cours Mécanique analytique

cours

Mécanique analytique

Mrani I.

2014

Université Chouaïb Doukkali Faculté des Sciences

mrani I. 2014

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Plan du cours

› 

Chap I : Fondements de la mécanique rationnelle

› 

- Description primaire de la configuration d’un système

› 

- Vitesses généralisées.

› 

- Liaisons

› 

- Degrés de liberté d’un système

› 

- Paramètres de configuration

› 

- Mouvements virtuels

› 

Chap II : Principe des puissances virtuelles (PPV)

› 

- Forces de liaison

› 

- Puissances virtuelles

› 

- Principe des puissances virtuelles (P.P.V)

17/09/2014

mrani I. 2011 2

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mrani I. 2011

Chap III : Formulation lagrangienne

- 

Equations de Lagrange -  Intégrales premières

Chap IV : Principe de Hamilton

-  Hypothèses -  Calcul de H

-  Espace des phases

-  Intérêt de la formulation Hamiltonienne -  Equation de Hamilton-Jacobi

Livres à consulter :

- P.Brousse « Mécanique analytique » BRO 531 - M.Kerroum « Mécanique analytique » KER 531 - Y.Bamberger « Méca de l’ingénieur I » BAM 531

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Chap I : Fondements de la mécanique rationnelle

17/09/2014 mrani I. 2010

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mrani I. 2010

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III.1 Exemples de liaisons :

a)  Liaison par contact ponctuel

Liaison rotule

(S₁) π₁

O

z

R

(S₁ → S₂)

x _A ^y

2

Le point A₂ de (S₂) reste dans le plan π₁ de (S₁).

Le mouvement de (S₂)/(S₁) se décompose : - rotation autour de , et

- translation suivant , ^(O,x

!) (O,^y) (O,^z) (O,^x)(O,^y)

O p

f _p

 

(S_{1 →} S₂)

S₁

(S₂) A₁

A₂

(O,^x)(O,^y) (O,^z )

y

z

Un point A₂ de (S₂) reste confondu avec un point A₁ de (S₁).

Le mouvement se décompose :

- rotations autour de , et

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Liaison pivot

Liaison encastrement

( 0)≠

mrani I. 2010 7

f _p

 

(S₁ → S₂)

p (S₂) O

S₁ x

z

Deux points A₂ et B₂ de (S₂)

Distants d’une longueur L restent Confondus avec deux points A₁ et B₁ de (S₁) distants de la même

longueur L . Le mouvement de (S₂)/(S₁)est une rotation d’axe

(O,x^)

(S₂) (S₁)

Le mouvement de (S₂)/(S₁) Est bloqué dans toutes les directions

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Liaison pivot glissant

Liaison glissière

17/09/2014

mrani I. 2010 8

(S₂)

f_p

(S

1 →S

2)

x

y

D₂ (S₁)

O

Le mouvement de (S₂)/(S₁) se décompose en :

-  rotation autour de

-  translation suivant ^(O,x

) (O,x^)

(S₁) (S₂)

 y

 z

 x

π π

D₁D₂

Un plan π₁ de (S₁) reste confondu avec un plan π₂ de (S₂) et une droite D₂ liée à (S₂) et située dans π₂ reste confondue avec une droite D₁ liée à (S₁) et située dans π₁. Le mouvement de (S₂)/(S₁) est Une translation d’axe _(O,x^₎

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mrani I. 2010

Ces relations sont la traduction d’une liaison géométrique : (contact unilatéral entre deux solides …)

P O

z

x

y

) , , (x y z q =

e unilatéral hlonome

Liaison :

) ,

(q t x² y² z² R²

F = + + ≤

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b) Système de 3 corps liés

17/09/2014

mrani I. 2010 10

1

2

3

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mrani I. 2010

§  Equations de liaison :

x_G y_G G

(D)

(O,x^)

Ces relations traduisent une liaison cinématique (roulement sans glissement en un pt de contact …)

§  Paramètres de configuration :

Condition géométrique de Contact (liaison holonome)

CRSG :Condition cinématique (liaison non holonome)

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mrani I. 2010 12

Remarques :

•  Toute liaison holonome peut être rendue non holonome par dérivation par rapport à t,

•  Certaines liaison non holonomes peuvent être rendues holonomes par intégration (liaisons semi-holonomes):

•  Une liaison peut être indépendante du temps (scléronome), c’est le cas de la plus part des liaisons usuelles (pivot, rotule, …),

•  La rigidité d’un système de particule (particules fixés par rapport à d’autres) s’exprime par des liaisons holonomes,

•  Une liaison peut être dissipative (le travail des forces de liaisons est non nul) ou parfaite (sans jeu et sans frottement),

•  On suppose que les liaisons non-holonomes pourront toujours se mettre sous la forme :

∑ ∑

= +

N

k j ak qj t qj N

t q a

1 6

1

0( , ) ( , )! 0 (casde solides)

G te

G

R 0 x R c

x ! + ψ ! = ⇒ + ψ =

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h : liaisons holonomes p : liaisons non holonomes

s : liaisons non holonomes Dérivation de s liaisons

p+s : liaisons non holonomes (liaisons supplémentaires) h-s : liaisons holonomes

(liaisons principales)

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Remarques :

•  Dans les liaisons principales sont toujours représentées les conditions qui maintiennent la rigidité du système.

•  Le choix des liaisons principales et supplémentaires ne modifie pas le nombre de degrés de liberté NDL.

•  Le choix des liaisons principales et supplémentaires modifie le nombre n+p paramètres de configuration.

•  Par la suite le nombre h représente les liaisons principales

(holonomes) et le nombre p les liaisons supplémentaires (non- holonomes)

Exemple :

Dans le cas du disque rigide roulant sur un plan, on peut choisir de rendre la liaison holonome de contact non-holonome.

On dit qu’on respecte plus la liaison holonome ce qui revient à imaginer un mouvement virtuel dans lequel le disque peut pénétrer le plan en restant rigide.

0 y

R

y

= ⇒ !

= y

≠ 0 :         mvt   virtuel

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mrani I. 2011 16

R

( 0)

M t

V_R(M)

à 0

S t

M t( )

S à t

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mrani I. 2010

R

( 0)

M u

V

R

*(M)

Position réelleS à t0

M u( )

Position virtuelle

après mvt virtuel

S

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- Si les liaisons principales incluent des liaison exprimant la rigidité de S, on dit que le champ de vitesses est rigidifiant. Le mouvement virtuel est un mouvement de corps solide rigide.

C’est un champ de moments équiprojectif caractérisé par :

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- On peut définir un C.V.V rigidifiant une partie seulement ou plusieurs parties de (S). On parle alors de C.V.V rigidifiant par morceaux.

mrani I. 2004

x O y

A B

C C’

A’

B’

O

x

y

A

B A’

B’

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mrani I. 2010

Exemple :

(D)

x y

G

Un C.V.V compatible avec cette liaison est :

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mrani I. 2010 26

Exemple :

P

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Exemple :

G

- (P) plateau horizontale en translation rectiligne à la vitesse V_G.

- (S) disque roulant et pivotant sans glisser sur (P) tout en restant vertical

 est  paramÈtrÈ  par  q ( , , , , )x y z_{G G G} ψ ϕ

Σ =

- Liaison holonome (Σ)-(P) équation de liaison :

- Liaison non holonome de contact (S)/(P), sans glissement :

= + Èquation  de  la  liaison  :  z_G R h t( )

z_G = R+h(t) (1)

V_R(I ∈ Σ)= 

V_R(I ∈ P)

(P)

O

(Σ)

h

G

I

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mrani I. 2009 28

On a trois équations de liaisons non holonomes :

;       (2)           ) (

cos V t

R

x !

+ ϕ ! Ψ =

^y !

+ ^R ϕ ! sin Ψ = ^V (

^t )           (3)       ; z !

= V (

t )           (4)

- Un C.V.V compatible avec l’équation de liaisons holonome (1) est tel que :

z

= 0          

- Un C.V.V compatible avec les équations de liaisons non holonomes (2), (3) et (4) est tel que :

;       0 R

x

+ ϕ

cos Ψ = y

+ R ϕ

sin Ψ = 0         ^; z

= 0          

Remarque :

- Le champ de vitesse réelles de (S) est un C.V.V particulier. Mais le champs de vitesses réelles n’est pas forcément un C.V.V compatible avec les liaisons imposées à (S).

Sauf dans le cas particulier où toutes ces liaisons sont scléronomes (indépendante de t) alors le C.V.R est un C.V.V compatible.

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Exemple :

Paramétrage : q=(r,θ,φ)

Equations de liaison : r = R ; φ =ωt

M

ϕ

θ

Champ de vitesse réelle : 

V(M)=rθ

e_θ +rφ e_φ C.V.V compatible avec la liaison (M)-(C):

r^* =0 et φ^* =0

C.V.R compatible avec la liaison (M)-(C) : 

V^*(M)=rθ^* e_θ

Cependant si (C) est fixe, la liaison (M/C) est scléronome et le C.V.R est un C.V.V compatible.

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Chap II : Principe des puissances virtuelles P.P.V

17/09/2014

mrani I. 2010 30

I. Forces de liaison

Pour un système S isolé par rapport à son environnement on fait la distinction fondamentale entre :

- forces intérieures à S et - forces extérieures à S.

I.1 Forces intérieures

Les forces intérieures sont des forces qui s’exercent entre sous- systèmes de S.

I.2 Forces extérieures

On distingue les forces à distance (champs magnétiques et

gravitationnels) et les forces de contact (représentés par le torseur des actions mécaniques de contact) entre deux systèmes S₁ et S₂.

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Travail virtuel des

Forces d’accélération Travail virtuel des Forces appliquées

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Puissance virtuelle des

Forces d’accélération Puissance virtuelle des Forces appliquées

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rotation virtuelle

Vitesse de rotation virtuelle

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mrani I. 2010

II.3 Puissance virtuelle des actions intérieures

II.3.1 Système discret de points matériels

Les actions intérieures sont schématisées par des forces concentrées : a) Cas de deux points matériels :

b) Cas du système discret de N particules

II.3.2 Cas d’un système matériel quelconque

Nous admettrons que quelque soit le système matériel utilisé : P_int^* = F ₂₁

. V _R^*

(M₁)−.V _R^*

(M₂)

"

# $

%

P_int^* = F_ij . V _R^*

(M_j)−.V _R^*

(M_i)

"

# $

i=j+1 %

N

∑

j=1 N

∑

M₂

F₂₁

 

Propriétés : si le C.V.V est un C.V.V.R alors :

Si le C.V.V est rigidifiant alors il est équiprojectif, donc :

*

int 0

P =

*

int 0

P =

*

 C .V.V.R  (S)          Pint 0

∀ =

∀ C.V.V (S) P

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La puissance virtuelle développée par toutes les forces

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Application : Pendule pesant :

-  R(O,x,y,z) repère galiléen - Liaison Σ-Oz parfaite

But : déterminer l’équation du Mvt de la réaction de Oz su Σ Par application du PPV.

A

ϕ G a

x

y

R!"

a) Paramétrage choisi : ^q = ϕ OG  acosϕ

asinϕ

!

"

# $

%& V _R^*

(G) −aϕ^*sinϕ aϕ^*cosϕ

"

#$$ %

&

'' V _R^*

(A)=0 P_d^* =P

.V

R

*(G)=−mgaϕ^*sinϕ ⇒ Q₁=−mgasinϕ P_l^* = R

.V

R

*(A)+m

AΩ^*

 

=m_zϕ^* ⇒ L₁ =m_z P_a^* = A

.V

R

*(A)+h

AΩ^*

 

=J_ozϕϕ^* ⇒ Γ₁ = J_ozϕ

PPV ⇒ J_ozϕ+mgasinϕ = m_z

liaison parfaite Σ-oz

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mrani I. 2004 46

P_d^* =mgx_G^* ⇒ Q₁ =mg ; Q₂=0 ; Q₃ =0 ; Q₄ =0 P_l^* = R

.V

R

*(A)+m

AΩ ^* V

R

* (A)=V

R

*(G)+Ω^*

 

∧GA 

= x_G^* +aϕ^*sinϕ



y_G^* −aϕ^*cosϕ

$

%&& '

())

⇒P_l^* = R_x

L₁

x_G^* +R_x

L₂

y_G^* +#$a(R_xsinϕ −R_ycosϕ)+m_z%&

L₃

ϕ^* P_a^* =mx_G

Γ₁

x_G^* +my_G

Γ₂

y_G^* +

[

]

Γ3

ϕ^*

PPV⇒

mg+R_x =mx_G (1) R_y =my_G (2) J_ozϕ+mgasinϕ =m_z (3)

"

#$

%$

b) Paramétrage choisi :

La liaison S-Oz est parfaite ⇒P_l^* =0 ∀ CVVC

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mrani I. 2010

Ici le CVV est compatible avec la liaison en A si : V

R

*(A)=O

⇒ ∀ CVVC P_l^* =0⇒m_z =0 (4)

Les équations de liaison sont telles que : cos    (5) sin    (6)

G G

x a

y a

ϕ ϕ

⎧⎪ =

⎨ =

⎪⎩

On a 6 équations pour 6 inconnues ( , , , , ,x y_{G G} ϕ R R m_{x y z})

Donc l’utilisation du paramétrage q=(x_G, y_G,ϕ) permet de Déterminer l’équation du mouvement et la réaction R

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Chap III : Formulation Lagrangienne

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mrani I. 2010 50

P.P.V⇒ ∀ C.V.V : P_d^* +P_l^*

=0 = P_a^*

∀q^*

∑

∑

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mrani I. 2010

I.4 Toutes les liaisons sont parfaites.

F_k(q,t)= 0 k =1 à p a_liq_i +b_l=0 l =1 à p'

i=1 n

∑

"

#$

%$

Equations de liaison complémentaires

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. . .  avec  ces  liaisons  on  a  : 52

C V V C

∀

∂F_k

∂q_i q_i^*

i=1 n

∑

a_liq_i^* =0 l =1 à p'

i=1 n

∑

#

$

%%

&

%

%

(1)

∀C.V.V.C le P.P.V donne : (Γ_i −Q_i)q_i^* =0

i=1 n

∑

Soient les vecteurs :

1

*

*

*

. ( ) .

.

n

q q

q

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟

= ⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

. 1

( ) .

.

k

k

k n

F q F

q

F q

⎛∂ ⎞

⎜ ∂ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

∂ = ⎜ ⎟

∂ ⎜ ⎟

⎜∂ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ∂ ⎠

1

ln

. ( ) .

.

l

l

a a

a

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟

= ⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

1 1

.

( ) .

.

n n

Q Q

Q

⎛ Γ − ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟

Γ − = ⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜Γ − ⎟

⎝ ⎠

* F^k    et     * _l

q q a

q

⊥ ∂ ⊥

∂

* ( )

q ⊥ Γ −Q

(Γ −Q)∈ au sous-espace vectoriel engendré par les p vecteurs ∂F_k

∂q et les p' vecteurs a_l :

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mrani I. 2004

∃λ_k ∈  (k =1,p) et ∃p_l ∈  (l =1, p') tels que : (Γ −Q)= λ_k ∂F_k

∂q + p_la_l

l=1 p'

∑

k=1 p

∑

i

+ p_la_li

l=1 p'

∑

k=1 p

∑

Γ_i = d dt

∂T

∂q_i

#

$% &

'( − ∂T

∂q_i Or on a :

Equations de Lagrange avec multiplicateurs

 et    :  multiplicateurs  de  Lagrange

k pl

λ

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mrani I. 2010 54

Cas particulier : ( , )   /   _i

i

U q t Q U

q

∃ = ∂

∂

'

1 1

p p

k k l li

k l

i i i

d L L F

dt q q λ q pa

= =

⎛ ∂ ⎞ ∂ ∂

− = +

⎜∂ ⎟ ∂ ∂

⎝ ⎠

∑ ∑

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mrani I. 2010

o   Calcul du premier membre des équations de Lagrange :

o   Calcul du second membre

o   1

cas : le C.V.V est compatible est compatible uniquement avec les E.L non-holonômes

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mrani I. 2010 58

- Les équations de Lagrange avec multiplicateurs :

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mrani I. 2010 62

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mrani I. 2010

II.4 Intégrale première de Painlevé (I.P.P)

2 0 ^te            (I.P.P)

T −T +V =C

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17/09/2014

mrani I. 2010 64

Démonstration :

2 1 0 2 1 0

T =T +T +T ⇒ L T= +T +T −V

T₂ : forme quadratique en q_j

T₁ : forme linéaire homogène en q_j T₀ : fonction des q_j et de t

Relations d'Euler :

∂T₂

∂q_j q_j =2T₂

j

∑

∂T₁

∂q_j q_j =T₁

j

∑

∂T₀

∂q_j q_j = 0

j

∑

#

$

%

%

%

&

%

%

%

⇒ ∂L

∂q_i

j

∑

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mrani I. 2010

d dt

∂L

∂q_j

"

#$$ %

&

''− ∂L

∂q_j =0⇒ d dt

∂L

∂q_j q_j

j

"

∑

#$$ %

&

''− ∂L

∂q_j q_j + ∂L

∂q_j q_j +

,

- .

/ 0= 0

j

∑

dL

dt = ∂L

∂q_j q_j +

j

∑

j



q_j +

j

∑

d

dt

(

)

dt +∂L

∂t = 0⇒ d

dt

(

)

∂t

=0 =0 T₂ −T₀ +V =C ^te Comme :

Remarque :

Si les liaisons sont scléronomes : T₁ =T₀ = 0   ⇒T =T₂ ⇒T V+ =C ^te    (I.P.E )_c

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Chap IV : Principe de Hamilton

17/09/2014

mrani I. 2004 66

I.1 Hypothèses

1)  Liaisons parfaites,

2)  Paramétrage complet

3)  Il existe une fonction de force U(q,t)

1), 2) et 3) ⇒ ∃ L =T +U ⇒ d dt

∂L

∂q_i

$

%& '

() − ∂L

∂q_i =0 Soit : p_i = ∂L

∂q_i (q.d.m ou impulsion généralisée ) Soit : H(q, p,t)= p_iq_i −L(q,q,t)

i

∑

dH =

(

)

∂t

i

∑

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mrani I. 2004

Comme H est fonction de 2n+1 variables q,p et t, on a : dH = ∂H

∂q_i dq_i +∂H

∂p_i dp_i

"

#$ %

&

'+∂H

i ∂t

∑

∂H

∂q_i =−p_i

∂H

∂t =−∂L

∂t

#

$

%

%%

&

%

%

% dH =

(

)

i ∂t

∑

Equations canoniques de Hamilton

Remarques :

-  Le système (4) représente les équations canoniques ou d’Hamilton.

-  p_i, q_i : variables canoniques

-  (4) est un système de 2n équations différentielles de 1^er ordre.

-  Les équations de Lagrange sont un système de n équations différentielles de 2^nd ordre.

- 

-  L’I.P.P s’écrit :

(4)

2 0

H T= −T +V

H =C te

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I.3 Espace des phases

L’état de (Σ) est décrit à t donné par :

-  , le mvt de (Σ) est régit par les équations de Lagrange.

A cet état correspond un point dans un espace multi-dimensionnel de dimension n appelé espace des configurations.

-  , le mvt de (Σ) est régit par les équations de Hamilton.

A cet état correspond un point dans un espace multi-dimensionnel de dimension 2n appelé espace des phases.

q_i,q_i

i, i

p q

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Définition :

Une transformation est dite canonique si elle vérifie l’équation suivante :

K : le nouveau Hamiltonien du système.

G : appelée fonction génératrice de la transformation.

II Intérêt de la formulation Hamiltonienne

II.1 Transformation canonique

Soit q,p les variables canonique du système ;

K = H + (P_iQ_i

i=1 n

∑

( , , ) ( , , )q p t →^G Q P t

-  On montre que si (q,p) sont des variables canoniques et si la transformation est canonique, alors (Q,P) sont canoniques.

-  Les équations d’Hamilton en fonction de (P,Q) : ( , , ) ( , , )q p t →^G Q P t

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Q_i = ∂K

∂P_i P_i =− ∂K

∂Q_i

#

$

%%

&

%

%

Nouvelles équations canoniques

-  La résolution du problème en fonction de (P,Q) est parfois plus simple qu’avec (p,q).

II.2 Fonctions génératrices

- Il y a quatre classes de fonctions génératrices :

1 1 2 2

3 3 4 4

( , , )      ;       ( , , )  ;   ( , , )    ;       ( , , )   G G q Q t G G q P t G G p Q t G G p P t

= =

= =

- Pour L’équation (5) implique : G =G₁(q,Q,t)

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Kdt = Hdt+ (P_idQ_i

i=1 n

∑

⇒ p_i − ∂G₁

∂q_i

%

&

' (

)*

i=1 n

∑

i

%

&

' (

)*

i=1 n

∑

On en déduit :

Posons :

p_i = ∂G₁

∂q_i ; P_i =−∂G₁

∂Q_i ; K = H +∂G₁

∂t

G₂(q,P,t)=G₁(q,Q,t)+ P_iQ_i

i=1 n

∑

i=1 n

∑

G₄(p,P,t)=G₁(q,Q,t)+ (P_iQ_i − p_iq_i)

i=1 n

∑

On montre que : p_i = ∂G₂

∂q_i ; Q_i = ∂G₂

∂P_i ; P_i =−∂G₃

∂Q_i ; q_i =−∂G₃

∂p_i

K = H +∂G_k

∂t ; k =1, 4 q_i =−∂G₄

∂p_i ; Q_i = ∂G₄

∂P_i

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II.3 Exemples de transformations canoniques

2) Echange de rôle :

2

1

( , , ) ⁿ _{i i}

i

G q P t q P

=

=

∑

i i

G G G

p P q K H H

q P t

∂ ∂ ∂

= = = = = + =

∂ ∂ ∂

1

1

( , , ) ⁿ _{i i}

i

G q Q t qQ

=

=

∑

i i

G G

p Q P q K H

q Q

∂ ∂

= = = − = − =

∂ ∂

II.4 Etude d’un cas simple : Pendule 1D

Ecriture de l’Hamiltonien : Le potentiel est égal à : Le Lagrangien est :

La coordonnée généralisée : Le moment conjugué :

V =−mglcosθ L = 1

2ml²θ² +mglcosθ q=θ

p= ∂L

∂θ = ml²θ

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Le Hamiltonien est : ^{2 2} cos  ;         ²  ;   ² 2

p g

H I q I ml

I ω ω l

= − = =

2) Le portrait de Phase

-  Le système est conservatif, car H ne dépend pas explicitement du temps. On donc une I.P :

Soit :

Dans l’espace des phase (p,q) à 2 dimensions, on a 3 cas : -  : pas de solution que pour

ce qui correspond à un mouvement oscillatoire dans un domaine borné de q appelé mvt de Libration. Les pts p=0 sont appelés pt tournant.

H = E =C te

2 cos E2

p I q

ω I

= ± + ω

0 < E < ω2I cos E₂ q ^≤ ω I

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2  :    Il  y  a  une  solution   q

E > ω I ∀

- ; mais p est borné. Ce qui correspond à un mvt de rotation. La courbe p(q) est périodique de période 2p

-  : Correspond au cas limite entre les 2 régimes précédents. La courbe décrite par : s’appelle la séparatrice.

E = ω2I

p= ±ωI 2 cosq+1

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II.4bis Crochets de poisson

Définition

Soit une fonction f(q, p, t) définie dans l’espace des phases. Sa dérivée par rapport au temps est :

t p f

p q f

q f dt

df

k k

k k

k

∂

+ ∂

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

∂

= ∑ ∂ ^{! !}

{ }

t H f

dt f df

∂ + ∂

= ,        

;    

k k

k k

q

p H p

q H

∂

− ∂

∂ =

= ∂ !

!

{ } ∑ ^⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂

∂

− ∂

∂

∂

∂

= ∂

k k k k

q

H p

f p

H q

H f

f ,

Equations canonique

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Propriétés :

Si f est une intégrale première alors :

0 dt

df = { } ⁰

t H f

f =

∂ + ∂ ,

{ f , H } = 0

{ f , g }

{ } ∑ ^⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂

∂

− ∂

∂

∂

∂

= ∂

k k k k

q

g p

f p

g q

g f f ,

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On peut construire des crochets dits fondamentaux, en prenant pour fonctions f et g les variables , on obtient :

q

  et   p

{ ^p

, ^p

} = ⁰ { ^q

, ^q

} = ⁰ { q

, p

} = δ

{ ^f , ^H }

= { ^f , ^H }

{ ^P

, ^P

}

= ⁰ { ^Q

, ^Q

}

= ⁰ { ^Q

^{, P}

}

^{= δ}

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