G106-Les vacances de la société Zéro-Wikend
Solution
Deux façons d’aborder ce problème :
1) Soit A(n) l’espérance mathématique du nombre de jours-anniversaire avec n employés. On a la formule de récurrence suivante : A(n) = A(n-1) + 1 – A(n-1)/365. En effet si A(n-1) est l’espérance mathématique de dates d’anniversaires pour n-1 employés, le n-ième employé apporte un jour de congé supplémentaire pondéré par la probabilité (1-A(n-1)/365) qu’il soit né à une date distincte des dates d’anniversaire déjà observées chez les n-1 premiers
employés.
Il en résulte A(n) = 1 + 364/365*A(n-1) =
1 n 2 ....(364/365) (364/365)
364/365 1
A(n) =A(n)(1pn)/(1p)avecp364/365 D’où A(n)365364n/365n1. Le nombre de jours travaillés en moyenne par un employé dans une année est donc W(n)365A(n)364n/365n1 et l’espérance mathématique du nombre de jours ouvrés dans la société Zéro-Wikend est égal à
1 n n/365 364
* n W(n)
* n
Q(n) .
0
dQ(n)/d(n) donne le maximum atteint par Q(n) pour n=364.5. Comme il convient de retenir une valeur entière, on peut considérer que la société a embauché 364 ou 365 employés qui fournissent un nombre escompté de 48943.5 journées de travail dans l’année soit une moyenne de 134 journées de travail par an et par employé. Contrairement à ce que l’intuition première pourrait laisser croire, les 365 employés n’ont aucune chance d’être en vacances tout au long de l’année en ayant des anniversaires tous distincts. Il n’en reste pas moins que la société Zéro-Wikend est bien généreuse et que la perte des week-end est largement
compensée par l’octroi de 231 jours de congés qui correspondent à l’espérance mathématique du nombre d’anniversaires distincts.
2) Soit Q(n) le nombre total de jours ouvrés avec n employés. On calcule pas à pas E(Q(1)), puis E(Q(2)), E(Q(3)),….
Pour n=1, il y a 364 jours ouvrés et E(Q(1))=364.
Pour n=2, il y a :
- 363 jours ouvrés si les dates d’anniversaire des deux employés sont distinctes [probabilité :364/365]
- 364 jours ouvrés si les anniversaires coïncident [probabilité 1/365].
D’où E(Q2))=2*(363*364/365 + 364*(1/365)) = 726,0
Pour n=3, il y a :
- 362 jours ouvrés si les dates d’anniversaire des trois employés sont différentes [probabilité : (364/365)*(363/365)],
- 363 jours ouvrés s’il y a deux anniversaires [probabilité : (364/365)*(3/365)]
- 364 jours ouvrés si les trois dates coïncident [probabilité : 1/3652].
D’où E(Q(3))=3*[362*(364/365)*(363/365) + 363*(364/365)*(3/365) + 364*1/3652] = 3*[(362*363*364/3652) + (3*363*364/3652) +364/3652] = 1086,0
Pour n=4, il y a :
- 361 jours ouvrés si les dates d’anniversaire des trois employés sont différentes [probabilité : (364/365)*(363/365)*(362/365)],
- 362 jours ouvrés s’il y a trois anniversaires [probabilité : (364/365)*(363/365)*(C(4,2)/365)] avec C(4,2) = 6 - 363 jours ouvrés s’il y a deux anniversaires [probabilité :
(364/365)*(363/365)*(C(4,1)+C(4,2)/2)/365)] avec C(4,1)+C(4,2)/2 = 7 - 364 jours ouvrés si les quatre dates coïncident [probabilité :1/3653] D’où E(Q(4)) = 4*[(361*362*363*364/3653) + (6*362*363*364/3653) + (7*363*364/3653) + 364/3653]= 1444,1
...;
Soit p(n,i) la probabilité pour qu’il y ait i anniversaires avec n employés ,i365.
On a les relations de récurrence :
365 i 2 pour i)/365 (366
* 1) i 1, p(n i/365
* i) 1, p(n i)
p(n,
n)/365 (366
* 1) n p(n, n)
p(n, pour n365. Si n>365, p(n, n)=0 en raison du principe des tiroirs de Dirichlet.
1,1)/365 p(n
p(n,1) quel que soit n.
On a la formule générale :
i n
1 i
i) p(n,
* i) (365
E(Q(n)) n pour n365 et
i 365
1 i
i) p(n,
* i) (365
E(Q(n)) n pour n>365
Un tableur permet de calculer le valeurs successives de E(Q(n)) :
E(Q(1)) = 364, E(Q(2)) = 726.0, E(Q(3)) = 1086.0, E(Q(4)) = 1444.1, E(Q(5)) = 1800.1, E(Q(6)) = 2154.2, E(Q(7)) = 2506.4, E(Q(8)) = 2856.6, E(Q(9)) = 3244.9, E(Q(10)) = 3551.2,… Les valeurs vont en croissant jusqu’à E(Q(364))=E(Q(365))=48943.5. Pour les valeurs de n>365, E(Q(n)) va logiquement en décroissant jusqu’à la valeur limite qui sera 0 quand le nombre d’employés est assez élevé pour qu’il y ait 365 anniversaires distincts.
