Séquence 2 : Théorème de Thalès
Plan de la séquence :
Activités : Utiliser les triangles semblables pour découvrir le théorème de Thalès dans la configuration triangle.
I- Rappels : Triangles semblables, agrandissement et réduction
II- Le théorème de Thalès « configuration classique et papillon ».
1) Le théorème de Thalès
2) Calculer une longueur
III- Reconnaitre des droites parallèles.
La réciproque du théorème de Thalès.
Séquence 2 : Théorème de Thalès
I- Rappels : Triangles semblables, agrandissement et réduction :
Triangles semblables :
a) Définition : Deux triangles sont égaux lorsque leurs côtés sont deux à deux de même longueur.
Propriété : Si deux triangles ont, deux à deux :
{
∗ 𝑈𝑛 𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑚ê𝑚𝑒 𝑚𝑒𝑠𝑢𝑟𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑑𝑒𝑢𝑥 𝑐ô𝑡é𝑠 𝑑𝑒 𝑚ê𝑚𝑒 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟 𝒐𝒖
∗ 𝑈𝑛 𝑐ô𝑡é 𝑑𝑒 𝑚ê𝑚𝑒 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑑𝑒𝑢𝑥 𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑚ê𝑚𝑒 𝑚𝑒𝑠𝑢𝑟𝑒
, alors ils sont égaux
Exemple : AB=A’B’
BC=B’C’
𝐴𝐵𝐶̂ = 𝐴′𝐵′𝐶′̂
Les triangles ABC et A’B’C’ ont un angle de même mesure compris entre deux côtés de même longueur, donc ce sont des angles égaux
Exercice 26 page 217 indigo
b) Définition : Des triangles semblables sont des triangles qui ont leurs angles deux à deux de même mesure. Un angle d’un triangle et l’angle de même mesure de l’autre triangle sont dits homologues. Les côtés opposés à deux angles homologues sont aussi dits homologues.
Remarque : Si deux triangles sont égaux alors ils sont semblables. Par contre, deux triangles semblables ne sont pas forcément égaux.
Faire les exercices 6, 18 pages 192/193 Trans maths
Faire les exercices 16, 31 pages 193/194/ Trans maths
II- Le théorème de Thalès « configuration classique et papillon ».
1) Le théorème de Thalès
Les triangles ABC et AEF sont semblables tel que : E ∈ [AB]
F ∈ [AC]
(EF) // (BC)
Donc on a
:
𝐴𝐸𝐴𝐵
=
𝐴𝐹𝐴𝐶
=
𝐸𝐹𝐵𝐶
=
On constate que 𝐴𝐸
𝐴𝐵
=
𝐴𝐹𝐴𝐶
=
𝐸𝐹𝐵𝐶
Le théorème de Thalès
La configuration « papillon » La configuration « classique »
Si les points A, B, M d’une part et A, C, N d’autre part sont alignés, et si (BC) // (MN), alors : 𝐴𝑀
𝐴𝐵
=
𝐴𝑁𝐴𝐶
=
𝑀𝑁𝐵𝐶
= k > 1 puisque AM > AB : ce coefficient permet de calculer les grandes longueurs à partir des petites.
C’est un coefficient d’agrandissement.
On a également : 𝐴𝐵
𝐴𝑀
=
𝐴𝐶𝐴𝑁
=
𝐵𝐶𝑀𝑁= k’ < 1 puisque AM > AB : ce coefficient permet de calculer les petites longueurs à partir des grandes.
C’est un coefficient de réduction.
* Les triangles ABC et AMN sont semblables
* Les côtés correspondants (homologues) des triangles ABC et AMN sont proportionnels.
* Le triangle ABC est un agrandissement ou une réduction du triangle AMN.
Faire les exercices 2, 3 P202 et 14 P204
2) Calculer une longueur :
Exemple 1 :
Dans la figure ci-contre (OR) // (TE) On veut calculer la longueur PE.
Les points P, O, T d’une part et P, R, E d’autre part sont alignés, et
(OR) // (TE), d’après le théorème de Thalès : 𝑃𝑂
𝑃𝑇
=
𝑃𝑅𝑃𝐸
=
𝑂𝑅𝑇𝐸 3,5
2+3,5
=
5𝑃𝐸
on utilise l’égalité des produits en croix et on trouve : PE = 5×7,5
3,5
≈ 7,9 𝑐𝑚
Faire les exercices 1, 4, 5 P202 // 6, de 9 à 12 P203// 41, 42, 43 P208 // 51 P210 //55 P211
Exemple 2 :
Dans la figure ci-contre (AF) // (EC) On veut calculer la longueur EC.
Les points A, G, E d’une part et F, G, C d’autre part sont alignés, et
(AF) // (EC), d’après le théorème de Thalès : 𝐺𝐸
𝐺𝐴
=
𝐺𝐶𝐺𝐹
=
𝐸𝐶𝐴𝐹
;
𝐺𝐸𝐺𝐴
=
𝐸𝐶𝐴𝐹 3,6
3,2
=
𝐸𝐶3,4
on utilise l’égalité des produits en croix et on trouve : EC = 3,6×3,45
3,2
≈ 3,83 𝑐𝑚
Faire les exercices 15, 16, 17 P204 // de 20 à 24 P205// 57 P212
III- Reconnaitre des droites parallèles.
Théorème de Thalès : réciproque Si les points A, B, M d’une part et A, C, N d’autre part sont alignés dans le même ordre et si
𝐴𝑀
𝐴𝐵
=
𝐴𝑁𝐴𝐶
alors (BC) // (MN).
Méthode :
Soient les points A, B, M d’une part et A, C, N d’autre part sont alignés dans le même ordre :
* Si 𝐴𝑀
𝐴𝐵
=
𝐴𝑁𝐴𝐶, alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles et 𝐴𝑀
𝐴𝐵
=
𝐴𝑁𝐴𝐶
=
𝑀𝑁𝐵𝐶
* Si 𝐴𝑀
𝐴𝐵
≠
𝐴𝑁𝐴𝐶, alors les droites (BC) et (MN) ne sont pas parallèles
Exemple 1 :
Dans la figure ci-contre, AB = 5,4 cm AD = 7,2 cm, AC = 6,6 cm et AE = 8,8 cm les points A, B, D d’une part et A, C, E d’autre part sont alignés
dans le même ordre 𝐴𝐵
𝐴𝐷
=
5,47,2 = 0,75 et 𝐴𝐶
𝐴𝐸
=
6,68,8 = 0,75
𝐴𝐵 𝐴𝐷
=
𝐴𝐶𝐴𝐸, l’égalité de Thalès est vérifiée, donc (BC) // (DE) et 𝐵𝐶
𝐷𝐸 = 0,75
Exemple 2 :
Les points B, A, E d’une part et C, A, D d’autre part sont alignés
dans le même ordre 𝐴𝐸
𝐴𝐵
=
1,84,8 = 0,375 et 𝐴𝐷
𝐴𝐶
=
2,45 = 0,48
𝐴𝐵 𝐴𝐷
≠
𝐴𝐶𝐴𝐸, l’égalité de Thalès n’est pas vérifiée, donc les droites (BC) et (DE) ne sont pas parallèles.
Cas particulier :
Dans un triangle la droite qui passe par les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté et les rapports sont égaux à 1
2 .
Faire les exercices 25 à 29 P206 // de 31 à 33 P207 // 45 à 47 P209// 49 P210 // 59 P213