Rappel de la définition : la médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu.
Un autre rappel fondamental (relatif à la définition de la symétrie axiale) : La médiatrice d'un segment est un axe de symétrie de segment.
Propriété 1 : Si un point appartient à la médiatrice d'un segment, alors il est équidistant des extrémités de ce segment.
Démonstration : Considérons un segment [AB] et la médiatrice de ce segment. On appelle I le milieu du segment [AB].
Considérons un point quelconque M sur . On cherche à démontrer que AM = BM.
Les triangles AIM et BIM sont tous les deux rectangles en I.
D'après le théorème de Pythagore, on peut donc écrire les deux égalités suivantes : AI2IM2=AM2 et BI2IM2=BM2
Or, AI = BI
On en déduit rapidement que AM = BM
Le point M est donc bien équidistant des points A et B. cqfd (« ce qu'il fallait démontrer »)
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Propriété 2 (réciproque de la propriété 1) : Si un point est équidistant des extrémités d'un segment, alors il est sur la médiatrice de ce segment.
Démonstration : Considérons un segment [AB] et un point M du plan tel que AM = BM. On appelle I le milieu du segment [AB].
Considérons la médiatrice du segment [AB]. On cherche à démontrer que M ∈ .
Pour cela, on peut mener ce que l'on appelle un raisonnement par l'absurde.
Supposons que le point M n'est pas sur la droite : Supposons, par exemple, qu'il est du même côté de que B.
D'après l'inégalité triangulaire, on peut écrire : BN + NM > BM
A et B étant de part et d'autre de , on peut donc affirmer que le segment [AM] coupe en un point N : N ≠ M
N étant sur la médiatrice de , on peut écrire, grâce à la propriété 1 : AN = BN Or on sait aussi que AM = BM.
De plus, N ∈ [AM], donc AN + NM = AM Ce que entraîne BN + NM = BM
« le point M n'appartient pas à » est donc une proposition fausse.
Donc le contraire de cette proposition est vrai et on peut affirmer que : M ∈ . cqfd
On peut finalement regrouper les propriétés 1 et 2 en une seule, propriété caractéristique de la médiatrice d'un segment :
Un point est sur la médiatrice d'un segment si et seulement s'il est équidistant des extrémités de ce segment.
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Le fait de supposer que M n'est pas sur entraîne deux résultats contradictoires....
Il existe une écriture symbolique des trois propriétés écrites en couleurs sur les pages précédentes (on entre là dans le domaine de la logique)
Appelons P la proposition : « Le point M est sur la médiatrice du segment [AB]. »
Appelons Q la proposition : « Le point M est équidistant des extrémités du segment [AB]. » La propriété 1 peut s'écrire : P ⇒ Q (qui se lit : « P implique Q »).
La propriété réciproque (propriété 2) peut s'écrire P ⇐ Q (« Q implique P »).
Et la propriété caractéristique s'écrit tout naturellement : P ⇔ Q (« P est équivalent à Q »).