CORRECTION CORRECTION CORRECTION CORRECTION CORRECTION CORRECTION

NOM : CORRECTION PRENOM : CORRECTION CLASSE : NOTE :

DS DE MECANIQUE

« Dynamique en rotation »

CORRECTION CORRECTION CORRECTION CORRECTION CORRECTION CORRECTION

_____________________________________________________

CMI – CI6 : dynamique du solide en rotation – GV0109 Etude la phase de démarrage…

a) Déterminez la valeur de l’accélération angulaire

α

₁ ^en

^{rad / s}

² si celle-ci est supposée constante.

Tout d’abord, il n’est pas inutile de convertir les

Tr / min

en

rad / s

:

s / rad 30 314

3000 30

N

₁

1

= π ⋅ = π × =

ω

et, bien sur,

0 rad / s

30 0 30

N

₀

0

= π ⋅ = π × =

ω

La broche passe de

0

à

3000 Tr / min

en

∆ T

₁

= 1 , 5 s

; on peut également écrire la même chose, mais comme ceci :

s / rad 0 s

0

t

₀

= ⇒ ω

₀

=

^et

^t

1

= ^{1 , 5 s} ⇒ ω

1

= ^{314 rad / s}

d’où l’accélération :

2 0

1 0 1 1

1

209 , 3 rad / s

0 5 , 1

0 314 t

t

T =

−

= −

−

= −

∆

= ∆ ω ω ω

α α

1

= 209 , 3 rad / s

²

b) En vous aidant des données géométriques et cinétiques de la partie tournante (la broche), calculez son moment d’inertie

I

_G,X , en

kg ⋅ m

^2.

La partie tournante se compose de trois solides : l’arbre (2) et les meules (1) et (3) ; on va donc calculer le moment d’inertie de chacun de ces trois solides puis il suffira de les additionner pour avoir le moment d’inertie total de la partie tournante…

Calcul du moment d’inertie d’une meule :

( )

( ) ( )

( )

2 X

, G 1

2 2

2 2

2 2 1 1

2 2 X

, G 1

m kg 09 , 0 I

2 04 , 0 2

310 , 04 0

, 0 31 , 4 0 04 , 0 2 2500 1

r R 2 V

1

r R 2 m I 1

⋅

=

 





 



 



 

 + 

 

 



⋅ 

 

 



 × × −

=

+

⋅

⋅

=

+

⋅

=

π ρ

Comme les meules sont identiques, on a :

I

_3G,X

= I

_1G,X

= 0 , 09 kg ⋅ m

²

Calcul du moment d’inertie de l’arbre :

( )

( )

2 X

, G 2

2 2

2 2 2

2 X

, G 2

m kg 00267 , 0 I

2 046 , 046 0

, 4 0 04 , 0 2 7 , 0 2 7800 1

R 2 V

1 R 2 m I 1

⋅

=

 

 



× 

 

 



 × + × × ×

=

⋅

⋅

=

⋅

=

π ρ

1

x r

40

∅46

∅310

2

x r

40 700 40

∅46

_____________________________________________________

CMI – CI6 : dynamique du solide en rotation – GV0109 Calcul du moment d’inertie total de la partie tournante :

2 X

, G

X , G 3 X , G 2 X , G 1 X , G

m kg 183 , 0 I

09 , 0 00267 , 0 09 , 0

I I

I I

⋅

=

+ +

=

+ +

=

I

_G,X

= 0 , 183 kg ⋅ m

²

c) Par application du PFD sur la partie tournante, déterminez le couple moteur

C

_m, en

N ⋅ m

^.

( )

m N 3 , 38 3 , 209 183 , 0 C

I F M

m

1 X , G ext G

⋅

=

×

=

⇒

⋅

∑ = α

C

_m

= 38 , 3 N ⋅ m

Etude la phase d’arrêt …

d) Déterminez la valeur de l’accélération angulaire

α

₂ ^en

^{rad / s}

² si celle-ci est supposée constante.

La broche passe de

3000 Tr / min

à

0

en

∆ T

₁

= 40 s

; on peut également écrire la même chose, mais comme ceci :

s / rad 314 s

0

t

^'₀

= ⇒ ω

₁

=

^et

^{t 40 s}

2

^{0 rad / s}

'

1

= ⇒ ω =

d’où l’accélération :

2 '

0 ' 1

2 1 2

'

2

7 , 85 rad / s

0 40

314 0 t t

T = −

−

= −

−

= −

∆

= ∆ ω ω ω

α α

2

= − 7 , 85 rad / s

²

e) Par application du PFD sur la partie tournante, déterminez le couple résistant

C

_r, en

N ⋅ m

^.

( ) ^{0 , 183} ( ^{7 , 85} ) ^{1 , 44 N m}

C

I F M

r

2 X , G ext G

⋅

−

=

−

×

=

⇒

⋅

∑ = ^α _{C 1 , 44 N m}

r

= − ⋅

f) Expliquez en quelques mots l’origine de ce couple résistant.

Le couple résistant est principalement du au phénomène de frottement dans les paliers (lisses ou à roulement, on ne sais pas) qui réalisent la liaison pivot de la partie tournante avec le bâti. Il y a aussi la résistance de l’air sur les meules, mais ce phénomène n’est pas du tout prépondérant.

g) Pensez-vous qu’il fut judicieux de négliger les frottements à la question c) ?

Les calculs donnent :

C

_r

= − 1 , 44 N ⋅ m

^et

^C

m

= ^{38 , 3 N} ⋅ ^m

Ainsi le couple résistant ne « vaut que »

≈ 4 %

^* du couple moteur ; on peut le considérer comme négligeable étant donné le domaine d’application dans lequel on se trouve (à savoir, un touret à meuler).

* 3,76%

3 , 38

44 , 1 100 C

C

% 100 k

m

r = × =

= ⋅