Critère d’orthogonalité dans un repère orthonormé

Démonstration

Soit O ;i , j un repère orthonormé du plan.

On considère les droites d et d' d'équations réduites respectives y=axb et y=a ' xb ' . 1°) Supposons que d et d' sont perpendiculaires.

On considère les droites d  et d ' d'équations réduites respectives y=ax et y=a ' x . d  // d et d ⊥ d' donc d  ⊥ d'

Or d ' // d' Donc d  ⊥ d '

On considère les points A et B suivant : A1, a  ∈ d  et B 1, a ' ∈ d ' . Le triangle OAB est rectangle en O donc, d'après le théorème de Pythagore,

AB2_=OA2_OB2 xB– xA2yB– yA2=xA2yA2x2By2B – 2 x_Ax_B– 2 y_Ay_B=0 x_Ax_By_Ay_B=0 1aa '=0 aa '=– 1 2°) Réciproquement : Supposons que aa '=– 1. 1aa '=0 x_Ax_By_Ay_B=0 où A1, a  et B 1, a ' – 2 x_Ax_B– 2 y_Ay_B=0 xB– xA 2 yB– yA 2 =xA 2 yA 2 xB 2 yB 2 AB2_=OA2_OB2

Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle OAB est rectangle en O . On considère les droites d  et d ' d'équations réduites respectives y=ax et y=a ' x .

A1, a  ∈ d  et B 1, a ' ∈ d ' . Et d  ⊥ d ' De plus, d  // d Donc d ' ⊥ d Or d ' // d' Finalement, d ⊥ d' 1/1

Critère d'orthogonalité dans un repère orthonormé :

Deux droites (non parallèles avec les axes du repère) sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs coefficients directeurs est égal à – 1.

(d)

(d ') d'

d

Dans un repère orthonormé :

Si deux droites (non parallèles avec les axes du repère) sont perpendiculaires alors le produit de leurs

coefficients directeurs est égal à – 1.

Dans un repère orthonormé :

Si deux droites (non parallèles avec les axes du repère) ont le produit de leurs coefficients directeurs

égal à – 1 alors elles sont perpendiculaires entre elles.