I. Comparaison de suites
1. Négligeabilité Définition 1.
Soit(un)n∈Net(vn)n∈Ndeux suites.
On dit que(un)n∈Nestnégligeabledevant(vn)n∈N, et on noteun =
+∞◦(vn), ou encoreun=◦(vn), s’il existe une suite (εn)n∈Ntelle que :
∀n∈N, un =vnεn et lim
n→+∞εn = 0
Théorème 1. caractérisation pratique de la négligeabilité
On suppose que(vn)n∈Nne s’annule pas à partir d’un certain rang. Alors : un=◦(vn) ⇐⇒ lim
n→+∞
un vn
= 0
Exemple 1.
On a n=◦(n2), mais 1 n2 =◦
1
n
, puisque lim
n→+∞
1 n2
1 n
= lim
n→+∞
n
n2 = lim
n→+∞
1 n = 0.
Théorème 2. croissances comparées
1. Soit 0< a < b, c >0 et q >1. On a : a. (ln(n))c=◦(na)
b. na =◦(nb) (et donc 1 nb =◦
1
na
) c. nb=◦(qn)
d. qn=◦(n!)
2. Soita >0etq∈]−1; 1[. On a qn=◦
1
na
Démonstration.
Mis à part pour1.d., il suffit d’écrire les limites correspondantes, puisqu’il s’agit de cours de première année.
Pour1.d., on peut remarquer que la série de terme général qn
n!est une série exponentielle, donc qui converge, et donc son terme général tend nécessairement vers0.
Remarque.
On rencontre parfois la notation (ln(n))c<< na<< nb<< qn<< n!
Exemple 2.
On a n3=◦(en), donc lim
n→+∞n3e−n= 0.
Théorème 3. règles de calcul
Soit(un)n∈N,(vn)n∈N,(wn)n∈Net(tn)n∈Ndes suites. Soitλ,aetbdes réels.
1. Si un=◦(vn) et vn =◦(wn), alors un =◦(wn) (transitivité) 2. Si un=◦(vn) et si λ6= 0, alors un=◦(λvn) (produit par un réel)
3. Si un=◦(wn), vn=◦(wn), alors aun+bvn=◦(wn) (combinaison linéaire) 4. Si un=◦(vn), alors wnun =◦(wnvn) (produit)
5. Si un=◦(wn) et vn=◦(tn), alors unvn=◦(wntn) (produit) 6. Si un=◦(vn) et k∈N∗, alors ukn =◦(vkn) (puissance) 7. Si un=◦(vn), alors 1
vn
=◦
1
un
(inverse) 8. Si un=◦(vn), alors |un|=◦(|vn|) (valeur absolue)
Remarque.
Les "◦" seront notamment utiles dans les développements limités, dont nous aurons un premier aperçu dans ce chapitre, mais qui interviendront aussi dans le cadre des études de fonctions.
Exemple 3.
1. Si un=◦(3n), alors on écrira plus simplement un=◦(n).
En effet, un
n = 3×un
3n tend bien vers0également.
Donc, ◦(3n) =◦(n), et plus généralement, un◦(λvn)peut être remplacé par un◦(vn).
2. De même, si un=◦(n), alors 3un=◦(n).
En effet, 3un
n = 3×un
n tend bien vers0également.
3. Attention, si un=◦(n), alors nun=◦(n2).
En effet, nun
n2 = un
n tend bien vers0.
4. Soit, pourn∈N, un= 3n2+n+◦(n) et vn=n3−n2−2n+◦(n). On a : a. un= 3n2+◦(n2)
On peut en effet "tronquer" : si quelque chose est négligeable devantn, alors a fortiori, il l’est devantn2, puisque :
◦(n) n2 = 1
n×◦(n)
n −→
n→+∞0×0 = 0.
Attention, la réciproque est fausse : un◦(n2)n’est pas forcément un◦(n), puisqu’il peut comporter, par exemple, des termes enn.
b. 2un= 6n2+◦(n2)
c. un+vn=n3+ 2n2−n+◦(n) d. unvn= 3n5+◦(n5)
e. un
n = 3n+ 1 +◦(1)
Théorème 4.
Si un=◦(vn) et si (vn)n∈N converge, alors lim
n→+∞un= 0. Démonstration.
un= un
vn
×vn −→
n→+∞0×`= 0.
2. Equivalence Définition 2.
Soit(un)n∈Net(vn)n∈Ndeux suites.
On dit que(un)n∈Nestéquivalenteà(vn)n∈N, et on noteun ∼
+∞vn, ou encoreun ∼vn, s’il existe une suite(εn)n∈Ntelle que :
∀n∈N, un =vnεn et lim
n→+∞εn = 1
Théorème 5. caractérisation pratique de l’équivalence
On suppose que(vn)n∈Nne s’annule pas à partir d’un certain rang. Alors : un=◦(vn) ⇐⇒ lim
n→+∞
un vn
= 1
Remarque.
Quand on demande un équivalent simple deun, celui-ci ne sera à écrire qu’avec un seul terme.
Exemple 4.
1. n+ 1∼n 2. en+n+ ln(n)∼en 3. 1
n+ 1 n3 ∼ 1
n
Théorème 6.
1. Un polynôme est équivalent en+∞(comme en−∞), à son terme de plus haut degré : aknk+...+a1n+a0∼aknk. 2. Un quotient de polynômes est équivalent en+∞(comme en−∞), au quotient de ses termes de plus haut degré :
aknk+...+a1n+a0 bpnp+...+b1n+b0
∼ aknk bpnp.
Théorème 7. équivalents usuels
Soit(un)n∈Nune suite qui tend vers0. Alors : 1. eun−1∼un
2. ln(1 +un)∼un
3. (1 +un)α−1∼αun, pourα∈Rfixé.
Exemple 5.
1.
1 +1
n 3
−1∼ 3
n 2. ln
1− 2
n2
∼ − 2 n2
Théorème 8.
On a un∼vn ⇐⇒ un =vn+◦(vn) Démonstration.
un=vn+◦(vn) ⇐⇒ un−vn=◦(vn) ⇐⇒ un−vn
vn
n→+∞−→ 0 ⇐⇒ un
vn
−1 −→
n→+∞0 ⇐⇒ un
vn
n→+∞−→ 1 ⇐⇒ un∼vn, par opération sur les limites.
Exemple 6.
ex XIX
Exemple 7.
1. un=n2+◦(n2) ⇐⇒ un∼n2
2. vn=n3+n2+◦(n2) ⇐⇒ vn−n3 ∼n2 =⇒ vn∼n3 3.
1 +1
n 3
−1∼ 3 n, donc
1 + 1
n 3
−1 = 3 n +◦
1 n
ou encore
1 +1 n
3
= 1 +3 n+◦
1
n
Remarque.
La coutume, lorsque l’on donne un équivalent, est de ne donner qu’une expression simple, donc composée d’un seul terme.
On pourrait donc aussi écrire vn∼n3+n2, puisque ◦(n2)
n3+n2 tend bien vers0, mais on se contentera dans ce cas devn∼n3. Egalement,
1 +1
n 3
∼1 + 3
n, mais on se contentera de
1 + 1 n
3
∼1.
Théorème 9. règles de calcul
Soit(un)n∈N,(vn)n∈N,(wn)n∈Net(tn)n∈Ndes suites. Soitaet`des réels.
1. Si un∼vn, alors vn∼un (réflexivité)
2. Si un∼vn et vn∼wn, alors un∼wn (transitivité) 3. Si un∼wn et vn∼tn, alors unvn∼wntn (produit) 4. Si un∼wn et vn∼tn, alors un
vn
∼ wn
tn
(quotient)
5. Si un∼vn alors uan∼vna, siunetvnsont strictement positifs à partir d’un certain rang (puissance) 6. Si un∼vn alors |un| ∼ |vn| (valeur absolue)
Exemple 8.
un∼n2 et vn∼n donne unvn∼n3, etc...
Théorème 10.
Soit `6= 0. Alors : un ∼` ⇐⇒ lim
n→+∞un =`. Démonstration.
un∼` ⇐⇒ lim
n→+∞
un
` = 1 ⇐⇒ lim
n→+∞un=`.
Remarque.
La somme et la composition ne sont pas compatibles avec les équivalents.
1. n2+n∼n2 et −n2+n∼ −n2, mais n2+n−n2+n= 2n et n2−n2= 0. Pourtant2nn’est pas équivalent à0.
2. n2+n∼n2, mais en2+n
en2 =en −→
n→+∞+∞.
Théorème 11.
Soit(un)n∈Net(vn)n∈Ndeux suites équivalentes.
Alors lim
n→+∞unexiste si, et seulement si, lim
n→+∞vnexiste.
Dans ce cas, ces limites sont égales.
En particulier, deux suites équivalentes sont de même nature (convergentes ou divergentes).
Exemple 9.
calculs de limites, notamment
1 + 1 n
n
II. Suites implicites
Exemple 10.
Soitfla fonction définie surRpar f(x) =x+ex. 1. Etudier les variations def.
2. Montrer que pour toutn∈N, l’équationf(x) =nadmet une unique solutionun. On considère donc la suite(un)n∈Ndéfinie par ∀n∈N, f(un) =n.
3. Etudier les variations de la suite.
4. Montrer que ∀n∈N∗, ln(n−ln(n))≤un≤ln(n).
5. En déduire la limite de la suite(un)n∈N, ainsi qu’un équivalent simple deun. Exemple 11.
On définit pourn∈N∗la fonctionfnsurRpar fn(x) =x7+nx−1.
1. Etudier les variations def.
2. Montrer que pour toutn∈N, l’équationfn(x) = 0admet une unique solutionun. 3. Montrer que ∀n∈N∗, 0≤un≤ 1
n, et en déduire la limite de la suite.
4. Montrer que ∀n∈N∗, nun= 1−u7n, et en déduire un équivalent simple deun.
III. Rappels sur les suites usuelles
Définition 3.
Une suite(un)n∈Nest ditearithmético-géométriquesi :
∃(a, b)∈R2 / ∀n∈N, un+1=aun+b.
Remarque.
Sia= 0, alors il s’agit simplement d’une suite arithmétique, et sib= 1, c’est une suite géométrique.
Exemple 12.
Déterminer le terme général de la suite définie par u1= 5, ∀n∈N, un+1=−1 3un+4
7. Définition 4.
Une suite(un)n∈Nest diterécurrente linéaire d’ordre2si :
∃(a, b)∈R2 / ∀n∈N, un+2=aun+1+bun.
Définition 5.
L’équation caractéristique associée à la suite est (E) :x2=ax+b ⇐⇒ x2−ax−b= 0.
Théorème 12.
1. Si(E)admet deux racines distinctesx1etx2, alors :
∃(α, β)∈R2 / ∀n∈N, un=αxn1+βxn2. 2. Si(E)admet une racine doublex, alors :
∃(α, β)∈R2 / ∀n∈N, un =αxn+βnxn.
Remarque.
αetβsont ensuite déterminés par les conditions initiales.
Remarque.
Le cas où(E)n’admet pas de racine est hors programme.
Exemple 13.
Etudier la suite de Fibonacci, définie par u0= 0, u1= 1, et ∀n∈N, un+2=un+1+un.
IV. Suites récurrentes
Théorème 13. Limite monotone
1. Une suite croissante converge si, et seulement si, elle est majorée.
Dans le cas contraire (non majorée), elle diverge vers+∞.
2. Une suite décroissante converge si, et seulement si, elle est minorée.
Dans le cas contraire (non minorée), elle diverge vers−∞.
Théorème 14. Inégalité des accroissements finis
Soitf une fonction dérivable sur un intervalleI. On suppose que ∃K >0 / ∀x∈I, |f0(x)| ≤K.
Alors, ∀(a, b)∈I2, |f(b)−f(a)| ≤K|b−a|.
Définition 6.
Soitf une fonction définie sur un intervalleI, et soitx0∈I. On dit quex0est unpoint fixedef si f(x0) =x0.
Exemple 14.
Soitfla fonction carrée, définie surRparf(x) =x2.
Résolvons f(x) =x ⇐⇒ x2=x ⇐⇒ x2−x= 0 ⇐⇒ x(x−1) = 0 ⇐⇒ x= 0 ou x= 1.
La fonction carrée admet donc deux points fixes :0et1.
Théorème 15. Théorème du point fixe
On considère une suite récurrente de la formeun+1=f(un).
Si la suite(un)n∈Nconverge vers un réell, et sifest continue enl, alorslest un point fixe def.
Démonstration.
On a lim
n→+∞un+1=` et lim
n→+∞f(un) =f(`), par continuité. D’où, f(`) =`.
Exemple 15.
Suites AG Exemple 16.
Soit toujoursfla fonction carré.
Considérons la suite(un)n∈Ndéfinie par son premier termeu0et par un+1=u2n, pourn∈N. D’après l’exemple précédent, si cette suite converge, alors sa limite ne peut être que0ou1.
(casu0>1pour illustrer le th de la limite monotone divergent)
Exemple 17.
Reprenons l’exemple précédent, avec cette fois-ci une méthode permettant d’étudier les variations de la suite, connaissant les variations de la fonction sous-jacente. (transposable à des cas où la fonction est plus compliquée)
On sait que la fonction carré est strictement croissante surR+. Supposons par exemple que l’on aitu0= 2. Alors,u1= 22= 4.
En particulier, on a0< u0< u1. Ceci constitue l’initialisation d’une récurrence permettant d’étudier les variations de la suite.
Supposons alors que pour un rangn∈Ndonné, on ait0< un< un+1.
Alors, puisquefest strictement croissante surR+, on af(0)< f(un)<(un+1), ie0< un+1< un+2. C’est l’hérédité ! Ainsi, par principe de récurrence, on voit que ∀n∈N, un< un+1, ie que la suite(un)n∈Nest croissante.
Exemple 18.
Soit la suite(un)n∈Ndéfinie par son premier termeu0et par un+1=un−u2n, pourn∈N. Ici, on voit facilement que si cette suite converge, alors sa limite ne peut être que0.
On vérifie que la suite est décroissante. On montre ensuite que, suivant la valeur deu0, tous les termes sont situés dans un certain intervalle. On conclut ensuite par limite monotone.
Exemple 19.
Soit la suite(un)n∈Ndéfinie par son premier termeu0et par un+1=u2n+ 2 2un
, pourn∈N. Soitfdéfinie par f(x) = x2+ 2
2x . On a f0(x) =1
2− 1 x2. Puis, ∀x >0, f(x)≥√
2, et 0≤f0(x)≤1 2. Donc (TAF), ∀n∈N, |un+1−√
2| ≤ 1 2|un−√
2|.
