Devoir surveillé N2

(1)

www.guessmaths.co E-mail : [email protected] whatsapp : 0604488896

Devoir surveillé N2

1.BAC – S.M .F

Exercice 1 : 3 pts

On considère les ensembles  et  suivants :

^{ }

  

^{x y}^, ^^ZZ² ^/^x² ^^y² ^¹



^et^{ }



ⁿ^^{IN / n}²^⁷ⁿ^{ }⁶ ⁰



3pts Écrire en extension les ensembles  et  . Exercice 2 : 3pts

On considère les ensembles et  suivants : 3pts

        

 

A k / k ZZ

3 6

^et

 

 

    

 

B k / k ZZ

6 3

Montrer que : BA et  

On considère l’application f suivante :

^f ^{: IR \ 1}   ^ ^IR

 

2

2 3

1 x x

x x

 



1pt 1) a- Montrer que :

 ^{ } ^x ^IR ^﹨   ¹  ^: ^{f x} ^{ } ^ ¹

1pt b- f est – elle surjective ? Justifier.

1pt 2) a- Montrer que :

 ^{ } ^{x IR} ^﹨   ¹  ^: ^f ^ ² ^{ } ^x ^{  } ^{f x}

1pt b- f est – elle injective ? Justifier.

3) On considère l’application g suivante :

   

 

2

: 1, 1,

2 3

1 g

x x

x

  

 



2pts Montrer que g est bijective et déterminer sa bijection réciproque g^¹. Exercice 4 : 5 pts

Soient ,

B

et

C

trois parties d’un ensemble

E

. 1pt 1) Montrer que :

 ^A ^B  ^{ } ^C  ^{A C} ^   ^{B C} ^ 

1pt 2) Montrer que :

^{A \ B}  ^C   ^ ^{A \ B}   ^{A \ C} 

1,5pt 3) Montrer que :

^{ } ^{\ ( \ C)} ^{  }  ^\   ^ ^C 

1,5pt 4) Montrer que :

A \ B



B \ A

 

A B

1pt 1) Montrer que :

 ^   ^a,b ^ ^IR

²

 ^{: a b} ^{ } ^a

²

^ ^b

²

2) Soient les ensembles :

^A ^  ^x ^ ^{IR / x}

²

^ ^2ax ^{ } ^b ⁰ 

^Et

^B ^  ^x ^ ^{IR / x}

²

^ ^2cx ^{ } ^d ⁰ 

où a

,

b

,

c

et

d

sont des nombres réels tels que :

b

 

d ac

2pts Montrer que :

A

 

ou B

 

Devoir surveillé N2