E3A 2001 PC Sujet 1 exercice

E3A 2001 PC Sujet 1 exercice

SoitM = sup (janj; n2N^¤)

On remarquera que Rk est le reste d’ordrek¡1 de la série.

La suite est à valeur complexes , pas question d’utilisé des inégalités sur lesan mais seulement sur leurs modules.

1. Pour prouver la convergence de la série on passe par la convergence absolue :

¯¯

¯¯ an

n(n+ 1)

¯¯

¯¯· M

n² et X 1

n² converge car2>1 2. On décompose en éléments simples la fraction :

1

n(n+ 1) = 1 n ¡ 1

n+ 1 d’où la simpli…cation :

Xq

n=p

1 n(n+ 1) =

Xq

n=p

1 n¡

Xq

n=p

1 n+ 1 =

Xq

n=p

1 n ¡

q+1

X

n=p+1

1 n = 1

p¡ 1 q+ 1 On en déduit

XN

n=1

1

n(n+ 1) = 1¡ 1

N+ 1 ¡!N¡>+11

soit P+1

n= 1 1 n(n+1) = 1

3.

² Pour jxj<1, la sérieP _xⁿ

n(n+1) converge par majoration par la série P ₁

n(n+1)

pour jxj>1la série diverge grossièrement .

R= 1

² pour jxj<1on a

+1

X

n=1

xⁿ n(n+ 1) =

+1

X

n= 1

xⁿ n ¡

+1

X

n=1

xⁿ n+ 1 les deux séries entières introduites étant aussi de rayon de convergence 1:

Or X+1

n= 1

xⁿ

n =¡ln(1¡x) et pourx 6= 0:

+1

X

n=1

xⁿ n+ 1 =

+1

X

n=2

x^n¡1 n = 1

x Ã₊₁

X

n=1

xⁿ n ¡x

!

= ¡ln(1¡x)¡x x d’où pourx 6= 0:

+1

X

n=1

xⁿ

n(n+ 1) = ln(1¡x) +x

x ¡ln(1¡x) =x+ (1¡x) ln(1¡x) x

pour x= 0les deux expressions sont nulles

8x2]¡1;1[: P+1 n=1

xⁿ

n(n+1) = ^{x+( 1¡x) ln(1}_x ^¡x)

² Sur [¡1;1]on a ¯¯¯¯ xⁿ n(n+ 1)

¯¯

¯¯· 1 n²

½ série indépendante deP x 1=n² converge la série converge donc normalement sur[¡1;1]. La fonctionx¡>P+1

n=1 xⁿ

n(n+1) est donc continue sur ce segment.

Sixtend vers1 on retrouve P+1 n=1 1

n(n+1)= 1( ce qui donne une véri…cation de la somme de la série) Sixtend vers¡1on trouve P+1

n= 1 (¡1)ⁿ

n(n+1) = 1¡2 ln(2)

4. En utilisant le calcul de la question 2 on a :P+1 n=k 1

n(n+1) = _k¹ et donc

jkRkj · M k

+1

X

n=k

1

n(n+ 1) ·M

5.

² Par majorations on a :

jRkj ·

+1

X

n=k

janj n(n+ 1) ·

+1

X

n=k

janj

k(k+ 1) car n¸k

· 1

k(k+ 1)

+1

X

n=k

janj · 1 k²

+1

X

n=1

janj d’où la convergence de la sérieP

kjRkjpar majoration du terme général par celui d’une série convergente.

² On a

XN

k=1

k XN

n=k

an

n(n+ 1)= X

1·k·n·N

k an

n(n+ 1) = XN

n=1

an

n(n+ 1) Xn

k=1

k

² OrPn

k= 1k= ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾₂ d’où XN

k=1

k XN

n=k

an

n(n+ 1) = XN

n=1

an

n(n+ 1):n(n+ 1)

2 = 1

2 XN

n=1

an

² On remarque que l’expression P+1 n=N+1

a_n

n(n+1) est indépendante de k et peut donc être factoriser. La relation PN

k= 1k=^{N(N+ 1)}₂ donne alors la relation voulue XN

k=1

k

+1

X

n=N+ 1

an

n(n+ 1)= 1 2

+1

X

n=N+ 1

N(N+ 1) n(n+ 1) an

² Si§N=PN

k=1kRk est la somme partielle de la série P

kRk On a

SN = XN

k=1

k

+1

X

n=k

an

n(n+ 1) = XN

k=1

k XN

n=k

an

n(n+ 1) + XN

k=1

k

+1

X

n=N+ 1

an

n(n+ 1)

= 1 2

XN

n= 1

an+ 1 2

+1

X

n=N+1

N(N+ 1) n(n+ 1) an

La première somme tend si N tend vers+1 vers ¹₂P+1 k=1ak

La seconde tend vers0 sintend vers+1 : En e¤et

N(N + 1) n(n+ 1) ·1 donc

¯¯

¯¯

¯ 1 2

+1

X

n=N+1

N(N+ 1) n(n+ 1)an

¯¯

¯¯

¯ · 1 2

+1

X

n=N+1

N(N+ 1) n(n+ 1) janj

· 1 2

+1

X

n=N+1

janj La sérieP

anétant absolument convergente la série resteP+1

n=N+1janjtend vers0et donc aussi¹₂P+1 n=N+1

N(N+1) n(n+1)an

Par somme de deux suites convergentes la suite§nconverge et donc aussi la sérieP

kRket par passage à la limite P+1

=1 kRk=P+1 n=1an

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