GE3-GCE3S, Outils Mathématiques janvier 2014
Contrôle
La calculatrice et les documents sont interdits.
Toutes les réponses doivent être justiées et correctement rédigées.
Barème donné à titre indicatif : 7, 13.
Exercice 1 : Transformées de Fourier et Laplace.
Soient b > a >0des nombres réels. On note T la fonction 1[−b,−a]+1[a,b] :
Graphe deT.
1. En supposant qu'on peut appliquer le théorème d'inversion de Fourier, déterminer une fonction h telle que sa transformée de Fourier soit égale à T :hˆ =T.
2. On considère le ltre qui à tout signal entranteassocie le signal sortants=e∗h. Décrire l'action de ce ltre sur un signal entrant quelconque.
On pourra raisonner sur les spectres de Fourier de e et s. 3. Déterminer la transformée de Laplace de la fonction t7→ sin(t)t .
4. En déduire la transformée de Laplace de la fonctionh×u, où udésigne l'échelon unité.
Formules utiles :
La transformée de Fourier d'une fonction f est dénie par f(t) =ˆ Z +∞
−∞
f(x)e−itxdx.
Sous certaines hypothèses, le théorème d'inversion permet d'armerf(x) = 1 2π
Z +∞
−∞
fˆ(t)eitxdt.
La transformée de Laplace d'une fonction f dénie sur R+ est L(f)(p) = Z +∞
0
f(t)e−ptdt.
Propriétés :
L(sin(t))(p) = 1
p2+ 1, L(tf(t))(p) = −(L(f))0(p), lim
p→∞L(f)(p) = 0, L(f(λt))(p) = 1
λL(f)(p λ).
Si x >0, arctan(x) + arctan(1 x) = π
2.
1
Exercice 2 : Corde de Melde.
On considère une corde de longueurL. Elle est xée en l'une de ses extrémités. En l'autre extrémité, un opérateur impose à la corde un mouvement sinusoïdal vertical. En négligeant les frottements de l'air et le poids de la corde, le mouvement de la corde est décrit par l'équation des ondes. On note y(x, t) la hauteur de la corde en x à l'instant t. Le problème est ainsi mo- délisé par les équations suivantes :
Équation des ondes : ∀x,∀t, ∂∂t22y = ∂∂x2y2, Condition enx=L : ∀t, y(L, t) = 0,
Condition enx= 0 :∀t, y(0, t) = αsin(ωt),
où ω est la pulsation de l'oscillation forcée et α est une constante petite devant L.
0 •L
Le but de cet exercice est de déterminer les solutions stationnaires de ce problème. On considère donc une solution y de la forme y(x, t) = U(x)V(t).
1. Résolution.
(a) Montrer qu'il existe une constante réelleλtelle queU00(x) = λU(x)etV00(t) = λV(t). (b) En utilisant une des conditions au bord, déterminer l'expression deV(t). En déduire
queλ =−ω2.
(c) Résoudre l'équation satisfaite par U.
Pour la suite, on pourra utiliser le fait qu'une expression de la formeacos(z)+bsin(z) où a, b et z sont des réels peut s'écrire sous la forme csin(z+θ), où c et θ sont des réels.
(d) Montrer que l'unique solution stationnaire du problème est la fonction
y(x, t) =αsin(ωt)sin(ω(x−L)) sin(−ωL) . 2. Étude de la solution.
(a) Représenter l'allure de la corde pour L=π, ω= 12 etα, t quelconques.
(b) Même question avecω = 32.
(c) Même question avecω proche de 1 et ω proche de 2.
(d) Quel phénomène observe-t-on quand ωL est très proche d'un multiple entier de π? Notre résultat est-il dans ce cas parfaitement rigoureux ?
(e) Que représente notre solution stationnaire pour le problème général de la corde de Melde ? Si la corde est initialement au repos, comment va-t-elle évoluer au cours du temps ? On ne demande pas de justication mathématique.
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