(c) Montrer quef n’est pas diff´erentiable en (0,0)

Corrig´e : Examen janvier 2009 Math 202 SPI Exercice I. (5 points)

1. Donner la d´efinition de la diff´erentiabilit´e en (0,0) d’une fonction g:R²→R. 2. On consid`ere la fonction f d´efinie surR² par

f(x, y) = x³+xy−y³

|x|+ 2|y| pour (x, y)6= (0,0); etf(0,0) = 0.

(a) Montrer quef est continue sur R².

(b) Calculer les d´eriv´ees partielles premi`eres def en (0,0).

(c) Montrer quef n’est pas diff´erentiable en (0,0).

(d) La fonctionf est-elle de classeC¹dans un voisinage de (0,0) ? Justifier votre r´eponse.

Corrig´e.

1. Une fonctiong:Rⁿ→R^k est diff´erentiable en un pointade Rⁿs’il existe une application lin´eaireL:Rⁿ→R^ktelle queg(a+h) =g(a) +L(h) +||h||ǫ(h), o`uǫ(h)→0 quandh→0.

2. (a) Pour (x, y)6= (0,0), |x|+ 2|y| 6= 0, f est continue en (x, y).

Pour tout (x, y) 6= (0,0), on a |f(x, y)| ≤ ^|x|3_|⁺_x|^|₊₂^xy|_|⁺_y|^|y|3 ≤ |x|² +|y|+ ¹₂|y|² → 0. Donc

(x,y)lim→(0,0)f(x, y) = 0,f est continue en (0,0).

(b) ^∂f_∂x(0,0) = limx→0f(x,0)−f(0,0)

x = limx→0 x²

|x| = lim|x|= 0,

∂f

∂y(0,0) = limy→0 −y²

2|y| = lim−^|y₂^| = 0.

(c) Soitǫ(x, y) = ^f(x,y)−

∂f

∂x(0,0)x−^∂f∂y(0,0)y

√x²+y² = ^x3+xy−y3

(|x|+2|y|)√

x²+y². f est diff´erentiable en (0,0) si et seulement si lim

(x,y)→(0,0)ǫ(x, y) = 0. Or ǫ(x, x) = ^x2

3√

2x² = ¹

3√

2 6→ 0. Donc f n’est pas diff´erentiable en (0,0).

(d)f non diff´erentiable en (0,0), donc n’est pas de classeC¹ dans un voisinage de (0,0).

Exercice II. (5 points) Soit V = {(u, v) ∈ R²|v > 0} et φ : R² → V d´efinie par φ(x, y) = (xe^y, e^y).

1. Montrer queφest unC¹-diff´eomorphisme de R² sur V.

2. On cherche les solutions f de classeC¹ surR² de l’´equation aux d´eriv´ees partielles x^∂f_∂x−^∂f∂y =−e^y. (E)

On posef =g◦φ, c’est `a dire quef(x, y) =g(u, v) o`u (u, v) = (xe^y, e^y).

(a) Trouver l’´equation aux d´eriv´ees partielles (E^′) que v´erifieg, quand f est solution de l’´equation (E).

(b) R´esoudre l’´equation (E^′), et en d´eduire les solutionsf de l’´equation (E) . Corrig´e.

1. ∀(u, v) ∈V (v > 0), φ(x, y) = (u, v) ⇔ u =xe^y, v = e^y ⇔ y = lnv car v > 0, x = u/v.

(x, y) existe et est unique. Donc φest bijectif deR² surV. φ est clairement de classe C¹ sur R². Et detJ_φ(x, y) =

e^y xe^y 0 e^y

=e^2y 6= 0 pour tout (x, y)∈R². Doncφest un C¹-diff´eomorphisme deR² surV.

(On peut aussi dire que φ :R² → V est de classe C¹ sur R², etφ⁻¹ :V → R²,(u, v) → (u/v,lnv) est de classe C¹ surV.)

2. (a) On a ^∂f_∂x = ^∂g_∂u^∂u_∂x+ ^∂g_∂v^∂v_∂x =e^{y ∂g}_∂u, ^∂f_∂y = _∂u^∂g∂u_∂y +^∂g_∂v^∂v_∂y =xe^{y ∂g}_∂u+e^{y ∂g}_∂v Doncf est solution de l’´equation (E) SSI −e^{y ∂g}_∂v =−e^y ⇔ ^∂g∂v = 1.

(b) Sig est une fonction de classeC¹ surV solution de l’´equation ^∂g_∂v = 1, alorsg(u, v) = v+h(u), o`u hest une fonction quelconque de classe C¹ surR.

D’o`u f(x, y) =e^y+h(xe^y).

Exercice III. (3 points) Calculer Z Z

D

x²ydxdyo`uD={(x, y) ∈R<sup>2</sup>|y ≥0, x<sup>2</sup>+y<sup>2</sup>−2x≤0}. Corrig´e. Premi`ere m´ethode : Dest simple par rapport `ax, avec 0≤x≤2, 0≤y≤√

2x−x². DoncRR

Dx²ydxdy=R2

0 dxR^√2x−x²

0 x²ydy = ¹₂R2

0 x²(2x−x²)dx= ¹₂(¹₂x⁴−¹₅x⁵)

2 0= ⁴₅.

Deuxi`eme m´ethode : On utilise les coordonn´ees polaires. Avec x=rcosθ, y =rsinθ, on a (x, y) ∈DSSI : r² ≤2rcosθ⇒0≤r ≤2 cosθ;y ≥0 (i.e. sinθ≥0) et cosθ≥0⇒θ∈[0,^π₂].

Donc (x, y)∈D SSI (r, θ)∈∆ ={θ∈[0,^π₂],0≤r ≤2 cosθ}. On obtient alors RR

Dx²ydxdy=RR

∆r²cos²θ·rsinθ·rdrdθ =RR

∆r⁴cos²θsinθdrdθ

=R^π₂

0 dθR2 cosθ

0 r⁴cos²θsinθdr = ³²₅ R^π₂

0 cos⁷θsinθdθ=−³²₅ ¹₈cos⁸θ

π 2

0 = ⁴₅.

Exercice IV. (7 points) Soit D= {(x, y) ∈ R² |x² + (y−1)² ≤3, y ≥x²}. Le bord orient´e Γ⁺ de Dest compos´e de deux parties que l’on note par Γ⁺₁ la partie sur la courbey =x² et Γ⁺₂ la partie sur la courbex²+ (y−1)² = 3.

1. (a) Calculer les coordonn´ees cart´esiennes des points d’intersection des deux courbesy =x² etx²+ (y−1)² = 3. Faire un dessin repr´esentant D, Γ⁺₁ et Γ⁺₂ (pour le dessin on pourra utiliser les valeurs approch´ees : √

2≈1,4 et √

3≈1,7).

(b) Calculer Z Z

D

(y−1)dxdy.

2. Soit ω=ydx+xydy une forme diff´erentielle surR².

(a) Est-ce queω est ferm´ee sur R² ? Justifier votre r´eponse.

(b) Calculer Z

Γ⁺₁

ω.

3. (a) Justifier une relation entre les trois int´egrales Z Z

D

(y−1)dxdy, Z

Γ⁺₁

ω et Z

Γ⁺₂

ω.

(b) En d´eduire Z

Γ⁺2

ω.

Corrig´e.

1. (a) On r´esout le syst`eme de deux ´equations :

y = x² et x²+ (y−1)² = 3 ⇔ y = x² et y+ (y−1)² = 3 ⇔ y =x² et y²−y−2 = 0

⇔y=x² ≥0, ety = 2 ouy=−1 (impossible)⇔x² = 2 et y= 2 ⇔x=±√

2 et y= 2.

On obtient deux points d’intersection : (±√ 2,2).

2

0

x 0

D

(b)D est simple par rapport `a x, avec −√

2≤x≤√

2,x²≤y≤1 +√

3−x². Donc RR

D(y−1)dxdy =R^√2

−√

2dxR1+√ 3−x²

x² (y−1)dy = ¹₂R^√2

−√

2[3−x²−(x²−1)²]dx

= ¹₂[2x+¹₃x³−¹₅x⁵]

√2

−√

2 = ²⁸₁₅√ 2.

2. (a) _∂x^∂(xy) =y6= _∂y^∂(y) = 1, ω n’est pas ferm´ee surR². (b) On param´etre Γ⁺₁ : x∈[−√

2,√

2]→(x, x²). D’o`u R

Γ⁺₁ ω=R^√2

−√

2(x²+xx²2x)dx= [¹₃x³+²₅x⁵]

√2

−√

2= ⁶⁸₁₅√ 2.

3. (a) D’apr`es Green-Riemann,R

Γ⁺ω =RR

D[_∂x^∂ (xy)−∂y^∂(y)]dxdy =RR

D(y−1)dxdy.

Or R₊

Γ ω=R

Γ⁺₁ ω+R

Γ⁺₂ ω, doncRR

D(y−1)dxdy =R

Γ⁺₁ ω+R

Γ⁺₂ ω.

(b) On en d´eduit queR

Γ⁺2 ω=RR

D(y−1)dxdy−R

Γ⁺1 ω = ²⁸₁₅√

2−⁶⁸₁₅√

2 =−⁸₃√ 2.