Article disponible sur le site http://www.afs-journal.org ou http://dx.doi.org/10.1051/forest/19710303

L A RÉPARTITION DES ARBRES

E N CATÉGORIES D E GROSSEUR : DÉCILES D E J E D L I N S K I ET DISTRIBUTIONS L O G - N O R M A L E S

P. D A G N É L I E et J . R O N D E U X Chaire de Statistique et Chaire de Sylviculture,

Faculté des Sciences agronomiques de l'Etat, Gembloux (Belgique)

R É S U M É

L a répartition des arbres par catégories de grosseur, en futaie équienne, a été étudiée de façon détaillée par JEDLINSKI et ses collaborateurs, au cours d'une série de travaux malheu- reusement peu connus. Tenant compte de l'abondance de la documentation fournie par ces auteurs, il nous a paru intéressant de préciser l'allure des distributions observées, en procédant à divers ajustements de distributions théoriques. L'étude réalisée montre que l'ajustement de distributions log-normales s'avère particulièrement satisfaisant.

1. I N T R O D U C T I O N

L a répartition des arbres par catégories de grosseur, en futaie équienne, a été étu- diée de façon détaillée par

et ses collaborateurs, au cours d'une série de tra- vaux malheureusement peu connus

et

1 9 3 2 ) . Tenant compte de l'abondance de la documentation fournie par ces auteurs, i l nous a paru intéressant de préciser l'allure des distributions observées, en p r o c é d a n t à divers ajustements de distributions t h é o r i q u e s .

N o u s p r é s e n t o n s successivement les d o n n é e s utilisées (paragraphe 2 ) , la m é t h o d e d'ajustement qui a été e m p l o y é e (paragraphe 3 ) , les principaux résultats obtenus (para- graphe 4) et, en conclusion, quelques distributions-types des grosseurs des arbres en futaie é q u i e n n e (paragraphe 5).

2 . D O N N É E S

Les données présentées par

et

sont relatives à 173 par-

l'ensemble s'étend donc à plus de 1 15.000 bois.

Article disponible sur le site http://www.afs-journal.org ou http://dx.doi.org/10.1051/forest/19710303

T A B L E A U 1 T A B L E 1

Valeurs observées des déciles de JEDLINSKI et ajustement d'une distribution log-normale : exemple Observed values of J E D L I N S K I s déciles and fitting of a iognormal distribution : an example

N ° Fréquences Déciles ^je Déciles Différences Diffé-

d'ordre relatives observés u. h Wi estimés (cm) rences

d'ordre

cumulées (cm) h

(cm) (%)

1 0,1 14,5 — 1,282 1,1614 0,342 1,1556 14,31 0,19 1,3

2 0,2 15,7 — 0,842 1,1959 0,490 1,2037 15,98 — 0,28 — 1,8

3 0,3 17,1 — 0,524 1,2330 0,576 1,2385 17,32 — 0,22 — 1,3

4 0,4 18,4 — 0,253 1,2648 0,622 1,2681 18,54 — 0,14 — 0,8

5 0,5 20,0 0 1,3010 0,637 1,2957 19,76 0,24 1,2

6 0,6 21,3 0,253 1,3284 0,622 1,3234 21,06 0,24 1,1

7 0,7 22,9 0,524 1,3598 0,576 1,3530 22,54 0,36 1,6

8 0,8 24,8 0,842 1,3944 0,490 1,3878 24,42 0,38 1,6

9 0,9 26,1 1,282 1,4166 0,342 1,4359 27,28 — 1,18 — 4,3

— — — Différence moyenne absolue 1,7 %

c >

a z m r m

50 O z u

m C x

Pour ces différentes parcelles, sont essentiellement d o n n é s les déciles de la distri- bution des diamètres, parfois a p p e l é s déciles de J E D L I N S K I . C e u x - c i sont e x p r i m é s d'une part en valeurs absolues, en c e n t i m è t r e s , et d'autre part en valeurs relatives, en pour- cent du d i a m è t r e de l'arbre de surface t e r r i è r e moyenne 1 1

Les p r e m i è r e s colonnes du tableau I reprennent, à titre d'exemple, les d o n n é e s relatives à la p r e m i è r e parcelle de B O R K O W S K I et A N T O S I E W I C Z , qui comprend 5 6 6 arbres : 1 0 % de ceux-ci ont un d i a m è t r e inférieur à 1 4 , 5 c m , 1 0 % ont un d i a m è t r e compris entre 1 4 , 5 et 1 5 , 7 c m , etc. E n outre, la figure 1 donne une r e p r é s e n t a t i o n gra- phique de ces valeurs, sous la forme d'un diagramme de fréquences c u m u l é e s à échelles logarithmique en abscisses et probit en o r d o n n é e s . L a q u a s i - l i n é a r i t é de la relation ainsi mise en évidence est un premier indice du c a r a c t è r e log-normal de la distribution des d i a m è t r e s

E n plus de ces d o n n é e s fournies parcelle par parcelle, le travail de B O R K O W S K I et A N T O S I E W I C Z comprend é g a l e m e n t quelques valeurs moyennes des déciles, obtenues chaque fois à partir de plusieurs dizaines de milliers de bois.

15 20 25 Diamètres (cm]

F I G . 1. — Valeurs observées des déciles de JEDLINSKI et ajustement d'une distribution log-normale : exemple (échelle logarithmique en abscisses et échelle probit en ordonnées)

F I G . 1. — Observed values of J E D L I N S K I ' * déciles and fttting of a lognormal distribution : an exemple (logarithmic scale in abscissae and probit scale in ordinates)

3 . — M É T H O D E S D ' A J U S T E M E N T

L'ajustement de distributions log-normales a é t é r é a l i s é par l a méthode des moindres carrés, sur l a base des diagrammes probits logarithmiques, en c o n s i d é r a n t c o m m e v a r i a b l e i n d é p e n d a n t e les é c a r t s r é d u i t s / /; q u i correspondent, pour l a d i s t r i b u t i o n n o r m a l e r é d u i t e , aux p r o b a b i l i t é s c u m u l é e s 0,1, 0,2, etc., et c o m m e variable d é p e n d a n t e les logarithmes y,, des d é c i l e s o b s e r v é s (tableau 1). D e plus, les couples (//,., y.) ont é t é p o n d é r é s p a r les coefficients Wj q u i interviennent n o r m a l e m e n t dans les calculs de probits ( P E A R S O N et H A R T L E Y , 1966).

11 ( Les déciles d'une distribution de fréquences sont les neuf valeurs qui divisent cette distribu- tion en dix classes de m ê m e effectif ( D A G N E L I E , 1969-1970).

|2) U n e variable aléatoire est dite logarithmico-normale ou log-normale lorsque la distribution de son logarithme, népérien ou décimal, est normale (au sens de L A P L A C E - G A U S S) . Les distributions log-normales sont toujours dissymétriques, la dissymétrie étant d'autant plus prononcée que le coeffi- cient de variation de la distribution est grand. Les diagrammes à échelles logarithmique en abscisses et probit en ordonnées, aussi appelés diagrammes probits logarithmiques, sont tels que les fonctions de répartition de ces distributions (fonctions cumulatives) sont représentées par des droites (Ibid.).

P o u r l'exemple d o n n é au tableau 1, et en utilisant les logarithmes d é c i m a u x , o n obtient ainsi Yéqtiation de régression pondérée :

y = 1,2957 + 0,1093 u.

Cette é q u a t i o n permet d'estimer les valeurs t h é o r i q u e s y^{i ;} des logarithmes des d é c i l e s , les valeurs t h é o r i q u e s des d é c i l e s et les é c a r t s entre ces valeurs t h é o r i q u e s et les valeurs o b s e r v é e s . D a n s le cas p r é s e n t , ces é c a r t s ne d é p a s s e n t jamais 4,3 % de l a valeur t h é o r i q u e correspondante et ils sont é g a u x en moyenne à 1,7 % des valeurs t h é o r i q u e s . L a figure 1 illustre é g a l e m e n t le processus d'ajustement, en m o n t r a n t l a p o s i t i o n de l a droite de r é g r e s - sion et l ' i m p o r t a n c e des é c a r t s entre d é c i l e s o b s e r v é s et e s t i m é s .

E n outre, d u fait de l a n u l l i t é de l a moyenne des valeurs up le terme i n d é p e n d a n t 1,2957 de l ' é q u a t i o n de r é g r e s s i o n peut ê t r e c o n s i d é r é c o m m e une estimation de l a moyenne des logarithmes des d i a m è t r e s . D e m ê m e , d u fait d u c a r a c t è r e r é d u i t des é c a r t s u^r le coefficient de r é g r e s s i o n 0,1093 est une estimation de l ' é c a r t - t y p e de ces logarithmes ( D A G N E L I E , 1969- 1970 ; TOMASSONE, 1963).

E n f i n , dans l ' h y p o t h è s e d'une d i s t r i b u t i o n l o g - n o r m a l e , o n peut d é d u i r e de ces p a r a m è - tres relatifs à l a d i s t r i b u t i o n des logarithmes les p a r a m è t r e s de l a d i s t r i b u t i o n i n i t i a l e des d i a m è t r e s ( A I T C H I S O N et B R O W N , 1957 ; D A G N E L I E , 1969-1970). L e s valeurs les plus faciles à obtenir sont l a moyenne géométrique, q u i se c o n f o n d dans ces conditions avec l a médiane :

m^t/ = a n t i l o g^{1 0} (1,2957) = 19,76 o u 19,8 c m , et le coefficient de variation :

V — v ' ~ a n t i l o g^{1 0} [(27W26"nô,ÏÔ93)2] — 1 = 0,256 ou 25,6 % , o u plus rapidement, m a i s de f a ç o n a p p r o x i m a t i v e ( D A G N E L I E , 1970) :

V = (231) (0,1093) = 25,2 % .

D e m ê m e , o n retrouve aussi l a moyenne arithmétique des d i a m è t r e s : m^a = a n t i l o g , , , [1,2957 + (2,3026) (0.1093)-/2] = 20,4 c m o u m^u - (19,76) V I + (0,256)2 = 20,4 c m ;

et leur moyenne quadratique, q u i n'est autre que le d i a m è t r e de Varbre de surface terrière moyenne :

mq= \ / a n t i l o gl f l L2 ( l , 2 9 5 7 ) + 2(2,3026) (0,1093F] = 21,1 c m o u m(l = (19,76) [1 + (0,256)-'] = 21,1 c m .

4 . R É S U L T A T S

L e p r o c e s s u s d ' a j u s t e m e n t d é c r i t c i - d e s s u s a é t é a p p l i q u é s u c c e s s i v e m e n t a u x v a l e u r s a b s o l u e s des d é c i l e s r e l a t i f s a u x 1 7 3 p a r c e l l e s de B O R K O W S K I et A N T O S I E W I C Z , a u x v a l e u r s r e l a t i v e s de ces d é c i l e s et a u x d i f f é r e n t s c a s m o y e n s d o n n é s p a r c e s a u t e u r s .

P o u r les v a l e u r s i n d i v i d u e l l e s , a b s o l u e s et r e l a t i v e s , des d i f f é r e n t e s p a r c e l l e s , l ' é c a r t m o y e n a b s o l u e n t r e les d é c i l e s o b s e r v é s et e s t i m é s est e n m o y e n n e é g a l à 1,1 % des v a l e u r s e s t i m é e s ; e n a u c u n c a s , s u r l e s 3 4 6 a j u s t e m e n t s , cet é c a r t n e d é p a s s e 3,8 % . L ' a j u s t e m e n t est d o n c m e i l l e u r e n m o y e n n e q u e c e l u i q u i a é t é p r é s e n t é c i - d e s s u s de f a ç o n d é t a i l l é e ( é c a r t m o y e n a b s o l u é g a l à 1,7 % ). P o u r les r é s u l t a t s m o y e n s de B O R - K O W S K I et A N T O S I E W I C Z , l ' é c a r t m o y e n a b s o l u est t o u j o u r s i n f é r i e u r à 0 , 6 % .

L'ajustement de distributions log-normales s'avère donc très satisfaisant. C e t t e c o n c l u s i o n c o n f i r m e le f a i t q u e l a d i s t r i b u t i o n d e s d i a m è t r e s o u d e s c i r c o n f é r e n c e s , e n p e u p l e m e n t é q u i e n n e , a s o u v e n t t e n d a n c e à ê t r e d i s s y m é t r i q u e ( P R O D A N , 1 9 6 5 ) , l ' h y p o - t h è s e d ' u n e d i s t r i b u t i o n de t y p e l o g - n o r m a l se j u s t i f i a n t p l u s q u e l ' h y p o t h è s e d ' u n e d i s t r i b u t i o n s t r i c t e m e n t n o r m a l e .

U n e x a m e n p l u s a t t e n t i f des r é s u l t a t s des a j u s t e m e n t s m o n t r e e n r é a l i t é l ' e x i s t e n c e de d i f f é r e n c e s s y s t é m a t i q u e s entre l e s d o n n é e s d e B O R K O W S K I et A N T O S I E W I C Z , d ' u n e

part, et le m o d è l e log-normal, d'autre part. Les écarts entre les valeurs observées et les valeurs estimées des déciles sont en effet plus souvent négatifs que positifs pour les premiers déciles, plus souvent positifs que négatifs pour les déciles intermédiaires et plus souvent négatifs que positifs à nouveau pour les derniers déciles. Toutefois, les erreurs s y s t é m a t i q u e s qui pourraient en résulter, dans l'estimation des déciles à l'aide du m o d è l e log-normal, sont en moyenne de l'ordre du millimètre seulement pour les valeurs abso- lues des d i a m è t r e s et de l'ordre du demi pour-cent pour les valeurs relatives.

L'introduction dans le m o d è l e d'un troisième p a r a m è t r e permettrait vraisemblable- ment d'éliminer ces erreurs, mais une telle o p é r a t i o n ne nous a pas semblé utile, en raison de leur importance pratique relativement faible

.

5 . Q U E L Q U E S D I S T R I B U T I O N S - T Y P E S

E n admettant l'hypothèse d'une répartition log-normale des grosseurs, nous pou- vons donner, en conclusion, les principales caractéristiques de quelques distributions- types.

Il faut constater à cette fin que, pour les valeurs absolues des d i a m è t r e s observés par

et

les moyennes des différentes parcelles (moyennes géo- m é t r i q u e s ou médianes) varient de 7 à 56 cm, la moyenne générale étant égale à 21,5 cm, tandis que les coefficients de variation s'étendent de 16 à 39 % , avec une moyenne générale égale à 24,5 % . D e plus, l'examen de la distribution à deux dimen- sions des moyennes et des coefficients de variation montre l'existence d'une forte cor- rélation négative entre ces caractéristiques (r = — 0,73), les coefficients de variation les plus élevés correspondant dans l'ensemble aux d i a m è t r e s moyens les plus faibles et vice-versa. Cette relation n'est cependant pas strictement linéaire et elle peut être a m é - liorée sensiblement par une transformation logarithmique.

O n obtient ainsi l'équation :

logn, V = 1,7780 — 0,3050 l o g

m

,

qui permet de montrer q u ' à un d i a m è t r e moyen g é o m é t r i q u e de 10 cm correspond, en moyenne, un coefficient de variation de 29,7 % , à un d i a m è t r e moyen g é o m é t r i q u e de 20 c m un coefficient de variation de 24,1 % , etc.

Le tableau 2 donne, à titre d'exemple, les principaux p a r a m è t r e s de cinq distribu- tions-types définies de cette façon. I l s'agit de la moyenne g é o m é t r i q u e des d i a m è t r e s (égale aussi à leur m é d i a n e ) , de leur moyenne a r i t h m é t i q u e , de leur moyenne quadra- tique (égale au d i a m è t r e de l'arbre de surface terrière moyenne), de leur coefficient de variation, des valeurs absolues des déciles et de leurs valeurs relatives, exprimées en pour-cent de la moyenne quadratique. D e m ê m e , l a figure 2 donne une représentation graphique de ces distributions, sous forme de fonction de densité de probabilité, tandis que la figure 3 montre comment évoluent les valeurs relatives des déciles en fonction

(1.) L a notion de distribution log-normale peut en effet être étendue au cas de trois paramètres, en supposant que le logarithme de la variable aléatoire initiale diminuée d'une certaine constante possède une distribution normale de moyenne et d'écart-type donnés (AITCHISON et BROWN, 1957).

0 10 20 30 40 50 60 70 60 Diamètres (cm)

PlG. 2. — Fonctions de densité de probabilité de quelques distributions log-normales F I G . 2. — Probability density functions of some lognormal distributions

10 20 30 to 50 m

10 20 30 to 50

10 20 30 to 50 mq

Diamètres (cm)

F I G . 3. — Relation entre les valeurs relatives des déciles et les différents diamètres moyens (m - diamètre moyen géométrique ou médiane ; m, = diamètre moyen arithmétique ; m = diarnèrre

moyen quadratique ou diamètre de l'arbre de surface lerrière moyenne)

F I G . 3. — Relation between the relative values of the déciles and the différent mean diamelers (m — géométrie mean diameter or médian ; = arithmetic mean diameter ; = quadratic mean diame-

ter or diameter of the mean basai area tree)

des différents d i a m è t r e s moyens. Cette d e r n i è r e figure permet une d é t e r m i n a t i o n rela- tivement aisée de l a r é p a r t i t i o n en catégories de grosseur des arbres d'un peuplement de d i a m è t r e moyen d o n n é .

Reçu pour publication en mai 1971.

T A B L E A U 2 T A B L E 2

Principaux paramètres de quelques distributions log-normales : moyenne géométrique m^, moyenne arithmétique m^a, moyenne quadratique fil coefficient de variation V, valeurs absolues et valeurs

relatives des déciles, en pour-cent de la moyenne quadratique

Parameters of some lognormal distributions : géométrie mean mg, arithmetic mean ma, quadratic mean mf l, variation coefficient V, absolute values of the déciles* and relative values of the déciles

(percentage of the quadratic mean)

Paramètres Distributions log-normales

m (cm) ma (cm) •

10 20 30 40 50

m (cm)

ma (cm) • 10,43 20,57 30,67 40,75 50,82

mq (cm) 10,88 21,16 31,36 41,52 51,66

V (%) 29,7 24,1 21,3 19,5 18,2

1 7,2 15,2 23,4 31,8 40,3

2 8,2 16,8 25,7 34,6 43,7

3 9,0 18,2 27,5 36,8 46,2

Déciles : 4 9,7 19,4 29,1 38,8 48,5

valeurs 5 10,4 20,6 30,7 40,8 50,8

absolues (cm) 6 11,2 21,8 32,4 42,8 53,2

7 12,1 23,3 34,3 45,1 55,9

8 13,3 25,1 36,6 47,9 59,2

9 15,1 27,9 40,2 52,2 64,0

1 66 72 75 77 78

2 75 80 82 83 84

3 82 86 88 89 89

Déciles : 4 89 92 93 94 94

valeurs 5 96 97 98 98 98

relatives (%) 6 103 103 103 103 103

7 112 110 109 109 108

8 122 119 117 116 115

9 139 132 128 126 124

S U M M A R Y

T H E DISTRIBUTION O F T R E E D I A M E T E R S : J E D L I N S K l ' S D E C I L E S AND L O G N O R M A L DISTRIBUTIONS

T h e d i s t r i b u t i o n of tree diameters i n even-aged forests has been extensively studied by JEDLINSKI et al., i n a s é r i e s o f little k n o w n papers ( B O R K O W S K I and A N T O S I E W I C Z , 1932 ; JEDLINSKI, 1932), O n account of the mass of i n f o r m a t i o n given by t h è s e authors, we f o u n d useful to state m o r e precisely the nature o f the observed distributions, by means o f s o m e d i s t r i b u t i o n fittings. T h e fitting of l o g n o r m a l distributions has been very satisfactory.

W e successively p r é s e n t the data used (section 2), the m e t h o d o f fitting we have used (section 3), the m a i n results (section 4) a n d several t y p i c a l distributions o f tree diameters in even-aged forests (section 5).

Z U S A M M E N F A S S U N G

DIE S T A M M Z A H L V E R T E I L U N G N A C H S T A R K E S T U F E N IN G L E I C H A L T R I G E M H O C H W A L D : J E D L I N S K l ' S C H E D E Z 1 L E N U N D L O G - N O R M A L V E R T E I L U N G E N

D i e S t a m m z a h l v e r t e i l u n g nach S t â r k e s t u f e n , i n g l e i c h a l t r i g e m H o c h w a l d , wurde sehr genau d u r c h JEDLINSKI und seine M i t a r b e i t e r i n verschiedenen l e i d e r z u w e n i g bekannten W e r k e n studiert ( B O R K O W S K I und A N T O S I E W I C Z , 1932 ; JEDLINSKI, 1932). D i e d u r c h d i è s e A u t o r e n i n grosser A n z a h l beschafften U r k u n d e n b e r i i c k s i c h t i g e n d , haben w i r es als n i i t z l i c h erachted, den V e r l a u f der beobachteten V e r t e i l u n g e n genau anzugeben, indem w i r verschie- dene A n p a s s u n g e n theoretischer V e r t e i l u n g e n durchgefiihrt haben. D i e vorliegende F o r s c h u n g beweist, dass die A n p a s s u n g L o g - n o r m a l v e r t e i l u n g e n besonders zufriedenstellend ist.

W i r legen nacheinander die verwerteten A n g a b e n dar (Par. 2), die angewendete Anpassungsmethode (Par. 3), die wichtigsten erreichten Ergebnisse (Par. 4) u n d . als Schluss- folgerung, einige typische V e r t e i l u n g e n der B a u m d u r c h m e s s e r in gleichaltrigem H o c h w a l d (Par. 5).

R É F É R E N C E S B I B L I O G R A P H I Q U E S

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B O R K O W S K I P . , A N T O S I E W I C Z A . , 1932. Proba klasyfikacji siedlisk drzewostanow sosnowych Polski wedlug krzywych rozdzielczych absolutnych grubosci (Essai de classification des stations des peuplements de pin sylvestre de Pologne à l'aide des courbes de répartition des grosseurs prises en valeurs absolues). In : J E D L I N S K I W . et al. Badania wlasciwosci struktury, rozwoju i przyrostu drzewostanow sosnowych w Polsce (Recherches sur les particularités de la struc- ture du développement et de l'accroissement des peuplements de pin sylvestre de Pologne).

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