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2N2 → 2,2N → 2(2N

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Academic year: 2022

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(1)

Problème noA5919 de Diophante (mai 2021) L'égalité suivante sera utile :

2(2n)=

2(2n−1)2

.

Q1 Posons N = 263. On peut atteindre comme suit n'importe quelle cible n≤N (commen= 127ou n= 2 187) à partir deL= (4,64):

4 = 22,64→ 2,2,64→ 2,264→ 2(264) = 2N2

→ 2,2N →

2(2N) =

2(2N−1)2

→ 2,2(2N−1) =

2(2N−2)2

→ . . .

2, . . . ,2,2(2n) → 2, . . . ,2,2,2n→ 2, . . . ,2,2,2, n.

Q2 Posons N = 231. On peut atteindre M := 2 147 483 647 =N −1en 6tours à partir deL:= (2,2,2,31):

2,2,2,31→ 2,2, N → 2,2N → 2(2N) =

2(2M)2

→ 2,2(2M)→

2,2,2M → 2,2,2, M.

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