«Oui, mais...» «Il faut manipuler !»

(1)

« Il faut manipuler ! »

« Oui, mais... »

(2)

• En quoi est-ce important ?

• A quel moment faut-il manipuler ?

• Est-ce seulement/surtout pour les élèves en difficulté ?

• Suffit-il de manipuler pour comprendre ?

• Manipuler et après ? Que faire ?

• Quelle tâche choisir ? Et avec quel matériel ?

« Il faut manipuler ! »

« Oui, mais... »

(3)

(4)

(5)

« Il faut manipuler ! »

« Oui, mais... »

(6)

Des injonctions, des croyances et un paradoxe

Paradoxe didactique: Les élèves ne peuvent pas se passer de

manipuler, mais quand ils

manipulent ils n’apprennent pas...

Claude Rajain

http://web.ac-reims.fr/dsden52/ercom/documents/maternelle/domaines_activites/app_du_nb_et_res_de_pb.pdf

Il faut

manipuler !

(7)

Manipuler, oui mais à quel moment ?

PROCESSUS D’APPRENTISSAGE

MANIPULER METTRE A DISTANCE LE MATERIEL POUR ALLER VERS L’ABSTRACTION Le matériel sert à valider !

POSER DES CONTRAINTES

absolument indispensable !

Faire des maths !

Élèves en difficulté

(8)

La manipulation en maths, oui ou non - Vous en pensez quoi ? Interview de Pierre Eysseric

http://www.cahiers-pedagogiques.com/La-manipulation-en-maths-oui-ou-non-Vous-en-pensez-quoi

(9)

Mise en situation

(10)

« Vous allez faire 136 multiplié par 5 »

Matériel à disposition

Quelles vont-être les difficultés ?

(11)

« Vous allez faire 136 multiplié par 5 »

136 536 Et la distributivité ?

(12)

Tu l’as combien de fois, 136 ?

Est-ce que tu as tout pris 5 fois ?

(13)

« Vous allez faire 136 multiplié par 5 » ou « je

veux voir sur la table 5 fois 136 pions »

(14)

« je veux voir sur la table 5 fois 136 pions »

(15)

(16)

5 c 15 d 30 u

6 c 8 d 0 u

(17)

Pas facile pour un élève d’organiser le matériel

ainsi, sauf s’il est déjà capable de mobiliser en acte

la distributivité...

(18)

Et les quadrillages, qu’est ce que ça change ?

(19)

Et les quadrillages, qu’est ce que ça change ?

5

Le quadrillage permet de « donner à voir » la distributivité

Le matériel « prend en charge » la distributivité

(20)

http://www.ardm.asso.fr/ee16/documents/cours/theme2-complet/cours-Mariotti-complet/docs-preparatoires/Chap5-MariottiMaracci.pdf

Comme c’est un rectangle, je peux partager comme ça...

La distributivité

(21)

Potentiel sémiotique d’un artefact, c’est...

le double lien qui peut s’établir entre

i) un artefact et les significations personnelles émergeant de son

utilisation finalisée; Exemple : une grille rectangulaire et la manière dont je peux la partager...

ii) cet artefact et les significations mathématiques évoquées par son usage, reconnaissables comme mathématiques par un expert

Exemple, la grille rectangulaire et la distributivité

Mariotti, Bartolini-Bussi

(22)

Pourquoi un « double lien » ?

UN BOULIER ROMAIN (1

^er

siècle)

Distinguer :

- les significations émergeant de l’utilisation d’un artefact (une chose fabriquée ou donnée par l'homme) - le savoir mathématique développé en relation avec cette utilisation

• Un boulier peut évoquer la notation positionnelle des nombres ;

• Des siècles de pratique du calcul à l’aide du

boulier n’ont pas été suffisants pour déclencher le passage à la notation positionnelle des

nombres.

(23)

Comme c’est un rectangle, je peux partager comme ça...

La distributivité

(24)

Construire des nombres-rectangles...(d’après la recherche ACE)

http://blog.espe-bretagne.fr/ace/wp-content/uploads/v20_module_3_les_nombres_rectangles.pdf

On peut alors introduire un jeu, du type « Lequel est-ce ? » avec des plaques de « Legos » : un

élève écrit sur l’ardoise le nombre rectangle et l’autre recherche la plaque correspondante

Construire des nombres rectangles

(25)

Construire des nombres-rectangles...(d’après la recherche ACE)

(26)

Construire des nombres-rectangles...(d’après la recherche ACE)

« Aujourd’hui, nous allons travailler sur le nombre 18. Vous allez faire trois choses. D’abord, vous allez chercher à fabriquer un rectangle de 18 cubes. Ensuite, vous allez chercher à dessiner un rectangle de 18 carreaux sur votre papier quadrillé. Enfin, quand vous aurez dessiné ce rectangle de 18 carreaux, vous écrirez à côté de ce rectangle les deux multiplications qui le désignent, qui lui correspondent ».

(27)

Une deuxième exemple

(28)

Comment aider un élève en prenant appui sur un support ?

https://archipel.uqam.ca/11962/1/Lajoie%20Mangiante%20Masselot%20Tempier%20Winder%202018_CJSMTE.pdf28

(29)

Les supports proposés pour l’enseignant

Surfaces quadrillées

29

Bandes de papier

Monnaie

Droites graduées

Tableaux de numération

(30)

Importance du choix des supports : surfaces quadrillée (aspect décimal mais...)

Une unité, c’est aussi………10 dixièmes ou encore...100 centièmes

Il y a dix dixièmes dans une unité, il y a 100 centièmes dans une unité, il y a dix centièmes dans un dixième…

1 unité 10 dixièmes 100 centièmes

Bandes de papier

(31)

Importance du choix des supports : droites

graduées (aspect décimal/processus réitéré...)

https://www.reseau-

canope.fr/lesfondamentaux/discipline/mathematiques/nombres/nombres-decimaux/placer- les-decimaux-sur-la-droite-graduee.html

(32)

Et les autres supports ?

(33)

Dans le grand carré, il y a 10 colonnes et dans chaque colonne, il y a

100 carreaux

Aspect décimal

(écriture décimale des nombres décimaux)

Je partage l’unité en dix parties égales, puis je partage un dixième en 10 parties égales et je recommence, et je recommence...

(34)

Manipuler, oui mais à quel moment ?

Faire des maths !

(35)

(36)

Un dernier exemple

(37)

Un problème du cycle 3 : la construction du triangle à la règle et au compas

• Construire un triangle à partir de trois longueurs fixées :

• montrer que le triangle existe et produire un tracé de ce triangle,

• montrer que le triangle n’existe pas, c’est-à-dire que les trois longueurs données ne vérifient pas l’inégalité triangulaire.

• Construction attendue :

• tracer à la règle un segment d’une des trois longueurs souhaitées,

• tracer avec le compas deux cercles (arcs de cercle) centrés sur les extrémités de ce segment avec pour rayon chacune des deux autres longueurs.

• Les intersections des deux cercles, si elles existent, sont les sommets de deux triangles symétriques construits de part et d’autre du segment initial.

D’après la thèse de Voltolini, « Duo d'artefacts numérique et matériel pour l'apprentissage de la géométrie au cycle 3 »

(38)

Un problème du cycle 3 : la construction du triangle à la règle et au compas

• Des difficultés

• Usage de la règle qui crée un obstacle

• Recherche d’un point (vision points) alors que le compas est souvent utilisé pour tracer des cercles ou reporter des longueurs

Vision 2D Vision 1D Vision 0D

(39)

Une situation qui articule cahiers informatisés et compas matériel

Quatre phases

logiciel Cabri Elem¹

(40)

(41)

(42)

Duo d’artefacts numérique et matériel pour l’apprentissage de la géométrie au cycle 3 - Anne Voltolini

http://www.theses.fr/2017LYSEN023

Notion de duo d’artefacts numérique et matériel

comme moyen de caractériser une articulation fructueuse entre un artefact numérique et un artefact matériel dans une situation didactique

(43)

Je peux faire pivoter comme ça...

Conditions

d’existence d’un

triangle

(44)

Je trace deux arcs de cercles pour

trouver le troisième sommet...

Construction du

triangle

(45)

(46)

Nombres et calculs

(47)

« La valeur de chaque chiffre dépend de sa position dans le nombre »

Connaissances à rappeler au préalable

4 147

4

(48)

« Les différentes unités de la numération sont liées entre elles par des

« relations » décimales »

Connaissances à rappeler au préalable

(49)

Un schéma pour mieux retenir (aspect position/aspect décimal)

1 000 100 10 1

milliers centaines dizaines unités

ASPECT POSITION ASPECT DECIMAL

(50)

1 000 100 10 1 milliers centaines dizaines unités

Un schéma pour mieux retenir (aspect position/aspect décimal)

(51)

Un schéma pour mieux retenir (aspect position/aspect décimal)

(52)

Un schéma pour mieux retenir (aspect position/aspect décimal)

(53)

CONVERTIR DES….EN….(unités de numération)

Un schéma pour mieux retenir (aspect position/aspect décimal)

(54)

Pour en savoir plus : http://www-irem.ujf-

grenoble.fr/spip/spip.php?rubr ique21&num=86

21 dizaines,

c’est 2 centaines et 1 dizaine

Aspect position ? Aspect décimal ? Les deux ?

(55)

Cubes emboitables

Une barre, c’est une dizaine mais les unités restent visibles.

1d = 10 u

10 cubes emboités : une dizaine

10 cubes non emboités : 10 unités

Pour « casser » une dizaine, c’est

immédiat !

(56)

Cubes emboitables

Une barre, c’est une dizaine mais les unités restent visibles.

1c = 10 d

10 barres emboitées : une centaine

10 barres non emboités : 10 dizaines

Pour « casser » une centaine, c’est

immédiat !

(57)

Boites Picbille

Lorsque la boite est fermée, on a une dizaine

et les unités ne sont plus visibles.

Boite fermée : une dizaine

Boite ouverte : dix unités

1d = 10 u Inutile de compter jusqu’à 10 !

Pour « casser » une dizaine, il faut ouvrir la boîte

(58)

Boites Picbille

Lorsque la boite est fermée, on a une centaine

et les dizaines ne sont plus visibles.

Pochette fermée : une centaine

Pochette ouverte : dix dizaines 1 c = 10 d

Pour « casser » une centaine, il faut ouvrir la valise

(59)

Grand format

Petit format

(60)

Matériel Multibase

Unités, dizaines et centaines 1d = 10 u ; 1c = 10 d ; 1c = 100 u

Les 10 unités nécessaires pour faire une dizaine sont visibles.

Les 10 dizaines nécessaires pour faire une centaine sont visibles.

On ne peut pas « casser » les centaines, on ne peut pas « casser » les dizaines.

NECESSITE DE FAIRE DES ECHANGES !

(61)

Abaque

Unités, dizaines et centaines 1d = 10 u ; 1c = 10 d ; 1c = 100 u

On ne voit pas les unités contenus dans une dizaine, on ne voit pas les dizaines contenus dans une centaine.

NECESSITE DE FAIRE

DES ECHANGES AVEC DES ANNEAUX QUI ONT TOUS LA MÊME TAILLE !

On ne peut pas « casser » les centaines, on ne peut pas « casser » les dizaines.

(62)

On peut aussi utiliser des buchettes avec

des élastiques et des sachets transparents

ou opaques

(63)

On peut aussi utiliser des buchettes

avec des élastiques et des sachets transparents

ou opaques

(64)

On peut aussi utiliser des buchettes

avec des élastiques et des sachets transparents ou opaques

On peut « casser » On peut rendre visible ou invisible

(65)

Je mets dix objets dans un sachet opaque. Lorsque je ferme le sachet, j’ai une dizaine. Si j’ouvre le

sachet, je vois que : une dizaine, c’est dix unités.

L’aspect décimal de

la numération

(66)

Le jeu du gobelet

http://objectifmaternelle.fr/2016/08/decompositions-jeu-saladier-video/

(67)

(68)

SACHETS ELASTIQUES BARRES OU PLAQUES

BOITES

(inutile de dénombrer jusqu’à 10)

(69)

(70)

(71)

(72)

Grandeurs et mesures

(73)

Un objet, une grandeur et un nombre

UN OBJET PHYSIQUE ou GEOMETRIQUE

DOMAINE GEOMETRIQUE

UNE MESURE (un nombre)

DOMAINE NUMERIQUE

GRANDEUR (géométrique)

(74)

Importance des activités de COMPARAISON !

Les grandeurs absolues n’existent pas.

[Supposons] qu’au cours de la nuit prochaine, pendant mon sommeil, les dimensions de toutes choses et celles de l’univers lui-même soient diminuées de moitié, comment ferai-je à mon réveil pour vérifier l’événement ?

Nicolas Rouche : Le sens de la mesure

« Des grandeurs aux nombres rationnels »

Analyse de manuels

• Deux approches différentes

• Entrée par un travail sur la notion d’aire (indépendamment de la mesure)

• Entrée par la mesure

• Ces deux entrées se valent-elles ?

• Non

• Construire le sens de la grandeur (indépendamment de la mesure)

• Trois étapes :

• Comparer

• Mesurer

• Résoudre des problèmes (calculs, conversions)

(75)

La notion d’aire prend sens à travers des activités de COMPARAISON !

75

COMPARAISON AVEC MANIPULATION (AU MOINS DANS UN PREMIER TEMPS !)

(76)

(77)

Comparer des périmètres sans les mesurer : en reportant les longueurs des côtés

77

(78)

Comparer des angles : effectuer des rapports

de grandeurs

(79)

Qu’est ce que mesurer ?

C’est faire le choix d’un objet étalon U (on doit évidemment pouvoir associer à cet objet la grandeur que l’on veut mesurer).

La grandeur U de cet objet sera appelée unité.

Mesurer une grandeur A c’est trouver le nombre a qui vérifie l’égalité : grandeur de A = a x grandeur U

C'est-à-dire compter combien de grandeur U peut contenir la grandeur A.

Exemple :

J’ai un verre vide (étalon). Je choisis son volume comme unité de volume.

Mesurer le volume de ma bouteille d’eau c’est donc compter combien de fois je dois verser

le contenu de ce verre pour remplir cette bouteille.

(80)

Qu’est ce que « bien » mesurer ? Manipuler pour comprendre...

https://www.youtube.com/watch?v=yd6ysSKnwTA

(81)

Qu’est ce que « bien » mesurer ? Manipuler

pour comprendre...

(82)

(83)

(84)

Les tours de Dominique Valentin

Construire des tours et les poser sur une bande de papier (piste de jeu) ou sur un banc ou sur une table. Un peu en hauteur.

Un élève se place à un bout ou à l’autre de l’alignement et dit combien il voit de tours.

Un élève se place à distance.

Les autres font des hypothèses.

L’élève valide.

Tâche : indiquer le nombre de tours visibles Qui fait une hypothèse ?

Qui valide ?

On annonce le nombre de tours qui seront visibles d’un côté et de l’autre.

Un élève dispose les tours sur la piste de jeu.

Un autre élève valide.

Tâche : placer les tours sur la piste de jeu Qui fait une hypothèse ?

Qui valide ?

(85)

Pour mieux se décentrer on utilise des figurines !

En classe. les mêmes activités mais on a changé d’échelle !

TAILLE DES TOURS

Qui « regarde » !

Sur quadrillage, ne pas disposer deux tours de même hauteur sur une même ligne ou une même colonne.

Piste/plateau de jeu Contrainte donnée

Indiquer le nombre de tours vues. Indiquer le nombre de tours vues

(86)

Je vois toutes les tours.

Ranger du plus

petit au plus grand

(87)

https://www.arpeme.fr/index.php?id_page=42

(88)

(89)

(90)

Géométrie

(91)

La géométrie, en soi est une

modélisation :

Il s’agit de passer du monde environnant (espace concret) à un monde

« géométrique » (espace abstrait).

Qu’est ce que la géométrie ? Quels sont les enjeux de son enseignement ?

(92)

Le dessin, la trace laissée par un outil dans un espace graphique papier-

crayon, écran d’ordinateur, logiciel de géométrie dynamique…

L’objet de la géométrie euclidienne, objet idéal, construction de l’esprit, peut être décrite par un texte, une formulation, des propriétés.

rectangle

Qu’est ce que la géométrie ? Quels sont les enjeux de son enseignement ?

IMPORTANCE DU LANGAGE

ARTICULATION ENTRE LES GESTES REALISES SUR LE MATERIEL ET LES CONCEPTS DE GEOMETRIE

(93)

(94)

(95)

(96)

http://primaths.fr/outils%20cycle%202/pavesassembles.html

(97)

http://primaths.fr/outils%20cycle%203/geometrie/vuesducube.html

(98)

(99)

(100)

Restauration de figures

(101)

Le solide caché

Première phase : Un groupe de 2 ou 3 élèves, nommé G1 est constitué. Le solide référent lui est confié sans que les autres participants le voient. Le groupe G1 se retire avec le solide et doit imaginer les questions qui peuvent lui être posées et quelles réponses il doit donner.

Les autres élèves sont répartis par groupes G2 à Gn pour réfléchir et se mettre d’accord sur les questions qu’ils décideront de poser. Chaque groupe note ses questions sur une feuille.

Deuxième phase : Formulation des questions

Chacun des groupes pose à tour de rôle une question à laquelle le groupe G1 répond « oui » ou

« non » ou un « nombre » ou bien « on ne peut pas répondre » si la question est mal posée ou porte sur un nom de solide.

L’enseignant note au tableau les questions avec la réponse apportée dans l’ordre où elles

apparaissent. Quand il l’estime utile, il peut proposer des pauses afin de permettre à chaque

groupe de se concerter pour faire le point et ajuster son questionnement.

(102)

Le solide caché

Troisième phase : Résolution

Une pause est proposée pour que chacun des groupes G2 à Gn se concerte pour construire un patron.

Quatrième phase : Mise en commun - chaque groupe présente le patron qu’il a élaboré. Un échange a lieu entre les groupes autour des informations utilisées.

Cinquième phase : Validation et bilan

Le solide caché est dévoilé par le groupe G1 et est confronté aux patrons proposés par les groupes G2 à Gn.

Les élèves sont invités à lire les questions posées, à interroger leur pertinence, l’exploitation des

informations recueillies pour ajuster le questionnement, les modes de raisonnement mis en

œuvre…

(103)

A retenir...

(104)

Manipuler, oui mais aussi contraindre

Faire des maths !

(105)

MATERIEL

SUPPORTS

ARTEFACT NUMERIQUE