PROBLEME QUASI-STATIQUE DE CONTACT AVEC ADHESION ENTRE UN CORPS VISCOELASTIQUE ET UNE FONDATION
Reçu le 07/01/2006 – Accepté le 31/08/2007
Résumé
Le but de ce travail est l’étude variationnelle du contact avec adhésion entre un matériau viscoélastique et une fondation déformable dans le processus quasi-statique et avec l’hypothèse des petites déformations. Les conditions de contact sont de type bilatéral et de compliance normale et l’évolution du champ d’adhésion est décrite par une équation différentielle du premier ordre. Nous démontrons l’existence et l’unicité de la solution faible en utilisant un théorème sur les inéquations variationnelles elliptiques, le théorème de Cauchy-Lipschitz, un lemme de Gronwall ainsi que le point fixe de Banach.
Mots clés: matériau viscoélastique, contact avec adhésion, solution faible, opérateur monotone, équation d’évolution, point fixe de Banach.
Classification AMS : 74M15, 74M10, 49J40, 49J85.
Abstract
The aim of this work is the variational study of the contact with adhesion between a viscoelastic material and a deformable foundation in the quasistatic process and with assumption of the small deformations. The conditions of contact are of bilateral type and of normal compliance and the evolution of the field of adhesion is described by a first order differential equation. We prove the existence and unicity of the weak solution by using a theorem on the inequation variational elliptic, the theorem of Cauhy-Lipschitz, a lemma of Gronwall as well as the fixed point of Banach.
Keywords: viscoelastic material, contact with adhsion, weak solution, monotonous operator, equation of evolution, fixed point of Banach.
AMS subject Classification : 74M15, 74M10, 49J40, 49J85.
ﺒﺷ قﺎﻴﺳ ﻲﻓ مﺎﺤﺘﻟﺎﺑ ﺲﻣﻼﺘﻟ ﺔﻳﺮﻴﻐﺘﻟا ﺔﺳارﺪﻟا ﻮه ﻞﻤﻌﻟا اﺬه ﻦﻣ فﺪﻬﻟا نإ جﺰﻟ ﻢﺴﺟ ﻦﻴﺑ ﻲﻧﻮﻜﺳ ﻪ
– ﺔﻠﺑﺎﻗ ةﺪﻋﺎﻗ و نﺮﻣ
ﻴﺿﺮﻓ رﺎﻃإ ﻲﻓ ﻩﻮﺸﺘﻠﻟ ﺔ
ىﺮﻐﺼﻟا تﺎهﻮﺸﺘﻟا .
ﻰﻟوﻷا ﺔﺒﺗﺮﻤﻟا ﻦﻣ ﺔﻴﻠﺿﺎﻔﺗ ﺔﻟدﺎﻌﻣ ﺔﻄﺳاﻮﺑ غﺎﺼﻣ مﺎﺤﺘﻟﻻا ﻞﻘﺣ ﺮﻴﻐﺗ و ﻲﻤﻇﺎﻧ ﻩﻮﺸﺘﻟا و ﺐﻧﺎﺠﻟا ﻲﺋﺎﻨﺛ ﺎﻨه ﺲﻣﻼﺘﻟا .
ﻒﻴﻌﻀﻟا ﻞﺤﻟا ﺔﻴﻧاﺪﺣو و دﻮﺟو ﻦهﺮﺒﻧ ﻲﺷﻮآ ﺔﻳﺮﻈﻧ و ﺔﻳﺮﻴﻐﺘﻟا تﺎﺤﺟاﺮﺘﻤﻟﺎﺑ ﻖﻠﻌﺘﺗ ﺔﻳﺮﻈﻧ ماﺪﺨﺘﺳﺎﺑ
- و ﺲﺘﻴﺸﺒﻴﻟ
خﺎﻨﺑ ءﺎﻀﻓ ﻲﻓ ﺔﺘﺑﺎﺜﻟا ﺔﻄﻘﻨﻟا ﺔﻳﺮﻈﻧ ﻚﻟﺬآ و لاﻮﻧوﺮﻗ ﺔﺌﻃﻮﺗ .
ﺔــــﻴﺣﺎﺘﻔﻤﻟا تﺎﻤﻠﻜﻟا :
جﺰﻟ ﻢﺴﺟ -
ﺔﺘﺑﺎﺜﻟا ﺔﻄﻘﻨﻟا ،ﺮﻴﻐﺘﻟا ﺔﻟدﺎﻌﻣ ،ﺐﻴﺗر ﺮﺛﺆﻣ ،ﻒﻴﻌﺿ ﻞﺣ ،مﺎﺤﺘﻟﺎﺑ ﺲﻣﻼﺗ ،نﺮﻣ ..
ﺺﺨﻠﻣ
B. TENIOU
Laboratoire de Mathématiques Appliquées et Modélisation
Université Mentouri Constantine, Algérie.
NTRODUCTION
Les problèmes de contact, avec ou sans frottement, entre deux corps déformables ou entre un corps
déformable et une fondation rigide abondent en industrie et dans la vie quotidienne. Le contact du sabot de frein avec le disque, de la chemise avec le piston, des pneus d’une voiture avec le sol, l’enfoncement progressif d’une personne dans un fauteuil et le contact entre les plaques tectoniques, sont des exemples courants. Vu l’importance de ces phénomènes physiques, des efforts considérables ont été consacrés à l’étude de ces problèmes de contact.
Le processus d’adhésion joue un rôle important dans l’industrie en particulier dans l’assemblage des matériaux composites, où les parties non métalliques sont collées ensemble mais sous l’effet des tensions ces matériaux collés se décollent et se déplacent les uns par rapport aux autres. Pour mieux modéliser le processus de contact avec adhésion lorsque le collage n’est pas permanent et un décollage peut avoir lieu, nous avons besoin de décrire le contact et l’adhésion ensemble. Pour cela, M. Fremond [1,2], a introduit dans le modèle mathématique une variable interne de surface
β ∈ [ ]
0,1 , appelée champ d’adhésion, qui décrit la densité fractionnaire des adhésifs actifs sur la surface de contact. Lorsqueβ = 1
,l’adhésion est complète et tous les adhésifs sont actifs;
lorsque
β = 0
, tous les adhésifs sont inactifs et il n’y a pas d’adhésion et lorsque0 < β < 1
, l’adhésion est partielle et seulement une fractionβ
des adhésifs est active. Beaucoup de travaux portant sur la modélisation et l’analyse mathématique ainsi que l’approximation des problèmes de contact avec adhésion ont été réalisés, on peut citer par exemple les travaux [5] et [6]. Bien évidemment, cette énumération n’est pas exhaustive. Ce travail est divisé en deux parties.Dans la première partie on définit les outils
mathématiques et mécaniques dont on a besoin dans l’étude de notre problème mécanique de contact, ensuite on rappelle quelques définitions classiques et un résultat concernant les équations différentielles dans un espace de Banach.
Dans la deuxième partie nous présentons une
modélisation mathématique d’un problème de contact avec adhésion entre un corps viscoélastique et une fondation déformable dans le processus quasi-statique et dans le cadre des petites déformations, ensuite on énonce les hypothèses faites sur le problème et on déduit sa formulation variationnelle. Nous terminons notre étude par une démonstration, en plusieurs étapes, concernant l’existence et l’unicité de la solution faible du problème mécanique de contact.
Notre contribution, dans l’étude de ce problème
mécanique, réside dans l’introduction d’une condition dite de compliance normale avec adhésion dans le contact ainsi que dans la preuve du théorème d’existence et
d’unicité de la solution faible de ce problème mécanique de contact.
2. DEFINITIONS ET NOTATIONS
Avant de commencer, nous précisons les notations standard utilisées et nous rappelons quelques définitions et résultats utiles dans l’étude de ce problème mécanique de contact.
Ω
est un domaine de RN (N =
2 ou 3 pour les applications)Γ
est la frontière deΩ Γ
i est une partie deΓ
ν
est le vecteur unitaire normal dirigé vers l’extérieur deΓ
u
ν est la composante normale de u (u
ν=u ⋅ ν
)u
τ est la composante tangentielle de u (u
τ= u − u
ν⋅ ν
)SN est l’espace des tenseurs symétriques d’ordre deux sur RN
( ) ( )
{ u u
iu
iL i N } L ( )
NH = =
/∈
2Ω
,=
1,=
2Ω
On définit respectivement l’opérateur déformationQ H
1→
ε
: et l’opérateur divergenceDiv
:Q
1→ H
par :( ) u ( ε
ij( ) u )
ε =
, ij( ) u = ( ∂
ju
i+ ∂
iu
j)
2
ε 1
,(
j ij)
Div σ = ∂ σ
Où les espacesQ
,H
1etQ
1, sont définis par :( ) ( )
{ L i j N }
Q = σ = σ
ij/ σ
ij= σ
ji∈
2Ω , , = 1 ,
( )
{ u H u Q }
H
1= ∈
/ε ∈
{ Q Div H }
Q
1= σ ∈
/σ ∈
Les espaces
H
,Q
,H
1,Q
1 munis de leurs produits scalaires respectifs définis parΩ
∫
=
〉
〈 u , v
Hu
iv
idx
∀ u , v ∈ H
Ω
∫
=
〉
〈 σ
,τ
Qσ
ijτ
ijdx
∀ σ , τ ∈ Q
Q H
H
u v u v
v
u 〉 = 〈 〉 + 〈 〉
〈 , , ( ), ( )
1
ε ε
∀ u , v ∈ H
=
〉
〈 σ , τ
Q1〈 σ , τ 〉
Q+〈 Div σ
,Div τ 〉
H∀ σ , τ ∈ Q
sont des espaces de Hilbert. Les normes associées à ces produits scalaires seront notées par
. , . , . , . .
1
1 Q
H Q H
L’application
γ : H
1→ L
2( ) Γ
N vérifiant l’égalité := u
Γγ u
∀ u ∈ C
1( ) Ω
NI
La
Ω f
0Γ
3Γ
1=
0u
f
2Γ
2application est notée
H
Γ= H
21( ) Γ
N.Soit
H
Γ' le dual deH
Γ, alors pour toutσ ∈ Q
1 on a la formule de Green :( )
Q HH
H
u Div u
u , ,
, γ
'σ ε σ
σν = +
Γ
Γ×
H
1u ∈
∀
et si
σ ∈ C
1( ) Ω
×= { = ( )
ij/
ij=
ji∈ C
1( ) Ω }
N N
s
σ σ σ σ
,alors
Γ Γ×H
u
H', γ
σν
=∫
Γ
σν uds
∀ u ∈ H
1 OùΓ
est la frontière deΩ
, supposée de Lipschitz. Nous supposons queΓ
, est partitionnée en trois parties mesurablesΓ
1,Γ
2etΓ
3 telles quemes ( ) Γ
1>
0. Puisquemes ( ) Γ
1>
0, alors l’inégalité de Korn est vérifiée (une preuve de cette inégalité peut être trouvée dans [4, p. 79]) :( ) u
Q≥ c u
H1ε
∀ u ∈ V
Où
c >
0 est une constante qui dépend deΩ
etΓ
1. L’espaceV
défini par :{ ∈
1/=
0= v H v
V
sur Γ
1}
est un sous-espace fermé de
H
1. On munit l’espace V du produit scalaire suivant :Q
V
u v
v
u 〉 = 〈 〉
〈 , ε ( ), ε ( )
∀ u , v ∈ V
Grâce à l’inégalité de Korn, on peut vérifier facilement que les normes
.V et
1
.
H sont équivalentes sur V. Par conséquent( ) V
,.V est un espace de Hilbert. En outre du théorème de trace de Sobolev et de l’équivalence des normes.V et
.
H1 on déduit l’existence d’une constante>
0c
qui dépend deΩ
,Γ
1 etΓ
3 telle que (R1) ( )V
L
c u
u
Γ N≤
3
2
∀ u ∈ V
Pour décrire les conditions de contact avec adhésion, il est nécessaire d’introduire une variable interne de
surface
β : Γ
3× [ ] [ ] 0 , T → 0 , 1
, appelée champ d’adhésion, qui décrit la densité fractionnaire des liens actifs sur la surface de contactΓ
3.On définit la fonction de troncature
R
: R→
R par : (R2)( ) ( )
⎪ ⎩
⎪ ⎨
⎧
−
<
−
≤
>
=
=
L s L
L s s
L s L s R s
R
Lsi si
si
Où
L >
0 est la longueur caractéristique du champ d’adhésion.(R3)
R ( ) s = ( − R ( ) s )
+ et( )
2[ ] ~ ( )
2~ s R s
R =
On définit aussi la fonction de troncature
R
∗ : R→
R (R4)( ) ( )
⎪ ⎩
⎪ ⎨
⎧
>
≤
=
=
∗∗
L s s
L s
L s s s R s
R
Lsi si
Pour le champ d’adhésion on a aussi besoin de l’ensemble suivant :
(R5)
Q
= { β : [ ] 0 , T → L
2( ) Γ
3 / 0≤ β ( ) t ≤
1[ ] T
t ∈
0,∀
, p.p. surΓ
3}
A la fin de ce préliminaire nous rappelons le théorème classique de Cauchy- Lipschitz dans
l’espace
W
1,p( 0 , T ; X )
.Théorème. Soient
( X
,.X)
un espace de Banach et( ) t X X
F
,. :→
un opérateur défini presque partout sur] [
0,T
qui satisfait les conditions suivantes : 1) il existeL
F>
0 telleque
F ( ) t
,u − F ( ) t
,v
X≤ L
Fu − v
X∀ u , v ∈ X
, p.p.t ∈ ] [
0,T
.2) il existe
p ≥ 1
tel quet a F ( ) t , u ∈ L
p( 0 , T ; X )
X u ∈
∀
.Alors pour tout
u
0∈ X
, il existe une fonction( T X )
W
u ∈
1,p0 , ;
telle que :( ) t F ( t u ( ) t )
u
&=
, p.p.t ∈ ] [
0,T
( ) 0 u
0u =
3. FORMULATION DU PROBLEME MECANIQUE ET HYPOTHESES
Figure 1. Contact entre un corps viscoélastique et une fondation déformable
Soit
[ ]
0,T
un intervalle de temps. On considère un corps viscoélastique qui occupe un domaineΩ
, borné de RN(N =
2, 3 pour les applications) et dont la frontière Γ supposée suffisamment régulière, est divisée en trois parties mesurables disjointesΓ
1,Γ
2 etΓ
3 telles que( ) Γ
1>
0mes
.On suppose que ce corps est encastré sur
Γ
1× [ ]
0,T
, (donc le champ des déplacementsu
est nul sur[ ]
0,T
1
×
Γ
), que des tractions superficiellesf
2s’appliquent sur
Γ
2× [ ]
0,T
et que des forces volumiquesf
0 agissent dansΩ × [ ]
0,T
. On suppose aussi que ce corps est en contact avec une fondation déformable sur la partieΓ
3× [ ] 0 , T
et que le contact est avec compliance normale et adhésion (voir figure 1). On précise encore que ce corps viscoélastique obéit à une loi constitutive non linéaire de Kelvin-Voigt.Sous ces conditions, ce problème mécanique de contact se formule de la manière suivante :
Problème P : Trouver un champ des déplacements
[ ] →
×
Ω T
u
: 0, RN, un champ des contraintes[ ] T → S
N× Ω 0 ,
σ :
et un champ d’adhésion[ ] →
× Γ 0 , T
:
3β
R tels que :(1)
( ) t A ε u ( ) t E ε ( ) u ( ) t
σ ⎟ +
⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛
⋅ dansΩ × ] [
0,T
(2)
Div σ + f
0= 0
dans] [
0,T
× Ω
(3)
u =
0 sur] [
0,T
1
× Γ
(4)
σν = f
2 sur] [
0,T
2
× Γ
(5)
( )
ν ν( )
νν
ν
γ β
σ = p u −
2R
~u
−
surΓ
3× ] [ 0 , T
(6)
σ
τp
τ( ) ( ) β R u
τ=
∗−
sur
Γ
3× ] [ 0 , T
(7)
( ( ) )
+⋅
= − γ β R u − ε
aβ
ν ~ ν 2 surΓ
3× ] [ 0 , T
(8)
u ( ) 0 = u
0 dansΩ
(9)
β ( ) 0 = β
0 surΓ
3Où
ε
a etγ
νsont des coefficients d’adhésion donnés.Hypothèses
Pour l’étude variationnelle du problème P, nous supposons que l’opérateur de viscosité A et l’opérateur d’élasticité E vérifient les hypothèses suivantes : (a)
A : Ω × S
N→ S
N tel que (b)( ) ( )
( ,
1,
2) (
1 2)
1 2 20 ε − ε ⋅ ε − ε ≥ ε − ε
>
∃ m
AA x A x m
Ap.p.
x ∈ Ω
,∀ ε
1, ε
2∈ S
N(10) (c)
∃ L
A>
0 telle que( ) ( )
( A x
,ε
1− A x
,ε
2) ≤ L
Aε
1− ε
2 p.p.x ∈ Ω
,S
N∈
∀ ε
1, ε
2(d) La fonction
x → A ( ) x
,ε
estmesurable Lebesgue p.p.
x ∈ Ω
,∀ ε ∈ S
N(e) La fonction
x → A ( ) x
,0∈ Q
(a)E : Ω × S
N→ S
N tel que (b)∃ L
E>
0 telle que( ) ( )
( E x
,ε
1− E x
,ε
2) ≤ L
Eε
1− ε
2∀ ε
1, ε
2∈ S
N, p.p.x ∈ Ω
(11) (c) La fonction
x → E ( ) x
,ε
est mesurable Lebesgue p.p.x ∈ Ω
,∀ ε ∈ S
N (d) La fonctionx → E ( ) x
,0∈ Q
La fonction compliance normalep
ν et la fonction tangentiellep
τ satisfont les hypothèses suivantes : (a)p
ν: Γ
3×
R→
R+telle que (b)∃ L
ν> 0
telle que( ) ( )
( p
νx
,r
1− p
νx
,r
2) ≤ L
νr
1− r
2∀ r
1,r
2∈
R, p.p.x ∈ Γ
3(12) (c)
( ) ( )
( p
νx , r
1− p
νx , r
2)( . r
1− r
2) ≥ 0 ∀ r
1,r
2∈
R, p.p.Γ
3∈ x
(d) Pour tout
r ∈
R,x → p
ν( ) x , r
est mesurable surΓ
3(e)
p
ν( ) x , r = 0
pour toutr ≤
0(b)
∃ L
τ> 0
telle que( ) ( )
( p
τx
,β
1− p
τx
,β
2) ≤ L
τβ
1− β
2∈
∀ β
1,β
2 R,p.p.
x ∈ Γ
3(13) (c)
∃ M
τ> 0
telle que( )
ττ
x β M
p
,≤ ∀ β ∈
R, p.p.x ∈ Γ
3(d) Pour tout
β ∈
R,x → p
τ( ) x , β
est mesurable surΓ
3(e) La fonction
x → p
τ( ) x , 0 ∈ L
2( ) Γ
3 Nous supposons que les coefficients d’adhésion satisfont : (14)γ
ν∈ L
∞( ) Γ
3, γ
ν≥ 0
p.p. sur
Γ
3(15)
( )
3, 0
2
Γ ≥
∈
aa
L ε
ε
p.p. surΓ
3Les forces volumiques et surfaciques satisfont : (16)
[ ] ( )
( T L
N) f C ( [ ] ( ) T L
N)
C
f
0∈ 0 , ;
2Ω ,
2∈ 0 , ;
2Γ
2Les données initiales satisfont : (17)
( ) , 0 1
,
0 2 3 00
∈ V β ∈ L Γ ≤ β ≤
u
p.p. surΓ
3De (16) et du théorème de représentation de Riesz- Fréchet, il résulte l’existence d’un élément unique
( ) t V
f ∈
tel que : (18)( ) t v f ( ) t v f ( ) t v
( )v V t [ ] T
f
, V , H , L N , 0,2 2
2
0
+ ∀ ∈ ∈
=
ΓEn outre,
f ∈ C ( [ ]
0,T
;V )
. Enfin on définit la fonctionnelle( ) V V R
L
j :
∞Γ
3× × →
par : (19)( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ( )
Γ Γ Γ
+
−
=
3 3 3
2
~
*,
, u v p u v ds R u v ds p R u v ds
j β
ν ν νγ
νβ
ν ν τβ
τ τ3.1 Formulation variationnelle du problème mécanique
En appliquant la formule de Green et en utilisant la loi d’équilibre ainsi que les conditions aux limites, on déduit facilement la formulation variationnelle suivante du problème P :
Problème PV : Trouver un champ des déplacements
[ ] T V
u
: 0,→
, un champ des contraintes[ ] 0 , L
2( )
3: T → Γ
β
tels que :(20)
( ) t A u ( ) t ⎟ + E ( ) u ( ) t ∀ t ∈ [ ] 0 , T
⎠
⎜ ⎞
⎝
= ε ⎛
⋅ε σ
(21)
( ) ( ) t , ε w
Q+ j ( β ( ) ( ) t , u t , w ) = f ( ) t , w
V∀ w ∈ V , ∀ t ∈ [ 0 , σ
(22)
( ) t = − ( γ β ( ) t R ( u ( ) t ) − ε
a)
+β
. ν ~ ν 2 p.p.t ∈ [ ]
0,T
(23)
u ( ) 0 = u
0 dansΩ
,β ( ) 0 = β
0 surΓ
3Les difficultés majeures rencontrées dans la résolution du système non-linéaire (20)-(23) résident dans la non- linéarité des fonctions constitutives A et E ainsi que la dépendance de la fonctionnelle j de la solution de ce système.
3.2 Existence et unicité de la solution
Concernant l’existence et l’unicité du problème PV, on a le théorème suivant :
Théorème 1 : Sous les hypothèses (10)-(17), le problème PV admet une solution unique
( u
,σ
,β )
, qui satisfait :(24)
[ ]
( ) ∈ ( [ ] ) ∈ ( [ ] ( ) Γ ) ∩
∈ C
1 0,T
;V
,C
0,T
;Q
1,W
1,∞ 0,T
;L
2 3u σ β
QPour démontrer ce théorème nous construisons deux problèmes auxiliaires et nous démontrons l’existence et l’unicité de leurs solutions. Ensuite nous construisons une application contractante où son unique point fixe est la solution faible du problème mécanique de départ.
Dans la première étape nous considérons le problème auxiliaire suivant dans lequel la fonction
[ ] ( T V )
C
0, ;η ∈
est donnée.Problème PV2 : Trouver un champ des déplacements
[ ] T V
u
η: 0 , →
tel que : (25)( ) ( ) t w ( ) t w f ( ) t w w V t [ ] T
u
A
V VQ
, 0 , ,
,
.
,
∈
∈
∀
=
⎟ +
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ ε η
ε
η(26)
( ) 0 u
0u
η=
Lemme 1 : Le problème PV2 admet une solution unique
u
η∈ C
1( [ ] 0 , T ; V )
Preuve : Soit
Ρ
:V → V
, l’opérateur défini par : (27)( ) ( ) v w v w V A
w
v
V=
Q∀ ∈
Ρ , ε , ε ,
De l’hypothèse (10), il résulte que l’opérateur P est fortement monotone et de Lipschitz, alors le théorème sur les inéquations variationnelles elliptiques de première espèce (cf. [3, p.60]) entraîne l’existence d’une fonction unique
v
η qui satisfait :(28)
[ ]
( T V )
C
v
η∈ 0 , ;
(29)
( ) ( ) t t f ( ) t t [ ] T
v + = ∀ ∈ 0 ,
Ρ
ηη
Soit
u
η: [ ] 0 , T → V
la fonction définie par : (30)( ) t v ( ) s ds u t [ ] T
u
t
, 0
0
0
∀ ∈
+
= ∫
ηη
De (27)-(30), il résulte que
u
η est l’unique solution du problème PV2 et elle satisfaitu
η∈ C
1( [ ]
0,T
;V )
. Dans la deuxième étape nous utilisons la solutionu
η, du problème PV2 pour formuler le second problème auxiliaire suivant :Problème 3 : Trouver un champ d’adhésion
[ ]
0, 2( )
3:
T → L Γ
β
η tel que(31)
( ) t = − ( γ β ( ) t R ( u ( ) t ) − ε
a)
+β
. η ~ ην 2 p.p.t ∈ [ ]
0,T
(32)
( ) 0 β
0β
η=
Où
u
ην désigne la composante normale de la fonction[ ]
( T V )
C
u
η∈
1 0, ; . Nous avons le résultat suivant :Lemme 2 : Le problème 3, admet une solution unique
[ ] ( )
( Γ ) ∩
∈ W
1,∞ 0,T
;L
2 3β
η QPreuve : Soit la fonction
[ ]
0, 2( )
3 2( )
3:
T × L Γ → L Γ
F
η définie par :
( ) t = − ( ( ) t R ( u ( ) t ) −
a)
+F
η, β γ
ηβ ~
ην 2ε
Comme la fonction
F
η est Lipschitzienne par rapport au second argumentβ
et uniformément continue par rapport au tempst
et pour toutβ ∈ L
2( ) Γ
3 , l’applicationt → F
η( ) t , β
appartient à[ ] ( )
(
3)
;
2,
0 Γ
∞
T L
L
, alors le théorème de Cauchy-Lipschitz entraîne l’existence d’une fonction unique
[ ] ( )
(
3)
2 ,
1 0, ;
Γ
∈ W
∞T L
β
η , qui satisfait (31) et (32).La régularité
β
η∈
Q, découle de (31), (32) et de l’hypothèse0 ≤ β
η≤ 1
p.p. surΓ
3.Dans la troisième étape, pour tout
η ∈ C ( [ ]
0,T
;V )
, on note paru
η la solution du premier problème auxiliaire et parβ
η la solution du second problème auxiliaire.Maintenant on définit l’application
Λ
:[ ]
0,T → V
par :(33)
( ) t w E ( u ( ) ( ) t w ) j ( ( ) ( ) t u t w ) w V t [ ] T
V
,
Q, , , 0 ,
, = + ∀ ∈ ∈
Λ η ε
ηε β
η ηLemme 3 : Pour tout
η ∈ C ( [ ]
0,T
;V )
, la fonction[ ] T → V
Λ η
: 0, appartient à l’espace de Banach[ ]
( T V )
C
0, ; . En outre il existe∗
∈
η C ( [ ]
0,T
;V )
telle que∗
∗
= Λ η η
. Preuve : (i) Soientη ∈ C ( [ ]
0,T
;V )
et[ ] T
t
t
1, 2∈
0, . En utilisant (33), (19) et (R1) on obtient :( ) ( ) − Λ ≤ ( ) ( ) − ( ) ( ) + ( ) ( ) − ( ) ( )
( )+
Λ
Γ2 3
2 1
2 1
2
1
t
VE u t E u t
Qc p u t p u t
Lt η ε
ηε
η ν η ν ηη
+
( ) ( ( ) ) − ( ) ( ( ) )
( )Γ+
2 3
2 2
2 1 1
2 ~ ~
L
t u R t t
u R t
c β
η ηνβ
η ην+
( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) )
( )3 2
2
* 2 1
* 1
Γ
−
L
t u R t p t u R t p
c
τβ
η ητ τβ
η ητEn utilisant (11)-(13) et l’inégalité
0 ≤ β ≤ 1
ainsi que les définitions des opérateurs de troncatureR ~
et
R
* on déduit que :(34)
( ) t
1η ( ) t
2 Vη − Λ Λ
( ) ( ) ( ) ( )
( )2 3
2 1
2
1
− + −
Γ≤ c u
ηt u
ηt
Vc β
ηt β
ηt
LComme
u
η∈ C
1( [ ] 0 , T ; V )
et(
2( )
3)
,
1 0, ;
Γ
∈ W
∞T L
β
η , alors de (34) on déduit que∈
Λ η C ( [ ]
0,T
;V )
.(ii) Soient
η
1,η
2∈ C ( [ ]
0,T
;V )
ett ∈ [ ]
0,T
. Pour simplifier l’écriture on note :i i
i i i
i
u v u
u =
η, = &
η, β = β
η pouri = 1 , 2
. En intégrant (31) sur l’intervalle[ ]
0,t
et en tenant compte de la condition initiale (32), on obtient :( ) = − ∫ (
i( ) (
i( ) ) −
a)
+i
t s R u s ds
0
0
γ β ε
β
β
ν ν[ ] T
t ∈
0,∀
Donc on a :( ) ( ) −
( )Γ≤ ∫
t( ) ( ) ( ) − ( ) ( ( ) )
( )ΓL
c s R u s s R u s
Lds
t t
0
2 2 2 2 1 1 2
1
2 3 2 3
~
~
ν
ν
β
β β
β
En utilisant (R3) et le fait que
β
1= β
1− β
2+ β
2 on aura :( ) ( ) t − t
L( )Γ≤ c ∫
t( ) ( ) s − s
L( )Γds + c ∫
tu
v( ) ( ) s − u
vs
L( )Γds
0
2 1 0
2 1 2
1
β
2 3β β
2 3 2 3β
De cette dernière inégalité et d’un lemme de Gronwall (cf.
[3, p.162]), il résulte que :
( ) t − ( ) t
L( )Γ≤ c ∫
tu
v( ) s − u
v( ) s
L( )Γds
0
2 1
2
1
β
2 3 2 3β
En utilisant (R1), on aura : (35)
( ) t − ( ) t
L( )Γ≤ c ∫
tu ( ) s − u ( ) s
Vds
0
2 1
2
1
β
2 3β
En utilisant les mêmes arguments que ceux utilisés pour obtenir la relation (34) on trouve :
( ) − Λ ( ) ≤
Λ η
1t η
2t
V( ) ( ) ( ) ( )
( )3
2 2
1 2
1
t − u t
V+ c t − t
L Γu
c β β
De cette dernière inégalité et de (35), on aura :
( ) − Λ ( ) ≤ Λ η
1t η
2t
V( ) t − u ( ) t
V+ c ∫
tu ( ) s − u ( ) s
Vds
u c
0
2 1
2 1
Puisque
u
1etu
2ont les même valeurs initiales, il résulte que :( ) t − u ( ) t
V≤ ∫
tv ( ) s − v ( ) s
Vds
u
0
2 1
2 1
En combinant ces deux dernières inégalités on obtient : (36)
( ) − Λ ( ) ≤
Λ η
1t η
2t
Vc ∫
tv ( ) s − v ( ) s
Vds
0
2 1
D’autre part de (25), il résulte que :
( ) v
1− A ( ) ( ) ( ) v
2 ,v
1− v
2 Q+
1−
2,v
1− v
2 V=
0A ε ε ε ε η η
sur
] [
0,T
En utilisant dans cette dernière inégalité le fait que l’opérateur
A
est fortement monotone et l’inégalité de Korn ainsi que l’inégalité de Cauchy- Schwartz, on obtient :(37)
( ) s v ( ) s
Vc ( ) s ( ) s
Vv
1−
2≤ η
1− η
2∀ s ∈ [ ]
0,T
De (36) et (37) on déduit que :( ) − Λ ( ) ≤ ∫ ( ) − ( )
Λ t t
Vc s s
Vds
0
2 1
2
1
η η η
η
[ ] T
t ∈
0,∀
En réitérant cette dernière inégalité pour
m
temps donnés dans[ ]
0,T
, on obtient :( ) C( TV)
m m V T C m m
m T c
; , 2 0
; 1 , 2 0
1
η ! η η
η − Λ ≤ −
Λ
Pour
m
assez grand, cette dernière inégalité entraîne queΛ
est un opérateur contractant dans l’espace de BanachC (
0,T
;V )
. Par conséquentΛ
admet un seul point fixeη
∗∈ C ( 0 , T ; V )
.Démonstration du théorème 1.
Maintenant on peut utiliser les trois lemmes précédents pour démontrer l’existence et l’unicité du théorème 1 (c’est-à-dire l’existence de la solution faible du problème mécanique de départ).
Existence. Soient
η
∗∈ C ( 0 , T ; V )
le point fixe de l’opérateurΛ
etu
la solution duProblème PV2, pour
= η
∗η
(c’est-à-dire=
∗u
ηu
). Nousnotons par
σ
la fonction donnée par (20) et parβ
la solution du problème 3, pourη = η
∗ (c’est-à-dire
=
∗β
ηβ
). On voit bien que les égalités (22) et (23) sont vérifiées respectivement par le problème PV2 et le problème 3. En outre, puisque∗
∗
=
Λ η η
, il résulte de (25) et (33) que (21) est aussi vérifiée. Ensuite du lemme 1, il résulte queu ∈ C
1( [ ] 0 , T ; V )
. En outre de (20), (10) et (11) il résulte queσ ∈ C ( [ ] 0 , T ; Q )
.Choisissant maintenant
w ∈ D ( ) Ω
N dans (21), on obtient :(38)
Div σ + f
0= 0
∀ t ∈ [ ]
0,T
En utilisant (16), alors cette dernière égalité entraîne queDiv σ ∈ C ( [ ] 0 , T ; L
2( ) Ω
N)
.Par conséquent
σ ∈ C ( [ ]
0,T
;Q
1)
. Rappelons aussi que la régularité du champ d’adhésion[ ] ( )
( Γ ) ∩
∈ W
1,∞0 , T ; L
2 3β
Q,résulte du lemme 2.
Nous concluons que
( u
,σ
,β )
est une solution du problème PV, qui satisfait (20).Unicité. L’unicité de la solution est une conséquence de l’unicité du point fixe de l’opérateur
Λ
et de l’unicité du problème PV2 ainsi que celle du problème 3.En effet; soit
( u
,σ
,β )
une solution du problème PV qui satisfait (24) et notons parη ∈ C ( 0 , T ; V )
la fonction définie par :(39)
( ) t w E ( ) ( ) u ( ) t w j ( ( ) ( ) t u t w )
Q
V
, , ,
, ε ε β
η = +
V w ∈
∀
,t ∈ [ ]
0T
Les égalités (20), (21), (25) et la condition initiale
)
00
( u
u =
entraînent queu
est solution du problème PV2, mais d’après le lemme 1 ce problème admet une solution uniqueu
η, par conséquent on a :(40)
u = u
η L’égalité (22) et la condition initialeβ ( 0 ) = β
0entraînent que
β
est solution du problème 3 mais d’après le lemme 2 ce problème admet une solution uniqueβ
η, par conséquent on a :(41)
β = β
ηEn utilisant (33) et (39) – (41), on déduit que
Λ η = η
. Comme l’opérateurΛ
admet un seul point fixe, il résulte alors que :(42)
η = η
*L’unicité de la solution est maintenant une conséquence de (40) – (42) combinées avec (20).
REFERENCES
[1] Frémond. M, ’’Equilibre des structures qui adhèrent à
leurs supports’’, C.R.A.S, Paris 295, série II (1982), pp. 913-916.
[2] Frémond. M, ’’Adhérence des solides’’, Journal Mécanique Théorique Appliqué 6
(1987), pp. 383-407.
[3] Han. W and Sofonea. M, ’’Quasistatic contact problem in viscoelasticity and
viscoplasticity ’’, Study in Advanced Mathematics, 30, American Mathematical Society,
Providence, RI-International Press, Somerville, MA, 2002.
[4] Necas. J and Hlavacek. I, ’’Mathematical theory of elastic and elastico-plastic bodies: an
Introduction’’, Elsevier Scientific Publishing Company, Amsterdam, Oxford, New York, 1981.
[5] Shillor. M, Sofonea. M and J.J. Telega. J.J,’’ Models and variational analysis of
quasistatic contact’’, Lecture Notes in Physics Vol.
655, Springer-Verlag, Berlin, 2004.
[6] M. Sofonea. M, Han. W and Shillor. M, ’’Analysis and approximation of contact
problems with adhesion or damage’’, Monographs and textbook in pure and applied
mathematics, Chapman-Hall/CRC press, New York, 2005.