A50008. Une énigme de Fermat
Ajoutant 7967 au double d’un carré, j’obtiens un autre carré. Quels sont ces carrés ?
Solution
L’équation à résoudre est x2−2y2 = 7967. Multipliant membre à membre par 32 −2·22 = 1, on a, selon l’identité de Brahmagupta (VIIe siècle) x2−2y2 = (3x−4y)2−2(3y−2x)2. D’où une nouvelle solution,x0 = 3x−4y, y0 = 3y−2x, plus petite que (x, y) si 3−4y/x <1, soitx2 >2·7967.
Il suffit d’essayer les entiers vérifiant 7967< x2 <2·7967, soit de 90 à 126, et en fait les 18 nombres impairs (comme l’observe Jacques Vandel), pour trouver deux valeurs “minimales”, x = 95 (y = 23) et x = 113 (y = 49), source de toutes les autres.
On a 113 + 49√
2 = (13√
2 + 9)(4√ 2 + 1), 95 + 23√
2 = (13√
2 + 9)(4√
2−1), et toutes les solutions (au signe de y près) s’obtiennent en développant
(13√
2 + 9)(4√
2±1)(3 + 2√
2)k en x +y√
2, pour tout k entier (positif, négatif ou nul).
Cela reflète la factorisation 7967 = 257·31, avec 257 = 2·132−92, 31 = 2·42−12.
Remarque.
3 + 2√
2 est une unité de l’anneau Z[√
2], c’est ce qui permet de l’affecter d’un exposantknégatif car (3 + 2√
2)k= (3−2√ 2)−k.
Roger Lassiaille factorise d’abord 7967 = 31·257, et obtient les représenta- tions 31 = (4√
2 + 1)(4√
2−1), 257 = (13√
2 + 9)(13√
2−9), dont il combine ensuite les facteurs pour obtenir les solutions en 4 familles.
De fait, quand le nombre à représenter n’est pas premier, l’intervalle à ex- plorer pour ce nombre est plus large que la somme des intervalles à explorer pour chacun des facteurs.
