2008-2009 TS 1/ 1 DM arithmétique
Spécialité : Devoir maison n
◦1 d’arithmétique
Exercice 1 :
Dire si ces propositions sont fraies ou fausses : si elles sont vraies démontrez-les ou nommez le nom du théorème correspondant ; si elles sont fausses donner un contre-exemple :
1. Si adivise le produitbcalorsadiviseb ouadivisec.
2. Pour n≥1, le PGCD deA=n2+ 5n+ 9et de n+ 2est3.
3. Le nombre A= 53×72 possède exactement6diviseurs.
4. Si aest premier etadivise le produitbcalorsadivisebouadivisec.
5. Pour n≥2, le PGCD deA=n2+ 4n+ 7et de n+ 3est4.
Exercice 2 :Bac S 2002 Amérique du sud Soitnun entier naturel non nul.
On considère les nombres
a= 2n3+ 5n2+ 4n+ 1 et b= 2n2+n.
1. Montrer que2n+ 1diviseaet divise b.
2. Un élève affirme que le PGCD de aet best 2n+ 1.
Son affirmation est-elle vraie au fausse ? Justifier votre réponse.
Exercice 3 :Bac S 2002 Asie
On suppose connu le théorème de Bézout :
Si a et b sont deux entiers non nuls et sid est leur PGCD alors il existe deux entiers relatifs uet v tels que au+bv=d.
Démontrer alors le théorème de Gauss :
Siadivisebcet si aet bsont premiers entre eux, alorsadivisec.
Exercice 4 :
1. DéterminerP GCD(2 688; 3 024).
2. Dans cette question,xety sont deux entiers relatifs.
a. Montrer que les équations (1) et (2) sont équivalentes : (1) 2 688x+ 3 024y=−3 360;
(2) 8x+ 9y=−10.
b. Vérifier que (1;−2)est une solution particulière de l’équation (2).
c. Déduire de ce qui précède les solutions de l’équation (2).
1/ 1
