D293. Distances fermatiennes (1)
Soit un triangle ABC dont les sommets ont pour coordonnées A(1,8), B(0,0) et C(10,0) dans le plan orthonormé Oxy.
On trace un point D de coordonnées (4,3), son symétrique E par rapport à BC, puis le point P dont la somme des distances aux points A,B,C et D est minimale et enfin le point Q dont la somme des distances aux points A,B,C et E est minimale.
Déterminez la distance PQ. Justifiez votre réponse.
(¹)Nota: il s'agit d'une variante du problème de Fermat qui consiste à localiser un point M par rapport à trois points A, B et C de telle manière que la somme des distances entre M et chacun des trois autres points soit minimale.
Solution proposée par Gaston Parrour
B est à l'origine O, BC est porté par Ox et le symétrique de D par rapport à BC est E(4,-3) H est la projection orthogonale de D sur BC
Q est le point dont la somme des distances à A , B , E , C est minimale Le quadrilatère ABEC (en rouge sur la figure) est convexe
P est le point dont la somme des distances à A , B, C , D est minimale
Le quadrilatère ABCD ((segment AB +ligne verte sur la figure) n'est pas convexe : il présente un angle rentrant en D
(Les deux quadrilatères mentionnés ont en commun le côté AB) B(0,0)
A(1,8)
D(4,3)
E(4,-3)
C(10,0) x
y
H
M0'
M0 C'
A'
Préambule Le point de Fermat F
Étant donnés trois points A B et C , la détermination d'un point F tel que la somme des distances FA + FB + FC est minimale, peut se faire de diverses façons
Celle décrite ici dans ses grandes lignes, précise les éléments utilisés dans la suite Notations : les vecteurs sont en caractères gras
la norme d'un vecteur a est notée | a | , identique à la notation a → A partir du point courant M, considérons les trois vecteurs unitaires
u1 = MA/| MA | u2 = MB/| MB | u3 = MC/| MC | 1- La relation u1 + u2 + u3 = 0 (1) est équivalente à
'' angle géométrique entre deux quelconques de ces trois vecteurs = 2pi/3 ''
En effet la relation (1) multipliée scalairement successivement par u1 , u2 et u3 , fournit un système S de 3 équations dans lesquelles ui.ui = 1 et ui.uj = uj.ui = cos (TETAij)
(TETAij est l'angle géométrique entre ui et uj ) En notant Uk = cos(TETAij) le système S est
1 + U3 + U2 = 0 U3 + 1 + U1 = 0 U2 + U1 + 1 = 0
→ La résolution de ce système conduit à U1 = U2 = U3 = -1/2 d'où TETAij = 2pi/3 Sous réserve d'existence :
==> Le point M0 du plan où la somme des trois vecteurs unitaires est nulle est celui où la relation angulaire ci-dessus est vérifiée
Si ce point existe, il est unique Existence, de M0 :
Il est clair que ce point doit tout d'abord appartenir à l'intérieur du triangle ABC(sinon au moins un angle entre deux vecteurs unitaires est supérieur à pi)
A partir de cela, si l'un des angles du triangle est plus grand ou égal à 2pi/3 (par exemple ang BAC > 2pi/3), alors quel que soit le point M considéré intérieur au triangle, il sera impossible de réaliser la relation angulaire (dans l'exemple ang BMC > 2pi/3)
→ Le point M0 existe si tous les angles du triangle ABC sont inférieurs à 2pi/3. Il est alors unique et se situe à l'intérieur de ABC
En admettent qu'il existe un point M0 où la relation (1) ci-dessus est vérifiée, alors ce point M0 est 2- le point F de Fermat cherché
→ Pour montrer cela on va utiliser la relation suivante, valable pour tout vecteur V non nul et tout vecteur a | V – a | ≥ | V | - (V/| V |) . a (2)
Tout d'abord : cette relation résulte de l'inégalité liée au produit scalaire de deux vecteurs quelconques A et B | A | | B | ≥ A . B
En posant alors A = V – a et B = V/| V | (vecteur unitaire), on obtient la relation (2) Alors à partir du point M0 où la relation (1) est vérifiée (précisé en première partie), on peut définir : trois vecteurs M0A M0B et M0C
et, en considérant un point quelconque M,
trois vecteurs MA MB et MC et un vecteur M0M d'où MA = M0A – M0M
MB = M0B – M0M MC = M0C – M0M
→ Avec M0A, M0B et M0C on a 3 vecteurs ''V'' pour trois relations du type de (2) ci-dessus Dans chacune de ces 3 relations M0M joue le rôle du vecteur a
et les trois vecteurs unitaires M0A/| M0A | M0B/| M0B | M0C/| M0C | vérifient la relation (1) Ainsi on obtient | MA | + | MB | + | MC | ≥ |M0A | + | M0B | + | M0C | (sommation membre à membre) ==> Le pont M0 où la relation (1) est vérifiée est le point de Fermat F cherché.
Conclusion du préambule : s'il existe un point du plan où la relation (1) est réalisée, cela joint à la relation (2), définit le point F de Fermat.
Dans le cas où la relation (1) ne peut être satisfaite (un angle au sommet plus grand que 2pi/3) une étude spécifique doit être effectuée.
Recherche des points P et Q définis dans l'énoncé, analogues au point de Fermat
On a ici affaire à 2 quadrilatères : ABEC convexe pour lequel déterminer Q ABCD non convexe (en D angle rentrant) pour lequel déterminer P En tenant compte de la conclusion du préambule :
→ s'il existe un point qui vérifie la relation (1), et compte tenu de la relation (2) (toujours satisfaite pour des vecteurs V et a), ce point est le point de Fermat du quadrilatère
En conservant les notations précédentes, l'introduction d'un quatrième point conduit à un quatrième vecteur unitaire u4 = MA4/| MA4 | où le point A4 est, soit D , soit E
La relation analogue à la relation (1) est donc
u1 + u2 + u3 + u4 = 0 (1') → Cette relation entre vecteurs unitaires signifie que ces vecteurs sont opposés deux à deux . A partir de là, distinguons les deux quadrilatères.
1 - Cas du quadrilatère convexe ABEC
Compte tenu de la définition des 4 vecteurs unitaires, un seul point du plan satisfait à la relation (1') : → Au point de concours M0 des diagonales AE et BC de ce quadrilatère convexe, les vecteurs unitaires sont alors opposés deux à deux
La relation (1') satisfaite en ce point M0, jointe à la relation (2) écrite pour les quatre vecteurs M0A M0B M0E M0C et le vecteur M0M (M point courant du plan), permet d'obtenir directement | MA | + | MB | + | ME | + | MC | ≥ | M0A | + | M0B | + | M0E | + | M0C |
==> Q est le point M0 d'intersection des diagonales AE et BC
2 - Cas du quadrilatère ABCD avec un angle rentrant en D
→ Ici le point de concours des diagonales de ce quadrilatère M0', est extérieur au quadrilatère (voir figure) La définition des quatre vecteurs unitaires montre alors qu'en ce point M0' la relation (1') est impossible car les vecteurs unitaires dirigés vers B et D sont de même sens.
Recherche du point P dans ce cas où la relation (1') n'est pas satisfaite
Remarquons tout d'abord que si on considère un quadrilatère convexe ABCD1 (où D1 serait un sommet dans le prolongement de BM0'), par déformation continue : même lorsque D1 devient infiniment voisin de M0', pour ce quadrilatère convexe, M0' est toujours le point de Fermat.
Cela suggère qu'à la limite, lorsque D1 devient confondu avec M0', le sommet D1 est le point de Fermat Cela conduit alors, pour le quadrilatère non convexe ABCD auquel on a affaire, à la question
Le sommet D est-il le point de Fermat de ABCD ?
On est conduit à vérifier des inégalités concernant des sommes de distances à des points.
Pour cela, en partant des inégalités dans un triangle de côtés AB BC CA, un côté (BC par exemple) vérifie | AB – AC | ≤ BC ≤ AB + AC ( et inégalités analogues pour AB et AC) (3)
Alors
→ Pour tout point L intérieur au triangle ABC on a (par exemple en se référant à BC)
LB + LC ≤ MB +MC (4)
N.B. Cette relation s'obtient directement à partir des inégalités triangulaires (3) en faisant intervenir une intersection d'une des droites internes avec le côté opposé
(comme par exemple ici, L' entre BL et AC)
Revenant au quadrilatère ABCD on peut distinguer deux cas
→ le point courant M est intérieur au quadrilatère BA'DC' (voir figure) Dans ce cas le triangle MAC contient le point D, et avec la relation (4) DA + DC ≤ MA + MC (égalité pour M en D) D'autre part dans le triangle MBD, avec l'inégalité de droite de (3) DB ≤ MD + MB
Donc lorsque M est distinct de D → DA + DB + DC < MA + MB + MC + MD Pour le domaine considéré (quadrilatère BA'DC') :
==> Le point D est alors le point où ''la somme des distances aux quatre sommets A, B, C, D est minimale'' → le point courant M est extérieur au quadrilatère BA'DC' mais intérieur au triangle ADC
Dans ce cas M est tel que soit D est dans le triangle AMB (ou à la limite MB passe par D) cas 1 soit D est dans le triangle CMB (où à la limite MB passe par D) cas 2 Les cas 1 et 2 étant parfaitement semblables examinons l'un d'eux ; par exemple
cas 1 D est dans AMB Avec la relation (4)
DA + DB ≤ MA + MB Avec la relation (3) dans le triangle MDC DC ≤ MC + MD
Lorsque M est distinct de D, au moins l'une de ces inégalités est stricte, donc pour ce domaine considéré, ==> Le point D est le point où ''la somme des distances aux quatre sommets A, B, C, D est minimale'' N.B. Dans le cas d'un point M' extérieur à ABC (donc extérieur à ABCD ET au triangle ADC), ceci est vrai a fortiori puisque la somme des distances d'un tel point M' à A, B, C et D est alors plus grande que la somme des distances de tout point M intérieur à ABC à ces mêmes quatre points.
En conclusion : Dans le cas du quadrilatère ABCD non convexe en D
==> le point P pour lequel la somme des distances à A B C et D est minimale se situe en D A.N. Calcul de la distance PQ
Coordonnées de Q(M0) : la droite (AE) a pour équation (y+3)/(x-4) = (8+3)/(1-4) → Q( y0 = 0, x0 = 35/11) PQ2 = QH2 + HD2 QH = BH – BQ = 4 – 35/11 = 9/11 → PQ2 = 81/121 + 9 PQ = 3/11sqrt(130) PQ = 3,1095 …
A
B C
L
L'
