude théorique de matériaux bianisotropes synthé- tiques contrôlables. Journal de Physique III, EDP Sciences, 1997, 7 (12), pp.2405-2418.
�10.1051/jp3:1997267�. �jpa-00249729�
J. Phys. III IYance 7 (1997) 2405-2418 DECEMBER 1997, PAGE 2405
#tude th40rique de mat4riaux bianisotropes synth4tiques
contrblables
Fabrice Auzanneau (~,*) et Richard W. Ziolkowski (~)
(~) CEA CESTA, BP 2, 33114 Le Harp, France
(~) Department of Electrical and Computer Engineering, The University of Arizona, Tucson, AZ 85721, USA
(Regu le 14 mars 1997, rdvisd le 23 juillet 1997, acceptA le 8 septembre 1997)
PACS.41.20.Jb Electromagnetic wave propagation, radiowave propagation PACS.41.20 Bt Maxwell equations, time-varying fields, conservation laws
PACS,41.20.-q Electric, magnetic and electromagnetic fields
Rdsum4. Nous analysons )es propr14tds dlectromagn4tiques de mo14cules composdes de pe- tites antennes relides h un circuit dlectronique hndaire, plongdes au sem d'un milieu h6te. En fonction de la charge, nous retrouvons des modkles connus (Debye, Lorentz) et gdn6rahsons leurs propridtds (Time Derivative Debye et Lorentz). La dualitd entre mo16cules didlectrique et ma-
gnAtique permet de r6ahser des matdriaux satisfaisant h er
= ~r. Les propridtds des moldcules bianisotropes, composAes de deux antennes, obtenues par ce procAdA sont prdsentdes. Enfin, l'ap- plication de lois de m61ange permet de sp6cifier les propr16tds globales du mat6riau composite final.
Abstract, We analyse the electromagnetic properties of molecules composed of small lin-
early loaded antennas, in a host medium. Depending on the load, we obtain various previously
known models (Debye, Lorentz) and generalize their properties (Time Derivative Debye and
Lorentz) Inherent duality between dielectric and magnetic molecules allows us to derive a matched material satisfying er
= ~r. The EM properties of bianisotropic molecules composed
of two antennas in tandem are presented. Finally, applying the Maxwell Garnett law, we derive the EM caracteristics of the composite material.
1. Introduction
Les matdriaux absorbant les ondes dlectromagndtiques ont de nombreuses applications pra- tiques, depuis la furtivitA jusqu'h la compatibilitA AlectromagnAtique, en passant par les revAte-
ments de parois de chambres anAchoiques. Les matAriaux chiraux artificiels [1-3j sont le fruit
de ce besoin. De nombreuses publications se sont attachAes h l'Atude et aux applications de matAriaux constituAs de charges de type hAlices mAtalliques plongAes dans une matrice diAlec- trique.
Mais les matAriaux chiraux ne sont qu'un exemple de matAriaux bianisotropes. Nous propo-
sons ici une analyse des propriAtAs AlectromagnAtiques de tels matAriaux constituAs d'antennes (*) Auteur auquel doit Atre adressde la correspondance
@ Les (ditions de Physique 1997
lo
_
a~ To
fill al
~ ~
(a)dip61e 16) boucle
Fig. I. Description des antennes.
[Description of antennas
de petites dimensions vis-h-vis de la longueur d'onde reliAes h des circuits Alectroniques de
charge permettant de contr61er leurs propriAtAs [4-6j.
AprAs une brAve prAsentation dans le paragraphe 2 des bases nAcessaires h la comprAhension
de notre dAmarche, nous analysons au paragraphe 3 les propriAtis de matAriaux anisotropes
rAalisables simplement. Le principal rAsultat est la mise en Avidence de la dualitA entre pro-
priAtAs diAlectriques et magnAtiques, qui permet de rdaliser simplement des mat4riaux non rAflAchissants (Er = /Jr),
Le paragraphe 4 prAsente la gAnAralisation h des matAriaux bianisotropes et donne les for- mules permettant de rAaliser de tels matAriaux. Les propriAtAs des rnatAriaux chiraux classiques
sont retrouvAes simplement. L'utilisation d'une loi de mAlange (piragr. 5) permet de calculer les propriAtAs AlectromagnAtiques globales du matAriau effectif.
Nous utilisons la convention -juJt dans cette Atude.
2. Description des antennes
Nous consid4rons le cas du dip61e 41ectrique et de la boucle main4tique d'axe I, de petites dimensions radio41ectriques ii.e. kto,kro < I, oh 2to est la longueiir totale du dip61e, ro est le rayon de la boucle et k
= uJ/c est le nombre d'onde dans le vide) dAcrits sur la figure I. Pour
une loi de courant induit sur le dipole de la forme
Ilz) = Ioll [~)
la longueur effective h de l'antenne est h
= -to sin 0ha, 0 4tant l'angle polaire d'4mission et le
voltage induit aux bornes vaut
Voc
= E h
oh E est le champ total sur l'antenne. Le circuit de ThAvenin 4quivalent pour le dip61e et sa
charge nous permet de trouver le courant aux bornes de l'antenne
Im
~ IjZ
# oj
#
~°~
zin + zL
oh Zm est l'impAdance d'entrAe de l'antenne et ZL est l'impAdance de la charge.
La polarisation Aquivalente de la '~molAcule Alectrique" ii.e. l'aritenne couplAe h sa charge)
est donnAe par
P
=
~~~°
= EOXeE juJV
~~ -jUJZd(UJ)
N°12 MAT(RIAUX BIANISOTROPES CONTR6LABLES 2407
est la susceptibilitA Alectrique Aquivalente,
Ke 12
=
°
cos file sin0 EON
est une constante positive, file est l'angle de polarisation entre l'axe de l'antenne et le champ Alec- trique incident, V est le volume effectif dans lequel la permittivitA du composite est constante, Zd(uJ)
= Zm + ZL est l'impAdance totale, et Eo est la permittivitd du vide.
L'imp4dance d'entrAe d'un dip61e 41ectrique de petites dimensions est approximativement
~~~~~ -j/~Cd
oh Cd = ~EotoIQ est la capacit4 4quivalente au dip61e, Q
= In(2to lad est le facteur d'4paisseur de l'antenne et ad le rayon du fil.
Pour une antenne boucte de petites dimensions, le courant induit IO est constant. Le circuit
Aquivalent de Norton pour I' antenne et sa charge nous en donne l'expression suivante
oh H est le champ sur la boucle, Ia est le courant h travers
vL = IL ZL
= IaZm
d'oh l'on tire l'expression finale de Ia, courant aux bornes de l'antenne
la = Io/(I + j~).
L
L'impAdance d'entrAe d'une antenne boucle de petites dimensions est approximativement Zm(uJ) = -juJLi
oh Lj
= /Jore(In~f 2) est l'inductance Aquivalente h l'antenne, /Jo est la permAabilitA du vide.
La magnAtisation Aquivalente de la ~'molAcule magndtique" rAsultante ii-e, l'antenne couplde
h sa charge), est alors donn4e par
~r(
M
= (Ia " XmH
oh
~
~~ l + Zi)/ZL ~~~
est la susceptibiIit4 magn4tique 4quivalente, et
Kh
=
~° ))~~
cos ~fi~ sin o
avec ~fih angle de polarisation entre l'axe de l'antenne et le champ magn4tique incident et V le volume effectif.
3. Mo14cules h une seule antenne
3. I. PROPRI#T#s EM D'UN TEL MAT#RiAu. (tant donna
que la mo16cule 61ectrique (resp.
magn4tique) ne donne lieu qu'h des propriAtAs diAlectriques (respi magnAtique8), il existe un
dAcouplage Avident entre les deux et l'on peut obtenir des comportements diffArents du c6tA
Alectrique et du c6tA magnAtique. De plus, si chaque dip61e (ou chaque boucle) est orientA dans le mAme direction (par l'application d'un champ Alectrique par exemple) on obtient de maniAre
Avidente un matAriau anisotrope.
Enfin, il est possible de rAaliser un matAriau non rAflAchissant', i-e- rAalisant Er
= /Jr sur
une large bande de frdquence, du fait de la dualitA intrinsAque qui existe entre la molAcule
diAlectrique et la molAcule magnAtique.
En supposant que la charge ne contient que des composants linAaires, l'impAdance ZL peut Atre Acrite comme le rapport de deux polyn6mes de -juJ
p j_ ~~j
f
PiI-JWI~
ZLIWI = ~" j_~~~ = ~@
~ L ail-JW)~
oh les p~ et les q~ sont des rAels positifs.
3.2. CHARGE R#sisTivE. La charge la plus simple est une rAsistance R. ConnectAe au
dip61e, elle donne une impAdance totale de Zd
" R I/(jcduJ) et la susceptibilitA Alectrique
vaut (d'aprbs (I))
Kecd
~~ l juJRCd
ce qui est semblable au modAle de Debye (~).
Dans le cas de la boucle, l'impAdance de charge est ZL
" R et la susceptibilitd magnAtique
devient (d'aprAs (2))
Kh
~~ l juJLi/R
ce qui est un modble de Debye magndhque.
Dans chaque cas, le matAriau a des pertes positives, puisque la charge est purement passive.
3.3. CHARGE RLC. Une charge RLC sine connectAe au dip61e donne la susceptibilitA
Alectrique suivante
KectotbJ(
~~ uJ( uJ2 juJR/L
oh Ctot
" CdC/(Cd + C) est la capacitA totale et uJo " I /fi est la frAquence de rAsonance
du circuit en son entier (y compris l'antenne). Nous retrouvons le modAle de dispersion de Lorentz.
Dans le cas de la boucle, une charge RLC parattdte donne un rAsultat similaire
~jj~~
~~ uJ( uJ2 juJ/RC
oh Ltot
= LIL/(Li + L) est l'inductance totale uJo
= I/fi est la frdquence de rAsonance du circuit en son entier. On trouve ici un modAle de Lorentz magndtique.
(~)Il est intAressant de remarquer la similitude entre le modble de Debye et un simple circuit RC.
N°12 MATtRIAUX BIANISOTROPES CONTROLABLES 2409
Zi
22
Fig. 2. ~loldcule bianisotrope gauche.
[Left bianisotropic molecule.]
3.4. AUTRES CHARGES Si une charge RC parallAle est conneitAe au dip6Ie, ou par duaIit6
une charge RL sArie sur la boucle, on obtient un modble de Debye dlectrique ou magnAtique d ddrivde temporette (TD-D), caractArisA par
I jRCUJ R jLuJ
~~ ~~~~
l jR(C + Cd)uJ ~~ ~~
R jIL + Li)uJ
Si une charge RL parallAle est connectAe au dip61e, ou par dualitA une charge RC sArie sur la boucle, on obtient un modAle de Lorentz Alectrique ou magnAtique d ddr~vde temporette (TD-LM prAsentA dans [7j et [8j), caractArisA par
uJ( juJ/RCd uJ( juJR/Li
~~ ~~~~uJ] uJ2 juJ/RCd ~~ ~~uJ( uJ2 juJR/Li
II est aussi possible de concevoir le modAle de Lorentz d double ddr~vde temporette (2TD-LM)
en ajustant la charge. Ainsi, le modAle 2TD-LM diAlectrique est obtenu pour une charge RLC parallAle et le 2TD-LM magnAtique pour une charge RLC sArie D'autres modAles plus com- plexes sont envisageables.
Dans tous les cas, il est possible d'obtenir un matAriau non rAflAchissant (i.e. Er
= /Jr) sous
la condition suivante
fiiLd)
~~ Ii lh
~ ~~~~~~~l
Z(°°~ et Z(~~'~ Atant les impAdances des charges de chaque antenne.
4. Moldcules bianisotropes
4.I. PARAMkTRES DE BIANISOTROPIE. Les mat4riaux bianisotropes sont caractArisAs par
un couplage des champs 61ectrique et magnAtique dans leurs Aquations constitutives [9j. Un exemple simple de charge bianisotrope est l'hAlice composAe d'un dip61e et d'une boucle d'axes
parallAles reliAs h leurs bornes. Une analyse complAte de ses propndtAs AlectromagnAtiques a AtA menAe dans [10j. Elle est basAe sur la sAparation de la particule bianisotrope en une structure fil boucle fil oh l'on retrouve nos antennes dip61e et boucle.
II est alors possible d'envisager d'intercaler des charges entre ces antennes, pour obtenir un molAcule bianisotrope, comme le montre la figure 2.
a b
c d
dip61e boucle
iii j2)
Fig. 3 Formalisme matrice de transmission.
[Transmission matrix concept.]
4.2. POLARISABILIT#s. Les relations entre Ies moments dipolaires Alectrique et magn6tique
induits et les champs externes sont (en reprenant les notations de [10j)
P " E0(aeeE + q0aemH)
m =
~~~ E + ammH
no
avec no "
fi. Le matAriau Atant rAciproque, on a de plus
£lem " ~£lme.
Pour chaque antenne, on relie le courant aux bornes h la polarisabilitA par les formules ha- bituelles pour les termes de co-polarisation, et par les formules suivantes pour les termes de
polarisation croisAe
~ ~~~~ ~~~
oh le signe + correspond au dip61e polarisA dans le sens du vecteur +I (p61e vers le haut)
m = ~SII (4)
oh S
= ~r( est l'aire de la boucle et le signe + correspond h un courant circulant dans le
sens trigonomAtrique. Cette distinction de signe permet de diffArencier par exemple les hAlices droites des hAlices gauches. Ainsi, pour une hAlice droite (resp. gauche) AclairAe par un champ E
dirigA selon +I il faut prendre le signe (resp. +) dans ces 4quations. La particule reprAsentAe
sur la figure 2 est de type gauche, une particule droite est obtenue en croisant les deux brins.
4.3. MisE EN #QuATioNs. On peut penser assimiler les charges h un quadrip61e entre les bornes des deux antennes, ce qui permet d'envisager l'utilisation de circuits complexes (tels
que les filtres, amplificateurs, circuits oscillants, diviseurs ou multiplicateurs de frAquence, etc.).
L'analyse est faite h partir de la matrice de transmission reliant les voltages et courants de part et d'autre du quadrip61e (Fig. 3).
La matrice de transmission est dAfinie par ill]
[Ii l~
c d 12 ~~~
Si le quadrip61e est rdciproque, on a
ad bc
= 1
et s'il est symAtrique
a = d.
N°12 MAT(RIAUX BIANISOTROPES CONTR6LABLES 2411
Ii Vd 12
V Vi V2 Zi
Fig 4 Circuit dquivalent pour E'~~.
[Equivalent circuit for E~~~.)
4.3.I. Gas du champ Alectrique incident. Darts ce cas le schAma Aquivalent est dAcrit sur la
figure 4. Les Aquations sont, en plus de (5), en omettant les termes sin 0 et cos~fie pour plus de clartA
V = -toE
= Vi + Vd
vd %
Zd=I Zi=I.
On en tire les expressions des courants
-toE
~~
z ~ fi
d cZi+
~
~~ aZi + b + ~d(cZi + d)
On peut calculer les polarisabilitAs h partir des relations (3) et (4)
t( cZi + d
~~~ -juJEo aZi + b + Zd(cZi + d) qoslo
~~~ ~
aZi + + Zd(cZi + d)
4.3.2. Gas du champ magndtique incident. Dans ce cas le schAma Aquivalent est prAsentA figure 5 Les Aquations sont, en plus de (5), en omettant ici encore les termes sin 0 et cos~fih
V2 " -JUJ/JOSH 12 " Ii + I
Vi V2
Zd
= -j Zi = £
et lorsque la charge n'est pas connectde on a1
=
-~. On pose Zt
=
-~. Or, on a, en
Zi 12
divisant les deux dquations de (5)
-Zd
"
~~
d cZt
Ii 12 1
A Ii Zi V2
Fig. 5. Circuit dquivaleut pour H'~~
(Equivalent circuit for H~~~.]
soit
~ ~~~
~
a + cZd
Alors les courants valent
fi"-~~~~ fi"-)"-)(b-aZt)
t+ i d d
~~ ~~~~~~~~~~
f2 fl + f (
~~ Zt Zl
on obtient
~~ b + d~ ~i(~~~ cZd)
On peut calculer les polarisabilitds h partir des relations (3) et (4)
~
-jldlLo 52 b + dZd
°~°~ Zi b + dZd + Zila + cZd
~oslo(ad bc)
~~~ ~
b + dZd + Zila + cZd)
On peut remarquer que les termes de copolarisation (ace et amm) sont relids h Sii et 522, et
que les termes de polarisation croisde (ame et aem) sont relids h S21 et S12.
4.4. MoLtcuLE BIANISOTROPE NON CHARG#E. On peut v4rifier ces rdsultats dans le cas
simple d'une mo14cule bianisotrope non charg4e, c'est-h-dire de l'h41ice canonique. Dans ce cas, c'est une simple ligne de transmission (trbs courte bien stir) qui retie les deux antennes. La
matrice de transmission est l'identitd [11). On retrouve alors les r4sultats de (10].
I( ~olos
~~~ -jweo(Zd + Zi) ~~~ ~ Zd ~+ Zi
~~~ " ~ ?lli
~~~ "
ill°I) I
(dans ce paragraphe et le pr4c4dent, le signe du haut correspond h une particule droite).
N°12 MATiRIAUX BIANISOTROPES CONTROLABLES 2413
~ ~ 2
~
/ (
~ '
° /
'
g
,0 (
u (
~'
/
',
,
~
i
, ,
, ,
,,
,
, , /
_
_
'- - ,
',
~ ~
-l.0 -2.0
o-o 2.0 4.0 6
quency
GHz)
4.0
real pan imag pan
_
2.0
8 / ",,
I / "',,,_
~i ~'
~ 0 0
",
', ', /
'~'~0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 lo 0
~) Frequency (GHz)
Fig. 6. Allures de ace (a), amm (b) et aem (c) en fouctiou de la frdqueuce.
[Variations of ace (a), amm (b) and aem (c) with frequency.]
4. 5. i~TUDE DE CHARGES SIMPLES. Si les deux impddances sont des rdsistances, on obtient
un modble de type Lorentz pour ace (charge totale RLC sdrie sur le dipole) et un TD-LM pour arnm (charge RC sdrie sur la boucle). Le comportement de aem et ame est diff4rent on obtient
un TD-LM sans terme constant.
~jKw
~~~ w( w2 jrw
comme le montre la figure 6 pour une particule droite. Pour d'autres charges, les r4sultats sont
plus complexes. Ainsi, deux circuits RLC s4ries donnent un modble de Lorentz pour ace, un
2TD-LM pour amrn et un r4sultat similaire au pr4c4dent pour aem et ame.
4.6. AUTRES TYPES DE MATIRIAUX. On peut envisager de connecter deux antennes de mAme type (deux dipoles ou deux boucles) d'axes parallbles ou non. L'utilisation du formalisme
Ii
Fig. 7. Mo14cule trausformant la polarisatiou [Polarization transforming molecule.]
+
E)
+
Fig. 8. Mo14cule crois4e.
[Crossed molecule.]
quadrip01e permet 16 aussi d'envisager des applications h base de circuits complexes.
La figure 7 pr4sente une mo14cule couplant un champ 41ectrique polaris4 selon I et un champ 41ectrique polaris4 selon k. On obtient alors un tenseur I
avec des termes non nuts hors de la
diagonale
e~~ e~z
I
=
ez~ ezz
On peut envisager la mAme chose avec des boucles.
Un autre cas est propos4 figure 8 Les deux dipbles sont polaris4s en sens contraires, ce qui
fait qu'on utilise pour calculer la polarisabilit4 aussi bien le signe + que le signe
-.
On obtient alors
D
= eE + Pi + P2
" eE + ~° (fi 12).
-jw Les courants 4tant rel14s par
12 1
£ cZd2 + d
on voit que St 12 est iris supdrteur d Ii on peut avoir
DmJeE-j~°12
ce qui peut donner lieu h des pertes n4gatwes.
Ceci est trbs int4ressant darts le cas off l'on recherche un mat4riau anisotrope non r4flecteur pour toute fr4quence et incidence. Le tenseur de permittivit4 doit Atre tel que [7]
a
I
= a
Ila
N°12 MATiRIAUX BIANISOTROPES CONTROLABLES 2415
ce qui implique d'avoir une susceptibilitd ndgative sur le troisibme axe
~Xa
~~~~ l + xa
Ceci peut Atre obtenu grlce h la configuration pr4sentAe ci dessus. II est cependant probable
que la condition 12 > fi ne puisse Atre obtenue qu'avec une charge complexe, 4ventuellernent
non lin4aire.
5. Propridt4s effectives
Nous avons donnA darts les paragraphes pr4cAdents les formules des paramAtres EM des mo-
lAcules AlAmentaires. Nous allons maintenant dAterminer les propriAtAs effectives du matAriau
composite ec, pc jet 4ventuellement oc et flc). La loi de m41ange de Maxwell-Garnett ne tient compte que des interactions au premier ordre, c'est h dire qu'elle n4glige les couplages entre molAcules. Cela implique que celles ci soient suffisamment espac4es, donc que le taux de charge
ne soit pas trop important (inf4rieur h 30 % en volume) [12] [13].
5. I MAT#RIAU BIANISOTROPE. Nous #tudions le cas le plus simple les mot#cules compo- s4es d'un dipole et d'une boucle. Les moments dipolaires peuvent se mettre sous la forme
P " EjaeeE + aem~H)
m =
~~~E + ammH
~J
avec ~ =
ll, imp4dance caract4ristique du milieu h0te.
Pour un composite bianisotrope dont les inclusions sont r4parties de manibre a14atoire, on peut calculer les vecteurs de polarisation par
P
" NP
" NE(aeeEioc + aem~JHioc) (6)
~
= Nm
= Nl
~(~Ei°C ~ ~~~~~°~~ ~~~
off N est le nombre d'inclusions par unit4 de volume et Eioc et Hioc sont les champs locaux au
niveau de chaque molAcule. On considAre que, bier que la mo14cules ne soit pas sphArique, elle est suffisamment petite pour pouvoir Atre totalement incluse dans une sphbre dans laquelle le champ est uniforme. En ne considdrant que des interactions Lorentziennes, on peut 4crire les
champs locaux par
Eioc =
E+)
Hioc M
= H+~
que l'on peut remplacer darts (6) et (7) pour exprimer les vecteurs polarisations P et M
en fonction des champs E et H. En reportant ces r4sultats darts les 4quations constitutives macroscopiques
D
= EE+P
B = p(H+M)
