Références
Problème de Cauchy pour des équations
différentielles stochastiques,
Processus de Wiener cylindriques
Sylvain Dotti
Laboratoire d’Informatique et de Mathématiques de La Réunion
24 Mai 2018
Les conditions habituelles de l’espace probabilisé filtré
On considère dans tout cet exposé un espace probabilisé (Ω, F , P) muni
d’une mesure de probabilité P complète, d’une filtration (Ft)t∈R+
I complète i.e. F0 contient les ensembles de P-mesure nulle.
I continue à droite i.e. ∀t ∈ R+, Ft = \
s>t Fs
Deux processus stochastiques X , Y : Ω × R+→ R vérifiant
∀t ∈ R+, X (ω, t) = Y (ω, t) ps, sont dits modifications l’un de l’autre.
Deux processus stochastiques X , Y : Ω × R+→ R presque sûrement
continus à droites et modifications l’un de l’autre vérifient
Équation différentielle stochastique
Une équation différentielle stochastique est une équation de la forme dX (ω, t) = a (X (ω, t), t) dt + b (X (ω, t), t) dB(ω, t)
où l’inconnue X est un processus d’Itô, les fonctions a, b : R × R+
→ R sont boréliennes.
La condition initiale X (., 0) : Ω → R du problème de Cauchy doit être F0-mesurable.
Un théorème d’existence et d’unicité au problème de
Cauchy
Considérons la classe d’équivalence suivante : deux processus
stochastiques X et Y sont indiscernables ssi leurs trajectoires sont égales presque sûrement i.e. P (∀t ∈ [0, T ] : X (., t) = Y (., t)) = 1.
Il existe une unique solution X ∈ L2
(Ω × [0, T ], Prog , d P ⊗ dt) à indiscernabilité au problème de Cauchy
dX (ω, t) = a (X (ω, t), t) dt + b (X (ω, t), t) dB(ω, t), t ∈ [0, T ]
X0= G ∈ L2(Ω, F0
, P) sous les conditions
I a,b : R × [0, T ] → R localement lipschitiennes en x uniformément
en t.
I a,b à croissance au plus affine en x i.e. il existe K ∈ R+
∗ telle que
Comparaison avec les hypothèses sur la loi de conservation
hyperbolique scalaire avec terme source stochastique
Soient H un Hilbert séparable, Td le tore de dimension d ,
I Φ : (x , ξ) ∈ Td× R 7→ Φ (x, ξ) ∈ L2(H, R), où L2(H, R) est
l’ensemble des opérateurs de Hilbert-Schmidt.
I A ∈ C2
(R; Rd) ayant ses dérivées à croissance au plus polynomiale,
il existe un unique processus prévisible u : Ω × [0, T ] → L1
Td vérifiant I ∀p ∈ [1, +∞), ∃Cp∈ R+ tel que E sup t∈[0,T ] ku(ω, t)kpLp(Td) ≤ Cp I du (ω, t, x ) = −divx(A (u (ω, t, x ))) dt + Φ (x , u (ω, t, x )) dW (ω, t) sous les hypothèses vérifiées ∀x , y ∈ Td, ξ, ζ ∈ R :
I kΦ (x , ξ) k2 L2(H,R)≤ D0 1 + |ξ| 2 I kΦ (x , ξ) − Φ (y , ζ) k2 L2(H,R)≤ D1 |x − y | 2+ |ξ − ζ|γ I u0∈ L∞ (Td)
Convergence de l’approximation numérique donnée par le
schéma d’Euler-Maruyama
Pour N ∈ N∗ fixé, considérons la subdivision de taille ∆t =TN de
l’intervalle [0, T ] : tn= n∆t, ∀n ∈ {0, ..., N}.
Sous la condition initiale X0∈ R, dans le cas où a, b ne dépendent que
d’une variable x ∈ R, le schéma d’Euler initialisé par X0 est défini par Xn+1(ω) = Xn(ω) + a (Xn(ω)) ∆t + b (Xn(ω)) (B(tn+1, ω) − B(tn, ω)) . La taille ∆t de la subdivision étant fixée, la solution approchée donnée par le schéma est définie ∀t ∈ [tn, tn+1], ∀n ∈ {0, ..., N} par
¯ X∆t(ω, t) = Xn(ω) + Z t tn a (Xn(ω)) ds + Z t tn b (Xn(ω)) dB(s, ω). En notant X la solution de l’EDS en continu, dans le cas où a et b sont globalement lipschitziennes, on a l’estimation de l’erreur d’approximation
E sup t∈[0,T ] | ¯X∆t(., t) − X (., t)|2 ≤ Cste × ∆t.
Introduction aux processus de Wiener cylindriques
On sait généraliser la notion d’EDS
dX (ω, t) = a (X (ω, t), t) dt + b (X (ω, t), t) dB(ω, t)
au cas où on ajoute une infinité dénombrable de bruits multiplicatifs avec
(Bk)k∈N∗ suite de mouvements browniens indépendants :
dX (ω, t) = a (X (ω, t), t) dt + +∞ X
k=1
bk(X (ω, t), t) dBk(ω, t)
en définissant la notion de processus de Wiener cylindrique, puis l’intégrale d’Itô contre ces processus, en suivant la même construction qu’en dimension 1, à ceci près que les processus intégrandes
φ : Ω × [0, T ] → L2(H, R) seront à valeurs dans l’espace des opérateurs
L’espace des processus intégrandes
Soit H espace de Hilbert de base (ek)k∈N∗, l’espace de Hilbert-Schmidt
L2(H, R) est constitué des opérateurs linéaires bornés (i.e. continus)
T : H → R tels que
X
k∈N∗
|Tek|2< +∞. C’est un espace de Hilbert muni du produit scalaire
hT , SiL2(H,R)= X
k∈N∗
Tek × Sek,
(hek, .iH)k∈N∗ en est une base orthonormée.
Un processus stochastique Y : Ω × [0, T ] → L2(H, R) dont chaque
restriction à Ω × [0, t] est Ft⊗ B[0, t]-mesurable (∀t ∈ [0, T ]) est dit progressivement mesurable.
L2
(Ω × [0, T ], Prog , P ⊗ dt; L2(H, R)) est l’espace des processus que l’on intègrera contre les processus de Wiener cylindriques.
Les processus de Wiener cylindriques
Pour donner un sens à
W (ω, t) = +∞ X
k=1
Bk(ω, t)ek,
il faut résoudre la difficulté
E +∞ X k=1 (Bk(ω, t)) 2 = +∞ X k=1 E (Bk(ω, t))2 = +∞ X k=1 t = +∞.
L’idée est d’utiliser une injection de Hilbert-Schmidt de H dans lui-même
J : h ∈ H 7→ +∞ X k=1 1 khh, ekiHek ∈ H pour définir le processus de Wiener
¯ W (ω, t) = +∞ X k=1 Bk(ω, t)Jek = +∞ X k=1 Bk(ω, t) 1 kek.
J -processus de Wiener
¯
W est bien définie et a les propriétés tout à fait raisonnables
I presque sûrement, ¯W (ω, 0) = 0.
I W : Ω × [0, T ] → H a presque sûrement ses trajectoires continues.¯
I ∀t ∈ [0, T ], W (., t) est Ft-mesurable.¯ I ∀0 ≤ s < t ≤ T , W (., t) − ¯¯ W (., s) est indépendante de Fs. I ∀0 ≤ s < t ≤ T , ∀k ∈ N∗, ¯ W (., t) − ¯W (., s), ek H est de loi N 0,k12(t − s). ¯
Intégrale d’Itô contre un processus de Wiener cylindrique
Ce J -processus de Wiener permet de définir rigoureusement ∀t ∈ [0, T ] l’intégrale contre le processus de Wiener cylindrique W :
Z t 0 φ(ω, s)dW (ω, s) = Z t 0 φ(ω, s) ◦ J−1d ¯W (ω, s) = L2(Ω,F ,P) +∞ X k=1 Z t 0 φ(ω, s)◦J−1◦JekdBk(ω, s) = +∞ X k=1 Z t 0 φ(ω, s)ekdBk(ω, s).
Cette construction est tirée du livre de Claudia Prévôt et Mickael
Röckner [PR07] qui reprend presque mot pour mot l’excellent mémoire
de Diplomarbeit de Katja Frieler et Claudia Knoche [FK01] où elles
détaillent de nombreuses démonstrations laissées par Giuseppe Da Prato et Jerzy Zabczyk [DZ92].
L’isométrie d’Itô
pour T ∈ R+
∗, l’intégrale d’Itô I[0,T ]est une isométrie :
X ∈ L2(Ω × [0, T ], Prog , P ⊗ dt; L2(H, R)) 7→ I[0,T ](X ) ∈ M2T(R) . L’intégrande X doit donc vérifier
E Z T 0 kX (ω, t)k2L2(H,R)dt < +∞ pour pouvoir être intégrée.
M2
T(R) est l’espace des (Ft)t∈[0,T ]-martingales continues de carré intégrable. C’est un espace de Banach si on le muni de la norme
sup t∈[0,T ] E |M(ω, t)|2 12 = E |M(ω, T )|2 12 .
L’isométrie d’Itô s’écrit ∀X :
E Z T 0 kX (ω, t)k2L2(H,R)dt = E Z T 0 X (ω, t)dW (ω, t) 2 .
La formule d’Itô
Soient A ∈ L2(Ω × [0, T ], Prog , P ⊗ dt) et
C ∈ L2(Ω × [0, T ], Prog , P ⊗ dt; L2(H, R)) deux processus stochastiques, X (ω, t) = X (ω, 0) + Z t 0 A(ω, s)ds + Z t 0 C (ω, s)dW (ω, s) défini ∀t ∈ [0, T ], ω ∈ Ω, est appelé processus d’Itô. L’égalité précédente se note dXt= Atdt + CtdWt, et s’appelle différentielle d’Itô.
Soit f ∈ C2,1 (R × R+), on a la formule d’Itô ∀t ∈ [0, T ], p.s. : d (f (Xt, t)) = (∂tf ) (Xt, t)dt + (∂xf ) (Xt, t)dXt +1 2kCtk 2 L2(H,R)× (∂xxf ) (Xt, t)dt.
Bibliographie I
Giuseppe Da Prato et Jerzy Zabczyk.Stochastic equations in infinite dimensions. T. v. 45. Encyclopedia of mathematics and its applications. Cambridge : Cambridge University Press, 1992. isbn : 0521385296 (hardback). url :
http://www.loc.gov/catdir/description/cam026/93118317.html(cf. p.11).
Katja Frieler et Claudia Knoche.« Solutions of stochastic differential equations in infinite dimensional Hilbert spaces and their dependence on initial data ». In : Bielefeld University (2001) (cf. p.11).
Xuerong Mao.Stochastic differential equations and applications. Elsevier, 2007 (cf. p.6).
Claudia Prévôt et Michael Röckner.A concise course on stochastic partial differential equations.