THÈSE présentée pour obtenir le titre de

Numéro d’ordre : 2336

THÈSE

présentée pour obtenir le titre de

DOCTEUR DE

L’INSTITUT NATIONAL POLYTECHNIQUE DE TOULOUSE

Spécialité: Dynamique des Fluides par

Ludovic THOBOIS

INTERET ET FAISABILITE

DE LA

SIMULATION AUX GRANDES ECHELLES

DANS LES MOTEURS AUTOMOBILES

Soutenue le 10 avril 2006 devant le jury composé de :

M. P. Sagaut Professeur à l’université de Paris 6 Rapporteur M. D. Veynante Directeur de recherche au laboratoire EM2C Rapporteur M. C. Angelberger Chef de projet sur la modélisation de la combustion

turbulente à l’IFP

Examinateur M. T. Baritaud Chef de l’équipe aérodynamique et combustion à la

direction du développement des moteurs de Ferrari

Examinateur M. J. Borée Directeur-adjoint du laboratoire LEA Examinateur M. T. Poinsot Directeur de recherche à l’IMF de Toulouse Dir. de thèse Mme D. Escudié Directrice du laboratoire CETHIL Invité M. R. Lauvergne Chef de l’équipe modélisation de la combustion à la

direction de la recherche de PSA Peugeot Citroën

Invité

Intèrêt et faisabilité de la simulation aux grandes échelles

dans les moteurs automobiles.

Résumé

Avec la sévérisation des normes environnementales, les constructeurs automobiles sont amenés à développer des moteurs consommant et polluant moins. Ces nou-veaux moteurs fonctionnent avec des stratégies de combustion de plus en plus complexes, qui nécessitent une maîtrise très fine du mélange air/carburant et de l’aérodynamique interne. Les outils d’aide à la conception utilisés jusqu’alors, comme les bancs d’essai moteur ou les calculs 3D RANS, ne permettent plus de répondre à toutes les problématiques rencontrées lors du développement de ces moteurs. Dans ce contexte, la simulation aux grandes échelles (LES) constitue un outil très prometteur pour la mise au point des moteurs modernes car elle permet d’accéder aux instationnarités de l’écoulement.

Ce travail de thèse a consisté à appliquer la simulation aux grandes échelles dans les moteurs automobiles, en montrant son intérêt, et, en développant des méthodo-logies de calcul. Dans un premier temps, des calculs sont réalisés dans des bancs volutes stationnaires afin de déterminer leur perméabilité (ou perte de charge) et leur nombre de swirl. Plusieurs bancs volutes sont ainsi étudiés par difficulté croissante au niveau de leur géométrie et de l’écoulement les traversant. Les ré-sultats LES pour chaque géométrie montrent un accord satisfaisant avec les me-sures expérimentales correspondantes. La LES a permis pour la géométrie la plus complexe d’analyser finement la typologie de l’écoulement, engendrée par deux conduits de forme particulière et son évolution avec la levée de soupape. Dans un deuxième temps, un modèle d’allumage (ADEL) est couplé au modèle de com-bustion turbulente TFLES. Ce dernier est ensuite adapté au contexte moteur. Le développement de ces deux modèles a permis de simuler la phase d’initiation et de propagation d’une flamme dans un moteur à essence à injection indirecte. Quatre cycles du même moteur sont ensuite enchaînés. Chacun d’eux est viable d’après les mesures expérimentales, mais chaque cycle diffère des autres. Les variabilités cycliques sont ensuite analysées en terme de mélange, d’aérodynamique interne, de combustion et de rendements.

Mots clés :

simulation aux grandes échelles, bancs volutes réels, swirl, perméabilité, métho-dologies de calcul, modèle d’allumage, modèle de combustion, calculs moteur, variabilités cycliques, tumble, rendement de cycle

gines.

Abstract

European environmental regulations obligate automotive manufacturers to deve-lop less pollutant and less consuming engines. These engines are widely based on new combustion strategies, where mixing and aerodynamics need to be precisely controlled. Common aided development tools are no more adapted to predict ac-curately in space and time aerodynamics and mixing in new engines. RANS com-putations can not provide unsteady phenomena and engine test benches can not provide all the flow characteristics due to optical access. Large eddy simulation (LES) represents a new promising aided development tool since flow unsteadiness can be predicted through the motion of large turbulent eddies.

The objectives of this work are to simulate engines geometries with the LES ap-proach, to bring to front the advantages of the LES approach and to elaborate spe-cific methodologies. On the one hand, LES is applied in steady-state flow benches in order to predict their discharge coefficient and their swirl number. Several flow benches have been tested. For all of them, LES results obtained are in agreement with experimental measurements. The final flow bench is the more realistic flow bench computed in this work. It is composed of two intake ports of a real diesel engine. The LES approach gives insights into the understanding of flow generation and its dependance on valve lift. On the other hand, an ignition model (ADEL) is coupled to the turbulent combustion model TFLES. This model is then adapted to engine geometries, where thermodynamical conditions change. These two models are finally used to compute the combustion stroke of an indirect-injection gaso-line engine. Four cycles of this engine are computed. The cycles obtained are in agreement with experimental cycles but they all differ. Cycle-to-cycle variations are analyzed in terms of mixing, aerodynamics, combustion and engine efficiency.

Keywords :

Large Eddy Simulation, real intake ports, swirl flows, discharge coefficient, me-thodology, ignition model, combustion model, engine computations, cycle-to-cycle variations, tumble, engine efficiency

Remerciements

Je remercie d’abord les membres du jury pour l’intèrêt qu’ils ont porté à ce travail de thèse. Merci à eux d’avoir accepté de participer au jury de cette thèse.

J’aimerais remercier toutes les personnes du Cerfacs pour leur convialité et leur professionnalisme, qui font du Cerfacs un lieu de travail unique. Je souhaiterais en particulier remercier les personnes de l’administration, de l’informatique (qui ont supporté mes nombreuses doléances au cours de ces trois années et toujours avec patience), et celles des autres équipes que j’ai pu cotoyer. J’aurais voulu remercier certaines personnes de vive voix, qu’elles m’excusent de ne pas avoir trouvé le temps suffisant pour le faire.

Mes profonds remerciements s’adressent ensuite à toute l’équipe CFD, qui, par son ambiance et son efficacité, m’a permise de progresser sur le plan technique et de m’épanouir sur le plan personnel. Merci à tous les anciens et actuels dévelop-peurs d’AVBP, qui ont créé un outil très puissant à utiliser. Je n’oublierais pas ceux avec qui j’ai partagé des moments passionnants tant au Cerfacs qu’à l’extérieur. A tous les thésards de l’équipe, les anciens comme les plus jeunes, je leur souhaite bon vent ! Je souhaite maintenir le contact avec eux, et en particulier avec les thé-sards qui ont commencé la même année que moi. Un clin d’oeil tout particulier s’adresse à mes collègues de bureau, qui, par leur générosité et leur sympathie, ont fait de ces trois années une expérience très plaisante et unique où chaque jour en est réellement un nouveau. L’ambiance particulière de l’équipe CFD, on la doit aussi et surtout à son chef, mon directeur de thèse. Son tempérament, son énergie et son expertise scientifique ne peuvent laisser personne indifférent. Merci à lui pour cela. Je le remercie également pour l’aide et l’intérêt qu’il a porté à mon travail en particulier à la deuxième partie. Un deuxième clin d’oeil (et certains ont trouvé le moyen d’être dans les deux clins d’oeil) s’adresse au groupe de rock my-thique, j’ai nommé les "Last One’s". Leur son ravageur, leurs compositions très énigmatiques ont été une source d’inspiration tout au long de ma thèse. Merci en-core à ce groupe de légende. Je dois toutefois leur dire que de leur faute, l’absence de catharsis baguettale devient une énorme source de frustation en cet temps de disette de batterie.

Je souhaite maintenant remercier PSA Peugeot Citroën et plus particulièrement toutes les personnes qui m’ont aidé depuis mon entrée à PSA. C’est grâce à eux si j’ai pu vivre de telles expériences ces quatre dernières années. Je remercie tout particulièrement l’équipe modélisation de la combustion ainsi que certains an-ciens membres du club. Des remerciements particuliers vont à mon chef de ser-vice qui m’a ouvert des portes qui se sont révélées à chaque fois des expériences très riches, dans lesquelles j’ai pu à chaque fois m’épanouir et aller plus loin tout en ayant toujours les moyens (techniques entre autres) propices et adéquates. Enfin, je voudrais saluer ma famille, d’abord Elvire, ma conjointe, avec qui je

préparation de la soutenance n’a pas été concluant ! Le test de la soutenance réa-lisé sur mes parents a produit un effet comparable... merci cependant à eux, de m’avoir toujours soutenu dans mes études et de leur aide sans limite qu’ils ont toujours voulu m’accorder, depuis que je suis tout petit. Je salue enfin tous les membres de ma famille (mon frère en particulier !). Salutations à mes amis enfin, et s’il vous plaît, faites moi grâce de m’appeler pour un mal de dos ;)

A toutes et à tous, TAKE IT EASY !

Table des matières

Table des matières 7

Nomenclature 9

Introduction 13

1 LES compressible dans AVBP 17

1.1 Principe de la LES . . . 17 1.2 Formalisme multi-espèce . . . 19 1.3 Equations-bilan . . . 22 1.4 Modèles de sous-maille . . . 26 1.5 Modèle de combustion . . . 28 1.6 Méthodes numériques . . . 35

1.7 Conditions aux limites . . . 46

I

Les bancs volutes stationnaires

53

2 Démarche adoptée 55 2.1 Qu’est-ce qu’un banc volute stationnaire ? . . . 55

2.2 Phénomènes dans les bancs volutes . . . 57

2.3 Cheminement . . . 64

3 Elargissement brusque 67 3.1 Description . . . 67

3.2 Jet purement axial . . . 69

3.3 Jet vrillé . . . 80

3.4 Influence du swirl . . . 101

3.5 Synthèse . . . 109

4 Elargissement avec soupape 111

4.1 Description . . . 111

4.2 Résultats . . . 113

4.3 Etude paramétrique . . . 127

4.4 Synthèse . . . 135

5 Bancs volutes d’un moteur diesel 137 5.1 Montage expérimental et domaine de calcul . . . 137

5.2 Elaboration d’une méthodologie à forte levée . . . 139

5.3 Influence de la levée . . . 170

5.4 Synthèse . . . 191

II

Les calculs moteur

193

6 Allumage et combustion en calculs moteur 195 6.1 Combustion turbulente . . . 196

6.2 Modélisation de l’allumage . . . 207

6.3 Application du modèle ADEL en 1D . . . 212

6.4 Synthèse et perspectives . . . 228

7 Calculs moteur 231 7.1 Méthodologie pour le calcul moteur en LES . . . 232

7.2 Calculs de la phase de combustion . . . 236

7.3 Calculs multi-cycles . . . 257 7.4 Synthèse . . . 278 Conclusion 281

III

Annexes

285

Bibliographie 287 A Papier SAE 297 B Papier IJVD 317

Nomenclature

Lettres romaines

∆ taille du maillage et du filtre LES

˙

m débit massique ˙

Q densité de puissance déposée par la bougie Lk ondes d’espèce LS onde entropique Lt ondes de cisaillement L+,− ondes acoustiques M nombre de Mach Mk j réactif et produit Qj taux d’avancement

R constante universelle des gaz parfaits

R coefficient de relaxation d’une condition aux limites

~

V vecteur vitesse

A constante pré-exponentielle A_E surface de passage effective d’un

banc volute

A_R surface de passage de référence d’un banc volute

c vitesse du son

C_D perméabilité d’un banc volute

Cp capacité calorifique à pression

constante

C_v capacité calorifique à volume constant

D_C diamètre d’un conduit d’admis-sion

D_f diamètre de la flamme sphérique Di j coefficient binaire

D_k diffusivité de l’espèce k dans le mélange

D_S diamètre de la tête de soupape D_th diffusivité thermique

D_T diamètre de la tige de soupape Da nombre de Damköhler

E énergie par unité de masse ou facteur d’efficacité E_a énergie d’activation E_C énergie cinétique e_s énergie sensible F facteur d’épaississement f fréquence

g_kk partie irrotationnelle du tenseur des contraintes

h_s enthalpie sensible J flux diffusif

k nombre d’onde

K_{f, j} constante de la réaction directe K_{r, j} constante de la réaction inverse k_sgs énergie cinétique turbulente de

sous-maille Ka nombre de Karlovitz l longueur caractéristique L_S levée de soupape M nombre de réactions N nombre d’espèces N_d nombre de dimension P pression P0 pression de référence q flux de chaleur

Q_LES degré de résolution d’un calcul LES

r constante massique du gaz R_Ωj résidu de la cellule Ωj

S nombre de swirl s entropie sensible Si, j taux de déformation

sd_{i j} partie déviatrice du taux de dé-formation

SL vitesse de flamme laminaire

ST vitesse de flamme turbulente

T température

T0 température de référence

T_C température de croisement u vitesse axiale

U_B vitesse moyenne débitante à l’en-trée

v vitesse radiale

Vc vitesse de diffusion corrective Vk vitesse de diffusion W masse molaire w vitesse orthoradiale X fraction molaire Y fraction massique y+ résolution en proche-paroi Z fraction de mélange F tenseur des flux

f 1ere` composante du tenseur des flux

g 2eme` composante du tenseur des flux

h 3eme` composante du tenseur des flux

s vecteur des termes sources w vecteur des variables

conserva-tives Lettres grecques

β nombre de Zeldovitch ∆t pas de temps

δ épaisseur du front de flamme δ2 épaisseur de quantité de

mou-vement

δL épaisseur de flamme laminaire

δi j indice de Kronecker

˙

NOMENCLATURE 11

˙

ωT dégagement de chaleur

η échelle de Kolmogorov

Γ Fonction d’efficacité des tour-billons sur la flamme

γ coefficient polytropique κ étirement du front de flamme λ conductivité thermique µ viscosité dynamique ν viscosité cinématique

ν_{k j}0 coefficient stoechiométrique des réactifs

νt viscosité cinématique turbulente

de sous-maille

νk j coefficient stoechiométrique des

produits

νk j coefficient stoechiométrique

glo-bal Ωj Cellule j

φ richesse du mélange

ρ densité

ρk densité pondérée par la

frac-tion massique de l’espèce k Σ densité de surface de flamme τi, j tenseur des contraintes

Ξ plissement du front de flamme ζ coefficient de perte de charge ζΩj senseur de la viscosité

artifi-cielle à la cellule Ωj

Nombres sans dimension P_r nombre de Prandtl

Re nombre de Reynolds S_c nombre de Schmidt St nombre de Strouhal Indices

i composante dans la direction i j composante dans la direction

j, relatif à la réaction j k relatif à l’espèce k Exposants

f variable f filtrée

e

f variable f filtrée au sens de Favre f0 fluctuations de la variable f I Inviscid, partie non visqueuse m valeur molaire

T Matrice transposée V partie visqueuse Abréviations

ADEL Allumage par dépôt d’énergie localisé

AVBP A... V... B... P... AVSP A ? V ? Sound P ? CAI Controlled auto-ignition CTRZ Central recirculation zone DES Detached eddy simulation DGV Doppler global velocimetry DNS Direct numerical simulation GPL Gaz de pétrole liquéfié

HCCI Homogeneous charge compres-sion ignition

IDE Injection directe essence IGR Internal gas recirculation IIE Injection indirecte essence LDA Laser Doppler anemometry LES Large eddy simulation

MFN Mécanique des fluides numé-rique

MPI Message passing interface PIV Particle image velocimetry POD Proper orthogonal

decomposi-tion

PVC Precessing vortex core

RANS Reynolds averaged Navier-Stokes SGE Simulation aux grandes échelles VLES Very large eddy simulation

Introduction

Depuis le 1er janvier 2006, la norme sur les émissions polluantes Euro4 est entrée en vigueur. Tous les véhicules neufs doivent respecter les niveaux d’émissions polluantes indiqués dans la norme européenne. De plus, les véhicules neufs émet-tant le plus de dioxyde de carbone sont taxés lors de leur immatriculation. Ces mesures législatives contraignent les constructeurs automobiles à développer des moteurs moins polluants et des systèmes de post-traitement de plus en plus com-plexes (le catalyseur trois voies ou le filtre à particules par exemple).

Dans le cadre de la réduction des émissions polluantes à la source, tous les types de moteurs sont étudiés : les moteurs à combustion interne1, les moteurs hybrides ou électriques et les piles à combustibles. Aujourd’hui encore les moteurs à com-bustion interne sont privilégiés par les constructeurs automobiles. Ils présentent d’abord l’avantage d’être nettement moins onéreux par rapport aux moteurs de technologie alternative, tout en assurant de meilleures prestations (performances, autonomie, agrément, fiabilité). De plus, ils sont capables de brûler de nombreux carburants moyennant de faibles adaptations (essence, gazole, GPL, gaz naturel, di-ester, huiles végétales), ce qui assure partiellement l’après-pétrole. Enfin, de nombreuses voies d’amélioration connues restent encore à exploiter.

Les potentiels d’amélioration des moteurs à combustion interne diffèrent cepen-dant entre les moteurs essence et diesel. Pour les moteurs à essence, plusieurs technologies sont encore à l’étude. Les systèmes de distribution variable repré-sentent le premier bras de levier. Cette technologie permet de réduire la consom-mation et les émissions polluantes à condition qu’elle soit intégrée dans un groupe moto-propulseur adéquate. La distribution variable deviendra beaucoup plus inté-ressante avec le développement des soupapes électro-pneumatiques. Le principal bras de levier repose plutôt aujourd’hui sur l’injection directe essence (IDE). L’ob-jectif de ce concept est de réduire la consommation et les émissions de polluants à bas régime, en limitant les pertes par pompage liées au papillon.

En admettant plus d’air à bas régime, la richesse globale dans un moteur IDE

de-1_{Cette dénomination utilisée dans tout le manuscrit de cette thèse n’englobe que les moteurs}

à piston à quatre temps.

Conduit d’admission Papillon Bougie d’échappement Conduit Injecteur d’échappement Conduit Injecteur d’admission Conduit Bougie

FIG. 1: Schémas simplifiés d’un moteur à essence à injection indirecte (gauche) et d’un moteur à injection directe (droite).

vient proche de la limite d’inflammabilité du carburant. Elle est bien plus faible que celle d’un moteur à injection indirecte (IIE) qui est proche de la stoechiomé-trie. Dans les moteurs IDE, la propagation de la flamme dans un mélange globa-lement très pauvre est assurée par la stratégie de combustion basée sur une charge stratifiée. Le carburant injecté dans la chambre est amené près de la bougie dans une quantité suffisante (proche de la stoechiométrie) afin d’initier un noyau de flamme. La flamme se propage ensuite dans un mélange très pauvre. La difficulté de la conception des moteurs IDE réside dans la maîtrise du mélange air/carburant dans le cylindre. Ce mélange dépend de l’aérodynamique interne induite princi-palement par la forme des conduits d’admission.

FIG. 2: Mouvements de tumble (gauche) et de swirl (droite).

Les mouvements de tumble et de swirl, induits par les conduits d’admission, sont utilisés respectivement dans les moteurs essence et diesel. Quelque soit le type de moteur, l’objectif est d’initier un mouvement interne intense pour améliorer le

mé-INTRODUCTION 15

lange air/carburant. Le mouvement de tumble a en plus la particularité de générer de forts niveaux de turbulence à la fin de la phase de compression, ce qui permet d’accélérer la propagation de la flamme dans les moteurs à essence. De nouvelles stratégies de combustion très prometteuses sont entièrement basées sur la maîtrise du mélange à partir de l’aérodynamique interne. Il s’agit des stratégies d’auto-inflammation contrôlée (CAI) pour les moteurs à essence et d’auto-d’auto-inflammation de charge homogène par compression (HCCI) pour les moteurs diesel. Dans ces concepts, l’injection de carburant s’effectue très tôt dans la chambre afin d’assurer un mélange complètement homogène lors de la combustion. Que ce soit pour les moteurs à essence ou diesel, le carburant s’auto-inflamme après un délai chimique lié aux conditions thermodynamiques mais aussi à la composition du mélange et donc à l’aérodynamique interne.

La mise de point de ces moteurs nécessite aujourd’hui des moyens de diagnostics pointus afin de mieux comprendre les phénomènes de mélange, qui varient forte-ment dans le cylindre et d’un cycle à l’autre. Les bancs d’essai moteur présentent les inconvénients d’être très coûteux, longs à installer et, de ne pas fournir l’en-semble des grandeurs instantanées de l’écoulement dans tout le cylindre à cause de l’accessibilité optique. Le calcul 3D pourrait s’avérer être un atout précieux en complément des essais moteur pour réduire les durées de développement des fu-turs moteurs. La difficulté du calcul 3D dans les moteurs réside dans la complexité et la diversité des phénomènes impliqués. Les écoulements dans les moteurs sont en effet turbulents, compressibles (propagation d’ondes acoustiques), diphasiques et réactifs. Cette pluridisciplinarité requière le développement de nombreux mo-dèles physiques et chimiques. Le couplage entre ces momo-dèles est d’autant plus délicat que chaque phénomène a une taille caractéristique propre. La turbulence constitue un des phénomènes les plus difficiles à modéliser. Les échelles de la tur-bulence s’étendent en effet de l’échelle de Kolmogorov ' 10 µm à l’échelle inté-grale ' 10 mm. Les méthodes numériques doivent alors être capables de traiter des structures dont les tailles peuvent varier jusqu’à trois ordres de grandeur. A l’heure actuelle, le calcul numérique direct de toutes les échelles composant l’écoulement (calcul DNS) dans un moteur reste encore irréalisable. A l’opposé, les calculs RANS couramment répandus dans l’industrie ne permettent pas d’accéder aux variabilités cycliques ni aux structures turbulentes particulières présentes dans les écoulements moteur. Avec la croissance de la puissance des ordinateurs, l’ap-proche aux grandes échelles (LES) jusqu’alors limitée à des configurations aca-démiques pourrait devenir un outil très puissant d’aide à la conception des futurs moteurs. Cependant, cette approche requiert des méthodes numériques précises mais moins robustes que celles utilisées en RANS. Avec les calculateurs actuels, l’approche LES est-elle applicable aux calculs moteur ? Quels sont les maillages nécessaires pour réaliser de tels calculs ? Faut-il développer de nouvelles métho-dologies de calcul pour cette approche ou peut-on simplement utiliser celles

pro-venant de l’expérience accumulée avec l’approche RANS ? Un calcul LES fournit comme un calcul RANS l’écoulement moyen. Mais il permet d’accéder aussi à son évolution dans le temps, à quoi peut donc servir la connaissance de l’insta-tionnarité de l’écoulement dans le cadre de la conception des moteurs ? Quel en serait l’intérêt pour la réduction des émissions polluantes et pour la mise au point des moteurs de type CAI ou HCCI ?

Ce travail vise à appliquer la simulation aux grandes échelles à des géométries mo-teur en dégageant l’intérêt de telles simulations et en élaborant des méthodologies de calcul adaptées. Dans un premier chapitre, les modèles thermodynamiques, physiques et chimiques utilisés dans le code de calcul AVBP seront décrits. Tous les calculs LES de cette thèse ont été réalisés à l’aide de ce code de calcul. Dans une première partie, l’approche LES est d’abord appliquée à des bancs volutes sta-tionnaires, caractérisant la phase d’admission d’un moteur à levée fixe. L’objectif de ces calculs LES est de prédire l’efficacité aérodynamique (ou perméabilité) et le nombre de swirl caractérisant le banc volute par rapport à l’approche classique RANS et à des mesures expérimentales. Plusieurs bancs volutes sont étudiés avec une difficulté croissante au niveau de la géométrie et de l’écoulement. Le banc volute étudié finalement est composé des deux conduits d’admission d’un mo-teur diesel réel. Une méthodologie partielle de calcul est décrite. Les résultats LES permettent enfin de comprendre l’influence de la forme des conduits et de la levée de soupape sur l’écoulement dans le cylindre. Dans une deuxième par-tie, un modèle d’allumage ADEL est développé puis utilisé afin de calculer des séquences d’allumage en configuration mono-dimensionnelle. Ce modèle est cou-plé au modèle de combustion turbulente TFLES, lequel a nécessité une adaptation pour permettre l’allumage. Ce modèle est ensuite modifié afin d’être capable de propager une flamme dans un moteur sous des conditions de pression et de tem-pérature de gaz frais variables. Les modèles d’allumage ADEL et TFLES dans sa formulation modifiée sont ensuite utilisés pour simuler la phase de combustion d’un moteur à essence à injection indirecte. Après validation de leurs paramètres, les mêmes modèles sont utilisés pour calculer plusieurs cycles complets du même moteur. Une analyse détaillée des variabilités cycliques est effectuée au niveau des transferts de masse, de mélange, d’aérodynamique interne et de combustion. Les rendements de cycle et de combustion des quatre cycles sont enfin comparés.

Chapitre 1

LES compressible dans AVBP

1.1

Principe de la LES

Le concept de l’approche des grandes échelles (LES) est basé sur la cascade éner-gétique de Kolmogorov [59]. Cette cascade, illustrée par la figure 1.1, décrit les processus de transfert d’énergie cinétique entre les grandes échelles (de taille ca-ractéristique l) qui sont porteuses d’énergie, et les petites échelles (de taille carac-téristique η) qui dissipent l’énergie.

Transfert

l

η

k%

Injection Dissipation

FIG. 1.1: Cascade énergétique de Kolmogorov, illustrant le principe de transfert

d’énergie des plus petits nombres d’onde k vers les plus grands.

La LES applique le principe de séparation des échelles à l’aide d’un filtrage spa-tial. Les échelles plus grandes que le filtre sont résolues, alors que les échelles plus petites sont modélisées. La LES semble adaptée aux écoulements turbulents dans

les géométries complexes puisque ceux-ci présentent des structures turbulentes anisotropes qu’un modèle de turbulence peut difficilement prendre en compte. De plus, l’erreur de modélisation réalisée sur les petites échelles est plus limitée en LES qu’en RANS au regard de l’hypothèse de l’équilibre universelle de Kol-mogorov [26]. Cette hypothèse montre que les échelles de petites tailles ont des propriétés quasi-isotropiques ce qui n’est pas le cas des échelles plus grandes.

k

DNS

RANS

LES

résolu modélisé résolu modélisé

c

E(k)

k

FIG. 1.2: Principe du filtrage en LES dans l’espace fréquentiel sur le spectre d’énergie cinétique et comparaison avec les approches RANS et DNS.

Le spectre fréquentiel d’énergie cinétique représenté à la figure 1.2 correspond à un écoulement turbulent quelconque. Comparé au RANS, la LES peut captu-rer la majorité des structures porteuses d’énergie à condition que le filtrage LES soit appliqué pour des nombres d’onde suffisamment grands. Plus la quantité de structures modélisées est faible et plus on se rapproche de la simulation DNS. La taille de coupure kC est un paramètre critique en LES, qui découle d’une part

des capacités de calcul disponibles, et d’autre part, de la validité des modèles. Avec les moyens de calcul actuels, la LES dans les géométries complexes n’est pas réalisable au sens strict, on parle de calculs VLES, pour Very Large Eddy Si-mulation [4]. Dans ces calculs, certaines échelles énergétiques sont résolues alors que d’autres sont modélisées. La difficulté de ce type de simulation est d’assurer la prédictivité du calcul en situant a posteriori où la séparation des échelles a été réalisée.

Le filtrage LES peut se faire de deux manières comme l’explique Pope [93] : – Explicitement par un opérateur de filtrage passe-bas, on parle de LES

1.2. FORMALISME MULTI-ESPÈCE 19

– Implicitement par les schémas numériques utilisés, on parle de LES "numé-rique".

Bien que la LES "physique" soit la méthode théoriquement la plus précise, son application sur des maillages anisotropes et irréguliers nécessite des opérateurs de filtrage complexes dont certains sont présentés par Sagaut [98]. Ghosal [42] pro-pose un filtre variant en espace qui prend en compte les irrégularités du maillage mais qui engendre des erreurs de commutation d’ordre deux. Ces erreurs de com-mutation sont semblables à celles engendrées par les schémas numériques, qui interviennent dans une LES "numérique". Pour cette raison et par souci d’éco-nomie en temps de calcul, la LES "numérique" a été adoptée dans AVBPet dans l’ensemble de cette thèse. Enfin, l’utilisation de la LES en maillage mobile et donc dans les moteurs à combustion interne, conduit à des erreurs de commutati-vité liées aux variations temporelles de la taille du filtre. Moureau [81] a montré que ces erreurs sont négligeables pour les moteurs automobiles conventionnels. Dans la suite de ce travail de thèse, on suppose que les opérateurs de filtrage et de dérivation commutent toujours.

1.2

Formalisme multi-espèce

1.2.1

Choix des variables

AVBPrésout les équations de la LES en compressible pour les écoulements

réac-tifs ou non [101]. La description de ces écoulements est réalisée par le vecteur des variables conservatives filtrées, w, définis en chaque point et à chaque instant.

w= ( ρue, ρve, ρwe, ρ eE, ρk) (1.1) où ρ,u,_{e e}v,w, e_e E, ρksont respectivement la masse volumique, les trois composantes

du vecteur vitesse, l’énergie totale non chimique massique et les densités partielles des N espèces. La densité ρ n’est pas explicitement résolue dans le code mais elle est définie par la relation 1.2. La conservation de la masse est assurée par la vitesse de correction ajoutée aux termes de diffusion des espèces définie à la relation 1.25.

ρ =

N

∑

k=1

ρk (1.2)

Les fractions massiques eY_ksont obtenues avec la relation eY_k=ρk

ρ.

Toutes les équations filtrées présentées dans ce chapitre utilisent la moyenne au sens de Favre1définie par 1.3.

ρ ef = ρ f (1.3)

1_{Cette notation permet d’exprimer plus simplement les équations de Navier-Stokes en LES}

1.2.2

Variables thermodynamiques

L’état de référence standard dans le code est à P0= 1 bar et T0= 0 K. Les enthalpies

sensibles et les entropies pour chaque espèce sont tabulées pour des températures allant de 0 à 5000 K par pas de 100 K.

ˆhs,k(Ti) = ˆhm s,k(Ti) − ˆhms,k(T0) W_k , i= 1, 51 (1.4) ˆ s_k(Ti) = ˆ sm_k(Ti) − ˆsm_k(T0) W_k , i= 1, 51 (1.5)

Les valeurs molaires ˆhm_s,k, ˆsm_k ainsi que la masse molaire de chaque espèce sont issues des tables JANAF [116]. L’énergie sensible de chaque espèce est ensuite calculée avec la relation 1.6.

ˆ

es,k(Ti) = ˆhs,k(Ti) − rkTi i= 1, 51 (1.6)

Avec rk=_WR_k. Les capacités calorifiques à pression, cp,ket à volume constant cv,k

sont supposées être constantes entre Ti and Ti+1 = Ti+ 100. Elles s’expriment

respectivement à partir de l’enthalpie sensible (Cp,k=

∂ hs,k

∂ T ) et de l’énergie

sen-sible (Cv,k=∂ e_{∂ T}s,k). L’énergie sensible de chaque espèce est supposée constante par

morceau et est obtenue par interpolation linéaire via la relation 1.7.

e_s,k(T ) = ˆe_s,k(Ti) + (T − Ti)

ˆ

es,k(Ti+1) − ˆes,k(Ti)

Ti+1− Ti

(1.7)

L’énergie et l’enthalpie sensibles du mélange sont enfin obtenues par les relations 1.8 et 1.9. ρe_es= N

∑

k=1 ρ_kes,k= ρ N

∑

k=1 e Y_ke_s,k (1.8) ρ ehs= N

∑

k=1 ρkhs,k= ρ N

∑

k=1 e Y_kh_s,k (1.9)

Les capacités calorifiques à pression constante et à volume constant dépendent de la composition locale du mélange (1.10).

C_p= N

∑

k=1 Y_kC_p,k C_v= N

∑

k=1 Y_kC_v,k (1.10)

1.2. FORMALISME MULTI-ESPÈCE 21

1.2.3

Equation d’état

Tous les fluides sont supposés être des gaz parfaits (1.11).

P= ρrT (1.11)

Avec r défini comme la constante massique du mélange, calculée avec r =_WR, où W est la masse molaire du mélange, obtenue à partir de la relation 1.12, etR, la constante des gaz parfaits valant 8.314 J.K−1.mol−1.

1 W = N

∑

k=1 Y_k W_k (1.12)

1.2.4

Coefficients de transport

Les méthodes de calculs des coefficients de transport résultent du compromis entre précision et rapidité d’exécution.

– La viscosité dynamique moléculaire est supposée indépendante de la composi-tion du mélange. Elle est calculée avec une loi puissance (eq. 1.13).

µ = c1  T T_{re f} b (1.13)

Les constantes c1 et b doivent être ajustées afin d’obtenir la viscosité réelle du

mélange dans la plage des conditions de pression et de température souhaitées. – La conductivité thermique moléculaire est calculée à partir de la viscosité dy-namique moléculaire, de la capacité calorifique du mélange et du nombre de Prandtl, Pr.

λ = µCp

P_r (1.14)

Le nombre de Prandtl est supposé constant.

– Les coefficients de diffusion moléculaires des espèces sont calculés à partir des coefficients de diffusion binaire (ou coefficients de diffusion d’une espèce dans une autre). Les nombres de Schmidt de chaque espèce Sc,k sont

suppo-sés constants, ce qui permet de calculer simplement le coefficient de diffusion moléculaire de l’espèce k dans le mélange par la relation 1.15.

D_k= µ ρ Sc,k

1.3

Equations-bilan

En filtrant au sens de Favre les équations-bilan instantanées de la DNS, on obtient les équations filtrées LES :

∂ w

∂ t + ∇ · F = s (1.16)

où

– w est le vecteur des variables conservatives filtrées,

w = ( ρue, ρev, ρwe, ρ eE, ρ eYk)

T

– F = (f, g, h)T est le tenseur des flux filtrés. Les composantes du tenseur des flux filtrés, f, g et h peuvent se décomposer en trois parties :

– Les flux filtrés non visqueux fI, gI et hI, – Les flux filtrés visqueux fV, gV et hV, et – Les flux de sous-maille ft, gt et ht.

On obtient alors les expressions 1.17 pour chaque composante du tenseur des flux filtrés :

f = fI+ fV+ ft (1.17)

g = gI+ gV+ gt (1.18)

h = hI+ hV+ ht (1.19)

– s correspond au terme source filtré lié à la combustion.

1.3.1

Termes non-visqueux

Les trois composantes des termes non-visqueux du tenseur des flux filtrés s’écrivent sous la forme 1.20. fI =       ρu_e2+ P ρu_eev ρu_ew_e ρ eE_eu+ P u ρ_keu       , gI =       ρu_eev ρ_ev2+ P ρ_evw_e ρ eEv_e+ P v ρ_kev       , hI =       ρu_ew_e ρv_ew_e ρw_e2+ P ρ eEw_e+ P w ρ_kw_e       (1.20)

1.3.2

Termes visqueux

Les trois composantes des termes visqueux du tenseur des flux filtrés sont définies par la relation 1.21.

1.3. EQUATIONS-BILAN 23 fV =       −τxx −τxy −τxz −(u τxx+ v τxy+ w τxz) + qx Jx,k       gV =       −τxy −τyy −τyz −(u τxy+ v τyy+ w τyz) + qy Jy,k       hV =       −τxz −τyz −τzz −(u τxz+ v τyz+ w τzz) + qz Jz,k       (1.21) Avec :

– τ_eii, le tenseur des contraintes filtrées, défini par la relation 1.22.

τi j = 2µ  e S_{i j}−1₃δi jSe_ll  , i, j = 1, 3 (1.22)

où eS_{i j} est le taux de déformation filtré donné par la relation 1.23.

e Si j= 1 2  ∂u_ej ∂ xi +∂uei ∂ xj  , i, j = 1, 3 (1.23)

Et µ représente la viscosité dynamique moléculaire du mélange.

– Ji,k, le flux diffusif filtré de l’espèce k donné par l’expression 1.24. Cette

ex-pression est obtenue en utilisant l’approximation proposée par Hirschfelder et Curtis [53]. J_i,k= −ρD_kWk W ∂ eXk ∂ xi −YekVei c , i= 1, 2, 3 (1.24)

où eV_ic est la iemecomposante de la vitesse de correction, définie par la relation 1.25, qui permet d’assurer la conservation de la masse.

e V_ic= N

∑

k=1 D_kWk W ∂ eXk ∂ xi , i= 1, 2, 3 (1.25)

Et eX_k et Dk représentent respectivement la fraction molaire et le coefficient de

– qi, le flux de chaleur filtré calculé à partir de la relation 1.26.

q_i= −λ∂ eT

∂ xi+ ∑

N

k=1Ji,keh_s,k, i= 1, 2, 3 (1.26) où λ est la conductivité thermique du mélange, et ehs,k, l’enthalpie sensible

fil-trée de l’espèce k.

1.3.3

Termes de sous-maille

Les termes de sous-maille à modéliser s’expriment sous la forme 1.27.

ft=       −τxxt −τxyt −τxzt q_xt Jx,kt       gt=       −τxyt −τyyt −τyzt q_yt J_y,kt       ht=       −τxzt −τyzt −τzzt q_zt Jz,kt       (1.27) Avec

– τi jt, le tenseur des contraintes de sous-maille définis par 1.28.

τi jt = −ρ(ugiuj−ueiuej), i, j = 1, 3 (1.28) Le tenseur des contraintes de sous-maille est modélisé à partir de l’hypothèse de Boussinesq. Cette hypothèse permet d’exprimer directement les tensions de sous-maille en fonction des taux de déformation résolus en définissant une vis-cosité dynamique turbulente, µt.

τi jt+

1

3δi jSell = 2 µt(eSi j− 1

3δi jSell), i, j = 1, 3 (1.29) La modélisation de la viscosité dynamique turbulente µtest développée au

1.3. EQUATIONS-BILAN 25

de sous-maille utilisant une viscosité turbulente. Les modèles de sous-maille dynamiques basés sur les méthodes de Germano [41] ou de Lilly [68] utilisent la connaissance des plus petites échelles résolues pour reconstruire les échelles à modéliser. Le principal problème lié à ces modèles est le transfert d’énergie des petites échelles vers les plus grandes qui se traduit par une viscosité tur-bulente négative. Ce phénomène de "backscattering" compromet la stabilité du calcul. C’est pour cette raison que dans ce travail de thèse visant à appliquer la LES à des géométries complexes on utilise des modèles de sous-maille robustes et peu coûteux en temps de calcul.

– Ji,k, les flux de diffusion des espèces de sous-maille calculés par analogie aux

contraintes de sous-maille en définissant un coefficient de diffusion turbulent de l’espèce k, Dkt. J_i,kt= −ρ D_ktWk W ∂ eXk ∂ xi −YekVei c,t ! , i= 1, 2, 3 (1.30)

où eV_ic,t, la vitesse de correction de sous-maille est obtenue à partir de la relation 1.31. e V_ic,t = N

∑

k=1 D_ktWk W ∂ eXk ∂ xi , i= 1, 2, 3 (1.31)

– qit, les flux de diffusion de chaleur de sous-maille calculés en définissant une

conductivité thermique turbulente λt.

q_it= −λt ∂ eT ∂ xi + N

∑

k=1 J_i,kteh_s,k, i= 1, 2, 3 (1.32)

Comme pour les flux résolus, la conductivité thermique turbulente et les coeffi-cients de diffusion turbulents des termes de sous-maille sont calculés respective-ment à partir d’un nombre de Prandtl turbulent, Prt et des nombres de Schmidt turbulents des espèces, Sct_k. Ces nombres sont fixés à 0.9. Ainsi la conductivité thermique turbulente λt est calculée avec la relation 1.33.

λ = µCp

P_rt (1.33)

Et les coefficients de diffusion turbulents des espèces, Dt_k sont calculés à partir de la relation 1.34.

D_k= µ

1.4

Modèles de sous-maille

Tous les modèles de sous-maille disponibles dans AVBPsont basés sur le concept de viscosité turbulente. L’enjeu de la modélisation de sous-maille consiste à cal-culer une viscosité turbulente représentative de l’ensemble des échelles contenues dans la maille. La majorité des modèles de sous-maille a été développée en sup-posant que la taille de la maille est constante dans l’espace et le temps, ce qui pose des problèmes de modélisation évidents pour les maillages anisotropes et/ou mobiles appréhendés par Scotti et al. [103] et Sagaut [98]. Ces problèmes sont négligés dans ce travail de thèse.

Quatre modèles de sous-maille sont disponibles. – Le modèle de Smagorinsky [108],

– Le modèle de Smagorinsky filtré [36],

– Le modèle WALE (Wall Adapting Linear Eddy) [82] et,

– Le modèle à une équation pour l’énergie cinétique turbulente de sous-maille [114].

Une description sommaire des différents modèles est réalisée dans cette section. Dans la suite, la taille caractéristique de la maille ∆ est calculée à partir du volume de la maille, ∆ = V_maille1/3 .

1.4.1

Modèle de Smagorinsky

Dans le modèle de Smagorinsky, la viscosité turbulente est proportionnelle à la taille caractéristique de la maille locale et à une échelle de temps caractéristique des structures basée sur les taux de déformation résolus [108].

νt= (CS∆)2

q

2 eS_{i j}Se_{i j}, (1.35)

où CSest la constante de Smagorinsky. Cette constante a d’abord été définie égale

à 0.18 par Lilly [68], en faisant l’hypothèse d’un équilibre local afin de retrouver la décroissance d’énergie cinétique turbulente dans le cas d’une turbulence homo-gène isotrope. Certains auteurs préconisent de la fixer à 0.10 pour les écoulements sur plaques planes comme Deardorff [30] ou Lesieur [67].

Ce modèle a servi de base aux développements de modèles plus élaborés comme le modèle de Smagorinsky dynamique [76] ou encore la prise en compte des pa-rois avec la fonction d’amortissement de Van Driest [38]. Malgré sa simplicité, le modèle de Smagorinsky a des défauts bien connus.

– Il prédit de la viscosité turbulente même dans le cas d’écoulement purement 2D, ce qui limite la capture de la transition laminaire/turbulent.

– Le modèle ne permet pas de reproduire la décroissance de la turbulence au niveau des murs, puisqu’il prédit de la viscosité turbulente tant qu’il existe du taux de déformation.

1.4. MODÈLES DE SOUS-MAILLE 27

– La constante de Smagorinsky peut varier de 0.1 à 0.18 quand on passe d’un écoulement cisaillé à une turbulence homogène et isotrope d’après O’Neil [83]. Dans une géométrie complexe, cette constante peut varier de façon importante et nuire à la prédictivité des résultats.

– Enfin, l’hypothèse de turbulence isotrope n’est pas strictement valable pour les plus grandes structures non résolues, ce qui peut avoir un impact non négli-geable dans un calcul VLES.

1.4.2

Modèle de Smagorinsky filtré

Le modèle de Smagorinsky filtré [36] se différencie du modèle standard en ne prenant en compte que les structures de hautes fréquences pour définir la viscosité turbulente de sous-maille.

νt= (CSF∆)

2q

2 HP(eSi j) HP(eSi j), (1.36)

où CSF est la constante de Smagorinsky filtré, fixée à 0.37. HP(eSi j) est le

ten-seur des taux de déformation résolus obtenus après filtrage haute-fréquence du champ de vitesse. Ce modèle semble atténuer certains défauts du modèle stan-dard, notamment la transition laminaire/turbulent et la localité de la modélisation des structures turbulentes d’après Ducros [35].

1.4.3

Modèle WALE

Le modèle WALE a été développé par Nicoud et Ducros [82] afin de palier deux défauts du modèle de Smagorinsky, que sont la décroissance de la viscosité tur-bulente à la paroi, et la transition laminaire/turbulent. La viscosité turtur-bulente est donnée par la relation 1.37.

νt= (Cw∆)2

(sd_{i j}sd_{i j})3/2 (eSi jSei j)5/2+(sd_{i j}sd_{i j})5/4

, (1.37)

où

– Cw= 0.49 est la constante du modèle qui d’après Nicoud et Ducros varie moins

que Cs,

– sd_{i j} représentent la partie déviatrice des taux de déformation résolus.

sd_{i j} = 1 2(ge 2 i j+ge 2 ji) − 1 3 ge 2 kkδi j, (1.38)

Le modèle WALE de par sa construction impose une viscosité turbulente nulle dans un écoulement 2D ce qui permet d’améliorer la transition laminaire/turbulent. Il permet également de retrouver l’évolution de la viscosité turbulente au voisi-nage de la paroi en O(y3) moyennant un maillage suffisant.

1.4.4

Modèle à une équation

Les modèles présentés jusqu’ici utilisent l’information à un instant pour modé-liser les structures turbulentes non résolues. Or, dans un moteur à combustion interne, à la fin de la phase de compression, les gradients de vitesse résolus sont faibles. L’utilisation des modèles présentés précédemment peut conduire à une sous-estimation de l’intensité de la turbulence au moment d’allumage. Moureau [79] a alors intégré un modèle à une équation qui transporte l’énergie cinétique turbulente afin de suivre l’historique de turbulence. Il permet également de ne pas supposer l’équilibre locale entre production et dissipation des échelles de sous-maille. La viscosité turbulente s’exprime directement en connaissant l’énergie ci-nétique turbulente ksgsavec la relation 1.39.

νt= ρCk∆pksgs (1.39)

L’équation de transport de ksgs provient des équations de Navier-Stokes

incom-pressibles filtrées dérivées par Speziale [114].

∂ ρ ksgs ∂ t + ∂ ρ ksgsuei ∂ xi = τi jt ∂u_ej ∂ xi − ρCε k3/2_sgs ∆ + ∂ ∂ xi  νt ∂ ρ ksgs ∂ xi  (1.40)

Cette équation égalise la convection de l’énergie cinétique turbulente (terme de gauche) avec respectivement les termes de production, dissipation et de diffusion de l’énergie cinétique turbulente (termes de droite). Les constantes de l’équation, C_k (= 0.1) et Cε (= 1.03) sont obtenues par des approximations multi-échelles

réalisées par Yoshizawa [131].

1.5

Modèle de combustion

1.5.1

Thermochimie

Dans ce paragraphe, la thermochimie utilisée dans AVBPest décrite en supposant que la flamme est résolue sur le maillage LES. Dans cette hypothèse, le terme

1.5. MODÈLE DE COMBUSTION 29

source résolu lié à la combustion dans l’équation 1.16 s’écrit sous la forme 1.41.

s =       0 0 0 ˙ ωT − ˙ωk       (1.41)

où ˙ωT est le taux de dégagement de chaleur résolu et ˙ωkle taux de réaction résolu

de l’espèce k.

Le modèle de combustion est basé sur une loi d’Arrhenius qui nécessite la construc-tion d’un schéma cinétique valable dans les condiconstruc-tions opératoires cibles. D’autres approches peuvent être utilisées comme celle développée par Vervisch et al. [40] basée sur des tabulations donnant le taux d’avancement de la réaction pour diffé-rentes conditions thermodynamiques et pour différents mélanges.

Chaque réaction chimique (M au total) est définie pour N réactifs et produitsMk

par la relation 1.42. N

∑

k=1 ν_{k j}0 M_{k j} N

∑

k=1 ν_{k j}00M_{k j}, j= 1, M (1.42) où ν_{k j}0 et ν_{k j}00 sont les coefficients stoechiométriques de la réaction j respectivement dans le sens direct et indirect.

Le taux de réaction résolu de l’espèce k est calculé à partir de la somme des taux de réaction résolus ˙ωk j de toutes les réactions pour l’espèce k.

˙ ω_k= M

∑

j=1 ˙ ω_{k j}= W_k M

∑

j=1 ν_{k j}Qj (1.43)

où ν_{k j} = ν_{k j}00 − ν_{k j}0 et Qj est le taux d’avancement résolu de la réaction j qui

s’exprime sous la forme 1.44.

Qj= Kf, j N

∏

k=1 ρ eYk W_k !ν_{k j}0 − Kr, j N

∏

k=1 ρ eYk W_k !ν_{k j}00 (1.44)

Avec Kf, j et Kr, j, les constantes de réaction de la réaction j dans le sens direct et

indirect. La loi d’Arrhenius présentée à l’équation 1.45 permet de calculer sim-plement la constante de réaction dans le sens direct de la réaction j en connaissant sa constante pré-exponentielle, Af, j et son énergie d’activation, Ea, j.

K_f, j= Af, jexp  −Ea, j RT  (1.45)

La constante de réaction dans le sens indirect est obtenue par l’intermédiaire de la constante d’équilibre Keqde la réaction j. La constante d’équilibre est calculée à

partir de la relation 1.47, proposée par Kuo [61].

Kr, j = K_{f, j} K_eq (1.46) Keq=  p₀ RT ∑N_k=1νk j exp ∆S 0 j R − ∆H0_j RT ! (1.47)

où p0= 1 bar. ∆H0_j et ∆S0_j sont respectivement les variations d’enthalpie totale et

d’entropie au cours de la réaction j définies par les relations 1.48 et 1.49.

∆H0_j = N

∑

k=1 νk jWk(hs,k(T ) + ∆h0f,k) (1.48) ∆S0_j = N

∑

k=1 ν_{k j}W_ks_k(T ) (1.49)

Enfin, le taux de dégagement de chaleur résolu est calculé à partir de la relation 1.50. ˙ ωT = − N

∑

k=1 ˙ ωk∆h0f,k (1.50)

Les enthalpies standard de formation ∆h0_f,ksont issues de la base de données ther-modynamiques JANAF [116].

1.5.2

Principe du modèle de flamme épaissie

La description du modèle de combustion réalisée au paragraphe 1.5.1 est basée sur l’hypothèse que le front de flamme est parfaitement résolu sur un maillage LES. Dans la pratique comme le montre la figure 1.3, l’épaisseur d’une flamme de prémélange δ_l0est de l’ordre de 0.1 mm, ce qui est plus petit que la taille de la maille LES ∆, généralement de l’ordre du mm dans une géométrie complexe.

Butler et O’Rourke [20] ont proposé une solution pour propager une flamme pré-mélangée sur un maillage grossier. En faisant une analyse dimensionnelle (Williams [129]), on peut montrer que la vitesse de flamme laminaire S0_L et l’épaisseur de flamme laminaire δ_L0 sont contrôlées par la diffusivité thermique, Dth et la

constante pré-exponentielle de la loi d’Arrhenius, A.

S0_L∝pDthA δL0∝ D_th S0_L = r D_th A (1.51)

1.5. MODÈLE DE COMBUSTION 31 de flamme Gaz frais ∆ Gaz brulés Front S0 L Front Gaz réel ∆ frais Gaz brulés épaissi Front

FIG. 1.3: Principe du modèle de flamme épaissie. Gauche : Insuffisante discrétisation du front de flamme sur le maillage LES (taille de maille ∆). Droite : Application du modèle de flamme épaissie pour résoudre le front de

flamme sur le maillage LES. [92].

Si on multiplie par F la diffusivité thermique et si on divise par F la constante pré-exponentielle, S_L0reste inchangée alors que δ_L0 a été multipliée par F. A condition de se donner un épaississement suffisant, le modèle de flamme épaissie permet de propager une flamme épaissie d’un facteur F à la vitesse de flamme laminaire.

1.5.3

Modèle de combustion de sous-maille

Dans les écoulements turbulents, l’épaississement artificiel de la flamme va alté-rer l’interaction entre la flamme et la turbulence. Les tourbillons qui ont une taille plus petite que Fδ_l0n’interagiront plus avec la flamme (comme le montre la figure 1.4). La flamme épaissie est donc moins plissée que la flamme non épaissie car moins de tourbillons peuvent l’affecter.

Un modèle de combustion de sous-maille appelé la fonction d’efficacité a été dé-veloppé par Colin et al. [28] afin de compenser le plissement réduit de la flamme épaissie. Il existe d’autres approches comme celle développée par Charlette et Meneveau [24] [25]. Le modèle de Colin consiste à accélérer la vitesse de propa-gation de la flamme épaissie sans en modifier son épaisseur. En reprenant l’ana-lyse dimensionnelle réalisée au paragraphe 1.5.2, on remarque que si l’on mul-tiplie par une fonction d’efficacité E la diffusivité thermique et la constante pré-exponentielle, la vitesse de la flamme épaissie est multipliée par E alors que son épaisseur reste inchangée.

FIG. 1.4: DNS de l’interaction flamme / turbulence réalisées par Veynante ([1], [92]). Champs de taux de réaction et de la vorticité. Gauche : Flamme non

épaissie F=1 , Droite : Flamme épaissie F=5.

flamme épaissie Ξ1et celui de la flamme non épaissie Ξ0.

E= Ξ 0 Ξ1 = 1 + αΓ∆e δ_l0, u0_∆e s0_l _u0 ∆e s0_l 1 + αΓ  ∆e δ_l1, u0_∆e s0_l _u0 ∆e s0_l (1.52) où

– α est calculé à partir du nombre de Reynolds turbulent Ret défini à partir de

la fluctuation de vitesse locale u0 et de l’échelle intégrale lt. L’approche qui

est employée dans la partie II de cette thèse prend en compte les variations spatiales et temporelles de l’échelle intégrale afin de mieux prédire par exemple la dynamique de la flamme épaissie près d’une paroi. (Voir Colin et al. [28] pour plus de détails).

– ∆e est l’échelle caractéristique des plus grands tourbillons dont l’interaction

avec la flamme est altérée par l’épaississement et u0_∆

e, la fluctuation de vitesse

associée à ces tourbillons. En pratique, ∆e vaut 10∆ (où ∆ est la taille

caracté-ristique de la maille).

– La fonction Γ correspond à l’intégration des contributions au plissement de tous les tourbillons affectés par l’épaississement, à savoir tous ceux dont la taille est comprise entre l’échelle de Kolmogorov ηK et l’échelle ∆e. (Voir Meneveau et

Poinsot [73])

La fonction Γ est définie par l’équation 1.53.

Γ ∆e δ_l1 ,u 0 ∆e s0_l ! = 0.75 exp   − 1.2  u0 ∆e/s 0 l 0.3     ∆e δ_l1 2₃ (1.53)

1.5. MODÈLE DE COMBUSTION 33

La fonction d’efficacité a été créée afin de vérifier les propriétés suivantes : 1. Lorsque l’écoulement est laminaire, la fonction d’efficacité ne modifie pas

l’interaction flamme / turbulence. Par contre, la flamme épaissie se propage bien à la vitesse de flamme laminaire (Butler et O’Rourke [84]).

2. La fonction d’efficacité permet également de retrouver la vitesse de flamme turbulente ST = ES0_L pour une combustion turbulente prémélangée.

1.5.4

Modèle de flamme épaissie dynamiquement

Le modèle de flamme épaissie dynamiquement est une extension du modèle de flamme épaissie pour les flammes partiellement prémélangées. Le modèle de flamme épaissie standard augmente les termes de diffusion des espèces et de chaleur dans tout le domaine de calcul. Dans les zones de mélange où il n’y a pas de réaction, le mélange entre les espèces est alors modifié. Afin d’éviter ce problème, le modèle de flamme épaissie dynamiquement a été créé par Légier et al. [65]. Ce modèle utilise un senseur qui capture les zones de réaction. Le facteur d’épaississement n’est appliqué que dans les zones où le taux de réaction est suffisamment grand. Le facteur d’épaississement du modèle dynamique est alors défini par la relation 1.54 afin d’être maximum dans les zones de réaction et de valoir un dans les zones sans réaction2.

F= 1 + (F_max− 1)S (1.54)

où S est défini par la relation :

S= tanh  β0 Ω Ω0  (1.55)

Avec β0 une constante, et Ω une fonction qui détecte la présence du front de flamme. Ω est calculé à l’aide d’une loi d’Arrhenius modifiée (voir équation 1.56) par un facteur Γ0 inférieur à un pour que le front de flamme soit encadré par l’épaississement. Ω = Yν 0 F F Y ν_O0 O exp  −Γ0Ea RT  (1.56)

Ω0 est déterminé par le maximum de Ω dans une flamme prémélangée 1D non

épaissie réalisée dans les mêmes conditions que celles du calcul complexe.

2_{De nombreuses questions restent sous-jacentes à l’utilisation d’un facteur d’épaississement}

variant dans l’espace et le temps. A notre connaissance, aucun auteur n’a tenté d’évaluer les erreurs de commutation par exemple qui pourraient intervenir.

Avec le modèle de flamme épaissie dynamiquement, de nouvelles fermetures de sous-maille sont nécessaires pour que leurs contributions soient nulles dans la zone de réaction (voir équation 1.61).

Epaississement dynamique avec la résolution

Le facteur d’épaississement F doit être fixé le plus petit possible afin de résoudre suffisamment la flamme sur le maillage LES. Pour faciliter l’utilisation du modèle de flamme épaissie sur les maillages anisotropes, Schmitt [100] a développé une procédure qui permet d’imposer le nombre de points n souhaité dans le front de flamme. Le facteur d’épaississement est alors calculé en fonction de la taille de la maille locale ∆ à partir de la relation 1.57.

F = n∆ δ_L0

(1.57)

Le nombre de points minimal nécessaire afin de propager la flamme à la bonne vitesse vaut environ 5 d’après Schmitt. Néanmoins ce nombre dépend beaucoup des paramètres numériques utilisés. C’est la raison pour laquelle une étude sera réalisée spécifiquement au chapitre 7.

1.5.5

Equations de transport des espèces pour les écoulements

réactifs

1. Pour les écoulements non réactifs, l’équation de transport filtrée de l’espèce ks’écrit sous la forme 1.58.

∂ ρ eYk ∂ t + ∂ ρu_eiYek ∂ xi = ∂ ∂ xi  J_i,k+ J_i,kt  (1.58) ∂ ρ eYk ∂ t + ∂ ρu_eiYek ∂ xi = ∂ ∂ xi −ρD_k+ Dk tW k W ∂ eXk ∂ xi −Ye_k  e V_ic+ eV_ic,t  ! (1.59)

2. Pour les écoulements réactifs en prémélange, l’équation de transport de l’es-pèce k, modifiée par le modèle de flamme épaissie, devient :

∂ ρ eY_k ∂ t + ∂ ρu_eiYe_k ∂ xi = ∂ ∂ xi  E FJi,k+ J_i,kt  +E Fω˙k (1.60) En dehors de la flamme, les flux diffusifs des espèces sont quasiment nuls. La dynamique de l’écoulement est très peu affectée par l’épaississement et la fonction d’efficacité.

1.6. MÉTHODES NUMÉRIQUES 35

3. Avec le modèle de flamme épaissie dynamiquement, adapté au contexte des flammes partiellement prémélangées, l’équation de l’espèce k est modifiée pour prendre la forme 1.61. F, le facteur d’épaississement dynamique est défini par l’équation 1.54. S est le senseur du taux de réaction qui vaut un dans la flamme et zéro ailleurs.

∂ ρ eY_k ∂ t + ∂ ρu_eiYe_k ∂ xi = ∂ ∂ xi  E FJi,k+ (1 − S) J_i,kt  +E Fω˙k (1.61) La relation 1.61 n’est pas obtenue par filtrage de l’équation de transport instan-tanée de l’espèce k de la DNS. Elle est construite à partir de considérations phy-siques. Cette équation dégénère vers l’équation filtrée de l’espèce k (eq. 1.58) loin du front de flamme (puisque S tend vers 0 et E et F tendent vers 1). Dans le front de flamme, S valant 1, l’équation 1.61 correspond à l’équation 1.60 du modèle de flamme épaissie standard. Cette construction a l’avantage de prédire le mélange loin du front, ainsi que de propager la flamme à une vitesse turbulente donnée avec une épaisseur contrôlée. L’équation 1.61 ne découle pas d’une dérivation exacte. Elle est construite à partir de deux approches : le filtrage (loin du front) et l’épais-sissement (dans le front). Ce type d’approche heuristique est souvent utilisée en MFN. La plupart des modèles pour la dissipation turbulente (ε) comme celui de Spalart et Allmaras [112], ou les modèles hybrides de combustion de Vervisch et al. [34] sont tous construits à partir de considérations physiques et non de dériva-tions rigoureuses.

1.6

Méthodes numériques

1.6.1

Généralités

AVBP a été initié par Schönfeld et Rudgyard[101] dans le but de créer un code de calcul compressible pour les écoulements laminaires et turbulents, dont l’ar-chitecture et ses méthodes numériques sont capables de calculer sur des maillages hybrides et sur un grand nombre de processeurs.

– Le choix du type de maillage dépend grandement de la géométrie considé-rée. Pour les géométries complexes, les maillages non structurés ont l’avantage d’être plus faciles à générer et plus robustes que les maillages structurés. Cepen-dant leur efficacité3est cependant plus faible que celle des maillages structurés. – AVBPest couplé à une librairie modulable appelée MPL, qui assure une

inter-face simple entre le code et la librairie parallèle standard MPI4, ce qui a

per-3_{L’efficacité correspond au temps de calcul nécessaire pour réaliser une itération sur un noeud}

de maillage avec un processeur.

mis de le paralléliser totalement et d’obtenir une efficacité évoluant de manière quasi-théorique même pour beaucoup de processeurs.

Les méthodes numériques adoptées ont été principalement motivées par la facilité de parallélisation du code, le contrôle des paramètres numériques et la précision des méthodes numériques :

– Méthode volumes finis de type cell-vertex plutôt que cell-centered.

– Schémas centrés couplés avec des senseurs de viscosité artificielle plutôt que des schémas décentrés.

– Intégration temporelle explicite plutôt qu’implicite.

1.6.2

Méthode cell-vertex

Principe d’assemblage et de redistribution

La méthode cell-vertex s’effectue en deux étapes qui sont illustrées par la figure 1.5 [79].

1. La phase d’assemblage : Les variables conservatives stockées aux noeuds sont assemblées aux cellules via une opération dite d’assemblage, afin d’ap-pliquer les opérateurs numériques.

2. La phase de redistribution : Les résidus obtenus aux cellules, sur lesquelles les équations de conservation sont intégrées, sont redistribués aux volumes de contrôles centrés aux noeuds.

Ω

j

k

FIG. 1.5: Principe de la méthode cell-vertex. Gauche : Opération d’assemblage

1.6. MÉTHODES NUMÉRIQUES 37

Pour décrire l’approche aux résidus pondérés, les équations d’Euler sont considé-rées dans leur formulation conservative :

∂ w

∂ t + ∇ · ~F = 0 (1.62)

où w est le vecteur des variables conservatives et ~F correspond au tenseur des flux d’Euler.

Les flux des équations sont évalués dans chaque volume de contrôle Ωj afin de

calculer le résidu. Chaque volume de contrôle VΩjest calculé à partir des normales

aux noeuds de la cellule ~dS_i par la relation 1.63 afin de conserver les aires et la consistance de l’opérateur de divergence.

V_Ωj = 1 N_d2_i∈Ω

∑

j

~x_i· ~dS_i (1.63)

où Nd est le nombre de dimensions et ~xi les coordonnées du noeud i. Le résidu

RΩj du volume de contrôle Ωjest ensuite calculé par la relation 1.64 valable pour

n’importe quel type d’éléments.

R_Ωj= 1 N_dV_Ωji∈Ω

∑

j

~

Fi· ~dSi (1.64)

où ~Firésulte d’une opération d’assemblage/redistribution de ~F , Nd représente le

nombre de dimension et {i ∈ Ωj} sont les noeuds de la cellule Ωj. Afin de

calcu-ler les résidus aux noeuds utilisés pour l’intégration temporelle des équations, le volume au noeud k est défini par la relation 1.65.

V_k=

_∑

j|k∈Ωj

V_Ωj nv Ωj

(1.65)

où nvest le nombre de noeuds de la cellule Ωj. On peut alors calculer le résidu au

noeud en faisant une pondération des volumes par la relation 1.66.

R_k= ∂ wk ∂ t = − 1 V_{k j|k∈Ω}

∑

j V_Ωj nv Ωj
RΩj (1.66)

L’intégration en temps est ensuite réalisée pour chaque noeud avec un pas de temps global, ∆t.

Le pas de temps global est défini comme le pas de temps limitant (c’est à dire le plus petit pas de temps) du domaine de calcul. Il est obtenu afin de respecter la condition de stabilité de Courant-Friedrichs-Lewy basée sur les ondes les plus rapides de l’écoulement, c’est à dire sur les ondes acoustiques. Il représente le pas de temps maximum admissible afin de vérifier la condition de stabilité et il s’écrit sous la forme : ∆tmax< CFL min  ∆ (|~V| + c)  (1.68)

où CFL est une constante dépendant du schéma de convection utilisé. Elle vaut autour de un pour les schémas centrés. ∆ correspond au volume local et c la vitesse du son est calculée à partir de√γ rT .

Schéma de Lax-Wendroff

Le schéma de Lax-Wendroff [52] est un schéma volumes finis d’ordre deux en espace et d’ordre un en temps. Il est très largement utilisé car il apporte un com-promis raisonnable entre précision, robustesse et temps de calcul. Il est obtenu en ajoutant une matrice de distribution Dk_Ω

j à l’équation 1.66. ∂ wk ∂ t = − 1 V_{k j|k∈Ω}

∑

j Dk_Ω jVΩjRΩj (1.69) où Dk

Ωj est une matrice de distribution définie par la relation 1.70.

Dk_Ω j = 1 n_v(I +C ∆t V_Ωj ~ AΩj· ~dSk) (1.70) Avec – I, la matrice unitaire,

– A , la jacobienne du tenseur des flux et,~

– C, une constante. Le schéma présenté au paragraphe 1.6.2 correspond au schéma de discrétisation le plus simple quand C = 0. Dans la formulation de Lax-Wendroff adoptée, C vaut n2v

2Nd.

Schéma TTGC

Le schéma TTGC a été développé afin d’équiper AVBPd’un schéma d’ordre trois en espace et en temps. La difficulté de la construction d’un tel schéma est d’abord liée à la constatation qu’un tel schéma est impossible à construire en volumes fi-nis pour des maillages hybrides. Colin et Rudgyard [29] ont alors développé un

1.6. MÉTHODES NUMÉRIQUES 39

schéma basé sur les éléments finis adaptable à la méthode cell-vertex. Les équa-tions de Navier-Stokes, intégrées en espace et en temps pour ce schéma, s’écrivent en deux étapes : ˆ wn_k− wn k ∆t = − 1 M[α · Lk(w n k) + β · ∆t · LLk(wnk)] (1.71) wn+1_k − ˆwn_k ∆t = − 1 M[Lk(wˆ n k) + γ · ∆t · LLk(wnk)] (1.72)

où α = 0.49, β = 1/6 et γ = 1/2 − α. La matrice de masse M est inversée par une méthode de Jacobi à plusieurs pas (en général 2 pas sont utilisés). Les opérateurs de discrétisation spatiale du premier ordre L et du second ordre LL sont calculés à l’aide de la méthode cell-vertex de la façon suivante :

L_k(wn_k) =

_∑

j|k∈Ωj L_k(wn_k) |Ωj (1.73) LL_k(wn_k) =

_∑

j|k∈Ωj LL_k(wn_k) |Ωj (1.74)

Ils sont ensuite évalués en fonction du type d’éléments : – Pour les éléments linéaires (triangles, tétraèdres) :

L_k(wn_k) |Ωj = V_Ωj nv R_Ωj (1.75) LL_k(wn_k) |Ωj = 1 N_d  ~ AΩjRΩj  · ~dS_k (1.76)

où RΩjest le résidu, ~AΩjla jacobienne du tenseur des flux, et ~dSk, les normales

aux noeuds pour le volume de contrôle Ωj.

– Pour les éléments bi- ou tri-linéaires (quadrilatères, héxaèdres, pyramides, prismes), on définit pour chaque type d’élément un élément de référence ˆΩj. La

transfor-mationR permet de passer de l’élément de référence à l’élément réel grâce à sa jacobienneP : R : ˆΩj → Ωj (1.77) ˆx → x =

_∑

k|k∈Ωj xkφˆk(ˆx) et P = ∂ x ∂ ˆx (1.78)

Les opérateurs de discrétisation s’expriment alors pour ces types d’éléments :

L_k(wn_k) |Ωj = V_Ωj nv ˆ Ξk_ΩjR_Ωj+

_∑

i|i∈Ωj ~ Fn i TΩjΘˆ k i,Ωj (1.79) LL_k(wn_k) |Ωj = n_v V_Ωj ~ AΩj

∑

i|i∈Ωj ~ Fn i TΩjΨˆ k i,Ωj TΩj
T (1.80)