Exercices sur les Fonctions

Exercices sur les Fonctions

1)

Faire une repr´esentation graphique sur une mˆeme figure de : a) y= x

2 + 3 b) y =x²+ 4x+ 3 c) y= 2x+ 12

x+ 4 2)

R´esoudre les ´equations suivantes : a) 2 ln(x−3) = ln

81−9x x+ 9

b) e^x= e^(x+1) e^2x 3)

Calculer les d´eriv´ees des fonctions suivantes : a) x7→y= 2x+ 1

x−1 b) x7→y= cos(3x)e^−x

c) x7→y=e

0

@

x x+ 1

1 A

d) x7→y= ln

x²+ 1 x²+ 2

4)

Etudier et repr´´ esenter graphiquement les fonctions suivantes : a) x7→y= ln(x)

x b) x7→y=xln(x)

c) x7→y= x²−3

e^x d) x7→y=|x|^x

5)

On consid`ere les fonctions f etg d´efinies par :

x 7→ y=f(x) = arctan(x) et x 7→ y=g(x) = arctan 1

x

a) Comparerf etg en utilisant leurs d´eriv´ees.

b) Repr´esenter graphiquementf etg dans un mˆeme rep`ere orthonorm´e.

6)

On consid`ere les fonctions f etg d´efinies par :

x 7→ y=f(x) = 2 arctan(x) et x 7→ y=g(x) = arctan 2x

1−x²

a) Comparerf etg en utilisant leurs d´eriv´ees.

b) Repr´esenter graphiquementf etg dans un mˆeme rep`ere orthonorm´e.

Exercices sur les Fonctions (Solutions)

1)

Faire une repr´esentation graphique sur une mˆeme figure de : a) y=f(x) = x

2 + 3 b) y=g(x) =x²+ 4x+ 3c) y=h(x) = 2x+ 12 x+ 4

x y

−

→i

−

→j

O

C_f Cg

C_h

2)

R´esoudre les ´equations suivantes : a) 2 ln(x−3) = ln

81−9x x+ 9

Conditions :







x−3 > 0 81−9x

x−9 > 0 c’est `a dire

x >3

−9< x <9 donc : −3< x <3

ln (x−3)²

= ln

81−9x x+ 9

(x−3)² = 81−9x x+ 9 x³+ 15x²+ 72x = 0 x(x²+ 15x+ 72) = 0

Solution unique : x= 0

b) e^x= e^(x+1) e^2x

e^x = e^(x+1) e^2x e^xe^2x = e^(x+1) e^x+2x = e^(x+1) x+ 2x = x+ 1 Solution unique : x= 1

2 3)

Calculer les d´eriv´ees des fonctions suivantes : a) x7→y= 2x+ 1

x−1 y⁰ = 2(x−1)−(2x+ 1)

(x−1)² y⁰ = −3

(x−1)²

b) x7→y= cos(3x)e^−x y⁰=−3 sin(3x)e^−x−cos(3x)e^−x

y⁰ =− 3 sin(3x) + cos(3x) e^−x

c) x7→y=e

0

@

x x+ 1

1 A

y⁰ = (x+ 1)−x (x+ 1)² e

0

@

x x+ 1

1 A

y⁰= 1 (x+ 1)²e

0

@

x x+ 1

1 A

d) x7→y= ln

x²+ 1 x²+ 2

= ln(x²+ 1)−ln(x²+ 2)

y⁰ = 2x

x²+ 1− 2x x²+ 2

4)

Etudier et repr´´ esenter graphiquement les fonctions suivantes :

a) x7→y=f(x) = ln(x)

x D_f =R^∗+=] 0 ; +∞[

y⁰ =f⁰(x) = 1−ln(x) x² La d´eriv´ee s’annule pour x=e

x 0 e +∞

f⁰(x) + 0 − 0

1 e f(x) % &

− ∞ 0

Repr´esentation graphique :

x y

−

→i

−

→j

O 1 e

e

b) x7→y=f(x) =xln(x) D_f =R^∗+=] 0 ; +∞[

y⁰=f⁰(x) = ln(x) + 1 La d´eriv´ee s’annule pour x= 1

e

x 0 1

e +∞

f⁰(x) − ∞ − 0 +

0 +∞

f(x) & %

−1 e f(1) = 0 Repr´esentation graphique :

x y

−

→i

−

→j

O

1

e;−1 e

c) x7→y=f(x) = x²−3

e^x D_f =R y⁰ =f⁰(x) = x²+ 2x−3

e^x= (x−1) (x+ 3)e^x La d´eriv´ee s’annule pour x=−3 et x= 1

x −∞ −3 1 +∞

f⁰(x) + 0 − 0 +

6e⁻³ +∞

f(x) % & %

0 −2e

Repr´esentation graphique :

x y

−

→i

−

→j

O

(1 ;−2e)

−3 ; 6e⁻³

d) x7→y=|x|^x

Cette fonction est ´etudi´ee en d´etail dans un document compl´ementaire.

5)

On consid`ere les fonctions f etg d´efinies par :

x 7→ y=f(x) = arctan(x) et x 7→ y=g(x) = arctan 1

x

D_f =R D_g =R^∗ =]− ∞; 0 [∪] 0 ; +∞[

a) Comparerf etg en utilisant leurs d´eriv´ees.

y⁰ =f⁰(x) = 1 x²+ 1

y⁰ =g⁰(x) =

− 1 x² 1

x 2

+ 1

= −1

x²+ 1 =−f⁰(x)

Donc : g(x) =−f(x) +k avec k constante r´eelle sur tout intervalle o`uf et gsont continues.

Or g est discontinue en 0. Il faut donc chercher la valeur dek sur deux intervalles.











x∈]− ∞; 0 [ g(−1) =−f(−1) +k −π 4 = π

4 +k donc : k=−π 2 x∈] 0 ; +∞[ g(1) =−f(1) +k π

4 =−π

4 +k donc : k= π 2











x∈]− ∞; 0 [ g(x) =−f(x)−π 2 x∈] 0 ; +∞[ g(x) =−f(x) +π 2

b) Repr´esenter graphiquementf etg dans un mˆeme rep`ere orthonorm´e.

x y

1 π

4 O

C_f

C_g

6)

On consid`ere les fonctions f etg d´efinies par :

x 7→ y=f(x) = 2 arctan(x) et x 7→ y=g(x) = arctan 2x

1−x²

D_f =R D_g =R− {−1; +1}=]− ∞;−1 [∪] −1 ; +1 [∪] + 1 ; +∞[

a) Comparerf etg en utilisant leurs d´eriv´ees.

y⁰ =f⁰(x) = 2 x²+ 1

y⁰ =g⁰(x) =

2(1−x²)−2x(−2x) (1−x²)² 2x

1−x² 2

+ 1

= 2(1 +x²)

(2x)²+ (1−x²)² = 2

x²+ 1 =f⁰(x)

Donc : g(x) =f(x) +k aveck constante r´eelle sur tout intervalle o`u f etg sont continues.

Or g est discontinue en−1 et en +1. Il faut donc chercher la valeur de k sur trois intervalles.







x∈]− ∞;−1 [ g(−∞) =f(−∞) +k 0 =−π+k donc : k=π x∈] −1 ; +1 [ g(0) =f(0) +k 0 = 0 +k donc : k= 0 x∈] + 1 ; +∞[ g(+∞) =f(+∞) +k 0 =π+k donc : k=−π







x∈]− ∞;−1 [ g(x) =f(x) +π x∈] −1 ; +1 [ g(x) =f(x) x∈] + 1 ; +∞[ g(x) =f(x)−π

b) Repr´esenter graphiquementf etg dans un mˆeme rep`ere orthonorm´e.

x y

1 π

2

O

Cf

C_g