Diophante A2846 – 7 et les rationnels [*** à la main]
Sait-on trouver :
- 2 nombres rationnels > 0 dont la somme et le produit sont égaux à 7 ? - 3 nombres rationnels > 0 dont la somme et le produit sont égaux à 7 ? - 4 nombres rationnels > 0 dont la somme et le produit sont égaux à 7 ? - 5 nombres rationnels > 0 dont la somme et le produit sont égaux à 7 ? Réponses:
- 2 Non
Si la somme et le produit de deux nombres réels a et b sont égaux à 7, alors a et b sont les solutions de l'équation (X - a)(X - b) = X2 - (a + b)X + ab = X2 - 7X + 7 = 0.
Le discriminant est 72 - 4x7 = 21, qui n'est pas un carré parfait.
a et b sont irrationnels, précisément (7 ± √21)/2.
- 3 Oui
Soit p/q le troisième nombre rationnel.
Deux nombres réels a et b dont la somme est égale à 7 - p/q et dont le produit est égal à 7/(p/q) = 7q/p sont les solutions de l'équation X2 - (7 - p/q)X + 7q/p = 0.
Le discriminant est (7 - p/q)2 - 4x7q/p ou (7q - p)2 - 28q3/p divisé par q2. Si p = 7, a et b sont rationnels si 72(q - 1)2 - 4q3 est un carré parfait.
q = 6 convient, car 352 - 4 x 63 = 361 = 192. a et b sont (35/6 ± 19/6)/2, soit 9/2 et 4/3.
On vérifie que 7/6 + 9/2 + 4/3 = 42/6 = 7, et que 7/6 x 9/2 x 4/3 = 7.
- 4 Oui
S2 - 4P = Y2 - 4Y est strictement positif lorsque Y > 4, donc pour 9/2 dans le triplet précédent.
Les deux réels dont la somme S et le produit P sont égaux à 9/2 sont rationnels, ce sont 3 et 3/2.
On vérifie que 7/6 + 3 + 3/2 + 4/3 = 42/6 = 7, et que 7/6 x 3 x 3/2 x 4/3 = 7.
- 5 Non
La moyenne arithmétique est 7/5 = 1,4.
La moyenne géométrique est 71/5 ≈ 1,476 qui lui est supérieure.
L'inégalité des moyennes arithmétique et géométrique n'est pas satisfaite.
