PS20 – A2011
EXAMEN FINAL PS20
Mardi 17 janvier 2012 – site de Sévenans
Durée : 2 heures
Consignes
Aucun document ni calculatrice admis
Les explications intermédiaires sont nécessaires
Le candidat prendra le soin de référencer correctement les différents exercices
La présentation (rédaction, propreté, etc.) sera prise en compte dans la notation
Exercice n° 1 (environ 8 points)
Dans le plan xOy d'une base (O,ex ,ey ,ez), un point M se déplace sur un cercle de rayon R et de centre I (R,0,0). A l'instant t, M se trouve en A (2R,0,0) et possède une vitesse positive V0
(0,V0,0). On désigne par r et Ф les coordonnées cylindro-polaires de M.
Q1) Ecrire l'équation polaire du cercle et en déduire son équation cartésienne.
Q2) Représenter dans une figure la base polaire (er ,e) de M. Calculer en fonction de Ф et de ses dérivées par rapport au temps les composantes cylindro-polaires des vecteurs vitesse
) M (
VR et accélération aR(M) de M dans la base (O, er ,e,ez).
Q3) Soit s l'abscisse curviligne de M (l'origine de cette abscisse est en A).
Donner l'expression de s en fonction de Ф.
Représenter sur la figure la base intrinsèque (eT ,eN) liée à M.
Calculer en fonction de Ф et de ses dérivées successives par rapport au temps les composantes dans cette base de la vitesse et de l'accélération de M.
Q4) On désigne par C la vitesse angulaire de M (ω>0).
Donner en fonction de t les expressions de Ф puis de r.
En déduire les expressions en fonction de t de VR(M) et de aR(M) dans la base polaire.
PS20 – A2011
Exercice n° 2 (environ 7 points)
Un objet supposé ponctuel M décrit à vitesse angulaire constante ω, la courbe plane d’équation en coordonnées cylindro-polaires : r = aeФ avec r = rayon, Ф : position angulaire et a =
constante. A t = 0, Ф = 0.
Q1) Calculer les composantes cartésiennes des vecteurs vitesse VR(M) et accélération aR(M)
en utilisant les éléments de la matrice de changement de la base cylindro-polaire vers la base cartésienne.
Q2) Calculer VR(M) , c'est-à-dire la valeur algébrique de la vitesse (valeur positive).
Q3) Ecrire l'expression de l'abscisse curviligne s en fonction de
dt
d. On partira de l'expression :
dt
VR(M) ds. Calculer s dans le cas de ce problème (c'est-à-dire en considérant la valeur algébrique de la vitesse calculée en Q2).
Exercice n° 3 (environ 6 points)
L’extrémité O d’un fil OM de masse négligeable et de longueur ℓ est fixée. Un objet ponctuel de masse m est suspendu en M. L’objet est alors écarté de la verticale d’un angle α de la verticale puis lancé.
Q1) Par application de la relation fondamentale de la dynamique, déterminer la vitesse initiale qu’il faut communiquer à M pour qu’il décrive des cercles horizontaux.
Exercice n° 4 : BONUS (environ 3 points)
Une base sphérique permet de référencer un point M par :
son rayon : ρ,
sa latitude : angle δ,
sa longitude : angle θ.
Q1) Sachant que la trajectoire d'un point M est décrit par
e
OM , démontrer que sa vitesse peut s'écrire suivant :
sin e
dt rd dt e e d dt d dt OM VR(M) d
