D272. Tangentes entières
On s’intéresse aux polygones convexes de n côtés dont les tangentes des angles au sommet sont toutes des nombres entiers relatifs finis. Quelles sont les valeurs possibles de n ? Quels sont les polygones pour lesquels les tangentes des angles au sommet sont des entiers distincts entre eux ? Justifier vos réponses
Solution proposée par Gaston Parrour
Quelques remarques préliminaires
1 - Un polygone convexe (de n côtés) est caractérisé par des angles au sommet inférieurs à PI (180°). Ses n angles au sommet – notés ai -, vérifient :
a1 + a2 + … + ai + … + an = (n – 2) PI ( 1 )
( d'un point quelconque interne O, on peut construire n triangles dont la somme des angles est nPI, et de laquelle il faut retrancher la somme des angles en O soit 2PI)
Notation : ti = tan (ai) et
ai = arc tan (ti) où arc tan (ti) = Arc tan (ti) (la définition principale) si 0 < ti = Arc tan (ti) + PI si ti < 0 ai ainsi défini est entre 0 et PI
2 - Le plus simple de ces polygones : le triangle, vérifie la relation (1).
A partir de là : Y a-t-il un jeu de valeurs entières pour les trois tangentes de ses angles qui soit acceptable ? D'une façon générale, on peut exprimer tan (a1+a2+a3) à l'aide des trois tangentes t1, t2, t3 et le numérateur est t1+t2+t3 – t1.t2.t3
Si a1+a2+a3 = PI, alors la question précédente se ramène à : existe-t-il des solutions entières à l'équation t1+t2+t3 = t1.t2.t3 ? ( 2 )
Clairement le choix t1 = 1 t2 = 2 t3 = 3 satisfait cette équation. On peut bien sûr vérifier ainsi que a1(= Arc tan(1) ) + a2 (= Arc tan(2) ) + a3 (= Arc tan(3) ) = PI ( 3 ) MAIS l'équation (2) admet aussi pour solutions entières :
t1 = -1 t2 = -2 t3 = -3
Alors, avec les ai définis ci-dessus dans le cas ti < 0 , on a ici :
a1 + a2 +a3 = 3PI – PI = 2 PI ( 4 )
Les relations (3) et (4) montrent qu'on peut ainsi associer TROIS angles ai, inférieurs à PI, dont les tangentes ti sont entières, pour réaliser un angle égal à PI ou à 2 PI.
3 – Et aussi : à deux valeurs opposées pour deux tangentes ti, correspondent deux angles ai supplémentaires avec t1=p et t2=-p , a1 + a2 = PI ; ICI p sera choisi entier.
=====> Les points 1,2,3 montrent qu'on peut constituer ainsi des « briques élémentaires » :
Une telle « brique » est un ensemble de 2,3, … tangentes entières ti correspondant chacune à un angle compris entre 0 et PI et la somme des angles correspondant aux tangentes de la « brique » est un multiple entier de PI.
N.B. Dans une brique élémentaire, tous les ti sont nécessaires pour obtenir un angle total multiple de PI
On peut alors se poser la question : quel est le nombre maximal de tangentes entières qui peuvent constituer une telle
« brique » afin d'obtenir un angle total résultant égal à un nombre entier de fois PI ? Le plus grand angle saillant obtenu avec une tangente entière est ai = arc tan (-1) = 3 PI/4
Donc le plus grand nombre de tangentes entières qui, regroupées ensemble, conduisent à un angle total égal à un nombre entier de fois PI est 4 : arc tan (-1) + arc tan (-1) + arc tan (-1) + arc tan (-1) = 3 PI
=> Il n'y a pas d'ensemble de tangentes entières constituant une telle « brique élémentaire» avec plus de 4 éléments ti entiers (car tous les ti doivent intervenir ! )
4 - A partir de ces remarques on peut dresser le tableau suivant de ces « briques élémentaires ».
C'est-à-dire de tous les regroupements de tangentes entières dont les angles saillants correspondants entre 0 et PI, ont pour somme k PI.
Notation : m (t1, … , tn) => k PI où m est le nombre de tangentes entières mises en jeu et donc de sommets, ti les valeurs entières de ces tangentes,
k entier positif ; l'angle total a1 +a2+ … + ai + … +an = k PI.
2 (p, -p) p entier => PI (b1) 3 (1,2,3) => PI (b2) 3 (-1,-2,-3) => 2PI (b3) 4 (-1,-1,-1,-1) => 3PI (b4)
Remarques : il y a d'autres briques élémentaires ainsi définies, par exemple 4(1,1,1,1) => PI, mais ce qui suit montre qu'elles ne sont pas d'intérêt.
En effet entre le nombre d'éléments ti dans la brique (nombre de sommets aussi bien) et la valeur de k de la multiplicité en PI associée à la brique il faut au plus un écart d'une unité. Ainsi l'association de deux telles briques produira un écart de 2 unités entre le nombre de sommets et la multiplicité k en PI. Ceci est le requis de l'équation (1).
Et cela confirme que la brique (b4) est la plus « grande » utilisable : si on passe à 5 éléments ti=-1, l'angle résultant est 4PI – PI/4 autrement dit un « défaut » de PI/4 qu'aucune brique ne peut combler pour satisfaire la relation (1).
La brique (b2) qui ne satisfait pas cette relation, n'a été conservée que par sa relation particulière au triangle.
Avec ces éléments ont peut alors construire divers polygones.
1 - Il apparaît donc que la valeur maximale du nombre n de côtés ou - aussi bien -, du nombre n de sommets, sera obtenue avec DEUX briques (b4), alors
4 (-1,-1,-1,-1) + 4 (-1,-1,-1,-1) ==> 6PI ,
et dans ce cas, n= 8 sommets ou n= 8 côtés ; on vérifie bien la relation angulaire (1) : somme des ai = (n-2) PI
n = 8 avec (-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1) pour les huit tangentes ti ; c'est l'octogone régulier.
2 - On a déjà observé que
la brique (b2) 3(1,2,3) ==> PI correspond au triangle n= 3 côtés n = 3 avec (1,2,3)
3 - L'association de DEUX briques (b1) produit un polygone convexe à 4 côtés.
2(p,-p) + 2(q,-q) ==> 4PI ( p et q entiers strictement positifs quelconques ) n = 4 avec (p,q,-p,-q) pet q entiers positifs quelconques
4 - Pour créer des polygones convexes à 5, 6 ou 7 côtés, utilisons de même les briques élémentaires.
Ainsi la somme des angles d'un polygone convexe avec
n = 5 étant égale à 3PI, l'association des briques (b1) et (b3) fournit 2(p,-p) + 3(-1,-2,-3) ==> 3PI
n = 5 avec (-1,-2,-3,p,-p) où p est un entier positif quelconque , n = 6 étant égale à 4PI, deux associations de briques sont possibles : (b3) et (b3) qui est
3(-1,-2,-3) + 3(-1,-2,-3) ==> 4PI n = 6 avec (-1,-2, -3, -1, -2, -3)
(b1) et (b4) qui est
2(p,-p) + 4(-1,-1,-1,-1) ==> 4PI
n=6 avec (-1,-1,-1,-1,p,-p) où p est un entier positif quelconque, n = 7 étant égale à 5PI, l'association (b3) et (b4) fournit :
3(-1,-2,-3) + 4(-1,-1,-1,-1) ==> 5PI n = 7 avec (-1,-1,-1,-1,-1,-2,-3)
Remarque : on pourrait de même envisager d'autres types de briques élémentaires.
Par exemple des briques de type k'PI +/- PI/4 qui mises ensemble constitueraient un nombre entier k de fois PI. Par exemple 3(-1,-1,-1) => 2PI + PI/4 peut être associée à 2(2,3) => PI - PI/4 pour produire
n = 5 avec (-1,-1,-1,2,3) qui constitue alors une solution différente de celles trouvées ci-dessus pour n=5.
Mais le propos ici n'est pas d'être exhaustif sur les ensembles permis de tangentes (entières relatives) pour les angles d'un polygone donné de n côtés, mais seulement d'établir toutes les valeurs de n permises avec cette contrainte : valeurs entières relatives pour les tangentes des angles au sommet.
CONCLUSION Au vu de ces résultats :
1 – Les valeurs possibles de n sont n = 3, 4, 5, 6, 7, 8
2 – Les tangentes des angles au sommets sont des entiers distincts entre eux pour n = 3 (1,2,3)
n = 4 (p,q,-p,-q) avec ici, p et q entiers positifs quelconques distincts n= 5 (-1, -2, -3, p, -p) p entier positif, et choisi alors différent de 1, 2 ou 3
