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Texte intégral

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Dépôt Institutionnel de l’Université libre de Bruxelles / Université libre de Bruxelles Institutional Repository

Thèse de doctorat/ PhD Thesis Citation APA:

Abdellatif, C. (1990). Elaboration automatique et symbolique de modèles dynamiques inversés de robots à chaîne cinématique simple, arborescente ou fermée en vue deleur commande (Unpublished doctoral dissertation). Université libre de Bruxelles, Faculté des sciences, Bruxelles.

Disponible à / Available at permalink : https://dipot.ulb.ac.be/dspace/bitstream/2013/213147/1/7d2b28ba-e882-4f6d-a664-72f4c6672cd6.txt

(English version below)

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(2)

h

UNIVERSITE LIBRE DE BRUXELLES FACULTE DES SCIENCES APPLIQUEES

INSTITUT DE MECANIQUE APPLIQUEE

ELABORATION AUTOMATIQUE ET SYMBOLIQUE DE MODELES DYNAMIQUES INVERSES DE ROBOTS A CHAINE CINEMATIQUE SIMPLE, ARBORESCENTE

OU FERMEE EN VUE DE LEUR COMMANDE

ABDELLATIF CHIBOUB

THESE PRESENTEE EN VUE DE L’OBTENTION DU GRADE DE DOCTEUR EN

SCIENCES APPLIQUEES

JUILLET 1990

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FACULTE DES SCIENCES APPLIQUEES

INSTITUT DE MECANIQUE APPLIQUEE

ELABORATION AUTOMATIQUE ET SYMBOLIQUE DE MODELES DYNAMIQUES INVERSES DE ROBOTS A CHAINE CINEMATIQUE SIMPLE, ARBORESCENTE

OU FERMEE EN VUE DE LEUR COMMANDE

ABDELLATIF CHIBOUB

THESE PRESENTEE EN VUE DE L’OBTENTION DU GRADE DE DOCTEUR EN

SCIENCES APPLIQUEES

JUILLET 1990

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Qu’il me soit permis d’exprimer vivement toute ma reconnaissance à Monsieur le Professeur Bernard LEDUC qui a bien voulu m’accueillir au sein du Service de Mécanique Appliquée où ce travail a été réalisé. Je le remercie sincèrement pour son accueil, pour son aide, ses conseils et son soutien constant qui ont concouru à l’achèvement de ce travail.

Que Monsieur le Professeur Marc BECQUET, qui est à l’origine de ce travail, trouve ici l’expression de ma sincère gratitude pour ses encouragements, les nombreux conseils et suggestions qu’il m’a prodigués, et pour la confiance qu’il m’a témoignée.

Je remercie également les membres du personnel du Service de Calcul Symbolique par Ordinateur (CSO) pour leur aide technique, et plus particulièrement Madame SANGIER et Monsieur COLLOT.

Enfin, je remercie ma famille pour sa patience et son soutien tant moral que matériel.

(5)

A toute ma famille.

(6)

1

TABLE DES MATIERES

Pages

CHAPITRE 1 : INTRODUCTION ... 2

CHAPITRE 2 : GENERALITES ET DEFINITIONS... 9

2.1 STRUCTURE GENERALE D’UN ROBOT ... 9

2.2 CONSTITUTION D’UN ROBOT ... 10

2.3 DEFINITIONS ... 12

2.3.1 Articulation... 12

2.3.1.1 Articulation rotoïde ... 12

2.3.1.2 Articulation prismatique... 13

2.3.1.3 Liaisons active et passive ... 13

2.3.2 Degrés de liberté... 13

2.3.2.1 Nombre de degrés de liberté de la structure... 13

2.32.2 Degrés de liberté de l’organe terminal ... 14

2.3.3 Espace des configurations ... 14

2.3.4 Espace opérationnel ... 15

2.3.5 Redondance ... 15

2.3.6 Singularité... 16

2.4 CONCLUSION ... 16

CHAPITRE 3 : DESCRIPTIONS TOPOLOGIQUE ET GEOMETRIQUE DES ROBOTS... 18

3.1 INTRODUCTION... 18

3.2 DESCRIPTION DE LA TOPOLOGIE DE LA STRUCTURE... 19

3.2.1 Structure à chaîne cinématique simple... 21

3.2.2 Structure arborescente... 22

3.2.3 Structure avec des chaînes cinématiques fermées... 23

3.3 DESCRIPTION GEOMETRIQUE DES ROBOTS ... 26

3.3.1 Robot à chaîne simple... 26

3.3.2 Structure arborescente... 31

3.3.3 Structure à chaînes fermées... 34

3.4 CONCLUSION ... 36

CHAPITRE 4 : MODELISATIONS GEOMETRIQUE ET CINEMATIQUE DES ROBOTS... 38

4.1 INTRODUCTION... 38

4.2 MODELE GEOMETRIQUE DIRECT ... 38

4.3 MODELE GEOMETRIQUE INVERSE ... 40

4.4 MODELE CINEMATIQUE DIRECT... 43

4.5 MODELE CINEMATIQUE INVERSE... 48

4.6 CONCLUSIQN ... 49

(7)

CHAPITRE 5 ; MODELE DYNAMIQUE INVERSE DES ROBOTS

A CHAINE CINEMATIQUE SIMPLE ... 51

5.1 INTRODUCnnON... 51

5.2 FORMALISME DE LAGRANGE... 52

5.2.1 Calcul de l’énergie cinétique ... 53

5.2.2 Calcul de l’énergie potentielle... 57

5.2.3 Efforts généralisés... 57

5.2.4 Forme matricielle des équations dynamiques... 60

5.3 FORMAUSME DE NEWTON-EULER ... 60

5.3.1 Récurrence avant ... 61

5.3.2 Récurrence arrière ... 71

5.3.3 Nombre d’opérations... 73

5.4 CALCUL SYMBOLIQUE... 75

5.4.1 Génération automatique des variables intermédiaires... 80

5.4.2 Optimisation du modèle symbolique ... 84

5.4.3 Nombre d’opérations du modèle symbolique ... 90

5.5 REGROUPEMENT DES PARAMÈTRES DYNAMIQUES ... 91

5.6 CONCLUSION ... 94

CHAPITRE 6 : MODELE DYNAMIQUE INVERSE DES ROBOTS A CHAINE CINEMATIQUE ARBORESCENTE ET FERMEE ____ 96 6.1 INTRODUCTION... 96

6.2 MODELE DYNAMIQUE INVERSE D’UNE STRUCTURE ARBORESCENTE ... 96

6.2.1 Equations du modèle... 96

6.2.2 Calcul symbolique... 97

6.3 ROBOTS A CHAINE CINEMATIQUE FERMÉE ... 103

6.3.1 Modèle dynamique inverse ... 104

6.3.2 Détermination des équations de contrainte ... 110

6.3.2.1 L’articulation coupée est rotoïde... 112

6.3.2.2 L’articulation coupée est prismatique ... 113

6.3.3 Algorithme pour le calcul du modèle symbolique... 113

6.4 CONCLUSIQN ... 114

CHAPITRE 7 ; SIMULATIONS ET VALIDATION... 116

7.1 INTRODUCTION... 116

7.2 CAS TEST N“. 1 : STRUCTURE PLANE A DEUX SEGMENTS... 116

7.3 CAS TEST N°. 2 : LE ROBOT SCARA... 121

7.4 CAS TEST N". 3 : STRUCTURE A QUATRE BARRES ... 121

7.5 CAS TEST N°. 4 : LE RQBQT ASEA IRB6/2 ... 129

CHAPITRE 8 ; CONCLUSION ... 152

ANNEXES... 155

ANNEXE 1 Quelques notions et définitions relatives à la théorie des graphes... 156

(8)

iii

1. Le concept de graphe ... 156

2. Définitions ... 158

ANNEXE 2 Modèle dynamique inverse du système articulé à quatre barres... 161

ANNEXE 3 Modèle dynamique inverse du'robot SCARA... 163

ANNEXE 4 Modèle dynamique inverse du robot ASEA IRB6/2... 165

BIBLIOGRAPHIE... 171

(9)
(10)

2

CHAPITRE 1

INTRODUCTION

L’automatisation des processus de production est devenue un des facteurs primordiaux et décisifs du développement industriel. Ce qui a conduit à l’introduction de systèmes robotisés de plus en plus performants dans de nombreux secteurs : industrie automobile, aéronautique, espace, industrie nucléaire, textile, médecine, agriculture, ...

Le développement de ces systèmes robotisés est le résultat d’un processus d’évolution logique que nous connaissons ces dernières décennies.

A l’origine des robots actuels, on trouve des manipulateurs dont les mouvements sont fixés mécaniquement (cames, barres, butées, interrupteurs,...). Ils ont une répétitivité relativement bonne, mais s’adaptent très mal à une tâche de même type, parce que cela nécessite des modifications du matériel, qui sont généralement longues, et par suite coûteuses.

Puis apparaissent d’autres manipulateurs de type mécanique, et qui sont commandés directement par un opérateur humain, soit à partir d’un pupitre de commande, soit à l’aide d’un deuxième manipulateur (appelé manipulateur-maître) qui est une copie géométrique du premier (appelé manipulateur-esclave). L’opérateur imprime au bras « maître » des mouvements qui, par l’intermédiaire d’un système d’asservissement, sont reproduits par le bras « esclave » qui, à son tour, va accomplir la tâche désirée.

Ce genre de manipulateurs (qui existent jusqu’à nos jours) sont utilisés surtout pour des travaux pénibles pour l’homme (objets lourds) et/ou dans des milieux hostiles (nucléaire, chimique, océanique,...). Leur automaticité est quasi nulle. Quant à leur répétitivité, elle est très médiocre. Ceci est dû au fait que la commande est intégralement affectée à l’homme.

On a pensé alors à la mise au point de manipulateurs à mouvement préenregistré. La tâche que le manipulateur doit accomplir est programmée par apprentissage ( par l’intermédiaire d’un pupitre de commande par exemple), et les consignes caractérisant cette tâche sont stockées dans une mémoire (électronique ou

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magnétique). On passe ainsi de la phase du "matériel" (hardware), à la phase du

"logiciel" (software).

Ces manipulateurs de deuxième génération se distinguent des manipulateurs mécaniques par leur polyvalence. En effet, il est plus aisé de modifier (ou de remplacer) le programme qui commande l’évolution du manipulateur que de modifier le matériel. De la sorte, le système peut facilement atteindre des objectifs divers tout en conservant sa structure. Mais ces manipulateurs ne méritent pas l’appellation de robot, parce qu’ils ne font qu’exécuter d’une manière automatique et répétitive les tâches enregistrées à l’avance. Il faudrait arrêter le travail du manipulateur (ce qui entraîne généralement l’arrêt de la ligne de production), pour modifier le programme (c’est à dire les consignes). Ces manipulateurs sont équipés de capteurs (de position, de vitesse et/ou d’efforts) qui fournissent des informations concernant l’état interne du manipulateur. Ces informations sont alors analysées par le système d’asservissement en les comparant aux consignes.

La troisième génération de manipulateurs est constituée des robots actuellement mis au point. Ils se distinguent de leur prédécesseurs par leur adaptivité.

Cela signifie que, le robot-manipulateur peut exécuter une tâche déterminée dans un environnement évolutif, totalement ou partiellement inconnu. Cette adaptivité dépend des différents capteurs constituant le système sensoriel du robot, tels que : caméra de télévision, capteurs à ultrasons, capteurs tactiles, capteurs de pression, capteurs de position, ... Le robot pourra ainsi : détecter la présence d’un objet dans son environnement; déterminer sa position, son mouvement et sa forme; éviter un ou des obstacles; etc... Et du fait que ces robots interagissent avec un environnement variable, les consignes sont engendrées automatiquement, par ordinateur, en temps réel.

Notons que de nombreuses recherches sont menées dans plusieurs laboratoires, en vu d’accroître la versalité des robots. Elles font largement appel à l’intelligence artificielle.

Pour les deux dernières générations de manipulateurs, on doit utiliser des systèmes de commande en position et/ou en vitesse, qui nécessitent l’élaboration des modèles géométrique et cinématique du manipulateur. Ces modèles traduisent les relations qui existent entre les positions, les orientations et les vitesses (linéaires et angulaires ) des différents solides constituant le manipulateur.

Or, les processus de production modernes exigent, de plus en plus, la conception et la commande de robots capables de travailler avec beaucoup plus de

(12)

4 rapidité et de précision; et il s’avère que les modèles géométriques et cinématiques deviennent insuffisants. En effet, pour des vitesses élevées, les éléments mécaniques du manipulateurs se trouvent soumis à des efforts (forces et couples) dynamiques non négligeables : efforts d’inertie, de Coriolis et centrifuges. D devient donc nécessaire d’élaborer les équations du mouvement du manipulateur. Ces équations forment ce qu’on appelle modèle dynamique du système, et expriment des relations entre efforts, positions, vitesses et accélérations.

Le modèle dynamique joue un rôle très important dans l’étude des deux classes de problèmes suivants :

- En conception, il est utilisé pour la simulation des mouvements du robot, pour tester ses performances sous diverses conditions, pour le dimensionnement de ses composantes mécaniques, et pour étudier les stratégies de commande.

- Une fois le robot réalisé, le modèle dynamique est intégré au système de régulation, et servira à évaluer les forces (ou couples) nominales que les éléments moteurs doivent appliquer aux corps du robot afin de décrire une trajectoire spécifiée. La commande qui en résulte est appelée : commande dynamique.

Deux formalismes sont généralement utilisées pour obtenir le modèle dynamique : le formalisme de NEWTON-EULER et le formalisme de LAGRANGE.

La première idée qui vient à l’esprit, c’est de choisir un formalisme et le traduire directement en algorithme. L’exécution de ce dernier par l’unité de calcul du système de commande, permettra ainsi d’évaluer numériquement le modèle pour chaque période d’échantillonnage. Mais cette méthode fait apparaître un nombre très élevé d’opérations à effectuer, qui rend délicate l’adaptation à une commande en temps réel des robots. Pour pallier à cet inconvénient, certains auteurs ont proposé de négliger certains termes du modèle dynamique (les efforts de Coriolis et centrifuges par exemple), mais malheureusement cela fait perdre au modèle sa validité. D’autres ont proposé une approche qui consiste à calculer et à mémoriser hors ligne certains coefficients du modèle pour plusieurs configurations du robot, mais cela nécessite une grande capacité mémoire....

Cependant, une solution peut être apportée si on parvient à obtenir le modèle sous forme symbolique (c’est à dire analytique). Cette approche conduit à une

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diminution substantielle du nombre d’opérations, diminution qu’on peut obtenir par :

- l’application des règles mathématiques de simplification (factorisations, identités trigonométriques, ...)•

- l’introduction des valeurs particulières de certains paramètres géométriques et dynamiques du robot (distances nulles, fonctions trigonométriques égales à zéro ou à un, tenseur d’inertie diagonal,...).

- l’élimination des calculs redondants ou inutiles.

- le calcul suivant une séquence optimale de termes (simples) intervenant dans des expressions plus complexes.

- le calcul hors ligne des termes indépendants de la configuration du robot.

Le calcul symbolique des modèles peut être fait à la main dans le cas simple où le nombre de corps du robot est faible. Mais ce calcul devient long, fastidieux, et source d’erreurs pour des structures plus complexes. La complexité peut provenir du grand nombre de corps composant la structure, du fait que cette structure peut être tridimensionnelle, et encore du fait qu’elle peut comporter des chaînes cinématiques arborescentes, fermées, ou les deux à la fois. En outre, on doit reprendre complètement les calculs si certains paramètres de la structure sont modifiés, ce qui arrive souvent en conception. Le recours à l’ordinateur devient donc indispensable, tout d’abord, pour élaborer automatiquement le modèle sous forme d’expressions littérales; puis ensuite, pour engendrer automatiquement le programme correspondant sous forme d’instructions exécutables en un langage informatique (langage C par exemple).

«««««

L’objectif de notre travail est de développer une méthode systématique permettant de générer automatiquement le modèle dynamique inverse sous forme symbolique, pour n’importe quelle structure mécanique utilisée en robotique, qu’elle soit à chaîne cinématique simple, arborescente ou fermée. Et ce, avec im minimum

(14)

6 d’opérations, puisque le modèle obtenu est sensé être utilisé efficacement pour la commande en temps réel du robot-manipulateur.

Nous introduisons dans le chapitre 2 certains termes et définitions générales concernant la structure globale et la constitution des robots manipulateurs.

La génération automatique du modèle dynamique, exige une méthode systématique pour décrire la topologie et les paramètres géométriques et dynamiques de la structure. La plupart des méthodes de description proposées s’appliquent à des structures à chaîne ouverte simple, mais elles sont peu adaptées aux structures à chaînes cinématiques arborescentes ou fermées.

Le chapitre 3 est consacré aux descriptions topologique et géométrique des différentes structures. Nous introduisons une méthode de description simple et systématique applicable aux trois types de structures : à chaîne simple, à chaîne arborescente, et à chaîne fermée. Toute la suite du travail dépend des notions présentées dans ce chapitre.

Dans le chapitre 4 nous exposons brièvement quelques méthodes d’obtention des modèles géométrique et cinématique. Le calcul du modèle géométrique sous forme symbolique sera d’une grande utilité pour la détermination des équations de liaisons lorsque la structure présente des chaînes cinématiques fermées.

Le chapitre 5 présente la modélisation dynamique pour des structures à cinématique simple. Nous avons opté pour la méthode de NEWTON-EULER qui est mieux adaptée pour le calcul du modèle dynamique inverse. Après une analyse détaillée du formalisme et en exploitant les techniques de la programmation symbolique, nous avons développé des techniques originales d’optimisation, qui nous ont permis d’obtenir le modèle avec :

- un nombre d’opérations minimal.

- une occupation en mémoire réduite par rapport aux autres méthodes.

Dans le chapitre 6, cette méthode est généralisée pour les structures à chaîne cinématique complexe ( chaîne arborescente et chaîne fermée ). Dans le cas d’une structure possédant une(des) chaîne(s) cinématique(s) fermée(s), nous avons utilisé la méthode qui consiste à couper virtuellement la(les) boucle(s) fermée(s), ce qui conduit à une structure équivalente à chaîne cinématique simple ou arborescente. Le modèle dynamique inverse de la structure à chaîne(s) fermée(s) sera donc égal à

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celui de la structure équivalente (après coupures), augmenté des équations de contraintes qui traduisent la fermeture des chaînes et qui sont déterminées à leur tour sous forme symbolique.

Nous avons concrétisé cette méthode par le développement d’un logiciel autorisant le calcul automatique du modèle dynamique inverse sous forme symbolique pour les différentes structures mentionnées ci-dessus. Ce logiciel est conçu sous forme conversationnel, de telle sorte qu’il peut être utilisé par des personnes possédant un minimum de connaissance en informatique. Il est écrit en SMP (Symbolic Mathematics Programming), qui est un langage de programmation symbolique.

Nous avons doté le logiciel d’un module qui, à partir du modèle symbolique obtenu en SMP, peut engendrer automatiquement en langage C le programme correspondant. Après compilation, ce dernier pourrait être implanté dans la commande dynamique du robot. Dans le cadre de notre travail, ce module de programmation automatique nous servira surtout à effectuer des simulations qui ont pour but, la validation des modèles dynamiques inverses obtenus par le logiciel.

Au chapitre 7, nous procédons à une série de recoupements afin de prouver la validité du logiciel. Les cas tests traités sont extraits de la littérature. Les modèles dynamiques des cas tests simples sont recalculés à la main et comparés aux modèles générés par le logiciel. Le dernier cas test concerne le robot ASEA-IRB6, dont le modèle dynamique a été validé théoriquement et expérimentalement par M. BECQUET [1], au sein du laboratoire de Mécanique Appliquée de l’U.L.B.

La présentation de ce travail sera conclue, au chapitre 8, par un résumé des principaux résultats obtenus lors de cette recherche.

(16)

CHAPITRE 2

(17)

CHAPITRE 2

GENERALITES ET DEFINITIONS

2.1 STRUCTURE GENERALE D’UN ROBOT

Un robot est définit comme étant un système mécanique à plusieurs degrés de liberté, polyvalent, capable d’accomplir, dans un environnement variable, des tâches complexes et diverses avec des performances imposées et des contraintes multiples.

De cette définition nous pouvons dégager les différents éléments composant une cellule robotisée.

- la structure mécanique qui se rapproche de celle du bras humain et qui supporte l’organe terminal servant à manipuler des objets ...

- les actionneurs qui utilisent une source d’énergie (hydraulique, électrique, etc...) pour produire de l’énergie mécanique nécessaire à réaliser les mouvements désirés du robot en modifiant la situation de ses différents corps, et par suite de son organe terminal.

- le système sensoriel, constitué de capteurs, permet au robot d’obtenir des informations sur son état interne ( capteurs proprioceptifs) ou sur son environnement ( capteurs extéroceptifs ), pour qu’il puisse prendre des initiatives adéquates.

- l’interface homme-machine qui a pour fonctions : l’interprétation des instructions émises par l’opérateur, le calcul des trajectoires, et la génération de messages en interaction avec l’opérateur. Certaines interfaces plus sophistiquées utilisent des logiciels de CAO, et permettent le calcul des trajectoires à partir des modèles du robot et de son environnement, la simulation des mouvements du robot, la création de programmes pour diverses applications, ...

- et bien évidemment, l’environnement dans lequel évolue le robot.

(18)

10 22 CONSTITUTION D’UN ROBOT

Un robot-manipulateur est un mécanisme composé d’un certain nombre de corps supposés rigides, assemblés par des liaisons appelées articulations. On distingue généralement deux parties dans un robot-manipulateur :

- l’organe terminal ou l’effecteur qui agit directement sur l’environnement en exécutant des tâches variées : préhension, positionnement, orientation usinage, découpe laser, collage, soudage, ... Un robot peut être équipé de plusieurs organes terminaux opérant sur un ou plusieurs objets en même temps. Et enfin, un organe terminal peut être interchangeable comme il peut être équipé de plusieurs outils ayant chacun une fonction particulière.

- la structure mécanique articulée qui se trouve liée à un corps de référence et permettant, par des mouvements d’amplitude limitée, d’amener l’organe terminal dans une situation (position et orientation) donnée, en fonction des lois de vitesse et d’accélération données. La chaîne cinématique de cette structure peut être :

. élémentaire si chacun de ses corps est assemblé à deux autres au moins.

. composée si elle comporte au moins un corps qui se trouve en liaison avec plus de deux corps.

Les chaînes cinématiques élémentaires et composées se subdivisent à leur tour en chaîne fermées et ouvertes. La chaîne est dite fermée si chacun de ses corps est lié à au moins deux autres corps. Une chaîne élémentaire ouverte est dite simple (figure 2.1), et une chaîne composée ouverte est dite arborescente (figure 2.2). Dans les autres cas elle est dite fermée (figure 2.3).

On convient d’appeler une chaîne cinématique complexe toute chaîne qui n’est pas simple. Autrement dit, une chaîne complexe peut être arborescent, fermée ou bien composée de plusieurs sous-chaînes simples, arborescentes et/ou fermées (figure 2.4).

(19)

Fig 23 structure fermée

(20)

12

2.3 DEFINITIONS 2.3.1 Articulation

Une articulation est un système de liaison simple entre deux corps adjacents Q, et Q , qui limite les mouvements possibles de l’un par rapport à l’autre.

Le nombre de degrés de liberté d’une liaison (d.d.l), encore appelé mobilité de l’articulation, est égal à la dimension de l’espace des mouvements relatifs compatibles avec la liaison. Soit d cette dimension,

1 <d <5 Remarques :

- le cas d = 0 veut dire que les deux corps sont liés rigidement et constituent un seul corps.

- le cas d = 6 traduit le fait qu’il n’y a pas de contact entre les deux corps, puisqu’un solide libre dans l’espace possède 6 degrés de liberté ( 3 pour la position et 3 pour l’orientation).

En Robotique, on utilise généralement deux types d’articulations pour lesquelles d = 1, l’articulation rotoïde et l’articulation prismatique. Les liaisons de mobilité supérieure à 1, peuvent être obtenues à partir des deux précédentes.

2.3.1.1 Articulation rotoïde

C’est une liaison de type pivot, autorisant le mouvement relatif de rotation autour d’un axe Zj commun à Ci.1 et Q.

Le paramètre de description du mouvement, est l’angle de rotation relative.

L’articulation rotoïde, qu’on note : R, est représentée par le symbole de la figure 2,5.

(21)

2.3.12 Articulation prismatique

C’est une liaison de type glissière, autorisant uniquement le mouvement relatif de translation le long d’un axe Z. commun à Cj., et Q.

Le paramètre de description du mouvement est la distance entre les deux corps mesurée le long de l’axe Zj.

L’articulation prismatique, qu’on note : P, est représentée par le symbole de la figure 2.6.

Les paramètres de description

des mouvements relatifs sont appelés : variables articulaires, ou encore, coordonnées généralisées, et on les note Qj ( l’indice i est le numéro de l’articulation qui lie le corps Cj.1 au corps Q).

2.3.1.3 Liaisons active et passive

Nous avons dit que le mouvement du robot est réalisé à l’aide d’actionneurs.

Dans le cas d’une structure à chaîne cinématique simple ou arborescente, chaque articulation est munie d’un actionneur. Mais dans le cas d’une structure à chaîne fermée, il est évident que les mouvements des différents solides ne sont plus indépendants. Ce qui implique que certaines articulations seront motorisées et d’autres non. Si l’articulation est motorisée elle est dite active, sinon elle est dite passive.

2 J2 Degrés de liberté

232.1 Nombre de degrés de liberté de la structure

C’est le nombre de paramètres indépendants nécessaires pour représenter, à un instant dormé, la configuration de la structure mécanique du robot.

Le paramétrage qu’on utilise souvent est constitué par les coordonnées généralisées (q„q2,...,qi,...).

(22)

14 Nous distinguons deux cas :

- Dans une structure à chaîne cinématique simple ou arborescente, les coordonnées généralisées sont indépendantes et toutes les articulations sont actives. Le nombre de degrés de liberté de la structure est donc égal au nombre d’articulations.

- Dans une chaîne fermée, des contraintes structurelles imposent des relations entre les coordonnées généralisées qu’on exprime par des équations de liaisons.

Le nombre de degrés de liberté sera égal cette fois à la différence entre le nombre d’articulations et le nombre d’équations de liaisons indépendcmtes. Il correspond au nombre de liaisons actives.

Donc, le nombre de degrés de liberté de la structure, noté n, est toujours égal au nombre de liaisons actives qu’elle contient.

2.3.2.2 Degrés de liberté de l’organe terminal

Le nombre de degrés de liberté de l’organe terminal, noté m, est égal au nombre de paramètres indépendants qui décrivent sa situation à un instant donné par rapport à un référentiel fixe. Et puisque la situation d’un solide dans l’espace tridimensionnel est spécifiée par 6 paramètres indépendants (3 pour la position et 3 pour l’orientation ), nous en déduisons :

m <6

Signalons aussi que m peut être fonction de la configuration du robot, mais il ne pourra en aucun cas être supérieur à n,

m <n

23.3 Espace des conFigurations

L’espace des configuration, noté E„, est l’espace de dimension n engendré par les coordonnées généralisées indépendantes du robot.

La configuration du robot à un instant donné t,est un élément de cet espace.

(qi(t),q2(t),...,qi(t)v.,qn(t)) c E„

(23)

L’espace opérationnel , noté F„ , est l’espace de dimension m engendré par les paramètres indépendants qui représentent la situation de l’organe terminal.

On utilise généralement l’espace cartésien pour représenter cette situation.

Dans le cas : m = 6, la situation de l’organe terminal dans l’espace cartésien à un instant donné est représentée par l’élément

(Xt,Yt,Zt,0t„0t2,0t3) 6 F* avec : (Xt,Yt,Zt) pour la position (0t„0tj,0t3) pour l’orientation 2.3.4 Espace opérationnel

Remarques :

En pratique, les variables articulaires (coordonnées généralisées ) sont soumises à des contraintes, telles que des débattements limités,

Qi min ^ ^ l,...,n

OU encore des risques d’autocollisions,...

Par conséquent, l’espace des configurations E„ constitue une partie de l’espace R“, et l’espace opérationnel F„ est une partie de l’espace R“,

E.cR" , F„cR”

23.5 Redondance

Un robot est qualifié de redondant si la dimension de l’espace des configurations est strictement supérieure à celle de l’espace opérationnel.

n > m

C’est le cas par exemple d’un robot à chaîne simple possédant plus de six articulations actives. Les degrés de liberté en plus peuvent contribuer à augmenter le volume de l’espace de travail, et à contourner des obstacles...

(24)

16

Les configurations qui correspondent à un nombre de degrés de liberté de l’organe terminal inférieur à m, sont dites singulières. Autrement dit, une singularité est caractérisée par la perte d’un ou plusieurs degrés de liberté par l’organe terminal, le robot est dit localement redondant.

2.4 CONCLUSION

Nous avons exposé succinctement dans ce chapitre un certain nombre de termes et de définitions ayant trait à la modélisation des robots et que nous rencontrerons dans la suite du travail. Nous apporterons, au moment voulu, des détails supplémentaires concernant certaines de ces définitions.

2.3.6 Singularité

(25)
(26)

18

CHAPITRE 3

DESCRIPTIONS TOPOLOGIOUE ET GEOMETRIQUE DES ROBOTS

3.1 INTRODUCTION

L’étude de tout système impose au préalable une connaissance exacte des caractéristiques de tous les éléments entrant dans la composition de ce système, des liens qui existent entre eux, et bien entendu des lois qui régissent l’évolution de l’état de l’ensemble. Mais en réalité le système est très complexe, et pour mener à bien cette étude, il faut le simplifier. Pour ce faire, la solution classique consiste à mathématiser le problème, opération permettant le passage du réel, qui nous échappe, aux modèles plus maniables. Ces derniers doivent être aussi proches que possible du système réel.

C’est le cas des robots, pour lesquels la détermination de certains modèles est nécessaire à leur conception, à la simulation de leur fonctionnement, et à leur commande.

Les modèles utilisés en Robotique, et qui relèvent du domaine de la mécanique, sont :

- le modèle géométrique direct, qui exprime la situation de l’organe terminal en fonction de la configuration du robot (qj).

- le modèle géométrique inverse qui exprime la fonction inverse du précédent.

- le modèle cinématique direct qui, aux dérivées par rapport au temps des coordonnées généralisées dq^dt (vitesses généralisées), fait correspondre la vitesse de l’organe terminal.

- le modèle cinématique inverse, qui exprime la fonction inverse du précédent.

- le modèle dynamique direct qui exprime les accélérations généralisées (d^qi/dt^) en fonction des positions et vitesses généralisées, des efforts généralisés développés par les actionneurs, et éventuellement, des efforts externes appliqués par l’environnement sur le robot.

(27)

- le modèle dynamique inverse quant à lui, exprime les efforts généralisés (des actionneurs) en fonction des positions, vitesses et accélérations généralisées et des efforts externes.

Mais pour pouvoir obtenir ces modèles mathématiques d’une manière systématique et automatique, on doit disposer d’une méthode systématique permettant de décrire d’une façon adéquate et unifiée toutes les structures mécaniques utilisées en robotique. Plusieurs méthodes ont été proposées ( DENAVIT et HARTENBERG [4], SHETH [30], VUKOBRATOVIC [31], GARCIA DE JALON [6], ...). Certaines de ces méthodes imposent des restrictions dans leur utilisation, d’autres présentent des ambiguïtés.

La méthode la plus répandue est celle de DENAVIT et HARTENBERG. Elle est simple et facile à mettre en œuvre pour les chaînes cinématiques simples, mais des ambiguïtés apparaissent lorsqu’on veut l’appliquer à des chaînes cinématiques complexes. Une modification de cette méthode a été apportée par KHALIL [12]

permettant ainsi son application à toutes les structures. Le seul inconvénient qui reste, c’est que l’utilisateur est contraint à suivre un certain ordre dans la numérotation des corps et des articulations de la structure.

Dans notre travail nous avons retenu le principe de la méthode de DENAVIT-HARTENBERG modifiée par KHALIL, et nous proposons une méthode simple pour la numérotation des corps.

3,2 DESCRIPTION DE LA TOPOLOGIE DE LA STRUCTURE

Les structures considérées sont constituées de n solides indéformables , de 1 liaisons supposées parfaites (sans jeux ni frottements) et de e organes terminaux.

Les solides seront notés : C„ Cj,..., Q,..., C„ auxquels on ajoute un corps de base (le bâti) Q.

La méthodologie de description est basée sur la théorie des graphes (voir Annexe 1). Nous associons à la structure du robot un graphe non orienté composé de n sommets et de I arcs. Sur la figure 3.1 nous avons un exemple de structure et son graphe associé. A chaque corps Q est associé un sommet (ou noeud) du graphe et à chaque liaison (Q , Q) correspond un arc.

(28)

20

Figure 3.1 Exemple de structure et son graphe associé

L’architecture du robot sera donc complètement décrite par la donnée de son graphe associé. Celui-ci servira après à la description géométrique et ensuite à la modélisation du robot.

La démarche est très simple. On commence par numéroter les corps, numérotation qui peut se faire dans n’importe quel ordre. Puis après, il suffit de dire que tel solide Q est lié à tel solide Cj par une liaison rotoïde ou prismatique, passive ou active. Mais nous devons transcrire ceci sous une forme compréhensible par l’ordinateur. Pour ce faire, on associe au graphe une matrice de dimension 1x4.

Les 1 lignes correspondent aux 1 arcs du graphe ( c’est à dire les 1 articulations ), les deux premières colonnes sont réservées aux deux extrémités (corps) de chaque arc du graphe, la troisième colonne indique si la liaison est rotoïde ou prismatique, la quatrième colonne indique si la liaison est active ou passive.

On introduit les notations suivantes : et Pi, avec i l’indice de la ligne de la matrice.

(29)

a, = 0 si la liaison est rotoïde (R).

a, = \ si la liaison est prismatique (P).

P, = 1 si la liaison est active, pi = 0 si la liaison est passive.

Par exemple, pour le tableau suivant, la troisième ligne signifie que le corps 3 est lié au corps 5 par une articulation rotoïde et active.

C, C, Pi

0 1 1 1

1 3 0 0

3 5 0 1

5 7 0 1

Nous remarquons bien qu’il n’est pas nécessaire de numéroter les articulations.

La matrice représentant la topologie de la structure va être ensuite transmise au logiciel qui va se charger de la traduire en langage symbolique, de tester s’il y’a des erreurs dans les données, de déterminer le type de structure (si elle est à chaîne cinématique simple, arborescente ou fermée), et d’orienter le graphe associé à cette structure.

Le graphe orienté obtenu est indispensable pour automatiser la détermination des modèles, parce que comme nous allons le voir après, les calculs vont se faire par récurrence en parcourant les différentes chaînes de la structure en allant de la base aux organes terminaux et vice versa.

3.2.1 Structure à chaîne cinématique simple

C’est une chaîne continue ouverte dont le nombre de corps mobiles est égal au nombre d’articulations et comportant un seul organe terminal,

n = 1 et e = 1

Le graphe orienté associé à cette structure est simple à obtenir. Il suffit d’orienter les arcs en partant de la base jusqu’à l’organe terminal. Nous pourrions donc connaître le successeur et le prédécesseur d’un corps à partir du graphe orienté.

(30)

22 Par exemple pour la structure de la figure 3.2, le corps 4 a comme successeur le corps 8 et comme prédécesseur le corps 2.

Figure 3.2 Graphe orienté associé à une structure simple

3.2.2 Structure arborescente

Dans ce cas aussi le nombre de corps mobiles est égal au nombre d’articulations, mais le nombre d’organes terminaux est au moins égal à deux ,

n = 1 et e >2

Si e = 1 , on se ramène au cas précédent.

Donc la structure possède au moins un corps qui se trouve articulé à au moins trois autres corps. L’orientation du graphe, là aussi, est simple (voir l’exemple de la figure 3.3).

Il se peut qu’un corps Q ait plusieurs successeurs, mais il a toujours un seul antécédent en parcourant la structure depuis la base. Nous noterons a(i) l’indice de l’antécédent de C« et s(i) l’ensemble des indices de ses successeurs, avec s(i) = {sl(i),s2(i)...}.

(31)

Figure 3.3 Exemple de structure arborescente et son graphe orienté associé.

Le corps 6 a comme prédécesseur le corps 2 et comme successeurs les corps 7, 8 et 9.

3.2.3 Structure avec des chaînes cinématioues fermées

Nous avons une structure qui possède n corps mobiles, 1 articulations et peut avoir plusieurs organes terminaux ( e >1).

Le graphe non orienté associé à ce type de structure est caractérisé par la présence d’un cycle au moins, et il peut exister plusieurs chemins possibles pour atteindre un organe terminal à partir de la base.

Prenons par exemple la structure de la figure 3,4, elle est composée de deux sous-structures, la première a pour base le corps 0, la deuxième a pour base le corps 1

.

Supposons qu’il n’y ait pas de liaison entre ces deux bases, nous remarquons bien que pour aller de la base (0) à l’organe terminal (12), il’y a plusieurs chemins possibles : (0,3,6,9,12), (0,3,8,13,11,10,9,12), ... Mais il n’existe pas de chemin pour

(32)

24

Figure 3.4 Exemple de structure complexe et son graphe non orienté.

aller par exemple du sommet (7) au sommet (4), car le graphe est non connexe et admet deux composantes connexes : {0,3,6,7,8,9,10,11,12,13} et {1,2,4,5}.

Quant au nombre de cycles élémentaires possibles, on dénombre trois : (3,8,13,11,10,7,3), (3,6,9,10,7,3) et (3,6,9,10,11,13,8,3)

Mais ces trois cycles ne sont pas indépendants. Il suffit de couper l’arc (7,10) par exemple, et les deux premiers cycles élémentaires disparaissent. Chaque cycle dépend des deux autres. Il faut donc chercher une base des cycles qui nous permettra de déterminer tous les autres cycles du graphe. En théorie des graphes on démontre que le nombre de cycles élémentaires indépendants d’un graphe est égal à :

b = a - s + c avec : a le nombre d’arcs du graphe s le nombre de sommets

c le nombre de composantes connexes

Le nombre b , appelé nombre cyclomatique, correspond à la dimension de la base de cycles du graphe.

(33)

Dans notre exemple a = 14 , s = 13 ( avec les deux bases (0) et (1) ) et c = 2 , d’où : b = 2.

En robotique, on considère généralement des structures avec une seule composante connexe ( c = 1), c’est à dire avec une seule base.

Donc, si une structure est composée de n solides mobiles et de 1 articulations, le nombre de chaînes cinématiques indépendantes vaut :

b = (n+1) -1 + 1 = n -1 (n+1) : nombre de corps mobiles plus le corps de base.

b = n -1 (3.1)

Remarque : cette relation est valable aussi pour les structures simples et arborescentes, (b = 0)

Pour obtenir le graphe orienté associé à ce type de structure, on coupe virtuellement un arc pour chaque cycle. Ce qui revient à dire qu’on ouvre les chaînes cinématiques fermées en éliminant (par la pensée) une articulation pour chacune d’elles. Nous verrons dans le chapitre relatif à la modélisation dynamique que la coupure s’effectue au niveau d’une articulation passive.

Dans l’exemple de la figure 3.4, si on choisit de couper les liaisons (9,10) et (11,13) on obtient, comme il est indiqué sur la figure 3.5, le graphe orienté associé à la composante connexe contenant les cycles.

A partir des données contenues dans la matrice définissant la topologie de la structure, le logiciel va procéder à l’orientation du graphe associé, en le parcourant depuis le corps de base. Si la structure est à chaîne simple ou arborescente le processus est simple.

Mais si la structure contient des chaînes fermées, le logiciel va tout

(34)

26 d’abord déterminer tout les cycles possibles et demande à l’utilisateur de couper b cycles parmi eux.

Ainsi, à partir du graphe orienté nous pouvons déterminer pour chaque corps C. son prédécesseur ou antécédent et ses successeurs.

L’étape suivante consiste en la fixation d’un certain nombre de référentiels dans lesquels vont être exprimées les différentes grandeurs (situations relatives des corps, vitesses, accélérations, efforts, ...) nécessaires à la modélisation.

3.3 DESCRIPTION GEOMETRIQUE DES ROBOTS

A chaque corps Q de la structure est lié un repère affine orthonormé s (Oi,2Çj,yi,Zj). Oj est le point origine du repère. et sont trois vecteurs unitaires constituant une base orthogonale. Le vecteur ^ est porté par l’axe de l’articulation joignant le corps Q à son antécédent.

Le repère Ro est fixé au corps de base Q

Nous allons introduire les paramètres permettant d’obtenir le repère R, à partir du repère antécédent R.^^.

3.3.1 Robot à chaîne simple

La structure possède une chaîne continue ouverte comprenant n corps mobiles Cl, Ci, ... C„ et n articulations (figure 3.6).

Pour fixer le repère Ri au corps Q nous allons suivre le procédé récurrent suivant :

a) le vecteur unitaire Zi est colinéaire à l’axe Zj de l’articulation (Cj.„Q).

b) le vecteur unitaire x^ est colinéaire à la perpendiculaire commune aux axes Zi et Zi+,.

c) l’origine Oj est le point d’intersection de cette perpendiculaire commune et de Zj.

d) le vecteur y; = Z; x Xj. (produit vectoriel)

Cas particuliers : Si les deux axes Zj et Zj+, sont parallèles ou confondus il existe une infinité de perpendiculaires communes. On choisit celle qui permet des

(35)

simplifications dans les calculs.

La situation (position et orientation) du corps Q par rapport au corps antécédent Cj., est exprimée en fonction des quatre paramètres suivants : •

• di distance entre les axes Zj., et le long de la perpendiculaire commune Xj.,.

• ttj angle entre les axes Zj., et Zj autour de x^.,.

• r^ distance entre les axes X^., et X^ le long de Zj.

• 0i angle entre les axes X^., et Xj autour de z..

Remarques :

- généralement l’organe terminal du robot supporte à son extrémité un outil de travail. Un repère R, sera lié à cet outil permettant ainsi de définir sa situation par rapport au repère antécédent (voir figure 3.6).

- l’origine O, et les axes Z, et X^ peuvent ne pas appartenir au corps Q.

(36)

28

Les paramètres dj et sont constants. Ils décrivent la forme du corps C,. La coordonnée généralisée q; de la liaison (Q.i,Q) est déterminée par ;

q. = O, T, + a, Q, (3.2)

avec : Uj = \ - a,

(37)

Ri est défini dans /?j., par :

- sa position qu’on exprime par le vecteur :

(3.3)

avec Pji, Pj2 et Pb les coordonnées du point dans le repère

- son orientation qu’on exprime par la matrice de rotation :

i-1R' = C‘x,/‘y.."z.) =

X., Yu Z,.

ya Zb

Xa Yd Zb

(3.4)

chaque colonne contient les composantes du vecteur unitaire correspondant dans le repère

‘■‘Pj et ‘ ‘Ri peuvent être regroupés dans une seule matrice “‘Tj telle que :

^'Ri

0 0 0 1

L

(3.5)

Cette matrice de dimension (4 x 4) est appelée matrice de transformation homogène (PAUL [27]).

’ Pour éviter toute confusion, les repères portent un seul indice et seront notés par un R en italique (R), tandis que les matrices de rotation portent deux indices et seront notéespar un R normal ('Rj).

(38)

30 Soit un vecteur ‘V définissant un point de l’espace par ses trois coordonnées dans le repère R^. La relation qui permet de définir ce point dans le repère R,.i est la suivante :

■•‘V = V + ‘•'P, (3.6)

En exprimant les vecteurs en coordonnées homogènes’, cette relation est équivalente à :

My = i->x. V (3.7)

La matrice ‘ ‘X peut être obtenue de deux manières :

1) soit en remplaçant ‘ ‘Rj et ‘‘‘Pj par leurs expressions dans (3.5).

2) soit en utilisant les matrices de transformation homogènes de translation et de rotation :

"X = Trans(x..„d,) Rot(x,.„a,) Trans(z,,r.) Rot(z.,0,) (3.8) avec:

Trans()Çi.„di) =

1 0 0 d, 0 10 0 0 0 10 0 0 0 1

L J

Rot(x,i,ai) =

10 0 0

0 cos ttj -sin ttj 0 0 sin ttj cos ttj 0

0 0 0 1

L J

’ Un vecteur V = (vl,v2,v3)’^ définissant un point dans l’espace affine est exprimé en coordonnées homogènes par : (vl,v2,v3,l)\

(39)

Trans(z.,r,) =

10 0 0 0 10 0 0 0 1 fi 0 0 0 1

L J

cos e. -sin 0. 0 0 sin e. cos e. 0 0 Rot(z,,e,) =

0

0 0 1

0 0 0 1

L

En notant par Ca.* le cosinus d’un angle a. et par donc :

r ce. -se. 0 d.

i-l'T* _

^ i

Ca. se. Ca. ce. -Sa, ■r. Sa.

Sa, se, Sa. ce. Ca. r. Ca.

0 0 0 1

(3.9)

33^ Structure arborescente

La chaîne cinématique dans ce cas, peut être considérée comme étant formée d’un ensemble de chaînes ouvertes simples ayant des corps en commun. Nous pouvons donc distinguer deux classes de corps :

CUj = cos aj , SUj = sin a^

(40)

32 1) l’ensemble C des corps C, dont l’antécédent C.(i) admet au plus un successeur qui est nécessairement Q.

C = {C. I s(a(i)) = {i} }•

2) l’ensemble C" des corps Q dont l’antécédent a au moins un successeur autre que Q.

C = {Q I card s(a(i)) > 1 }

Pour la première classe, la description est identique à celle d’une chaîne ouverte simple. Le repère Ri est défini dans par les quatre paramètres dj, o„ r, et 0i. Tandis que pour la deuxième classe une ambiguïté apparaît lors de la fixation des repères. En effet, prenons le cas de la figure 3.8 :

Z,,Zj et Zk sont respectivement les axes des articulations (Q.„C,), (C.,Cj) et (Q,Q).

Nous avons dit que le vecteur unitaire x. du repère R, est porté par la perpendiculaire commune à l’axe Zj et à l’axe de l’articulation qui lie le corps Q à son successeur. Or, nous avons cette fois deux perpendiculaires communes, laquelle prendre ?

Nous appliquons le procédé suivant :

- on détermine les perpendiculaires communes à l’axe Zj et à tous les axes des liaisons avec les corps successeurs (Zj et Z^ dans notre exemple).

- on détermine pour chaque successeur de Q les paramètres d, a, r et 0 relativement à sa perpendiculaire commune avec Zj. Cela veut dire que pour chaque successeur on fait intervenir un repère intermédiaire (0’,x’,x’,z’), avec

2’ porté par Zj, x’ porté par la perpendiculaire commune (voir figure 3.8).

■ Rappelons que a représente l’ensemble des antécédents. Pour un corps Cj il existe un et un seul élément j = a(i) de cet ensemble tel que est l’antécédent de Cj. Alors que s représente l’ensemble des successeurs, ses éléments sont des ensembles puisqu’un corps peut avoir plusieurs successeurs (s = {{...},...,s^(i),...{...}}). Q a pour successeurs l’ensemble {..., C,, ...} tel que : j e s,(i).

(41)

Figure 3.8 Définition des repères pour un corps à plusieurs successeurs.

- on choisit arbitrairement le vecteur i sur l’une des perpendiculaires communes. Ce qui nous permet donc de fixer le repère par rapport auquel vont être définis les repères liés aux différents corps successeurs.

- on définit chaque repère intermédiaire dans le repère R^. Deux paramètres suffisent, un pour la position et un pour l’orientation, puisque les deux axes Zi et Z’ sont confondus. Pour un corps Q nous avons :

distance entre O; et O’^ le long de Zj.

/ik angle entre Xi et la perpendiculaire commune aux axes Zj et Z^.

Le passage du repère Ri au repère R^ fixé au corps Q est exprimé donc par la matrice de transformation homogène suivante :

%

= Rot(2i,/ik) Trans(Zi,cJ T,

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34 La matrice est semblable à celle définie par (3.9).

On obtient donc :

X =

-SMkCakS0k+C/x^C0n -SujCajCB^-Cn^SQ^ S/i^Sa^

C/ikCakS0^+SMkC0k Cii^CajCQtrSfi^Q^ -Cfi^Sa^

Sa^ S0^ Sa^ C0k Ca^

0 0 0

r,S/i^Sa,+d,C/i, +d|^S/i^

r,Ccr,+ £, 1

1

(3.10)

3.3.3 Structure à chaînes fermées

On a vu que le graphe orienté associé à cette structure est obtenu en coupant virtuellement toutes les chaînes fermées. On obtient donc une structure arborescente équivalente. On fixe les repères en appliquant le même procédé que dans § 3.3.2. On définit ensuite pour chaque boucle, deux repères qu’on fixe sur les deux extrémités libres des deux corps liés par l’articulation virtuellement coupée.

Si on choisit de couper la liaison (Q,Cj) (figure 3.9), on aura les deux repères R,- = (0,.Æ',36',Zi) et Ry = (Oj.4j.,yj.,2j) qui ont leurs axes z confondus avec l’axe de la liaison (coupée). Comme précédemment, le repère R^ sera défini par rapport au repère antécédent R^, et Ry sera défini par rapport Ry

Les paramètres d, a, r et 0 sont constants pour R^. et Ry. Par ailleurs on peut toujours prendre x^' = Si et s . On annule ainsi 0j., 0j., rj. et tj..

Du fait que les deux axes Zi- et Zj. sont confondus, nous pouvons définir la matrice de passage de transformation ‘Tj. à l’aide des deux paramètres suivant :

fij. : angle entre Xj. et x^. autour de . Tf : distance entre Oj. et Oj. le long de Zj..

Nous aurons donc :

(43)

Figure 3.9 Paramètres relatifs à une liaison coupée.

■T, Rot(Zi.,fii ) Trans(Zi,T,) =

CB, -SB, 0 0 SB, CB, 0 0

0 0 1 Ti-

0 0 0 1

L

(3.11)

Si la liaison coupée est rotoïde, sa coordonnée généralisée qj. est égale à fij..

Et si elle est prismatique, q^. est égale à t,. .

Les relations entre les coordonnées généralisées de la chaîne fermée seront obtenues en exprimant que le produit de toutes les matrices de transformations homogènes le long de la chaîne est égal à la matrice unité :

‘ T, = ‘ Tj. ' ... *T, = I (3.12)

(44)

36

3.4 CONCLUSION

Les concepts énoncés dans ce chapitre constituent les outils de base mis en œuvre pour la modélisation des robots. Nous avons exposé une méthode simple permettant de décrire la topologie de toutes les structures mécaniques. L’avantage de cette méthode réside dans le fait qu’elle élimine la numérotation des articulations et n’exige pas un ordre particulier pour la numérotation des corps. A partir de la matrice topologique décrivant l’architecture du robot le logiciel détermine l’ensemble des antécédents et l’ensemble des successeurs, et place les repères automatiquement.

Afin de faciliter l’introduction des données géométriques, le logiciel initialise tous les paramètres à zéro et demande quels sont les repères pour lesquels il existe des paramètres non nuis. Ceux-ci peuvent être symboliques ou numériques.

Les matrices d’orientation et les vecteurs de position des repères sont ensuite générés. Ce qui nous permettra d’aborder les problèmes de calcul des modèles géométrique, cinématique et dynamique.

(45)

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