G comme Gödel (Denise Vella-Chemla, 14.5.2016)
On s’interroge sur la possibilité d’utiliser un codage similaire à celui de Gödel pour transposer un problème additif en problème multiplicatif : on propose d’associer bijectivement à chaque entier impair compris entre 1 et 209 de restes modulairesα1(modulo 3),α2(modulo 5) etα3(modulo 7) l’entier dont la factorisation est 3α15α27α3. Trouver que le complémentaire de 13 (de restes (1,3,6)) à 210 (de restes (0,0,0)) est 197 (de restes (2,2,1)) est analogue au fait de trouver que 44118375×1575 = 69486440625 = 33.55.77. Mais cette transposition ne semble pas présenter un intérêt. On fournit dans les quatrièmes colonnes du tableau ci-dessous les images des nombres par cette bijection.
Plutôt que de partir dans cette direction qu’on abandonne, il vaut mieux vraisemblablement représenter les nombres par des matrices contenant de multiples rotations (en fait en nombre infini mais on va se limiter ici aux rotations selon les 3 nombres premiers 3, 5 et 7, d’autant plus que les rotations deviennent de plus en plus infimes au fur et à mesure, les nombres premiers grandissant apparaissant au dénominateur des expressions dénotant des angles).
On associe à l’entier 1 la matrice :
e2iπ3 0 0 0 e2iπ5 0 0 0 e2iπ7
qu’on peut aussi écrire :
cos(2iπ3 ) −sin(2iπ3 ) 0 0 0 0
sin(2iπ3 ) cos(2iπ3 ) 0 0 0 0
0 0 cos(2iπ5 ) −sin(2iπ5 ) 0 0
0 0 sin(2iπ5 ) cos(2iπ5 ) 0 0
0 0 0 0 cos(2iπ7 ) −sin(2iπ7 )
0 0 0 0 sin(2iπ7 ) cos(2iπ7 )
On associe à 11 (de restes (2,1,4) modulo (3,5,7)) la matrice :
e2.2iπ3 0 0 0 e1.2iπ5 0 0 0 e4.2iπ7
On associe à chaque entier une matrice diagonale deM3(C) (idéalement, le nombre de nombres premiers étant infini, il faudrait considérer des matrices diagonales deM∞(C)) ; la multiplication est commutative sur cet ensemble.
Il est important de ne pas “mélanger” les restes modulaires obtenus dans les différents corps ((2 mod 3, 4 mod 5) est différent de (2 mod 5, 4 mod 3)) ; un tel “mélange” se serait produit si on avait “agrégé”
les multiples rotations en une seule1. La représentation permet de ne pas mélanger les restes parce qu’elle s’appuie sur l’ordre strict existant entre les nombres premiers (sur la diagonale apparaît d’abord l’exponentielle correspondant à la classe du nombre représenté dansZ/3Z, puis celle associée à sa classe dansZ/5Z, puis celle associée à sa classe dansZ/7Z, etc.).
Cette obligation de séparer les différents restes est lourde ; Gödel, lui, a trouvé un codage subtil : en utilisant les codages des lettres d’une expression comme les puissances des nombres premiers de factori- sations, il obtient non seulement un codage absolument non-ambigu mais également une représentation agrégée en un nombre unique pour chaque programme.
Les nombres premiers ont un seul 1 sur leur diagonale (correspondant au seul reste nul dans la représen- tation par les restes). On n’a pas avancé d’un pouce.
1L’ambiguité aurait pu découler de la commutativité de la somme si on avait choisi de multiplier des exponentielles, ou bien de la commutativité du produit si on avait choisi des élévations à la puissance.
1
n 3 5 7 f(n) n 3 5 7 f(n) n 3 5 7 f(n)
1 1 1 1 105 71 2 1 1 315 141 0 1 1 35
3 0 3 3 42875 73 1 3 3 128625 143 2 3 3 385875
5 2 0 5 151263 75 0 0 5 16807 145 1 0 5 50421
7 1 2 0 75 77 2 2 0 225 147 0 2 0 25
9 0 4 2 30625 79 1 4 2 91875 149 2 4 2 275625
11 2 1 4 108045 81 0 1 4 12005 151 1 1 4 36015
13 1 3 6 44118375 83 2 3 6 132355125 153 0 3 6 14706125
15 0 0 1 7 85 1 0 1 21 155 2 0 1 63
17 2 2 3 77175 87 0 2 3 8575 157 1 2 3 25725
19 1 4 5 31513125 89 2 4 5 94539375 159 0 4 5 10504375
21 0 1 0 5 91 1 1 0 15 161 2 1 0 45
23 2 3 2 55125 93 0 3 2 6125 163 1 3 2 18375
25 1 0 4 7203 95 2 0 4 21609 165 0 0 4 2401
27 0 2 6 2941225 97 1 2 6 8823675 167 2 2 6 26471025
29 2 4 1 39375 99 0 4 1 4375 169 1 4 1 13125
31 1 1 3 5145 101 2 1 3 15435 171 0 1 3 1715
33 0 3 5 2100875 103 1 3 5 6302625 173 2 3 5 18907875
35 2 0 0 9 105 0 0 0 1 175 1 0 0 3
37 1 2 2 3675 107 2 2 2 11025 177 0 2 2 1225
39 0 4 4 1500625 109 1 4 4 4501875 179 2 4 4 13505625 41 2 1 6 5294205 111 0 1 6 588245 181 1 1 6 1764735
43 1 3 1 2625 113 2 3 1 7875 183 0 3 1 875
45 0 0 3 343 115 1 0 3 1029 185 2 0 3 3087
47 2 2 5 3781575 117 0 2 5 420175 187 1 2 5 1260525
49 1 4 0 1875 119 2 4 0 5625 189 0 4 0 625
51 0 1 2 245 121 1 1 2 735 191 2 1 2 2205
53 2 3 4 2701125 123 0 3 4 300125 193 1 3 4 900375 55 1 0 6 352947 125 2 0 6 1058841 195 0 0 6 117649
57 0 2 1 175 127 1 2 1 525 197 2 2 1 1575
59 2 4 3 1929375 129 0 4 3 214375 199 1 4 3 643125
61 1 1 5 252105 131 2 1 5 756315 201 0 1 5 84035
63 0 3 0 125 133 1 3 0 375 203 2 3 0 1125
65 2 0 2 441 135 0 0 2 49 205 1 0 2 147
67 1 2 4 180075 137 2 2 4 540225 207 0 2 4 60025
69 0 4 6 73530625 139 1 4 6 220591875 209 2 4 6 661775625
2
