E631 Retour à la case de départ [*** à la main]
Solution de Daniel Collignon
Pour nous aider dans le raisonnement, faisons comme si les coureurs portaient des dossards numérotés de 1 à n.
Mentalement, imaginons que lorsque deux coureurs se rencontrent, ils échangent leurs dossards et qu’ils continuent dans la même direction.
Dans ce cas, au bout d’un tour complet, les coureurs se retrouvent dans la position initiale (et dans le sens choisi), mais éventuellement avec un autre dossard.
Il reste donc à montrer qu’au bout d’un certain nombre de tours, les coureurs retrouvent tous simultanément leur dossard initial.
A un tour de piste, correspond donc une permutation de n éléments.
Si cette permutation est l’identité, c’est gagné.
Sinon nous utilisons des théorèmes classiques du groupe symétrique :
- cette permutation se décompose de manière en un produit de cycles disjoints deux à deux - cette décomposition est unique à l’ordre près des termes (car ils commutent)
- l’ordre d’une permutation est défini par o = min {j>0 entier tel que s^j = Id}
- l’ordre d’un cycle est égal à la longueur du cycle (cardinal de son support)
- l’ordre d’une permutation est le PPMC des longueurs des cycles intervenant dans la décomposition (au passage l’ordre d’une permutation de n éléments divise toujours n!) Ainsi nous sommes assurés qu’au bout d’un nombre fini de tours, tous les coureurs se retrouvent dans la même situation qu’au départ.
Par contre l’application numérique s’annonce a priori fastidieuse…
Entend-on qu’au bout de 6 minutes c’est la première fois que les n coureurs se retrouvent dans la même position qu’au départ ?
Si c’est bien le cas, cela signifie que les coureurs ont parcourus 5 tours (6 min à 20 km/h => 2 km) et donc nous avons affaire à une permutation ne comprenant que des cycles d’ordre 5 (au moins un) et éventuellement d’ordre 1 (points fixes).
Voici un exemple avec 5 coureurs (1, 3, 5 allant dans un sens ; 2 et 4 dans l’autre sens)
La permutation résultante est le 5_cycle s = (5 4 3 2 1).
Comme s^5 = Id, au bout de 5 tours, les coureurs se retrouveront comme au départ.
Pour être complet, il faudrait exhiber toutes les autres situations avec 5<=n<12…
5 4 3 2 1
1 5 4 3 2
400 m
les 2 lignes représentent
le fait que la piste est circulaire
