Etude de diffusions à valeurs dans des variétés lorentziennes.

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lorentziennes.

Jürgen Angst

To cite this version:

Jürgen Angst. Etude de diffusions à valeurs dans des variétés lorentziennes.. Mathématiques [math].

Université de Strasbourg, 2009. Français. �NNT : 2009STRA6121�. �tel-00418842�

Institut de recherche mathématique avancée

Thèse

en vued'obtenir legrade de docteur de l'Université de Strasbourg,

Écoledoctorale de mathématiques, sciences de l'information et de

l'ingénieur; présentée et soutenue publiquement le 25.09.09 par

Jürgen Angst

Étude de diusions à valeurs

dans des variétés lorentziennes

Thèse encadrée par M. Jacques Franchi

M. YvesLe Jan

soutenue après avis de M. Marc Arnaudon

M. Jean Picard

devant la commission d'examen formée par

M. Marc Arnaudon rapporteur

M. MichelÉmery examinateur

M. Jacques Franchi directeur

M. YvesLe Jan co-directeur

M. Jean Picard rapporteur

Enpremierlieu,jetiensàremercierJacquesFranchietYvesLeJanpouravoir

encadré cette thèseetainsi accompagnémes premierspas dansla recherche.

Merci en particulier à Jacques pour sa disponibilité et sa patience, à Yves

pour sa clairvoyance etses bons conseils.

Marc Arnaudon et Jean Picard m'ont fait l'honneur d'accepter la tâche

in-gratede rapportercettethèse,qu'ilsen soientvivementremerciés. Ungrand

merciégalementàAntonThalmaieretMichelÉmeryd'avoiraccepté defaire

partiedemonjury.ToutcommeMarcetJean,leurcuriositépourmontravail

a été très encourageante etleur bienveillanceexemplaire.

Merci à Ismaël Bailleul pour m'avoir fait proter de son expérience

min-kowskienne, ainsi qu'àFabriceDebbaschpourm'avoirapporté sonexpertise

concernantl'interprétationphysiquedesprocessusétudiésdanscemanuscrit.

Mon aventure mathématique se poursuit à l'université de Genève, merci à

Stanislav Smirnov, Yvan Velenik et Vincent Beara pour leur accueil. Pour

de bassesraisonsadministratives,cette nouvelleétapehelvétique n'auraitpu

sefairesansl'interventionbienvenuede Marie-ClaudeDavidetPierrePansu,

un grand merci àeux.

Mongoûtpourlesaléasetlagéométries'estforgéàOrsayoùj'aieulachance

d'avoir d'excellents professeurs. Il serait injuste de ne pas les remercier ici.

Merci donc à Raphaël Cerf, Guy David, Olivier Raimond, Alano Ancona,

Jean-Michel Bismut, Pascal Massart et un double mercià WendelinWerner

à quima venue àStrasbourg doit beaucoup.

Je garderai un excellent souvenir de ces quatre années passées en Alsace.

Parmi les membres de l'IRMA, je tiens à remercier Yvonne Borell,

San-drine Cerdan, Claudine Bonnin pour leur gentillesse et leur

professionna-lisme.MerciégalementàVincentVigonpoursabonnehumeuretsonécoute,

àClaudine Mitschiet Christian Kasselpour leur bienveillance etlesbalades

dans les Vosges. Merci à Scoum, gentil organisateur (entre autre) du

sémi-naire des doctorants, à Adrien et mes anciens co-bureau. Merci à tous mes

Plus personnellement, merci à mes (dés)alter ego Martin, Jehan, Loïc,

Gas-ton,Antoine, Poloetc.pourleur amitiédèleetprécieusequimériteraitque

nous nous voyionsplus souvent.

Merci à mes parents et ma soeur pour leur amour, leur conance et pour

m'avoir toujourssoutenulors des choix décisifs.

Remerciements i

Introduction ix

Problématique et motivations . . . ix

Présentation de lapremière partie . . . xiii

Présentation de ladeuxième partie . . . xv

Un théorème limite central pour une classe de diusions minkowskiennes I Une classe de diusions minkowskiennes 3 1 Notations,rappelset historique . . . 4

2 Lesdiusions minkowskiennes dans la littérature. . . 9

3 Uneclasse de diusionsminkowskiennes . . . 13

II Preuve du théorème limite central principal 21 1 Ergodicitéde ladiusion euclidienne . . . 22

2 Utilisationde la méthode des martingales. . . 31

3 Asymptotiquede lamartingale

M

. . . 41

4 Deux corollairesdu théorème limite central . . . 48

III Conséquences du théorème limite central 51 1 Comportement asymptotiquedu ROUP. . . 52

Étude d'un mouvement brownien relativiste

dans les espaces de Robertson-Walker

I Construction d'un mouvement brownien relativiste 73

1 La diusion de Dudley dans l'espacede Minkowski . . . 74

2 La construction de Franchiet LeJan . . . 78

3 Les exemples précédemment étudiés . . . 85

II Géométrie des espaces de Robertson-Walker 97 1 Les espaces de Robertson-Walker . . . 98

2 Élémentsde physiquerelativiste . . . 106

3 Géométrie des espaces de Robertson-Walker . . . 118

4 Hypothèses sur le facteur d'expansion . . . 122

III Étude des géodésiques dans les espaces RW 129 1 Connexité etcomplétude des géodésiques . . . 130

2 Intégration des géodésiques de genretemps . . . 132

3 Intégration des géodésiques de lumière . . . 136

4 Asymptotique et prolongementdes géodésiques . . . 139

IV La diusion de Franchi et Le Jan dans les espaces RW 153 1 Systèmes d'équations satisfaits par la diusion . . . 154

2 Mise en évidence de sous-diusionsnaturelles . . . 163

3 Existence, unicité, tempsde vie des solutions. . . 169

4 Loi d'entrée de la diusionen l'originedes temps . . . 173

V Étude de la diusion temporelle 181 1 Asymptotique dans un univers éternel. . . 182

2 Asymptotique dans un univers mortel . . . 201

VI Étude des composantes spatiales de la diusion 211 1 La diusion radialeen courbure négative . . . 212

2 Asymptotique lorsque la bre est euclidienne . . . 233

3 Asymptotique lorsque la bre est hyperbolique . . . 250

VII La diusion régénérée dans un univers mortel 273

1 Prolongement de ladiusion . . . 274

2 Asymptotiquede ladiusion régénérée . . . 277

VIII Frontière de Poisson de la diusion 281

1 Unthéorème de Liouville . . . 282

2 Lorsque labre est euclidienne . . . 286

3 Quelquesremarques . . . 289

Problématique et motivations

L'objet de ce mémoireest l'étude de processus stochastiques à valeurs dans

des variétés lorentziennes. En particulier, on s'intéresse au comportement

asymptotique en temps long de ces processus et on souhaite voir en quoi

celui-ci reète la géométrie des variétés sous-jacentes. Nous limitons notre

étude à celle de diusions, c'est-à-dire de processus markoviens continus,

à valeurs dans le bré tangent unitaire de variétés lorentziennes fortement

symétriques. L'introduction etl'étude de tels processus ont des motivations

purement mathématiquesmais aussi physiques, que nous décrivons dans les

deux prochains paragraphes.

Des motivationsphysiques

Lesthéoriesphysiquesdu mouvement brownien etde larelativitéremontent

toutesdeux audébutduvingtièmesiècle.Ellesremontentprécisémentà

l'an-née 1905, Annus mirabilis 1

où Einstein publiait les quatre articles [Ein05a,

Ein05b, Ein05c, Ein05d] dans Annalen der Physik. Ces deux théories ont

eu chacune un retentissement extraordinaire. Les travaux d'Einstein sur le

mouvement brownien ont en particulier permis de mettre en place un

pro-tocole expérimentalpour mesurer avec précisionlaconstanted'Avogadro,et

ainsijustierlanaturediscrètedelamatièrequin'étaitjusqu'alors

qu'hypo-thétique.Il n'estpas utiled'insister sur lavéritablerévolutionscientique et

philosophiqueconsécutiveàl'introductionduprincipederelativité.Pourtant,

cesdeuxthéoriessontincompatiblescommeilressortclairementdufaitquele

uxdelachaleursepropageinstantanémentàl'inni.Faceàcette

incompati-bilité,onauraitpus'attendreàvoireurirdèsledébutduvingtièmesiècleles

travaux cherchant àconciliermouvement brownienet principe de relativité.

Il a fallu pourtant attendre une soixantaine d'années avant de voir émerger

destravauxconcernantl'étudede processusstochastiquesdanslecadredela

1. Cettethèseadébuté en2005oùl'onfétait àl'IHP lecentenairedestravaux

d'Ein-stein. Le lecteur curieux pourra consulter les excellents articles [Dup05] et [Dar05] du

relativitérestreinte. C'esten eetaumilieudes années1960qu'apparaissent

lespremierstravauxconcernantdesprocessus deMarkovàvaleursdans

l'es-pace de Minkowski. Dans [Dud66 ], Dudley a ainsi introduit une diusion à

valeursdansl'espacetangentunitairedel'espacedeMinkowski,diusionqui

possèdel'invariancelorentzienne.Àlamêmeépoque,motivésparla

modélisa-tionde plasmasrelativistesdansl'optiqued'unefusionnucléaire,lestravaux

concernant la mécanique statistique relativistenon quantique se multiplient

danslalittératurephysique.On peut citerpar exemplelestravauxpionniers

deHakim[Hak65,Hak67a,Hak67b,Hak68a, Hak68b]etlesréférencesde ces

articles.

Cependant, de façon assezsurprenante, il fautànouveau attendre une

tren-taine d'années pour trouver de réelles avancées par rapport aux travaux de

Dudley et Hakim. Dans [DMR97 ], Debbasch, Mallick et Rivet ont ainsi

in-troduitleprocessusd'Ornstein-Uhlenbeckrelativiste(ROUP)pour décrirele

mouvementaléatoired'uneparticuleponctuellebaignantdansunuide

rela-tiviste. Ce processus a été étudié dans [DR98,BDR01a, BDR01b, BDR01c]

puis généralisé au cas courbe par Debbasch dans [Deb04 ]. Poursuivant le

même objectif, dans [DH05a, DH05b] Dunkel et Hänggi ont à leur tour

in-troduitunediusiondansl'espacedeMinkowskietétudiésoncomportement

viadessimulationsnumériques.D'autresdiusionsrelativistessontapparues

récemment dans la littérature physique, citons par exemple [Pav01 , VB06,

Hab09,Her09].Bienquecertainsdecesprocessusaientétélargementétudiés,

des questionsconcernantleur comportementasymptotiquerestaientsans

ré-ponse.Parailleurs,certainesarmationscourammentadmiseslesconcernant

n'avaientpas de justicationmathématique rigoureuse.

Des motivations mathématiques

L'introductionde processus et de méthodes stochastiques dans le cadre

rie-mannienremonteaux années1960 etauxtravauxde KiyosiItôsur le

trans-port parallèle stochastique [Itô63]. Depuis ces travaux pionniers, les

inter-actions entre théorie des probabilités et géométrie diérentielle sont

deve-nues un champ de recherche fructueux et en constante expansion. Parmi

les nombreux résultats marquants obtenus via ces méthodes, on peut

ci-ter par exemple la preuve probabiliste du théorème de l'indice

d'Atiyah-SingerparBismutdans[Bis84],ladéterminationd'applicationsharmoniques

entre variétésriemanniennes via l'étudede semi-martingales[Ken98], ou

en-core l'étude de la frontière de Poisson sur les variétés de Cartan-Hadamard

[HK92,ATU09].Touscestravauxfontapparaîtredeslienstrèsprofondsentre

géné-de cette variéte. Une question très naturelleconsiste alors à se demander si

de tel liens perdurent lorsque la variété sous-jacente n'est plus riemanienne

mais pseudo-riemanienne, en particulier lorsqu'elle est lorentzienne.

Autre-mentdit,l'étudedu mouvementbrownien etplus généralementde processus

stochastiques sur une variété lorentzienne nous apprend-elle quelque chose

sur la géométrie de cette variété? Pour répondre à cette question, il faut

bien entendu d'abord s'entendre ce qu'est un mouvement brownien sur une

variété lorentzienne.

Comme nous l'avons déjà brièvement indiqué au paragraphe précédent, les

premierstravauxconcernantl'étudede processusstochastiquesdanslecadre

lorentzien sont ceux de Dudley dans lesannées1960. Dans l'article[Dud66],

Dudley a établi une classication des processus markoviens à valeurs dans

lebré tangent unitaire de l'espacede Minkowskiqui possèdent l'invariance

lorentzienne, c'est-à-dire dont la loi est invariantesur l'action du groupe de

Lorentz, le groupedes isométriesde l'espacedeMinkowski.Il aainsi montré

que parmi ces processus, ilen existe un et un seul dont les trajectoires sont

continues, et donc qu'il existe un unique candidat naturel pour être qualié

de mouvement brownien dans l'espace de Minkowski. Dans un second

ar-ticle [Dud73], Dudley a ensuite étudié lespropriétés asymptotiques de cette

diusion montrant en particulier que le processus est transitoire : il diverge

vers l'inni dans une direction privilégiée, à l'image du mouvement

brow-nien hyperbolique. Récemment, dans [Bai06,Bai08a],Bailleula complété la

description de Dudley en montrant que non seulement les trajectoires du

mouvement brownien dans l'espace de Minkowski s'en vont à l'inni dans

une direction privilégiée aléatoire, mais qu'elles convergent également vers

un hyperplan asymptotiquealéatoire.

De façon assez surprenante, hormis les récents travaux de Bailleul, les

ré-sultats de Dudley ont eu relativement peu d'écho. En particulier, la notion

de mouvement browniensur une variétélorentziennegénérale est longtemps

restée oue. Récemment, dans [FLJ07], Franchi et Le Jan ont étendu la

construction de Dudley au cadre géométrique de la relativité générale. Ils

ont en eet construit une diusion à valeurs dans le bré tangent unitaire

d'une variété lorentziennegénérale, diusion dont laloi possède l'invariance

lorentzienne. Leur construction est une adaptation au cadre lorentzien de

la méthode du relèvement horizontal qui permet de construire une

semi-martingale sur une variété riemannienneen passant par le bré des repères.

Cette diusion apparaîtin ne comme le développement stochastique de la

Ladiusion deFranchietLeJanadéjàétéétudiéedansquelques exemples:

essentiellement l'espace de Minkowski où elle coïncide avec la diusion de

Dudley, l'espacede Schwarzschild quiest un des principaux modèles utilisés

par les physiciens pour décrire le complémentaire d'un trou noir dans la

théorie de la relativité générale, et enn l'univers de Gödel, qui possède la

propriétéintéressanted'êtreàlafoisunesolutiondeséquationsd'Einsteinet

de contenir des courbes de genre temps fermées. Les espaces de Minkowski,

Schwarzschild et Gödel sont tous les trois de courbure nulle. De l'étude de

cesexemples,ilressortlefaitquelestrajectoiresde ladiusionde Franchiet

LeJansemblentconvergerpresquesûrementvers desgéodésiquesde lumière

aléatoiresde la variété sous-jacente. Dans [FLJ07], les auteurs conjecturent

même la nature de la frontière de Poisson associée à la diusion : celle-ci

serait en bijection avec un ensemble de classes d'équivalence de géodésiques

de lumière.

Le nombre d'exemples où la diusion de Franchi et Le Jan a déjà été

étu-diée étant assez restreint, il est raisonnable, avant de chercher à conrmer

ou à inrmer leurs prédictions, de décrire son comportement asymptotique

surd'autres exemplesde variétéslorentziennes, en particulierdesvariétésde

courbure non nulle. Par ailleurs,parmi lestrois exemplesci-dessus, ilen est

un seul oùl'on soit parvenu à décrirela frontière de Poisson de la diusion.

SeulBailleuldans [Bai08a] aen eetdéterminé explicitement lafrontière de

Poisson de la diusion de Dudley dans l'espace de Minkowski. La

détermi-nation de la frontière de Poisson de la diusion de Franchi et Le Jan sur

un premier exemple de variété lorentzienne courbe est donc une question

naturelleetmotivante.

Ce mémoire est composé de deux parties largement indépendantes, de

lon-gueuretde natureinégales.Lapremière partiedu manuscritest consacrée à

lapreuved'un unique résultat,àsavoir un théorème limitecentralpour une

classe de diusions à valeurs dans l'espace de Minkowski. Elle est motivée

par les questions ouvertes de lalittérature physique évoquées plus haut. Ce

travail a fait l'objet de la publication [AF07]. La seconde partie du

manus-crit, bien plus importante en volume, est consacrée à l'étude détaillée de la

diusionde FranchietLe Jansur une largeclasse d'exemples de variétés

lo-rentziennes courbes:lesespaces de Robertson-Walker.Larédaction decette

secondepartieestlinéaireausens oùl'onprogresse aufuretàmesurevers la

déterminationducomportementasymptotiquedeladiusion.Enparticulier,

Présentation de la première partie

Dans la première partie du manuscrit, nous montrons un théorème limite

centralpour une classe de diusions minkowskiennes, plus précisément pour

une classe de diusions à valeurs dans le bré tangent unitaire de l'espace

de Minkowski

R

1,d

_{× H}

d

. Àl'origine de ce travail setrouvent deux questions

issues des articles [DR98] et[DH05a, DH05b] respectivement, concernant le

comportementasymptotiquedesprocessusintroduitsdanscesmêmesarticles

par leur auteurs. Lesdeux processus en question sontde laforme

(x(t), p(t))

_t≥0

= (t, x

t

, p

0

t

, p

t

)

t≥0

∈ R

1,d

× H

d

,

en particulier, ils sont caractérisés par la seule donnée du couple

(x

t

, p

t

)

t≥0

quisetrouveêtredanslesdeuxcas unediusiondans

R

d

_×R

d

.Lesquestions

soulevéesdans[DR98]et[DH05a]portentrespectivementsurlalimite

hydro-dynamique et la variance asymptotique des processus

(x

t

)

t≥0

. Sans rentrer danslesdétailstechniquesetphysiques, considérerlalimitehydrodynamique

duprocessus

(x

t

)

t≥0

revientenfaitàdéterminerlaloiduprocessus

(

1

√

t

x

at

)

a≥0

indexé par

a

lorsque le paramètre

t

tend vers l'inni. En se basant sur un développement de Chapman-Enskog, lesauteurs de [DR98]arment que la

limite hydrodynamique du processus

(x

t

)

t≥0

se comporte de manière brow-nienne. Plus précisément, ils donnent une démonstrationheuristique du fait

la densité

n(τ, x)

du processus limite satisfait une l'équation du type

∂

τ

n = ∆n,

quiestbiensûrl'équationdelachaleurvériéeparladensitéd'unmouvement

brownien.Cesmêmesauteursinsistentsurlefaitqueleurdémonstrationn'est

qu'heuristiqueetappellentlesbonnesvolontésàjustierrigoureusementleur

conclusion.Lesauteursde[DH05a,DH05b]cherchentquantàeuxàmontrer

une relation de uctuation-dissipation pour le processus

(x

t

)

t≥0

, ce qui re-vient à dire que lorsque

t

tend vers l'inni, la variance normalisée

E

[

|x

t

|

2

_]/t

converge vers une constante

Σ

2

_{> 0}

à préciser. À partir de simulations

nu-mériques, ils arment qu'une telle convergence a bien lieuet prédisent une

valeurpourlavariancelimite,sanspourautantparveniràjustierleurs

ar-mations.Lethéorèmelimitecentralquenous établissonspermetderépondre

rigoureusementàces deux questions.Il répondenfaitàunequestion de

por-tée bien plus générale puisque nous établissons laconvergence en loivers un

mouvement browniendu processus

(

1

√

t

x

at

)

a≥0

,etce pour touteune classe

C

de diusions

(t, x

t

, p

0

t

, p

t

)

t≥0

, classe qui englobe la plupart des exemples de diusions minkowskiennes de la littérature physique.

Notre résultatprincipals'énonce sous la formesuivante:

Théorème (théorème I.1)  Soient

(t, x

t

, p

0

t

, p

t

)

t≥0

une diusion de la classe

C

et

(x

t

, p

t

)

t≥0

ladiusioneuclidienneassociée. Alors, leprocessus

p

t

à valeurs dans

R

d

admet une probabilité invariante

π

et laloi du processus

x

t

_a

a≥0

:=



1

√

t

x

at



a≥0

=

√

1

t

x

1

at

, . . . , x

d

at

a≥0

converge, lorsque

t

tend vers l'inni, vers la loi de

(Σ

× B

a

)

a≥0

, où le pro-cessus

B

est un mouvement brownien standard de dimension

d

et

Σ

est une constante strictement positive explicite. La convergence en loi a lieu dans

l'espace

C(R

+

_{, R}

d

₎

muni de la topologie de la convergence uniforme sur les

compacts de

R

+

, pour

π

-presque tout

p

0

, ou si la loi initiale est la loi inva-riante.

Duthéorèmelimitecentral,ondéduitaisémentque,pourtouteslesdiusions

minkowskiennes de la classe

C

, la variance normalisée

E

[

|x

t

|

2

_{] /t}

converge

eectivement lorsque

t

tend vers l'inni.

Corollaire (corollaire II.2)  Soient

(t, x

t

, p

0

t

, p

t

)

t≥0

une diusion de la classe

C

et

(x

t

, p

t

)

t≥0

ladiusioneuclidienne associée.Alors pour toutpoint initial, lavariance normalisée vérie la convergence suivante, lorsque

t

tend vers l'inni :

E

_[

_|x

_t

_|

2

_]

t

−→ d × Σ

2

_,

où

Σ

est laconstantestrictement positive du théorèmeci-dessus.

L'introduction de la classe

C

de diusions minkowskiennes pour lesquelles nos résultats sont valables fait l'objet du premier chapitre où nous xons

égalementlesnotations,faisonsquelques rappelshistoriques,etrappelonsles

principauxexemplesde diusionsminkowskiennesde lalittératurephysique.

Lechapitre II est consacré àlapreuve du théorème limiteprincipal.Elleest

basée sur la méthode des martingales qui consiste à décomposer le

proces-sus

x

t

est la somme d'une martingale et d'un terme de reste qu'on montre être asymptotiquement négligeable. La décomposition repose sur la

résolu-tion délicate d'une équation diérentielle ordinaire d'ordre deux avec des

pôles d'ordre eux. Enn, dans le chapitre III, nous appliquonsnos résultats

aux diusions introduites dans [DR98] et [DH05a, DH05b ]. Nous justions

ainsi la conjecture de [DR98], la convergence annoncée par les auteurs de

[DH05a, DH05b] et nous inrmons et corrigeons leur prédiction concernant

lavariancelimite

Σ

2

Présentation de la deuxième partie

Nousdécrivons àprésent lecontenude laseconde partiedumanuscrit

consa-crée à l'étude de la diusion de Franchi et Le Jan dans les espaces de

Robertson-Walker. Ces variétés lorentziennes sont fréquemment utilisées en

cosmologiepourmodéliserununivers en expansion danslesthéoriesdu

Big-BangouduBig-Crunch.Lesdeuxpremierschapitresde cetteseconde partie

contiennentessentiellement desrappels. Danslepremierchapitre,onévoque

tout d'abord la construction d'un mouvement brownien sur une variété

lo-rentzienne. On rappelle ainsi les résultats de Dudley dans l'espace de

Min-kowski,puis laconstruction parFranchiet LeJand'une diusionrelativiste

sur le bré tangent unitaire d'une variété lorentzienne générale. Nous

reve-nons alors brièvement sur lesexemples de variétés où la diusion a déjàété

étudiée.

DanslechapitreII,nousintroduisonslesespacesdeRobertson-Walkercomme

des exemples de produit tordu de deux variétés pseudo-riemanniennes. Ce

sontdes variétésdu type

I

× M

où

I =]0, T [

est un intervallede

R

et

M

est une variété riemanniennede courbure constante, typiquement

M = R

3

_{, H}

3

_,

ou

S

3

.Onmunitcesvariétésd'unemétriquedelaforme

ds

2

₌

_−dt

2

_+α

2

_(t)g

M

où

t

est une paramétrisationde

I

,

α

une fonction strictement positivesur

I

que l'on appellele facteur d'expansion, et

g

M

est la métrique riemannienne

usuellesur

M

. On note

M := I ×

α

M

lesespaces ainsi dénis. Dansles sec-tions 2 et 3 du chapitre II, nous rappelons certaines propriétés physique et

géométriquede cesespaces etnousendéduisons deshypothèsesraisonnables

concernant leur facteur d'expansion

α

. Enparticulier,on suppose que la dé-rivée logarithmique

H := α

0

_/α

, que les physiciens connaissent sous le nom

de fonction de Hubble, est une fonction décroissante sur

I

. Pour alléger les énoncés, on introduit le vocabulaire suivant, qui prend tout son sens si l'on

onpense aux espaces de Robertson-Walkercomme des modèlesd'univers en

expansion dans la théorie du Big-Bang ou Big-Crunch. Lorsque

T < +

∞

, nous dironsque l'espace (ouunivers)

M

est mortel. Lorsque

T = +

∞

, nous dirons que l'univers est éternel. Dans un univers éternel, nous dirons que

l'expansionest rapidesi

Z

+∞

.

dt

α(t)

< +

∞,

etlente si

Z

+∞

.

dt

α(t)

= +

∞.

De la même façon, dans un univers mortel, nous dirons que l'eondrement

est lent si

Z

T

.

dt

α(t)

< +

∞,

rapidesi

Z

T

.

dt

α(t)

= +

∞.

Le chapitre III est consacré à l'étude des géodésiques dans les espaces de

Robertson-Walker. Après avoir rappelé des conditions nécessaires et

su-santes pour que ces espaces soient géodésiquement connexes et complets,

nous yrésolvons explicitement leséquationsdes géodésiques de genre temps

etdesgéodésiquesdelumière.Noussimplionsnotoirementletraitementqui

enestfaitusuellementdanslalittératurephysique.Nousdéterminonsen

par-ticulierlecomportementasymptotiquedesgéodésiquesdelumière,quisil'on

a foi en la conjecture de Franchi etLe Jan, s'avérera être le modèle pour le

comportement asymptotiquedes trajectoires de la diusion.Nous montrons

également que sous des hypothèses adhoc les géodésiques de lumière d'un

espace

M :=]0, T [×

α

M

où

T

est ni, quisont a priori incomplètes,peuvent étre prolongées en des trajectoires bien dénies sur tout

R

+

à valeurs dans

une extension naturelle

M

c

de l'espace

M

.

Dans le chapitre IV, nous explicitons le système d'équations diérentielles

stochastiquessatisfaitparladiusion

(ξ

s

, ˙ξ

s

) = (t

s

, x

s

, ˙t

s

, ˙x

s

)

deFranchietLe Janàvaleurs dans lebré tangentunitaire

T

1

_M

d'unespace de

Robertson-Walker

M

. Dans le bré tangent d'un espace-temps de dimension quatre, ce système d'équations est de dimension sept. Nousexhibons alors plusieurs

sous-diusions naturelles de la diusion initiale, en particulier nous

mon-trons quele processus

(t

s

, ˙t

s

)

est une sous-diusion de dimension deux de la diusion

(ξ

s

, ˙ξ

s

)

.Nousla désignons dans lasuite par diusiontemporelle : PropositionIV.1Soit

M = I ×

α

M

un espace de Robertson-Walker. Si

(ξ

s

, ˙ξ

s

) = (t

s

, x

s

, ˙t

s

, ˙x

s

)

est la diusion de Franchi et Le Jan à valeurs dans

T

1

_M

, alors le couple

(t

s

, ˙t

s

)

est une diusion de dimension deux à valeurs dans

]0, T [

×[1, +∞[

.

L'étude de ces sous-diusions permet de mieux appréhender le

comporte-ment asymptotique de la diusion globale.Nous établissons égalementdans

le chapitre IV l'existence, l'unicité, et le temps d'explosiondes solutions du

système évoqué plus haut.

PropositionIV.4Soient

M =]0, T [×

α

M

un espacede Roberton-Walker et

(ξ

0

, ˙ξ

0

)

∈ T

1

_M

uneconditioninitialeraisonnable.Alors,lesystèmed'é

qua-tionsdiérentiellesstochastiquesqui dénitladiusion deFranchiet LeJan

admet une solution forte

(ξ

s

, ˙ξ

s

) = (t

s

, x

s

, ˙t

s

, ˙x

s

)

issue de

(ξ

0

, ˙ξ

0

)

et dénie jusqu'au temps d'explosion

τ := inf

{s > 0, t

s

= T

}

.

Dans le chapitre V, nous étudions le comportement asymptotique de la

dif-fusion temporelle

(t

s

, ˙t

s

)

. On montre en particulier que lorsque

T = +

∞

, lavitesse de divergence du facteur d'expansion donne lieuà une dichotomie

Théorème VI.2 (Propositions V.1, V.2 et V.5)  Soit

M =]0, T [×

α

M

un espace de Robertson-Walker. On considère des conditionsinitiales

raison-nables

(ξ

0

, ˙ξ

0

)

et

(ξ

s

, ˙ξ

s

) = (t

s

, x

s

, ˙t

s

, ˙x

s

)

ladiusiondeFranchietLeJanissue de

(ξ

0

, ˙ξ

0

)

. Alors presque sûrement, lorsque

s

tend vers le temps d'atteinte

τ = inf

_{{s > 0, t}

s

= T

}

, on a les comportements asymptotiquessuivants :

i)

si

T = +

∞

etl'expansionestexponentielle,

˙t

s

estrécurrentdans

]1, +

∞[

;

ii)

si

T = +

∞

et l'expansion est polynomiale,

˙t

s

est transitoire;

iii)

si

T < +

∞

,

˙t

s

est transitoire.

Le chapitre VI est celui où nous explicitons le comportement asymptotique

des composantes

(x

s

, ˙x

s

)

àvaleursdans

T M

de ladiusion de FranchietLe Jan,etparsuitelecomportementasymptotiquedeladiusionglobale

(ξ

s

, ˙ξ

s

)

àvaleursdans

T

1

_M

. Danstous lescas d'espaces de Robertson-Walker

envi-sageables,qu'ilssoientmortelsouéternels,quel'expansionoul'eondrement

soit rapide oulent(e) et que la bre soit euclidienne, hyperbolique ou

sphé-rique, on montre ainsi que le comportement asymptotique des trajectoires

du processus

ξ

s

de la diusion

(ξ

s

, ˙ξ

s

)

est semblable à celui des géodésiques de lumière décrit auchapitre III. Notre étude vient donc comforter,sur une

large classe d'exemples de variétés lorentziennes, de courbure non nulle en

général, la prédiction de Franchi et Le Jan, à savoir que sur une variété

lo-rentziennegénérale, ladiusion décrit asymptotiquementune géodésique de

lumière aléatoire. Les diérents résultats obtenus au cours du chapitre VI

sont résumés dans sa dernière section, où nous faisons également une

re-marque d'ordre général qui permet à notre sens de mieux appréhender la

convergence des trajectoires de la diusionvers des géodésiques de lumière.

Le comportement asymptotique du processus

ξ

s

apparaît intimement lié à la notion de frontière causale introduite par Geroch, Kronheimer, et

Pen-rose dans [GKP72]. Cette notion très robuste a été largement étudiée dans

la littérature physique ainsi que mathématique. La frontière causale

∂

M

+

c

d'une variété lorentzienne

M

est dénie comme une classe d'équivalence de courbes causales (

i.e.

de genre temps ou de lumière) orientées vers le futur sur

M

. Dans le cas des espaces de Robertson-Walker, cette frontière a été complétement décrite dans [AnF07]. Les résultats obtenus tout au long du

chapitreVIpeuventalorss'exprimerde façonconcisesouslaformesuivante:

Théorème VI.1  Soit

M =]0, T [×

α

M

un espace de Robertson-Walker. Soient

(ξ

0

, ˙ξ

0

)

∈ T

1

_M

des conditions initiales raisonnables et

(ξ

s

, ˙ξ

s

) =

(t

s

, x

s

, ˙t

s

, ˙x

s

)

ladiusion deFranchiet LeJan issuede

(ξ

0

, ˙ξ

0

)

.Alors presque sûrement,lorsque

s

tendvers

τ = inf

{s > 0, t

s

= T

}

,leprocessus

ξ

s

converge vers un point aléatoire de la frontière causale

∂

M

+

Par ailleurs, on peut décrire explicitement le comportement asymptotique

duvecteurdérivénormalisé

˙x

s

/

| ˙x

s

|

àvaleursdans

T

1

_M

.Enparticulier,dans

le cas d'un espace de Robertson-Walkeréternel, on montre que leprocessus

˙x

s

/

| ˙x

s

|

converge presque sûrementlorsquel'expansionest polynomialeet di-verge lorsque l'expansionest exponentielle.Dans lecas divergent, onmontre

que

˙x

s

/

| ˙x

s

|

décrit en fait asymptotiquement un mouvement brownien sphé-riquechangé de temps dans l'espace tangent limite:

Théorème VI.3  Soit

M =]0, T [×

α

M

un espace de Robertson-Walker où l'expansion est rapide ou l'eondrement est lent. Soient

(ξ

0

, ˙ξ

0

)

∈ T

1

_M

des conditionsinitialesraisonnables et

(ξ

s

, ˙ξ

s

) = (t

s

, x

s

, ˙t

s

, ˙x

s

)

la diusionde Franchi et Le Jan issue de

(ξ

0

, ˙ξ

0

)

. Alors presque sûrement, lorsque

s

tend vers

τ = inf

{s > 0, t

s

= T

}

, le processs

x

s

converge vers un point aléatoire

x

_∞

de labre

M

et le processus

˙x

s

/

| ˙x

s

|

vérie les assertions suivantes :

i)

si

T <

∞

ou si

T = +

∞

et l'expansion est polynomiale, alors

˙x

s

/

| ˙x

s

|

converge vers un point

Θ

∞

de

T

1

x

∞

M

;

ii)

si

T = +

∞

et l'expansion est exponentielle, alors

˙x

s

/

| ˙x

s

|

décrit asymp-totiquement un mouvement brownien sphérique changé de temps dans

T

1

x

∞

M

≈ S

2

.

Onparvientaussiàdécrirelecomportementasymptotiquedu vecteurdérivé

normalisé

˙x

s

/

| ˙x

s

|

dans des espaces oùl'expansionest lenteoul'eondrement est rapide.

Théorème VI.4  Soit

M =]0, T [×

α

M

un espace de Robertson-Walker où l'expansion (polynomiale) est lente ou l'eondrement est rapide. Soient

(ξ

0

, ˙ξ

0

)

∈ T

1

M

desconditionsinitialesraisonnableset

(ξ

s

, ˙ξ

s

) = (t

s

, x

s

, ˙t

s

, ˙x

s

)

la diusion de Franchi et Le Jan issue de

(ξ

0

, ˙ξ

0

)

. Alors presque sûrement, lorsque

s

tend vers

τ = inf

{s > 0, t

s

= T

}

, le processus

x

s

est divergent et le processus

˙x

s

/

| ˙x

s

|

vérie les assertions suivantes :

i)

si

M = R

3

, alors

˙x

s

/

| ˙x

s

|

converge vers un point

Θ

∞

de

S

2

;

ii)

si

M = H

3

_{⊂ R}

1,3

,alors

|x

0

s

|

−1

× ˙x

s

/

| ˙x

s

|

convergeversunpoint

(1, Θ

∞

)

;

iii)

si

M = S

3

_{⊂ R}

4

, le processus

˙x

s

/

| ˙x

s

|

décritasymptotiquement un grand cercle aléatoire dans

S

3

.

Dansl'avantdernierchapitreVII, nousmontrons quecommelesgéodésiques

delumière,dansun espacedeRobertson-Walkermortel

M

oùl'eondrement est lent, les trajectoires de la diusion

(ξ

s

, ˙ξ

s

)

, a priori seulement dénies jusqu'autemps

τ = inf

{s > 0, t

s

= T

}

quiestnipresquesûrement,peuvent en fait être prolongées en des trajectoires bien dénies sur tout

R

+

et à

alors le comportement asymptotique des trajectoires prolongées dans

M

c

et montrons qu'ilest tout à fait semblable à celui de la diusion de Franchi et

Le Jandans un univers éternel oùl'expansionest lente.

Nous concluons laseconde partiedu manuscrit en explicitant, pour certains

espaces de Robertson-Walker,lafrontièrede Poisson de ladiusion de

Fran-chi etLeJan. Parune méthode de couplage, nouscommençons par montrer

un théorème de Liouville pour la diusion temporelle dans un espace de

Robertson-Walkeréternel :

Proposition VIII.1  Les seules fonctions harmoniques bornées pour le

générateurinnitésimal

L

deladiusiontemporelle

(t

s

, ˙t

s

)

sontlesfonctions constantes.

Nous nous concentrons alors sur le cas d'un espace de Robertson-Walker

éternel

M

de bre euclidienne, où l'expansion est exponentielle. Parmi les espaces de Robertson-Walker fréquemment utilisés en cosmologie, l'espace

de de Sitter vérie ces conditions. Dans ce type d'espaces, on montre que

le processus

x

s

de la diusion globale

(ξ

s

, ˙ξ

s

) = (t

s

, x

s

, ˙t

s

, ˙x

s

)

à valeurs dans

T

1

_M

converge presque sûrement lorsque

s

tend vers

τ = +

∞

vers un point

x

_∞

de

R

3

.On montre alors lerésultat suivant:

ThéorèmeVIII.1Soit

M =]0, +∞[×

α

R

3

unespacedeRobertson-Walker

éterneloùl'expansionestexponentielle.Soient

(ξ

0

, ˙ξ

0

)

∈ T

1

_M

desconditions

initiales raisonnables et

(ξ

s

, ˙ξ

s

) = (t

s

, x

s

, ˙t

s

, ˙x

s

)

la diusion de Franchi et Le Jan issue de

(ξ

0

, ˙ξ

0

)

. Alors presque sûrement, la tribu asymptotique pour le processus

(ξ

s

, ˙ξ

s

)

coïncideavecla tribu

σ(x

∞

)

engendrée par la variable

x

Un théorème limite central pour

une classe de diusions

Une classe de diusions

minkowskiennes

Contenu du chapitre

1 Notations, rappels et historique . . . 4

1.1 Quelquesnotationsetrappels . . . 4

1.2 Mouvement brownien etrelativité restreinte . . . . 6

2 Les diusions minkowskiennes dans la littérature 9

2.1 Leprocessus d'Ornstein-Uhlenbeckrelativiste . . . 9

2.2 Ladiusion de Dunkel etHänggi . . . 10

2.3 Deuxquestions naturellesconcernant cesdiusions 12

3 Une classe de diusionsminkowskiennes. . . 13

3.1 Une classede diusionsminkowskiennes . . . 13

3.2 Énoncé desrésultatsprincipaux . . . 16

3.3 Plande lapreuve du théorèmelimitecentral . . . 17

Dans ce premier chapitre, nous introduisons une classe de diusions à

va-leurs le bré tangent unitaire de l'espace de Minkowski. Le théorème limite

centralqui fait l'objet de cette partie sera valable pour toutes les diusions

de cette classe. Après avoir introduit les notations utilisées dans la suite,

nous rappelons les deux principaux exemples de diusions minkowskiennes

de la littératurephysique, ainsi quelesquestions lesconcernantqui ont

mo-tivé ce travail. Les deux diusions en question sont d'une part le processus

d'Ornstein-Uhlenbeck relativiste (ROUP)introduit par Debbasch, Malliket

Rivet dans [DMR97], et d'autre part le mouvement brownien relativiste,

que nous désignerons ici par diusion de Dunkel et Hänggi, introduit par

ces deux auteursdans [DH05a,DH05b].Nousexplicitonsensuitelaclassede

diusions minkowskienne évoquée ci-dessus, classe à laquelle appartiennent

naturellement le ROUP et ladiusion de Dunkel et Hänggi. Nousénonçons

1 Notations, rappels et historique

1.1 Quelques notations et rappels

Fixons un entier

d

supérieur ou égal à1. Dans toute lasuite,

R

1,d

désignera

l'espacedeMinkowskidelarelativitérestreinte,c'est-à-dire,l'espacevectoriel

R

d+1

muni de lapseudo-métrique minkowskienne :

ds

2

=

_−|dx

0

_|

2

+

d

X

i=1

|dx

i

|

2

.

Dansla base canonique de

R

1,d

, nous noterons

x = (x

µ

_{) = (x}

0

_{, x}

i

_{) = (x}

0

_{, x)}

lescoordonnées d'un pointgénérique, les indicesgrecs parcourant

0, .., d

,et les indices latins parcourant

1, .., d

. Rappelons que sur une variété lorent-zienne

(

M, g)

, les vecteurs tangents sont répartis en trois classes, selon le signe de leur pseudo-norme. Ainsi, onditqu'un vecteur

v = v

µ

_{∈ T M}

est :  de genre temps si

g

µν

v

µ

_v

ν

_{< 0}

;  de lumièresi

g

µν

v

µ

_v

ν

_{= 0}

;  de genre espacesi

g

µν

v

µ

_v

ν

_{> 0}

.

Dans l'espace de Minkowski, les vecteurs de lumière forment un cône, le

cône de lumière. Les vecteurs de genre temps sont ceux qui se trouvent à

l'intérieur du cône de lumière, et les vecteurs de genre espace ceux qui se

trouvent à l'extérieur du cône. La distinction entre vecteur de genre temps,

espaceoude lumière s'étend naturellementaux courbesparamétrées tracées

sur

M

(voirgure 1ci-après). Ainsi,ondiraqu'une courbe

(x

u

)

u≥0

dans

M

est de genre temps si pour toute valeur du paramètre

u

, le vecteur dérivé

˙x

u

:= dx

u

/du

est de genre temps; on dira que la courbe est une courbe de lumièresi pour toute valeur de

u

,

˙x

u

est un vecteur de lumière etc. Dans la théoriede la relativitérestreinte, la ligne d'univers d'uneparticulede masse

nulle, c'est-à-dire la trajectoire d'un photon dans l'espace de Minkowski,

est une courbe de lumière. La ligne d'univers d'une particule de masse

m

strictementpositiveest unecourbede genretemps.Unetelletrajectoirepeut

toujours être paramétrée par la longueur d'arc ou temps propre

s

. Aussi, la ligne d'univers d'une particulede masse strictementpositive est une courbe

s

_{7→ x}

µ

s

dans

R

1,d

, dont le moment

p

s

= (p

µ

s

) = (p

0

s

, p

i

s

) = (p

0

s

, p

s

)

, que l'on déni comme

p

µ

s

:= m

× dx

µ

s

/ds

satisfait l'équation

|p

0

_|

2

₋

d

X

i=1

|p

i

_|

2

_{= m}

2

_.

genretemps

q < 0

vecteurnulou

delumière

q = 0

genreespace

q > 0

Figure 1:Vecteursetcourbesde genretemps dansl'espace de Minkowski.

An de simplier les expressions, nous supposerons dans toute la suite que

m = 1

etnous choisirons

p

0

_{> 0}

, de sorteque latrajectoire

s

7→ (x

µ

s

, p

µ

s

)

est àvaleursdans

R

1,d

_×H

d

,où

H

d

désignelapartiepositivede lapseudo-sphère

de l'espace de Minkowski :

H

d

_:=

(

(p

0

, p

1

, . . . , p

d

)

_{∈ R}

d+1

, p

0

> 0,

_|p

0

_|

2

₋

d

X

i=1

|p

i

|

2

= 1

)

.

La notation

H

n'est bien entendue pas innocente. L'espace

H

d

muni de la

pseudo-métrique minkowskienne est une variété riemannienne de courbure

constante égale à

−1

, ce qui fait de

H

d

un modèle pour l'espace

hyperbo-lique de dimension

d

. Dans le cas particulier de lignes d'univers du type

(x

µ

_(t))

t≥0

= (t, x(t))

t≥0

, en fonction de la vitesse

v

= (v

1

_{, . . . , v}

d

₎

et du

rayon

r

dénispar :

v

i

(t) :=

dx

i

_(t)

dt

et

r(t) :=

|p(t)| =

d

X

i=1

|p

i

(t)

_|

2

!

1/2

,

lescomposantes du moment

p(t)

s'expriment comme

p(t) =

p

1 + r

2

_(t),

p

_{1 + r}

2

_(t)v(t)



₌

_p

1

1

_{− |v(t)|}

2

,

v(t)

p

1

_{− |v(t)|}

2

!

.

Ainsi,dans l'espace des phases

R

1,d

_{× H}

d

, une trajectoiredu type

(x(t), p(t))

_t≥0

= (t, x(t), p

0

(t), p(t))

_t≥0

(I.1) est caractérisée par ses seules composantes spatiales

(x(t), p(t))

.

Dénition I.1  Etant donnée une trajectoire

(x(t), p(t))

t≥0

de type (I.1) dans l'espace des phases, onappeleratrajectoireeuclidienne associée la

pro-jection :

t

_{7→ (x(t), p(t)) = (x}

t

, p

t

)

∈ R

d

× R

d

.

1.2 Mouvement brownien et relativité restreinte

Avantdedécrireprécisémentlaclassede diusionsminkowskiennes quenous

considérerons dans la suite, rappelons brièvement les diérentes étapes qui

ontmenéesà l'introductionde processusstochastiquesdans l'espacede

Min-kowski an de rendre compatible les théorie du mouvement brownien et de

larelativité restreinte.

1.2.1 Le mouvement brownien des physiciens

Le mouvement brownien doit son nom au botaniste Robert Brown qui fut

l'undes premiersen 1827à observer àl'aided'unmicroscope,lemouvement

irrégulier de grains de pollen dans l'eau. Il y fait référence dans un article

paru en 1828 auEdinburgh Journal of Science, autitre un peu long A Brief

AccountofMicroscopicalObservationsMadein theMonthsofJune,Julyand

August, 1827, on the Particles Contained in the Pollen of Plants; and on

the General Existence of Active Molecules in Organic and Inorganic Bodies.

Commel'indiqueletitredel'articledeBrown,lesscientiquesontlongtemps

cruquelemouvementobservéaumicroscopeétaitceluideparticulesanimées,

une idéeproche de la théoriede lagénérationspontanéeà lamode audébut

du dix-neuvième siècle. Grâce à de nombreuses expériences, modiant tour

à tour la nature des particules en suspension, et la nature du uide,Brown

a eu le mérite de s'aranchir de cette hypothèse. Cependant, lui comme ses

contemporains n'ont pu expliquer lemouvement qui porte son nom.

Le pas décisifdans la compréhension du mouvement brownien physique est

dû à Einstein, en 1905 puis en 1906, dans les deux articles [Ein05b, Ein06]

parusdansAnnalen der Physik,lepremierintituléMouvement des particules

en suspension dans un uide au repos, comme conséquence de la théorie

ci-nétique moléculaire de la chaleur et le second Sur la théorie du mouvement

brownien. Einstein y explicite en particulier le déplacement moyen d'une

particule brownienne en fonction de la nature du uide. Précisément, si

x

t

désigne la position au temps

t

d'une particule sphérique de rayon

a

, issue de

x

0

= 0

, baignant dans un uide de viscosité

η

, il établit la relation de uctuation-dissipation :

E

_|x

_t

_|

2

_{= 2Dt =}

RT

N

1

où

R

est la constante des gaz parfaits,

T

la température du uide, et

N

est le nombre d'Avogadro.Pour comprendrel'importancede cette formuleà

cette époque, ilfaut garderàl'esprit lefaitqu'au début du vingtièmesiècle,

la nature atomique de la matière était encore hypothétique. En particulier,

le nombre d'Avogadro était inconnu. Comme les données

t

,

E

|x

t

|

2

,

a

et

η

sont mesurables, la relation (I.2) a permis de mettre en place un protocole

expérimentalpourmesureravecprécisioncetteconstante.JeanPerrinamené

à bien cette expérience en 1908. Celle-ci a montré un accord parfait entre

théorie et données expérimentales, et a ainsi permis de justier la nature

discrètede lamatière.

Figure 2: Interpolation linéaire de la trajectoire de trois particules de rayon

0.53

µ

m, observées toutes les 30 secondes. Image (libre de droits) issue du livre Les Atomes [Per27 ] dePerrin.

L'année 1905 est souvent qualiée d'Annus mirabilis pour la physique

mo-derne : outre l'article [Ein05c]déjà mentionné, Einsteinpublie en eet trois

autresarticlesdansAnnalender Physik [Ein05a,Ein05c,Ein05d],quionteu

chacununepostéritéextraordinaire.Parmicesarticles,lepluscélèbreestsans

douteceluiintituléSurl'électrodynamiquedescorpsenmouvement [Ein05d],

oùEinstein introduit la théorie de la relativitérestreinte. Cette théoriesera

complétéeen 1915pour aboutiràlathéoriedelarelativitégénérale.Il serait

troplongicid'expliquercommentEinsteinaétéamenéàformulerleprincipe

de relativité.Lelecteur curieuxtrouvera cependant dansl'article[Dar05] au

séminairePoincaré un éclairage historiquesur la génèse de cette théorie.

1.2.2 Vers un mouvement brownien relativiste

Au cours du vingtième siècle, la théorie des probabilités et en particulier le

calculstochastiqueontconnudesdéveloppementsconsidérables.Delamême

conti-l'avons déjà indiqué dans l'introduction, la théorie classique du mouvement

brownien est incompatible avec la théorie de la relativité comme il ressort

clairementdu faitqueleux de lachaleursepropage instantanémentà

l'in-ni. Face à cette incompatibilité, on aurait pu s'attendre à voir eurir dès

le début du vingtième siècle les travaux cherchant à concilier mouvement

brownien et principe de relativité.

Il a fallu pourtant attendre une soixantaine d'années avant de voir émerger

destravauxconcernantl'étudede processusstochastiquesdanslecadrede la

relativitérestreinte. C'esten eetaumilieudes années1960qu'apparaissent

lespremierstravauxconcernantdesprocessus deMarkovàvaleursdans

l'es-pace de Minkowski. Dans [Dud66], Dudley a ainsi montré qu'iln'existe pas

de diusion à valeurs dans

R

1,d

qui possède l'invariancelorentzienne. En

re-vanche,Dudleyamontréqu'ilexiste,etaexhibé,unediusionàvaleursdans

l'espacetangentunitairedel'espacedeMinkowski

R

1,d

_×H

d

,quiellepossède

l'invariancelorentzienne,cequienfaituncandidatraisonnablepourêtre

qua-liéde mouvementbrownienrelativiste.Enoutre,Dudleyamontré qu'iln'y

apasd'autredénitionpossiblequelasienne.Àlamêmeépoque,motivéspar

lamodélisationde plasmas relativistesdansl'optiqued'une fusionnucléaire,

lestravaux concernant lamécanique statistiquerelativiste non quantique se

multiplient dans la littérature physique. On peut citer par exemple les

tra-vaux pionniers de Hakim [Hak65, Hak67a, Hak67b, Hak68a, Hak68b] et les

références de ces articles.

Cependant, de façon assezsurprenante, il fautànouveau attendre une

tren-tained'années pourvoirémerger destravauxvraimentinnovantssurlesujet.

Dans [DMR97], Debbasch, Mallick et Rivet ont ainsi introduit le processus

d'Ornstein-Uhlenbeck relativiste (ROUP) pour décrire le mouvement d'une

particulebaignant dans un uide relativiste. Ce processus a été étudié dans

[DR98,BDR01a, BDR01b, BDR01c] puis généralisé aucas courbepar

Deb-basch dans [Deb04 ]. Poursuivant le même objectif, dans [DH05a, DH05b]

DunkeletHänggiontàleurtourintroduitunediusiondansl'espacede

Min-kowskietétudiésoncomportementviadessimulationsnumériques.D'autres

diusionsrelativistes sontapparues récemmentdans lalittérature physique,

citons par exemple [Pav01,VB06, Hab09, Her09]. Laplupart de ces

proces-sus sont des réécritures,oudes variationsminimesautour duROUPetde la

2 Les diffusions minkowskiennes dans la

littérature physique

À l'aide des notations introduites au paragraphe précédent, nous rappelons

maintenant les dénitions du processus d'Ornstein-Uhlenbeck relativiste et

de la diusion de Dunkel et Hänggi. Ces processus et leur variantes

consti-tuent lesprincipauxexemples de diusionsminkowskiennes présents ànotre

connaissance dans lalittérature physique.

2.1 Le processus d'Ornstein-Uhlenbeck relativiste

Commençons par rappeler la dénition du processus d'Ornstein-Uhlenbeck

relativiste introduit par Debbasch, Mallik et Rivet dans [DMR97] et dont

l'étude fait l'objet des articles [DR98, BDR01a, BDR01b, BDR01c]. Pour

simplier les expressions, nous supposons ici que le coecient de friction

ν

de l'article [DMR97] est égal à 1. Cela revient simplement à eectuer un

changement d'unité physique, et on ne perd donc pas en généralité. Nous

introduisons aussi le paramètre

β

qui est ègal à l'inverse du coecient de diusion

D

dans[DMR97],etquiphysiquement,jouedonclerôlede l'inverse d'une température.

À l'origine,leprocessus d'Ornstein-Uhlenbeck relativiste aété introduitpar

ses auteurs comme un modèle très simple d'hydrodynamique relativiste. Il

s'agit d'une tentative de généralisation du processus d'Ornstein-Uhlenbeck

euclidien (dit aussi classique), version idéale du mouvement brownien

phy-sique, quidécrit l'évolutiond'une particulemassivedans un uidevisqueux.

Dans le modèle classique (

d = 3

), si le couple

(x

t

, v

t

) = (x

i

t

, v

i

t

)

1≤i≤d

à va-leursdans

R

d

_×R

d

désignelapositionest lavitesse delaparticulequibaigne

dansleuide,alors

(x

t

, v

t

)

estsolutiondu systèmed'équationsdiérentielles stochastiques







dx

t

= v

t

i

dt,

dv

i

_t

=

_−v

_t

i

dt +

p

2β

−1

_dW

i

t

,

(I.3) où

W

= (W

1

_{, . . . , W}

d

₎

un mouvement brownien standard de dimension

d

. Dans laseconde équation,le coecient de dérive modélise une force de

fric-tionlinéaireenlavitesseetlemouvementbrownienmodélisel'agitation

ther-mique du uide. Si

(x

t

, v

t

)

désigne la solution de l'équation (I.3) issue d'un point quelconquede

R

d

,onvérie facilementque lorsque

t

tend vers l'inni, le déplacement moyen

E

[

|x

t

|

2

_]

asymptotique:

E

_[

_|x

_t

_|

2

_]

t

−→

2d

β

= 2d

× D.

(I.4) Leprocessus d'Ornstein-Uhlenbeck classique n'est bien entendu pas

compa-tible avec la théorie de la relativité restreinte, puisque la vitesse

v

t

n'est pas bornée. Dans [DMR97], les auteurs choisissent de modéliser l'évolution

d'une particule baignant dans un uide relativiste de la façon suivante. Ils

supposent que dans le référentiel dans lequel le uide est au repos, la ligne

d'univers de la particule est une trajectoire du type (I.1). Par ailleurs, ils

supposent que la trajectoire euclidienne associée

(x

t

, p

t

) = (x

i

t

, p

i

t

)

1≤i≤d

est une diusion, solutiondu système d'équations diérentielles stochastiques :



























dx

i

_t

=

p

i

t

p

1 +

|p

t

|

2

dt,

dp

i

_t

=

₋

p

i

t

p

1 +

_|p

t

|

2

dt +

p

2β

−1

_dW

i

t

,

(I.5) où

W

= (W

1

_{, . . . , W}

d

₎

est à nouveau un mouvement brownien standard de

dimension

d

. Leprocessus d'Ornstein-Uhlenbeck relativiste dière donc très peu de son analogue classique : seul le terme de dérive est modié de sorte

quele moment

p

t

est bien de pseudo-norme égale à

−1

.

2.2 La diusion de Dunkel et Hänggi

Rappelons àprésent ladénition de ladiusionde DunkeletHänggi,

indro-duitetoutd'aborddans [DH05a]danslecas deladimension

1 + 1

,puisdans [DH05b ] dans le cas de la dimension

1 + 3

. Les objectifs et la méthode em-ployés parDunkeletHänggi sonttrès voisins de ceux de [DMR97].Iciaussi,

il s'agit de modéliser la trajectoire d'une particule baignant dans un uide

relativiste. Les auteurs considèrent aussi le référentiel privilégié dans lequel

leuideest aurepos.Ànouveau, ilsfontl'hypothèsequedans ceréferentiel,

la trajectoire de la particule est du type (I.1) introduit dans la section

pré-cédente, etil supposent queles composantes spatiales

(x

t

, p

t

)

sont solutions d'un système d'équations diérentielles stochastiques.

Dans le cas du processus d'Ornstein-Uhlenbeck relativiste, on a vu que la

seule diérence avec le cas euclidien se trouve dans le terme de dérive dans

l'équation qui régit l'évolution du moment

p

t

. Au contraire dans [DH05a, DH05b ],les auteurschoisissent de modier le coecient de diusion en

fac-de diusion n'étant plus constant égal à

2/β

, il importe de préciser la mé-thode d'intégration stochastique choisie : l'intégrale d'Itô

i.e.

la méthode d'intégration rectangle à gauche, l'intégrale de Stratonovich

i.e.

la méthode d'intégration du point milieu, ou l'intégrale stochastique backward qui

cor-respondàlaméthoded'intégrationrectangleàdroite.Nousexprimonsiciles

trois systèmes d'équations diérentielles stochastiques satisfaits par la

tra-jectoire euclidienne

(x

t

, p

t

)

sous la forme d'intégrales d'Itô. Le choix d'une méthode d'intégration dans [DH05a, DH05b] revient donc ici à modier la

dérive des processus envisagés. Ainsi,les diusions eucliennes associées à la

diusiondeDunkeletHänggi,lorsque lesintégralesstochastiquessontprises

au sens d'Itô, de Stratonovitch, et au sens backward, sont alors

respective-mentsolutions des systèmes, pour

1

≤ i ≤ d

:















dx

i

_t

=

p

i

t

p

1 +

|p

t

|

2

dt,

dp

i

_t

=

− p

i

t

dt +

p

2β

−1

_dN

i

t

,

(I.6)



























dx

i

_t

=

p

i

t

p

1 +

|p

t

|

2

dt,

dp

i

_t

=

_{− p}

i

_t

1

₋

d

2β

p

1 +

_|p

t

|

2

!

dt +

p

2β

−1

_dN

i

t

,

(I.7)



























dx

i

_t

=

p

i

t

p

1 +

_|p

t

|

2

dt,

dp

i

t

=

− p

i

t

1

−

d

β

p

1 +

_|p

t

|

2

!

dt +

p

2β

−1

_dN

i

t

.

(I.8) Ici,

N

:= (N

1

_{, . . . , N}

d

₎

est une martingale dont lamatrice de variation

qua-dratique est donnée par :

K

_t

ij

:=

d

hN

i

_{, N}

j

_i

t

dt

=

1

p

1 +

_|p

t

|

2

× δ

ij

+ p

i

t

p

j

t

,

(I.9)

2.3 Deux questions naturelles concernant ces diusions

Nousrappelonsmaintenantlesquestionsconcernantleprocessus

d'Ornstein-Uhlenbeck relativisteet ladiusion de Hänggi quiont motivéla

démonstra-tion d'un théorème limite central. Elles concernent d'une part la limite

hy-drodynamiquedes processusainsi quelesrelationsde uctuation-dissipation

asymptotiques du type (I.4)qui leur sont associées.

2.3.1 Limite hydrodynamique

Sans rentrer dans les détails concernant sa signication physique, la limite

hydrodynamique du processus

x

t

qui décrit la position de la particuledans

R

d

dans lesmodèles évoqués au paragraphe précédent, est la limite(lorsque que celle-ci existe) du processus

(x

at

/

√

t)

_a≥0

indéxé par

a

, lorsque le pama-rètre

t

tend vers l'inni. Dans [DR98], en se basant sur un développement de Chapman-Enskog,Debbasch et Rivet arment que la limite

hydrodyna-miqueduprocessusd'Ornstein-Uhlenbeckrelativistesecomportedemanière

brownienne. Plus précisément,ilsdonnentune démonstrationheuristique du

faitla densité

n(τ, x)

du processus limite satisfait l'équation

∂

τ

n = β

−1

∆n,

qui est bien sûr l'équation de la chaleur vériée par la densité d'un

mouve-ment brownien. Les auteurs insistent naturellement sur le fait que leur

dé-monstration n'est qu'heuristique et appellent les bonnes volontés à justier

rigoureusement leur conclusion.

2.3.2 Relation de uctuation-dissipation asymptotique

Dans[DH05a]et[DH05b],lesauteursarmentsansjusticationqueleur

dif-fusionvérieunerelationuctuation-dissipationasymptotiquedutype(I.4).

Àpartir de simulationsnumériques, ils évaluent lecoecientde diusion en

fonction de

β

et conjecturent la convergence suivante, lorsque

t

tend vers l'inni:

Σ

2

(t) := E

h

_|x

t

|

2

/t

i

−→ Σ

2

:=

2d

2d + β

.

Lorsque

β

est grand,

i.e.

dans un régime non relativiste, la limite est en accord avec le cas classique (I.4). En revanche, lorsque

β

tend vers zéro, le coecientde diusionlimitetendvers1,cequiestcontre-intuitif.Àlande