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PROBLEME QUASI-STATIQUE DE CONTACT AVEC ADHESION ENTRE UN CORPS VISCOELASTIQUE ET UNE FONDATION

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

PROBLEME QUASI-STATIQUE DE CONTACT AVEC ADHESION ENTRE UN CORPS VISCOELASTIQUE ET UNE FONDATION

Reçu le 07/01/2006 – Accepté le 31/08/2007

Résumé

Le but de ce travail est l’étude variationnelle du contact avec adhésion entre un matériau viscoélastique et une fondation déformable dans le processus quasi-statique et avec l’hypothèse des petites déformations. Les conditions de contact sont de type bilatéral et de compliance normale et l’évolution du champ d’adhésion est décrite par une équation différentielle du premier ordre. Nous démontrons l’existence et l’unicité de la solution faible en utilisant un théorème sur les inéquations variationnelles elliptiques, le théorème de Cauchy-Lipschitz, un lemme de Gronwall ainsi que le point fixe de Banach.

Mots clés: matériau viscoélastique, contact avec adhésion, solution faible, opérateur monotone, équation d’évolution, point fixe de Banach.

Classification AMS : 74M15, 74M10, 49J40, 49J85.

Abstract

The aim of this work is the variational study of the contact with adhesion between a viscoelastic material and a deformable foundation in the quasistatic process and with assumption of the small deformations. The conditions of contact are of bilateral type and of normal compliance and the evolution of the field of adhesion is described by a first order differential equation. We prove the existence and unicity of the weak solution by using a theorem on the inequation variational elliptic, the theorem of Cauhy-Lipschitz, a lemma of Gronwall as well as the fixed point of Banach.

Keywords: viscoelastic material, contact with adhsion, weak solution, monotonous operator, equation of evolution, fixed point of Banach.

AMS subject Classification : 74M15, 74M10, 49J40, 49J85.

ﺒﺷ قﺎﻴﺳ ﻲﻓ مﺎﺤﺘﻟﺎﺑ ﺲﻣﻼﺘﻟ ﺔﻳﺮﻴﻐﺘﻟا ﺔﺳارﺪﻟا ﻮه ﻞﻤﻌﻟا اﺬه ﻦﻣ فﺪﻬﻟا نإ جﺰﻟ ﻢﺴﺟ ﻦﻴﺑ ﻲﻧﻮﻜﺳ ﻪ

– ﺔﻠﺑﺎﻗ ةﺪﻋﺎﻗ و نﺮﻣ

ﻴﺿﺮﻓ رﺎﻃإ ﻲﻓ ﻩﻮﺸﺘﻠﻟ ﺔ

ىﺮﻐﺼﻟا تﺎهﻮﺸﺘﻟا .

ﻰﻟوﻷا ﺔﺒﺗﺮﻤﻟا ﻦﻣ ﺔﻴﻠﺿﺎﻔﺗ ﺔﻟدﺎﻌﻣ ﺔﻄﺳاﻮﺑ غﺎﺼﻣ مﺎﺤﺘﻟﻻا ﻞﻘﺣ ﺮﻴﻐﺗ و ﻲﻤﻇﺎﻧ ﻩﻮﺸﺘﻟا و ﺐﻧﺎﺠﻟا ﻲﺋﺎﻨﺛ ﺎﻨه ﺲﻣﻼﺘﻟا .

ﻒﻴﻌﻀﻟا ﻞﺤﻟا ﺔﻴﻧاﺪﺣو و دﻮﺟو ﻦهﺮﺒﻧ ﻲﺷﻮآ ﺔﻳﺮﻈﻧ و ﺔﻳﺮﻴﻐﺘﻟا تﺎﺤﺟاﺮﺘﻤﻟﺎﺑ ﻖﻠﻌﺘﺗ ﺔﻳﺮﻈﻧ ماﺪﺨﺘﺳﺎﺑ

- و ﺲﺘﻴﺸﺒﻴﻟ

خﺎﻨﺑ ءﺎﻀﻓ ﻲﻓ ﺔﺘﺑﺎﺜﻟا ﺔﻄﻘﻨﻟا ﺔﻳﺮﻈﻧ ﻚﻟﺬآ و لاﻮﻧوﺮﻗ ﺔﺌﻃﻮﺗ .

ﺔــــﻴﺣﺎﺘﻔﻤﻟا تﺎﻤﻠﻜﻟا :

جﺰﻟ ﻢﺴﺟ -

ﺔﺘﺑﺎﺜﻟا ﺔﻄﻘﻨﻟا ،ﺮﻴﻐﺘﻟا ﺔﻟدﺎﻌﻣ ،ﺐﻴﺗر ﺮﺛﺆﻣ ،ﻒﻴﻌﺿ ﻞﺣ ،مﺎﺤﺘﻟﺎﺑ ﺲﻣﻼﺗ ،نﺮﻣ ..

ﺺﺨﻠﻣ

B. TENIOU

Laboratoire de Mathématiques Appliquées et Modélisation

Université Mentouri Constantine, Algérie.

(2)

NTRODUCTION

Les problèmes de contact, avec ou sans frottement, entre deux corps déformables ou entre un corps

déformable et une fondation rigide abondent en industrie et dans la vie quotidienne. Le contact du sabot de frein avec le disque, de la chemise avec le piston, des pneus d’une voiture avec le sol, l’enfoncement progressif d’une personne dans un fauteuil et le contact entre les plaques tectoniques, sont des exemples courants. Vu l’importance de ces phénomènes physiques, des efforts considérables ont été consacrés à l’étude de ces problèmes de contact.

Le processus d’adhésion joue un rôle important dans l’industrie en particulier dans l’assemblage des matériaux composites, où les parties non métalliques sont collées ensemble mais sous l’effet des tensions ces matériaux collés se décollent et se déplacent les uns par rapport aux autres. Pour mieux modéliser le processus de contact avec adhésion lorsque le collage n’est pas permanent et un décollage peut avoir lieu, nous avons besoin de décrire le contact et l’adhésion ensemble. Pour cela, M. Fremond [1,2], a introduit dans le modèle mathématique une variable interne de surface

β ∈ [ ]

0,1 , appelée champ d’adhésion, qui décrit la densité fractionnaire des adhésifs actifs sur la surface de contact. Lorsque

β = 1

,

l’adhésion est complète et tous les adhésifs sont actifs;

lorsque

β = 0

, tous les adhésifs sont inactifs et il n’y a pas d’adhésion et lorsque

0 < β < 1

, l’adhésion est partielle et seulement une fraction

β

des adhésifs est active. Beaucoup de travaux portant sur la modélisation et l’analyse mathématique ainsi que l’approximation des problèmes de contact avec adhésion ont été réalisés, on peut citer par exemple les travaux [5] et [6]. Bien évidemment, cette énumération n’est pas exhaustive. Ce travail est divisé en deux parties.

Dans la première partie on définit les outils

mathématiques et mécaniques dont on a besoin dans l’étude de notre problème mécanique de contact, ensuite on rappelle quelques définitions classiques et un résultat concernant les équations différentielles dans un espace de Banach.

Dans la deuxième partie nous présentons une

modélisation mathématique d’un problème de contact avec adhésion entre un corps viscoélastique et une fondation déformable dans le processus quasi-statique et dans le cadre des petites déformations, ensuite on énonce les hypothèses faites sur le problème et on déduit sa formulation variationnelle. Nous terminons notre étude par une démonstration, en plusieurs étapes, concernant l’existence et l’unicité de la solution faible du problème mécanique de contact.

Notre contribution, dans l’étude de ce problème

mécanique, réside dans l’introduction d’une condition dite de compliance normale avec adhésion dans le contact ainsi que dans la preuve du théorème d’existence et

d’unicité de la solution faible de ce problème mécanique de contact.

2. DEFINITIONS ET NOTATIONS

Avant de commencer, nous précisons les notations standard utilisées et nous rappelons quelques définitions et résultats utiles dans l’étude de ce problème mécanique de contact.

est un domaine de RN (

N =

2 ou 3 pour les applications)

Γ

est la frontière de

Ω Γ

i est une partie de

Γ

ν

est le vecteur unitaire normal dirigé vers l’extérieur de

Γ

u

ν est la composante normale de u (

u

ν=

u ⋅ ν

)

u

τ est la composante tangentielle de u (

u

τ

= uu

ν

⋅ ν

)

SN est l’espace des tenseurs symétriques d’ordre deux sur RN

( ) ( )

{ u u

i

u

i

L i N } L ( )

N

H = =

/

2

,

=

1,

=

2

On définit respectivement l’opérateur déformation

Q H

1

ε

: et l’opérateur divergence

Div

:

Q

1

H

par :

( ) u ( ε

ij

( ) u )

ε =

, ij

( ) u = ( ∂

j

u

i

+ ∂

i

u

j

)

2

ε 1

,

(

j ij

)

Div σ = ∂ σ

Où les espaces

Q

,

H

1et

Q

1, sont définis par :

( ) ( )

{ L i j N }

Q = σ = σ

ij

/ σ

ij

= σ

ji

2

Ω , , = 1 ,

( )

{ u H u Q }

H

1

= ∈

/

ε ∈

{ Q Div H }

Q

1

= σ ∈

/

σ ∈

Les espaces

H

,

Q

,

H

1,

Q

1 munis de leurs produits scalaires respectifs définis par

=

u , v

H

u

i

v

i

dx

u , vH

=

〈 σ

,

τ

Q

σ

ij

τ

ij

dx

∀ σ , τ ∈ Q

Q H

H

u v u v

v

u 〉 = 〈 〉 + 〈 〉

〈 , , ( ), ( )

1

ε ε

u , vH

=

〈 σ , τ

Q1

〈 σ , τ 〉

Q+

Div σ

,

Div τ 〉

H

∀ σ , τ ∈ Q

sont des espaces de Hilbert. Les normes associées à ces produits scalaires seront notées par

. , . , . , . .

1

1 Q

H Q H

L’application

γ : H

1

L

2

( ) Γ

N vérifiant l’égalité :

= u

Γ

γ u

u C

1

( )

N

I

(3)

La

f

0

Γ

3

Γ

1

=

0

u

f

2

Γ

2

application est notée

H

Γ

= H

21

( ) Γ

N.

Soit

H

Γ' le dual de

H

Γ, alors pour tout

σ ∈ Q

1 on a la formule de Green :

( )

Q H

H

H

u Div u

u , ,

, γ

'

σ ε σ

σν = +

Γ

Γ×

H

1

u

et si

σ ∈ C

1

( )

×

= { = ( )

ij

/

ij

=

ji

C

1

( ) }

N N

s

σ σ σ σ

,

alors

Γ Γ×H

u

H'

, γ

σν

=

Γ

σν uds

uH

1

Γ

est la frontière de

, supposée de Lipschitz. Nous supposons que

Γ

, est partitionnée en trois parties mesurables

Γ

1,

Γ

2et

Γ

3 telles que

mes ( ) Γ

1

>

0. Puisque

mes ( ) Γ

1

>

0, alors l’inégalité de Korn est vérifiée (une preuve de cette inégalité peut être trouvée dans [4, p. 79]) :

( ) u

Q

c u

H1

ε

uV

c >

0 est une constante qui dépend de

et

Γ

1. L’espace

V

défini par :

{ ∈

1/

=

0

= v H v

V

sur Γ

1

}

est un sous-espace fermé de

H

1. On munit l’espace V du produit scalaire suivant :

Q

V

u v

v

u 〉 = 〈 〉

〈 , ε ( ), ε ( )

u , vV

Grâce à l’inégalité de Korn, on peut vérifier facilement que les normes

.V et

1

.

H sont équivalentes sur V. Par conséquent

( ) V

,.V est un espace de Hilbert. En outre du théorème de trace de Sobolev et de l’équivalence des normes

.V et

.

H1 on déduit l’existence d’une constante

>

0

c

qui dépend de

,

Γ

1 et

Γ

3 telle que (R1) ( )

V

L

c u

u

Γ N

3

2

uV

Pour décrire les conditions de contact avec adhésion, il est nécessaire d’introduire une variable interne de

surface

β : Γ

3

× [ ] [ ] 0 , T → 0 , 1

, appelée champ d’adhésion, qui décrit la densité fractionnaire des liens actifs sur la surface de contact

Γ

3.

On définit la fonction de troncature

R

: R

R par : (R2)

( ) ( )

⎪ ⎩

⎪ ⎨

<

>

=

=

L s L

L s s

L s L s R s

R

L

si si

si

L >

0 est la longueur caractéristique du champ d’adhésion.

(R3)

R ( ) s = ( R ( ) s )

+ et

( )

2

[ ] ~ ( )

2

~ s R s

R =

On définit aussi la fonction de troncature

R

: R

R (R4)

( ) ( )

⎪ ⎩

⎪ ⎨

>

=

=

L s s

L s

L s s s R s

R

L

si si

Pour le champ d’adhésion on a aussi besoin de l’ensemble suivant :

(R5)

Q

= { β : [ ] 0 , TL

2

( ) Γ

3 / 0

≤ β ( ) t

1

[ ] T

t

0,

, p.p. sur

Γ

3

}

A la fin de ce préliminaire nous rappelons le théorème classique de Cauchy- Lipschitz dans

l’espace

W

1,p

( 0 , T ; X )

.

Théorème. Soient

( X

,.X

)

un espace de Banach et

( ) t X X

F

,. :

un opérateur défini presque partout sur

] [

0,

T

qui satisfait les conditions suivantes : 1) il existe

L

F

>

0 telle

que

F ( ) t

,

uF ( ) t

,

v

X

L

F

uv

X

u , vX

, p.p.

t ∈ ] [

0,

T

.

2) il existe

p ≥ 1

tel que

t a F ( ) t , uL

p

( 0 , T ; X )

X u

.

Alors pour tout

u

0

X

, il existe une fonction

( T X )

W

u

1,p

0 , ;

telle que :

( ) t F ( t u ( ) t )

u

&

=

, p.p.

t ∈ ] [

0,

T

( ) 0 u

0

u =

3. FORMULATION DU PROBLEME MECANIQUE ET HYPOTHESES

(4)

Figure 1. Contact entre un corps viscoélastique et une fondation déformable

Soit

[ ]

0,

T

un intervalle de temps. On considère un corps viscoélastique qui occupe un domaine

, borné de RN(

N =

2, 3 pour les applications) et dont la frontière Γ supposée suffisamment régulière, est divisée en trois parties mesurables disjointes

Γ

1,

Γ

2 et

Γ

3 telles que

( ) Γ

1

>

0

mes

.

On suppose que ce corps est encastré sur

Γ

1

× [ ]

0,

T

, (donc le champ des déplacements

u

est nul sur

[ ]

0,

T

1

×

Γ

), que des tractions superficielles

f

2

s’appliquent sur

Γ

2

× [ ]

0,

T

et que des forces volumiques

f

0 agissent dans

Ω × [ ]

0,

T

. On suppose aussi que ce corps est en contact avec une fondation déformable sur la partie

Γ

3

× [ ] 0 , T

et que le contact est avec compliance normale et adhésion (voir figure 1). On précise encore que ce corps viscoélastique obéit à une loi constitutive non linéaire de Kelvin-Voigt.

Sous ces conditions, ce problème mécanique de contact se formule de la manière suivante :

Problème P : Trouver un champ des déplacements

[ ]

×

T

u

: 0, RN, un champ des contraintes

[ ] TS

N

× Ω 0 ,

σ :

et un champ d’adhésion

[ ] →

× Γ 0 , T

:

3

β

R tels que :

(1)

( ) t A ε u ( ) t E ε ( ) u ( ) t

σ ⎟ +

⎜ ⎞

= ⎛

dans

Ω × ] [

0,

T

(2)

Div σ + f

0

= 0

dans

] [

0,

T

× Ω

(3)

u =

0 sur

] [

0,

T

1

× Γ

(4)

σν = f

2 sur

] [

0,

T

2

× Γ

(5)

( )

ν ν

( )

ν

ν

ν

γ β

σ = p u

2

R

~

u

sur

Γ

3

× ] [ 0 , T

(6)

σ

τ

p

τ

( ) ( ) β R u

τ

=

sur

Γ

3

× ] [ 0 , T

(7)

( ( ) )

+

= − γ β R u − ε

a

β

ν ~ ν 2 sur

Γ

3

× ] [ 0 , T

(8)

u ( ) 0 = u

0 dans

(9)

β ( ) 0 = β

0 sur

Γ

3

ε

a et

γ

νsont des coefficients d’adhésion donnés.

Hypothèses

Pour l’étude variationnelle du problème P, nous supposons que l’opérateur de viscosité A et l’opérateur d’élasticité E vérifient les hypothèses suivantes : (a)

A : Ω × S

N

S

N tel que (b)

( ) ( )

( ,

1

,

2

) (

1 2

)

1 2 2

0 ε − ε ⋅ ε − ε ≥ ε − ε

>

m

A

A x A x m

A

p.p.

x ∈ Ω

,

∀ ε

1

, ε

2

S

N

(10) (c)

L

A

>

0 telle que

( ) ( )

( A x

,

ε

1

A x

,

ε

2

) ≤ L

A

ε

1

− ε

2 p.p.

x ∈ Ω

,

S

N

∀ ε

1

, ε

2

(d) La fonction

x A ( ) x

,

ε

est

mesurable Lebesgue p.p.

x ∈ Ω

,

∀ ε ∈ S

N

(e) La fonction

xA ( ) x

,0

Q

(a)

E : Ω × S

N

S

N tel que (b)

L

E

>

0 telle que

( ) ( )

( E x

,

ε

1

E x

,

ε

2

) ≤ L

E

ε

1

− ε

2

∀ ε

1

, ε

2

S

N, p.p.

x ∈ Ω

(11) (c) La fonction

xE ( ) x

,

ε

est mesurable Lebesgue p.p.

x ∈ Ω

,

∀ ε ∈ S

N (d) La fonction

xE ( ) x

,0

Q

La fonction compliance normale

p

ν et la fonction tangentielle

p

τ satisfont les hypothèses suivantes : (a)

p

ν

: Γ

3

×

R

R+telle que (b)

L

ν

> 0

telle que

( ) ( )

( p

ν

x

,

r

1

p

ν

x

,

r

2

) ≤ L

ν

r

1

r

2

r

1,

r

2

R, p.p.

x ∈ Γ

3

(12) (c)

( ) ( )

( p

ν

x , r

1

p

ν

x , r

2

)( . r

1

r

2

) ≥ 0 ∀ r

1,

r

2

R, p.p.

Γ

3

x

(d) Pour tout

r

R,

xp

ν

( ) x , r

est mesurable sur

Γ

3

(e)

p

ν

( ) x , r = 0

pour tout

r

0

(5)

(b)

L

τ

> 0

telle que

( ) ( )

( p

τ

x

,

β

1

p

τ

x

,

β

2

) ≤ L

τ

β

1

− β

2

∀ β

1,

β

2 R,

p.p.

x ∈ Γ

3

(13) (c)

M

τ

> 0

telle que

( )

τ

τ

x β M

p

,

≤ ∀ β ∈

R, p.p.

x ∈ Γ

3

(d) Pour tout

β ∈

R,

xp

τ

( ) x , β

est mesurable sur

Γ

3

(e) La fonction

xp

τ

( ) x , 0 ∈ L

2

( ) Γ

3 Nous supposons que les coefficients d’adhésion satisfont : (14)

γ

ν

L

( ) Γ

3

, γ

ν

≥ 0

p.p. sur

Γ

3

(15)

( )

3

, 0

2

Γ ≥

a

a

L ε

ε

p.p. sur

Γ

3

Les forces volumiques et surfaciques satisfont : (16)

[ ] ( )

( T L

N

) f C ( [ ] ( ) T L

N

)

C

f

0

∈ 0 , ;

2

Ω ,

2

∈ 0 , ;

2

Γ

2

Les données initiales satisfont : (17)

( ) , 0 1

,

0 2 3 0

0

V β ∈ L Γ ≤ β ≤

u

p.p. sur

Γ

3

De (16) et du théorème de représentation de Riesz- Fréchet, il résulte l’existence d’un élément unique

( ) t V

f

tel que : (18)

( ) t v f ( ) t v f ( ) t v

( )

v V t [ ] T

f

, V , H , L N , 0,

2 2

2

0

+ ∀ ∈ ∈

=

Γ

En outre,

fC ( [ ]

0,

T

;

V )

. Enfin on définit la fonctionnelle

( ) V V R

L

j :

Γ

3

× × →

par : (19)

( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ( )

Γ Γ Γ

+

=

3 3 3

2

~

*

,

, u v p u v ds R u v ds p R u v ds

j β

ν ν ν

γ

ν

β

ν ν τ

β

τ τ

3.1 Formulation variationnelle du problème mécanique

En appliquant la formule de Green et en utilisant la loi d’équilibre ainsi que les conditions aux limites, on déduit facilement la formulation variationnelle suivante du problème P :

Problème PV : Trouver un champ des déplacements

[ ] T V

u

: 0,

, un champ des contraintes

[ ] 0 , L

2

( )

3

: T → Γ

β

tels que :

(20)

( ) t A u ( ) t ⎟ + E ( ) u ( ) tt ∈ [ ] 0 , T

⎜ ⎞

= ε ⎛

ε σ

(21)

( ) ( ) t , ε w

Q

+ j ( β ( ) ( ) t , u t , w ) = f ( ) t , w

V

wV , ∀ t ∈ [ 0 , σ

(22)

( ) t = − ( γ β ( ) t R ( u ( ) t ) − ε

a

)

+

β

. ν ~ ν 2 p.p.

t ∈ [ ]

0,

T

(23)

u ( ) 0 = u

0 dans

,

β ( ) 0 = β

0 sur

Γ

3

Les difficultés majeures rencontrées dans la résolution du système non-linéaire (20)-(23) résident dans la non- linéarité des fonctions constitutives A et E ainsi que la dépendance de la fonctionnelle j de la solution de ce système.

3.2 Existence et unicité de la solution

Concernant l’existence et l’unicité du problème PV, on a le théorème suivant :

Théorème 1 : Sous les hypothèses (10)-(17), le problème PV admet une solution unique

( u

,

σ

,

β )

, qui satisfait :

(24)

[ ]

( ) ( [ ] ) ( [ ] ( ) Γ )

C

1 0,

T

;

V

,

C

0,

T

;

Q

1,

W

1, 0,

T

;

L

2 3

u σ β

Q

Pour démontrer ce théorème nous construisons deux problèmes auxiliaires et nous démontrons l’existence et l’unicité de leurs solutions. Ensuite nous construisons une application contractante où son unique point fixe est la solution faible du problème mécanique de départ.

Dans la première étape nous considérons le problème auxiliaire suivant dans lequel la fonction

[ ] ( T V )

C

0, ;

η ∈

est donnée.

Problème PV2 : Trouver un champ des déplacements

[ ] T V

u

η

: 0 , →

tel que : (25)

( ) ( ) t w ( ) t w f ( ) t w w V t [ ] T

u

A

V V

Q

, 0 , ,

,

.

,

=

⎟ +

⎜ ⎞

⎛ ε η

ε

η

(26)

( ) 0 u

0

u

η

=

Lemme 1 : Le problème PV2 admet une solution unique

u

η

C

1

( [ ] 0 , T ; V )

Preuve : Soit

Ρ

:

VV

, l’opérateur défini par : (27)

( ) ( ) v w v w V A

w

v

V

=

Q

∀ ∈

Ρ , ε , ε ,

(6)

De l’hypothèse (10), il résulte que l’opérateur P est fortement monotone et de Lipschitz, alors le théorème sur les inéquations variationnelles elliptiques de première espèce (cf. [3, p.60]) entraîne l’existence d’une fonction unique

v

η qui satisfait :

(28)

[ ]

( T V )

C

v

η

∈ 0 , ;

(29)

( ) ( ) t t f ( ) t t [ ] T

v + = ∀ ∈ 0 ,

Ρ

η

η

Soit

u

η

: [ ] 0 , TV

la fonction définie par : (30)

( ) t v ( ) s ds u t [ ] T

u

t

, 0

0

0

∀ ∈

+

= ∫

η

η

De (27)-(30), il résulte que

u

η est l’unique solution du problème PV2 et elle satisfait

u

η

C

1

( [ ]

0,

T

;

V )

. Dans la deuxième étape nous utilisons la solution

u

η, du problème PV2 pour formuler le second problème auxiliaire suivant :

Problème 3 : Trouver un champ d’adhésion

[ ]

0, 2

( )

3

:

TL Γ

β

η tel que

(31)

( ) t = ( γ β ( ) t R ( u ( ) t ) ε

a

)

+

β

. η ~ ην 2 p.p.

t [ ]

0,

T

(32)

( ) 0 β

0

β

η

=

u

ην désigne la composante normale de la fonction

[ ]

( T V )

C

u

η

1 0, ; . Nous avons le résultat suivant :

Lemme 2 : Le problème 3, admet une solution unique

[ ] ( )

( Γ )

W

1, 0,

T

;

L

2 3

β

η Q

Preuve : Soit la fonction

[ ]

0, 2

( )

3 2

( )

3

:

T × L Γ → L Γ

F

η définie par :

( ) t = ( ( ) t R ( u ( ) t )

a

)

+

F

η

, β γ

η

β ~

ην 2

ε

Comme la fonction

F

η est Lipschitzienne par rapport au second argument

β

et uniformément continue par rapport au temps

t

et pour tout

β ∈ L

2

( ) Γ

3 , l’application

tF

η

( ) t , β

appartient à

[ ] ( )

(

3

)

;

2

,

0 Γ

T L

L

, alors le théorème de Cauchy-

Lipschitz entraîne l’existence d’une fonction unique

[ ] ( )

(

3

)

2 ,

1 0, ;

Γ

W

T L

β

η , qui satisfait (31) et (32).

La régularité

β

η

Q, découle de (31), (32) et de l’hypothèse

0 ≤ β

η

≤ 1

p.p. sur

Γ

3.

Dans la troisième étape, pour tout

η ∈ C ( [ ]

0,

T

;

V )

, on note par

u

η la solution du premier problème auxiliaire et par

β

η la solution du second problème auxiliaire.

Maintenant on définit l’application

Λ

:

[ ]

0,

T V

par :

(33)

( ) t w E ( u ( ) ( ) t w ) j ( ( ) ( ) t u t w ) w V t [ ] T

V

,

Q

, , , 0 ,

, = + ∀ ∈ ∈

Λ η ε

η

ε β

η η

Lemme 3 : Pour tout

η C ( [ ]

0,

T

;

V )

, la fonction

[ ] TV

Λ η

: 0, appartient à l’espace de Banach

[ ]

( T V )

C

0, ; . En outre il existe

η C ( [ ]

0,

T

;

V )

telle que

= Λ η η

. Preuve : (i) Soient

η ∈ C ( [ ]

0,

T

;

V )

et

[ ] T

t

t

1, 2

0, . En utilisant (33), (19) et (R1) on obtient :

( ) ( ) Λ ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( )

( )

+

Λ

Γ

2 3

2 1

2 1

2

1

t

V

E u t E u t

Q

c p u t p u t

L

t η ε

η

ε

η ν η ν η

η

+

( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) )

( )Γ

+

2 3

2 2

2 1 1

2 ~ ~

L

t u R t t

u R t

c β

η ην

β

η ην

+

( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) )

( )3 2

2

* 2 1

* 1

Γ

L

t u R t p t u R t p

c

τ

β

η ητ τ

β

η ητ

En utilisant (11)-(13) et l’inégalité

0 ≤ β ≤ 1

ainsi que les définitions des opérateurs de troncature

R ~

et

R

* on déduit que :

(34)

( ) t

1

η ( ) t

2 V

η − Λ Λ

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 3

2 1

2

1

− + −

Γ

c u

η

t u

η

t

V

c β

η

t β

η

t

L

Comme

u

η

C

1

( [ ] 0 , T ; V )

et

(

2

( )

3

)

,

1 0, ;

Γ

W

T L

β

η , alors de (34) on déduit que

Λ η C ( [ ]

0,

T

;

V )

.

(ii) Soient

η

1,

η

2

C ( [ ]

0,

T

;

V )

et

t ∈ [ ]

0,

T

. Pour simplifier l’écriture on note :

i i

i i i

i

u v u

u =

η

, = &

η

, β = β

η pour

i = 1 , 2

. En intégrant (31) sur l’intervalle

[ ]

0,

t

et en tenant compte de la condition initiale (32), on obtient :

(7)

( ) = − (

i

( ) (

i

( ) ) −

a

)

+

i

t s R u s ds

0

0

γ β ε

β

β

ν ν

[ ] T

t

0,

Donc on a :

( ) ( ) −

( )Γ

≤ ∫

t

( ) ( ) ( ) − ( ) ( ( ) )

( )Γ

L

c s R u s s R u s

L

ds

t t

0

2 2 2 2 1 1 2

1

2 3 2 3

~

~

ν

ν

β

β β

β

En utilisant (R3) et le fait que

β

1

= β

1

− β

2

+ β

2 on aura :

( ) ( ) t t

L( )Γ

c

t

( ) ( ) s s

L( )Γ

ds + c

t

u

v

( ) ( ) s u

v

s

L( )Γ

ds

0

2 1 0

2 1 2

1

β

2 3

β β

2 3 2 3

β

De cette dernière inégalité et d’un lemme de Gronwall (cf.

[3, p.162]), il résulte que :

( ) t ( ) t

L( )Γ

c

t

u

v

( ) s u

v

( ) s

L( )Γ

ds

0

2 1

2

1

β

2 3 2 3

β

En utilisant (R1), on aura : (35)

( ) t ( ) t

L( )Γ

c

t

u ( ) s u ( ) s

V

ds

0

2 1

2

1

β

2 3

β

En utilisant les mêmes arguments que ceux utilisés pour obtenir la relation (34) on trouve :

( ) Λ ( )

Λ η

1

t η

2

t

V

( ) ( ) ( ) ( )

( )

3

2 2

1 2

1

tu t

V

+ c tt

L Γ

u

c β β

De cette dernière inégalité et de (35), on aura :

( ) − Λ ( ) ≤ Λ η

1

t η

2

t

V

( ) t u ( ) t

V

+ c

t

u ( ) s u ( ) s

V

ds

u c

0

2 1

2 1

Puisque

u

1et

u

2ont les même valeurs initiales, il résulte que :

( ) t u ( ) t

V

t

v ( ) s v ( ) s

V

ds

u

0

2 1

2 1

En combinant ces deux dernières inégalités on obtient : (36)

( ) Λ ( )

Λ η

1

t η

2

t

V

c

t

v ( ) s v ( ) s

V

ds

0

2 1

D’autre part de (25), il résulte que :

( ) v

1

A ( ) ( ) ( ) v

2 ,

v

1

v

2 Q

+

1

2,

v

1

v

2 V

=

0

A ε ε ε ε η η

sur

] [

0,

T

En utilisant dans cette dernière inégalité le fait que l’opérateur

A

est fortement monotone et l’inégalité de Korn ainsi que l’inégalité de Cauchy- Schwartz, on obtient :

(37)

( ) s v ( ) s

V

c ( ) s ( ) s

V

v

1

2

≤ η

1

− η

2

s ∈ [ ]

0,

T

De (36) et (37) on déduit que :

( ) Λ ( ) ∫ ( ) ( )

Λ t t

V

c s s

V

ds

0

2 1

2

1

η η η

η

[ ] T

t

0,

En réitérant cette dernière inégalité pour

m

temps donnés dans

[ ]

0,

T

, on obtient :

( ) C( TV)

m m V T C m m

m T c

; , 2 0

; 1 , 2 0

1

η ! η η

η − Λ ≤ −

Λ

Pour

m

assez grand, cette dernière inégalité entraîne que

Λ

est un opérateur contractant dans l’espace de Banach

C (

0,

T

;

V )

. Par conséquent

Λ

admet un seul point fixe

η

C ( 0 , T ; V )

.

Démonstration du théorème 1.

Maintenant on peut utiliser les trois lemmes précédents pour démontrer l’existence et l’unicité du théorème 1 (c’est-à-dire l’existence de la solution faible du problème mécanique de départ).

Existence. Soient

η

C ( 0 , T ; V )

le point fixe de l’opérateur

Λ

et

u

la solution du

Problème PV2, pour

= η

η

(c’est-à-dire

=

u

η

u

). Nous

notons par

σ

la fonction donnée par (20) et par

β

la solution du problème 3, pour

η = η

(c’est-à-

dire

=

β

η

β

). On voit bien que les égalités (22) et (23) sont vérifiées respectivement par le problème PV2 et le problème 3. En outre, puisque

=

Λ η η

, il résulte de (25) et (33) que (21) est aussi vérifiée. Ensuite du lemme 1, il résulte que

uC

1

( [ ] 0 , T ; V )

. En outre de (20), (10) et (11) il résulte que

σ ∈ C ( [ ] 0 , T ; Q )

.

Choisissant maintenant

wD ( ) Ω

N dans (21), on obtient :

(38)

Div σ + f

0

= 0

t ∈ [ ]

0,

T

En utilisant (16), alors cette dernière égalité entraîne que

Div σ ∈ C ( [ ] 0 , T ; L

2

( )

N

)

.

Par conséquent

σ ∈ C ( [ ]

0,

T

;

Q

1

)

. Rappelons aussi que la régularité du champ d’adhésion

[ ] ( )

( Γ )

W

1,

0 , T ; L

2 3

β

Q,

résulte du lemme 2.

Nous concluons que

( u

,

σ

,

β )

est une solution du problème PV, qui satisfait (20).

Unicité. L’unicité de la solution est une conséquence de l’unicité du point fixe de l’opérateur

Λ

et de l’unicité du problème PV2 ainsi que celle du problème 3.

(8)

En effet; soit

( u

,

σ

,

β )

une solution du problème PV qui satisfait (24) et notons par

η ∈ C ( 0 , T ; V )

la fonction définie par :

(39)

( ) t w E ( ) ( ) u ( ) t w j ( ( ) ( ) t u t w )

Q

V

, , ,

, ε ε β

η = +

V w

,

t ∈ [ ]

0

T

Les égalités (20), (21), (25) et la condition initiale

)

0

0

( u

u =

entraînent que

u

est solution du problème PV2, mais d’après le lemme 1 ce problème admet une solution unique

u

η, par conséquent on a :

(40)

u = u

η L’égalité (22) et la condition initiale

β ( 0 ) = β

0

entraînent que

β

est solution du problème 3 mais d’après le lemme 2 ce problème admet une solution unique

β

η, par conséquent on a :

(41)

β = β

η

En utilisant (33) et (39) – (41), on déduit que

Λ η = η

. Comme l’opérateur

Λ

admet un seul point fixe, il résulte alors que :

(42)

η = η

*

L’unicité de la solution est maintenant une conséquence de (40) – (42) combinées avec (20).

REFERENCES

[1] Frémond. M, ’’Equilibre des structures qui adhèrent à

leurs supports’’, C.R.A.S, Paris 295, série II (1982), pp. 913-916.

[2] Frémond. M, ’’Adhérence des solides’’, Journal Mécanique Théorique Appliqué 6

(1987), pp. 383-407.

[3] Han. W and Sofonea. M, ’’Quasistatic contact problem in viscoelasticity and

viscoplasticity ’’, Study in Advanced Mathematics, 30, American Mathematical Society,

Providence, RI-International Press, Somerville, MA, 2002.

[4] Necas. J and Hlavacek. I, ’’Mathematical theory of elastic and elastico-plastic bodies: an

Introduction’’, Elsevier Scientific Publishing Company, Amsterdam, Oxford, New York, 1981.

[5] Shillor. M, Sofonea. M and J.J. Telega. J.J,’’ Models and variational analysis of

quasistatic contact’’, Lecture Notes in Physics Vol.

655, Springer-Verlag, Berlin, 2004.

[6] M. Sofonea. M, Han. W and Shillor. M, ’’Analysis and approximation of contact

problems with adhesion or damage’’, Monographs and textbook in pure and applied

mathematics, Chapman-Hall/CRC press, New York, 2005.

Références

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