www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 Série n°8 d’exercices sur « Les nombres complexes » 2éme Bac SM
Exercice 1
Résoudre l'équation
E : 4iz32 1 3( i z) 2 (5 4i z) 3(1 7 i)0 , sachant qu'elle admet une racine réelle.Correction Exercice 1
Soit x une racine réelle de
E , alors :
E : 4ix32 1 3( i x) 2 (5 4i x) 3(1 7 i)0. Partie réelle et partie imaginaire du membre de gauche doivent être nulles, on obtient donc après identification :2
3 2
2 5 3 0
4 6 4 21 0
x x
x x x
.
Il est facile de résoudre la première équation et de vérifier si on obtient une racine de l'autre équation. On trouve que 3
x2 est racine. On factorise alors le polynôme par : 3
z2, et on trouve (par exemple en procédant par identification) : 4 3 2 1 3( ) 2 (5 4) 3 1 7( ) 3
4 2 2 1( ) 2( 1 7
2 6 )
iz i z i z i z iz i z i .
Reste à résoudre ensuite l'équation : 4iz22 1 6( i z) 2 1 7( i)0 dont les solutions sont 3
2 2i
et 1 i . Exercice 2
Soit n1 et
2i
e n
.
1. Calculer le produit des racines n-ièmes de l'unité.
2. Soit p0 . Calculer
1
0 n
kp k
3. En déduire que : 1
0
1 2
n k n
k
n
.Correction Exercice 2
1. Les racines n-ièmes de l'unité sont les complexes k, avec k 0; ;n 1.Leur produit vaut donc :
1
0
1 1
1 1 2 (
0
) 1
n
k
n k n n
k i n n
k
e
(résultat qu'on vérifie facilement pour n1; 2;3; 4).2. On a ici une somme géométrique de raison p. Si p est un multiple de n, la raison est donc égale à 1, et la somme fait n. Sinon, on a :
1
0
1 0
1
n np kp
p k
puisque n 1.3. On développe la puissance à l'intérieur de la somme en utilisant la formule du binôme de Newton, et on trouve :
1 1
0 0 0
(1 )
n n n
k n p kp
n
k k p
C
1
0 0
n n
p kp
n
p k
C
.On utilise le résultat de la question précédente : la somme
1
0 n
kp k
est nulle, sauf si p0 ou si pn. Dans ce cas, cette somme fait n. On en déduit que :1
0 0
(1 ) 2
n
k n n
n n
k
nC nC n
