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Formulation et mise en oeuvre d’un élément continu de coque axisymétrique raidie
Douha Tounsi Chakroun
To cite this version:
Douha Tounsi Chakroun. Formulation et mise en oeuvre d’un élément continu de coque axisymétrique raidie. Vibrations [physics.class-ph]. Ecole Centrale Paris, 2015. Français. �NNT : 2015ECAP0005�.
�tel-01145990�
THÈSE
Présentée par Dhouha TOUNSI CHAKROUN
pour l'obtention du GRADE DE DOCTEUR
École Doctorale : École Centrale de Paris (ED287)/École Nationale d'Ingénieur de Sfax
Spécialité : Génie Mécanique
Laboratoire d'accueil : LISMMA (EA2336)/LA2MP
Formulation et Mise en ×uvre d'un Élément Continu de Coque Axisymétrique Raidie
Soutenue le 13/01/2015 devant le Jury composé de :
M. DEÜ Jean-François Professeur des Universités LMSSC, Cnam
M. ASSAF Samir Maître de Conférences, HDR ESTACA
M. BOURAOUI Chokri Professeur des Universités ENISO
M. TAWFIQ Imad Professeur des Universités SUPMECA
M. HADDAR Mohamed Professeur des Universités ENIS
M. CASIMIR Jean-Baptiste Maître de Conférences, HDR SUPMECA
M. ABID Said Professeur des Universités IPEIS
N 2015ECAP0005
ii
Remerciements
Le travail de recherche exposé dans ce mémoire de thèse a été réalisé en cotutelle entre le Laboratoire de Mécanique, Modélisation et Productique (LA2MP)à l'Ecole Nationale d'Ingénieur de Sfax (ENIS- Tunisie) et le Laboratoire d'Ingénierie des Sys- tèmes Mécaniques et des Matériaux (LISMMA)à l'institut Supérieur de Mécanique de Paris (SUPMECA- Paris).
Je tiens à exprimer mes vifs remerciements et toute ma reconnaissance à mes directeurs de thèse Monsieur HADDAR Mohamed , Professeur des universités à l'Ecole Nationale d'Ingénieur de Sfax, et Monsieur TAWFIQ Imad , Professeur des universités à l'Institut Supérieur de Mécanique de Paris, pour avoir assuré la direction de mes travaux et pour la qualité de leur encadrement, leurs conseils et la conance qu'ils m'ont accordée.
Je tiens à exprimer mes remerciements et ma très vive gratitude à mes encadreurs Monsieur CASIMIR Jean Baptiste , Maître de conférence HDR à l'Institut Su- périeur de Mécanique de Paris, et Monsieur ABID Said Professeur des universités à l'Institut Préparatoire aux Etudes dÍngénieur de Sfax pour leurs conseils scienti- ques, leurs encouragement et la conance qu'ils mónt accordée ainsi que pour les discussions scientiques et les échanges qui nous ont permis de mieux appréhender le sujet de la thèse.
Je remercie Monsieur BOURAOUI Chokri, Professeur des universités à LÍns- titut Supérieur des Systèmes Industriels de Gabes, ainsi que Monsieur ASSAF Samir , Maître de Conférence à Ecole Supérieure des Techniques Aéronautiques et de Construction Automobile de Paris d'avoir accepté de rapporter mon mémoire et pour l'intérêt qu'ils ont bien voulu porter à ce travail.
Mes remerciements s'adressent également à Monsieur DEU Jean François Pro- fesseur des universités à la Conservatoire National des Arts et Métiers de Paris pour avoir accepté de prendre part au jury.
Mes sincères remerciements s'adressent à tous les membres de LA2MP et de
jamais arrivée là.
iv
Table des matières
Introduction générale xiii
1 Etude bibliographique 3
1.1 Introduction . . . 3
1.2 Etat de l'art des structures de coques raidies . . . 3
1.2.1 Dénition . . . 3
1.2.2 Intérêt industriel de l'étude . . . 4
1.2.3 Analyse vibratoire des coques raidies . . . 6
1.3 Etat de l'art sur la méthode des éléments continus . . . 10
1.3.1 Méthode des éléments continus . . . 10
1.3.2 Les méthodes numériques de l'analyse vibratoire . . . 12
1.3.3 Structures vibratoires traitées par la MEC . . . 16
1.3.4 Les Limite actuelles de la Méthode des Eléments Continus. . 19
1.4 Conclusion . . . 19
2 Développement d'un élément continu d'anneau circulaire 23 2.1 Introduction . . . 23
2.2 Théorie des poutres courbes de Timoshenko . . . 23
2.2.1 Dénition de la géométrie de l'anneau circulaire . . . 23
2.2.2 Hypothèses cinématiques . . . 25
2.2.3 Relations comportementales . . . 26
2.3 Equation de mouvement . . . 28
2.3.1 Energie cinétique . . . 29
2.3.2 Energie potentielle . . . 30
2.3.3 Principe de Hamilton . . . 31
2.4 Elément continu d'anneau circulaire . . . 32
2.4.1 Développements en série de Fourier . . . 32
2.4.2 Matrices de raideur dynamique de l'anneau circulaire . . . 33
2.5 Validation du modèle . . . 34
2.5.1 Propriétés géométriques et matérielles . . . 34
2.5.2 Réponse harmonique . . . 34
TABLE DES MATIÈRES
2.6.2 Temps de calcul et occupation mémoire . . . 43
2.7 Conclusion . . . 43
3 Reformulation complexe de la raideur dynamique des coques de ré- volution 47 3.1 Introduction . . . 47
3.2 Théorie des coques axisymétriques de type Reissner/ Mindlin . . . 48
3.2.1 Description géométrique . . . 48
3.2.2 Cinématique de Ressner/Mindlin . . . 51
3.2.3 Champ des contraintes de Cauchy et eorts internes . . . 53
3.2.4 Relations comportementales . . . 54
3.2.5 Equations du mouvement de la coque axisymétrique . . . 55
3.3 Elément continu de coque axisymétrique . . . 58
3.3.1 Vecteur d'état . . . 58
3.3.2 Recherche de solutions de Fourier . . . 59
3.4 Validation de l'élément . . . 60
3.5 Conclusion . . . 63
4 Développement d'un élément continu de coque raidie par raidisseurs circonférentiels 67 4.1 Introduction . . . 67
4.2 Formulation par couplage coque/poutre . . . 67
4.2.1 Géométrie . . . 68
4.2.2 Matrice de rigidité dynamique de la coque raidie . . . 70
4.2.3 Validation numérique . . . 74
4.3 Formulation par variation d'épaisseur . . . 81
4.3.1 Géométrie de la structure de coque raidie . . . 81
4.3.2 Matrices de transfert dynamiques . . . 83
4.3.3 Matrices de raideur dynamiques . . . 84
4.3.4 Validation numérique . . . 84
4.4 Conclusion . . . 93
5 Développement d'un élément continu de coque raidie par un raidis- seur longitudinal 97 5.1 Introduction . . . 97
5.2 Présentation des structures de poutres droites de Timoshenko . . . . 97
5.2.1 Dénition de la géométrie . . . 97
5.2.2 Hypothèses cinématiques . . . 98
5.2.3 Loi de comportement . . . 98
5.2.4 Relations eort-déplacement . . . 99
5.2.5 Equation de mouvement . . . 99
5.3 Elément continu de coque raidie par un raidisseur longitudinal . . . . 100
5.3.1 Formulation de l'équation de mouvement d'une coque raidie par un raidisseur longitudinal . . . 100
5.4 Validation du modèle . . . 105 vi
TABLE DES MATIÈRES 5.4.1 Propriétés géométriques et matérielles . . . 105 5.4.2 Réponse harmonique . . . 105 5.5 Conclusion . . . 108
Conclusion générale et perspectives 111
Annexes 115
.1 Bibliographie . . . 122
TABLE DES MATIÈRES
viii
Table des gures
1.1 Coques cylindriques raidies . . . 4
1.2 Réservoirs de stockage . . . 4
1.3 Exemple de structures aéronautiques . . . 5
1.4 Exemple de satellite . . . 5
1.5 coques sous marine . . . 6
1.6 Flexion d'une poutre de Bernoulli : chaque section est à un angle de 90 degré par rapport à la ligne moyenne [51] . . . 7
1.7 Déplacement d'un point q de la structure [51] . . . 7
1.8 Berceau de submersible . . . 11
2.1 Poutre circulaire avec un rayon de courbure constant . . . 24
2.2 Section de la poutre . . . 24
2.3 Chargement selon z . . . 35
2.4 Elément de maillage : poutre à trois noeuds . . . 36
2.5 Réponse harmonique en θ =0 . . . 37
2.6 Réponse harmonique en θ =π/2 . . . 38
2.7 Anneau soumis à un chargement ponctuel radial appliqué en θ =0 . . 39
2.8 Réponse dynamique au point de la ligne moyenne situé en θ= 0 . . . 40
2.9 Champ de déplacement à 8000 Hz . . . 41
2.10 Maillage 3D constitué de 14580 éléments hexaédriques à 8-noeuds. . . 42
3.1 Divergence numérique . . . 48
3.2 Coque axisymétrique . . . 49
3.3 Vecteurs unitaires des bases locales et cylindriques . . . 50
3.4 Les composantes du déplacements et rotations d'un point dans une coque 52 3.5 Chargement ponctuel en thêta θ=0 . . . 61
3.6 Comparaison des réponses éléments nis et élément continu . . . 62
3.7 Réponse harmonique du cylindre . . . 63
4.1 Coque axisymétrique . . . 68
4.2 Anneau circulaire . . . 69
4.3 Principe de couplage entre le raidisseur et la coque . . . 69
TABLE DES FIGURES 4.7 Réponse harmonique suite à un chargement axisymétrique radial d'une
coque sans raidisseur . . . 77
4.8 Superposition de la réponse harmonique d'une coque sans et avec rai- disseur . . . 78
4.9 Coque raidie soumis à un chargement antisymétrique radial . . . 78
4.10 Inuence du nombre de termes de la série de Fourier sur la réponse harmonique . . . 80
4.11 Réponse harmonique suite à un chargement antisymétrique radial . . 80
4.12 Coque axisymétrique raidie . . . 82
4.13 Surface moyenne de la coque raidie . . . 82
4.14 La géométrie des discontinuités . . . 83
4.15 La géométrie des discontinuités . . . 85
4.16 Pression radiale axisymétrique . . . 86
4.17 Réponse harmonique pour un chargement axisymétrique radial . . . . 87
4.18 Réponse harmonique pour diérents niveaux d'amortissement . . . . 88
4.19 Coque raidie soumise au chargement radial antisymétrique . . . 88
4.20 La réponse harmonique pour un chargement radial antisymétrique . . 89
4.21 Chargement ponctuel radial en θ= 0 . . . 90
4.22 Réponse harmonique à un chargement ponctuel radial . . . 92
4.23 Etude de convergence vis à vis du nombre d'harmoniques de Fourier requis . . . 92
5.1 Géométrie de la poutre droite de Timoshenko . . . 98
5.2 Action du raidisseur sur la coque . . . 100
5.3 Chargement réparti appliqué par le raidisseur sur la coque . . . 102
5.4 Coque raidie soumis à un chargement ponctuel . . . 106
5.5 Réponse harmonique de la coque raidie . . . 107
5.6 Convergence des termes des séries de Fourier . . . 108
x
Liste des tableaux
2.1 Les coecients de rigidité . . . 28
2.2 Propriétés géométriques et matérielles . . . 34
2.3 Les premières fréquences propres de exion dans le plan . . . 42
2.4 Temps de calcul et espace mémoire pour 500 fréquences . . . 43
3.1 Propriétés géométriques et matérielles de la coque . . . 61
4.1 Correspondance entre les déplacements et les forces . . . 72
4.2 Propriétés matérielles de la coque et du raidisseur . . . 74
4.3 Propriétés géométriques de la coque et du raidisseur . . . 74
4.4 Temps de réponse pour 1000 Fréquence . . . 81
4.5 Propriétés géométriques et matérielles . . . 85
4.6 Les fréquences de exions . . . 93
5.1 Propriétés géométriques et matérielles . . . 105
xii LISTE DES TABLEAUX
Introduction générale
Le problème de la réponse harmonique
Depuis de nombreuses années, l'analyse vibratoire des structures fait l'objet d'études poussées de la part de chercheurs et ingénieurs de secteurs industriels très variés.
Ainsi, les industries du transport, de la construction navale et aéronautique sont, dans une large mesure, confrontées à la nécessité de prévoir le comportement vi- bratoire des structures mécaniques. En eet, dans ces secteurs dès l'instant où une structure industrielle est soumise à des systèmes motorisés ou à des mouvements avec frottements, elle devient le siège de vibrations qu'il s'agit de prévoir. Le génie civil n'est pas en reste sur ces problématiques. Les ouvrages d'art soumis à des sollicita- tions naturelles telles que celles du vent, de la houle ou à des sollicitations sismiques mais aussi à des perturbations fonctionnelles comme celles du passage de véhicules sont également le siège de vibrations d'amplitude parfois conséquente. La plupart des structures mécaniques complexes sont constituées d'éléments structuraux de topolo- gie relativement simple comme des poutres, des plaques et des coques de géométries diverses. L'approche la plus usitée pour la modélisation du comportement vibratoire de ces structures est aujourd'hui la Méthode des Eléments Finis. Les résultats obte- nus par cette approche ecace sont très ables dès l'instant où l'on a pris soin de dénir un maillage en bonne adéquation avec le domaine fréquentiel étudié tant d'un point de vue des formulations élémentaires utilisées que de sa nesse. Le second point reste cependant la principale limitation de cette méthode dans la mesure où l'on peut atteindre rapidement les limites des ressources informatiques de calcul. Ainsi, dans le cas des plaques et coques dites épaisses, même si les formulations élémentaires les plus élaborées permettent une modélisation correcte des comportements à moyennes fréquences, la nesse de maillage reste un paramètre incontournable de la modélisa- tion. Pouvoir se passer de cette contrainte est aujourd'hui l'un des principaux intérêts des méthodes alternatives aux éléments nis basée sur une absence de discrétisation.
Ces méthodes, dites "meshless" apparaissent comme de véritables alternatives à la méthode des éléments nis particulièrement performantes lorsque les gammes de fré- quences d'intérêt ne peuvent plus être considérées comme des basses fréquences. L'ob- jet de cette thèse s'inscrit dans cette démarche dans le cas où le problème dynamique
xiv INTRODUCTION GÉNÉRALE est celle des Eléments Continus également connue sous la dénomination de "Dynamic Stiness Method" ou encore de "Spectral Element Method". Le terme "élément" fait référence au principe d'assemblage lorsqu'il y a discontinuité topologique, ce principe constitue le point commun avec la Méthode des Eléments Finis. Le terme "continu"
fait référence quant à lui à l'absence de discrétisation des éléments structuraux as- semblés. L'intérêt majeur de cette approche est alors la possibilité de maximiser la précision des résultats tout en minimisant le volume de données requis à la simple description topologique de la structure étudiée. Les points clés de cette approche sont : Une partition de la structure en éléments de formes géométriques simples non
discrétisés.
La résolution exacte et non approchée des équations de l'élastodynamique élé- mentaire issues du principe de Hamilton par exemple. Cette résolution est menée pour des conditions aux limites dites libres.
La mise sous forme matricielle des relations eorts/déplacements localisés sur le contour élémentaire autorisant les principes d'assemblage classique de la Mé- thode des Eléments nis.
Objectifs du travail de thèse
Le travail présenté dans cette thèse a consisté à développer une formulation élé- mentaire permettant la modélisation de coques axisymétriques raidies selon une for- mulation de type Reissner/Mindlin. Ce travail s'inscrit dans la continuité de plusieurs travaux réalisés en France par diverses équipes de recherche et qui ont abouti aux formulations élémentaires suivantes :
Poutres gauches : LISMMA, 1997, Casimir.
Plaques isotropes de Kirchho : LISMMA, 1997, Fleuret et Paris VI, 1998, Ke- vorkian.
Coques axisymétriques de Kirchho et coude : Ecole Centrale de Nantes, 1998, Le Sourne.
Coques axisymétriques en couplage uide-structure : LISMMA, 2010, Khadi- mallah.
Deux congurations sont envisagées. Le couplage de coques axisymétriques avec des éléments d'anneaux circulaires de Timoshenko agissant comme raidisseurs cir- conférentiels puis avec des poutres droites de Timoshenko agissant comme raidisseurs longitudinaux. Le mémoire est ainsi constitué de cinq chapitres.
xv
Le premier présente dans un premier temps une synthèse des travaux de recherches menés depuis 1870 concernant l'analyse vibratoire des structures en général et les dif- férentes approches numériques qui ont pu être développées jusqu'à présent. Dans un second temps, les travaux relatifs à la Méthode des Eléments Continus sont présentés en rappelant le principe de cette méthode. Cette double présentation tient également lieu d'étude comparative des méthodes numériques permettant de démontrer l'intérêt de la présente approche. Enn, un état de l'art concernant l'analyse des structures de coques raidies et leurs applications sont présentés.
Le deuxième chapitre est consacré au développement de l'élément continu d'an- neau circulaire de Timoshenko caractérisé par une section et un rayon de courbure constants. La validation numérique de cet élément est menée par une confrontation des résultats obtenus avec ceux issus de modélisations éléments nis réalisées sur un code de calcul commercial. Diérents type de chargement sont analysés.
Le troisième chapitre présente une reformulation complexe de l'élément continu de coque axisymétrique de Reissner/Mindlin. Cette reformulation a permis de lever un certain nombre de verrous numériques qui ont longtemps limité l'utilisation de cet élément à des longueurs relativement réduites. Ces limitations se sont révélées de manière plus précise lors de la formulation du couplage coque/poutre et ont conduit à réaliser ce travail complémentaire à ceux menés antérieurement par Nguyen et Kha- dimmallah. Cette reformulation est ainsi devenue indispensable dans le contexte de notre thèse. Elle est basée sur l'utilisation de séries de Fourier complexes en lieu et place des séries trigonométriques réelles. L'élément ainsi reformulé a fait l'objet d'une validation numérique fondée sur une comparaison avec des modélisations éléments - nis.
Le quatrième chapitre est consacré au développement de l'élément continu de coque raidie par raidisseurs circonférentiels. Deux approches sont détaillées. La pre- mière consiste à réaliser un couplage coque/anneau circulaire, la seconde est basée sur une nouvelle formulation des coques axisymétriques impliquant n discontinuités de son épaisseur. Des analyses harmoniques sont ensuite menées de manière à valider les formulations présentées par comparaison avec les résultats issus de modélisations éléments nis.
Le cinquième chapitre est consacré au développement de l'élément continu de coque raidie par raidisseurs longitudinaux. Le couplage entre coque axisymétrique et éléments de poutre droite de Timoshenko est détaillé. La validation de la formulation est ensuite obtenue par une confrontation des réponses harmoniques avec celles issues d'analyses par éléments nis.
xvi INTRODUCTION GÉNÉRALE
Etude bibliographique
1 Etude bibliographique
1.1 Introduction
L'objectif principal de ce chapitre est une description de l'état de l'art permettant de présenter le cadre général de ce travail. Il se compose de deux parties distinctes : . La première partie est destinée à la présentation des structures de coques rai- dies. Les structures simples de poutres et de coques formant ces structures y sont détaillées. Ensuite, une synthèse des travaux de recherches sur ce thème est présentée ainsi que l'intérêt industriel de ce type de structures.
. La seconde partie est consacrée à la présentation de la méthode des éléments continus (MEC). Après avoir déni le principe de cette méthode et présenté son historique, une comparaison avec les diverses autres approches utilisées dans la littérature pour l'étude du comportement vibratoire des structures est abordée.
Cette partie se termine par une présentation d'exemples de structures vibrantes qui ont pu être étudiées par la MEC.
1.2 Etat de l'art des structures de coques raidies
1.2.1 Dénition
Les coques raidies sont des structures habituellement composées d'une coque de forme cylindrique, conique ou bien sphérique raidie par des raidisseurs longitudinaux ou bien circonférentiels (voir gure 1.1). Ce type d'assemblage permet la mise au point de structures plus stables à forts moments quadratiques. L'étude dynamique de telles structures nécessite la connaissance des théories de coques axisymétriques et de poutres. An de pouvoir étudier la structure globale, on peut s'attacher à étudier séparément les sous-structures simples qui sont d'une part les coques et d'autre part les poutres. Ces dernières vont constituer les raidisseurs, que ce soit dans le sens
CHAPITRE 1. ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE
Figure 1.1 Coques cylindriques raidies
1.2.2 Intérêt industriel de l'étude
Les coques raidies sont des structures qui se présentent comme un assemblage de poutres et de coques de formes diverses. Elles sont présentes pratiquement dans tous les secteurs industriels. Pour notre étude, quelques exemples industriels d'utilisation de coques raidies sont présentés.
Production d'énergie
Ces structures sont par exemple utilisées dans les centrales de production d'éner- gie électrique ainsi que dans le domaine pétrolier pour constituer des réservoirs de stockage (voir gure 1.2). Ces structures sont susceptibles de supporter de grandes
Figure 1.2 Réservoirs de stockage
pressions internes qui peuvent inuencer soit leur forme soit leur capacité à supporter 4
1.2. ETAT DE L'ART DES STRUCTURES DE COQUES RAIDIES de telles charges.
Construction aéronautique
Les structures de coques minces avec raidisseurs sont très largement employées dans le domaine aéronautique an de garantir la tenue mécanique notamment vis-à- vis du ambement. Ainsi, ces structures sont utilisées, tant au niveau du fuselage des avions que de celui des lanceurs (voir gure 1.3).
Figure 1.3 Exemple de structures aéronautiques
Dans le secteur spatial, les applications dans la conception des satellites sont fréquentes. Les structures coques peuvent constituer aussi bien le corps des satellites que les panneaux solaires ou les tuyères des moteurs (voir gure1.4).
Figure 1.4 Exemple de satellite
CHAPITRE 1. ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE Construction navale
La discrétion acoustique des bâtiments sous-marins constitue un problème d'im- portance majeure. En eet les structures sous-marines sont souvent constituées de coques axisymétriques couplées avec des raidisseurs an de résister à la pression d'im- mersion de l'eau. L'eau constituant un milieu favorable à la propagation des ondes sonores, la nécessité d'une grande précision de modélisation pour une large gamme de fréquences devient d'une grande importance (voir gure 1.5)
Figure 1.5 coques sous marine
1.2.3 Analyse vibratoire des coques raidies
Diérentes théories de coques et de poutres peuvent être utilisées dans la for- mulation de ces structures. Chaque théorie correspond à un niveau d'hypothèses simplicatrices donné.
Théorie des poutres
Pour mener des calculs de résistance des matériaux, on peut distinguer deux théo- ries principales relatives à l'application de la théorie de l'élasticité isotrope, à savoir :
Théorie d'Euler Bernoulli [51] :
Il s'agit d'une simplication de la théorie de l'élasticité linéaire, elle est basée sur les hypothèses suivantes :
Les sections droites restent perpendiculaires à la ligne moyenne, ceci permet de négliger le cisaillement dans le cas de la exion.
Les sections droites restent planes selon Navier-Bernoulli (pas de gauchisse- ment) (voir gure1.6).
6
1.2. ETAT DE L'ART DES STRUCTURES DE COQUES RAIDIES
Figure 1.6 Flexion d'une poutre de Bernoulli : chaque section est à un angle de 90 degré par rapport à la ligne moyenne [51]
Théorie de Timoshenko [51] :
Elle est basée sur l'hypothèse cinématique dite des sections droites pour laquelle le champ de déplacement varie linéairement dans l'épaisseur tout en tenant en compte de l'inuence des déformations dues au cisaillement transverse. Ainsi, l'hypothèse des sections droites permet d'exprimer les déplacements virtuels (u∗q) d'un point quelconque q de la structure en fonction des déplacements virtuels d'un point p appartenant à la ligne moyenne et en fonction d'un ac- croissement de déplacements virtuels (zβ∗) due à la rotation de la section. La gure ci-dessous illustre ce comportement :
Figure 1.7 Déplacement d'un point q de la structure [51]
Théorie de Vlassov [51] :
C'est un modèle classique en théorie des poutres voiles. Les hypothèses cinéma-
CHAPITRE 1. ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE La distorsion du feuillet moyen est nulle.
Hypothèse de petits déplacements.
Théories des coques
De nombreuses théories de coques sont décrites dans la littérature an d'analyser leur comportement vibratoire. Les principales que l'on peut citer sont :
Théorie de Love Kircho : La toute première théorie décrite est celle de Love en 1888. Cette théorie est basée sur les mêmes hypothèses que la théorie des plaques de Kirchho. Selon Frey et Studer, ces hypothèses sont les suivantes [52] :
L'hypothèse de linéarisation : deux types de linéarisation sont considérés, l'hypothèse de linéarisation géométrique et matérielle. Ainsi, la première ad- met que les déformations et les déplacements restent toujours petits, ce qui conduit à des équations cinématiques linéaires. Comme conséquence, les dila- tations et les rotations restent également petites. La deuxième admet que le matériau constituant la coque obéit à la loi de Hooke de l'élasticité linéaire.
Les hypothèses propres aux poutres de Bernoulli et aux plaques de Kirchho ont été généralisées par Love pour les coques. Ces deux hypothèses sont appe- lées hypothèses des structures minces, on peut les décrire de la façon suivante.
La première concerne la conservation de la normale à la surface moyenne au cours de la déformation. Il s'en suit que les glissements sont nuls dans les plans perpendiculaires à la surface moyenne.
La seconde hypothèse admet que la contrainte normale transversale est né- gligeable, c'est une hypothèse statique qui entraîne la non prise en compte des eets qui se manifestent à travers l'épaisseur. Elle s'écrit : σz = 0. Ces deux hypothèses impliquent de nombreuses simplications au niveau des équations d'équilibres de la coque mais elles restent conditionnées à l'hypothèse selon laquelle l'épaisseur h de la coque reste susamment faible vis à vis du rayon de courbure minimal de la surface moyenne (hypothèses de coques minces et faiblement courbées). En tenant compte de ces hypothèses, il est clair que la théorie de Love est approximative, elle néglige de nombreux eets et conduit à des équations qui ne sont pas satisfaites. On la nomme première approxima- tion cohérente de la théorie des coques [52]. La plupart des études vibratoires des coques sont néanmoins basées sur cette théorie simpliée de Love-Kirchho.
Théorie de Reissner /Mindlin : An de limiter les erreurs de modélisation in- hérentes aux diverses simplications d'autres théories ont été proposées. On trouve ainsi des théories qui restent du même ordre que la théorie de Love- Kircho comme la théorie de Reissner/Mindlin pour laquelle l'épaisseur est
8
1.2. ETAT DE L'ART DES STRUCTURES DE COQUES RAIDIES modérée.
La bre normale à la surface moyenne non déformée de la coque ne reste pas normale à la surface moyenne de la coque déformée. γxz 6= 0 et γyz 6= 0. γxz et γyz représentent les glissements dans les plan (x,z) et (y, z).
Le cisaillement n'est plus négligé.
Autres théories : Des théories d'ordre supérieur ont également été développées.
Elles sont plus précises mais ne présentent pas un fort intérêt pratique [52].
Théorie des coques raidies
La résistance des coques cylindriques au voilement, au ambement et à toute autre déformation possible est souvent améliorée par l'usage de raidisseurs circonférentiels et/ou longitudinaux. La taille, l'espacement et la position de ces raidisseurs sur les faces extérieures ou intérieures de la paroi cylindrique sont des facteurs qui agissent sur le comportement à l'instabilité de la coque. C'est ainsi que les coques raidies occupent une place prépondérante dans le domaine d'ingénierie comme par exemple dans les structures aérospatiales, mécaniques ainsi que dans les structures marines. La plupart de ces structures sont soumises à diérentes charges dynamiques qui peuvent aecter les caractéristiques dynamiques de la coque. Par conséquent un grand nombre de méthodes de calcul a été développé pour étudier le comportement dynamique des coques raidies. L'étude des vibrations libres des coques cylindriques raidies a été développée depuis les années 50 par plusieurs équipes de recherche.
Ainsi, les chercheurs ont essayé d'analyser le comportement vibratoire des structures de coques raidies pour diérentes formes et allures. En eet, les diérentes formes de coques qui ont été étudiées présentent soit des allures simples telles que les coques cylindriques et coniques ou bien des formes plus complexes telles que l'assemblage de formes simples. Le couplage des coques avec les raidisseurs prend plusieurs aspects.
En eet, on trouve des coques couplées avec des raidisseurs circonférentiels ou bien longitudinaux ou bien avec les deux formes. Aussi la position des raidisseurs au niveau de la coque concerne un bon nombre de recherches. Les raidisseurs peuvent être soit régulièrement espacés ou bien situés à des endroits bien dénis. Ils peuvent être excentrés à la coque ou bien situé la ligne moyenne que la coque. Toutes ces formes et positions de raidisseurs et coques inuent considérablement sur la réponse harmonique des structures des coques raidies. Ces études ont été basées sur diérentes approches et méthodes. En 1965, Mikulas et McElman [54] ont étudié les vibrations libres d'une coque raidie excentrée simplement appuyée. Ils ont constaté que l'excentricité des raidisseurs peut avoir des eets signicatifs sur les fréquences naturelles. Dans le même contexte, Zhi et al. [7] ont concentré leurs travaux sur l'étude vibratoire de coques cylindriques raidies dans laquelle les raidisseurs ont été aussi considérés comme
CHAPITRE 1. ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE nis. Rosen et Singer ont présenté une étude théorique et expérimentale des coques cylindriques raidies chargées axialement en utilisant les théories de Donell et Flügge [55]. On trouve aussi la procédure de Rayleigh-Ritz qui a été utilisée pour la prédiction des fréquences naturelles d'une coque cylindrique raidie dans le travail de Mustapha et Ali [53]. Pour les structures les plus complexes qui présentent l'assemblage de diérentes formes de coque avec des raidisseurs, on peut citer le travail de Yeago et al. [6] qui ont analysé les vibrations d'une coque conique cylindrique raidie en utilisant l'approche variationnelle modiée et en adoptant diérentes conditions aux limites.
Dans la section suivante, nous allons présenter la méthode des éléments conti- nus ainsi que les diérentes autres méthodes qui ont pu être utilisées pour l'étude vibratoire des coques raidies.
1.3 Etat de l'art sur la méthode des éléments conti- nus
1.3.1 Méthode des éléments continus
L'expression "élément continu" est due à P.H.Kulla [4]. Il s'agit d'une méthode matricielle de calcul de structures qui a fait l'objet de très nombreuses recherches de- puis le début des années soixante-dix. Cette méthode permet une description exacte des régimes harmoniques pour une théorie élastodynamique donnée. Le principe de cette méthode est de représenter le comportement dynamique des structures par des relations matricielles entre les déplacements et les eorts appliqués. Elle est basée sur la construction d'une matrice dite matrice de raideur dynamique permettant de déterminer la réponse vibratoire d'une structure à des sollicitations harmoniques.
Dès son apparition, cette méthode a été connée à l'étude du comportement dyna- mique des assemblages structuraux formés par un ensemble de poutres droites. Tel a donc été le cas de l'industrie de l'armement naval préoccupée par des problématiques de discrétion acoustique des sous-marins. En eet, l'eau étant un milieu qui favorise la propagation des ondes sonores, les niveaux d'émissions acoustiques des submer- sibles doivent rester faibles, ceci nécessite une étude très précise qui s'étend sur une large gamme de fréquences. Les performances des modèles éléments nis restant re- lativement limitées pour les plages de fréquences élevés, des solutions alternatives ont dû être cherchées. Les premières études développées étaient plutôt spéciques à des structures sollicitées par les moyens de propulsion des bâtiments : les arbres de transmission et les berceaux qui supportent les groupes motorisés de propulsion. La gure 1.8 ci-dessous présente un exemple de la topologie de ces berceaux et leurs dimensions. Ce sont essentiellement des structures constituées d'un assemblage de poutres.
10
1.3. ETAT DE L'ART SUR LA MÉTHODE DES ÉLÉMENTS CONTINUS
Figure 1.8 Berceau de submersible
En 1975, R.W. Clough et J. Penzien ont présenté la méthode des éléments conti- nus dans leur ouvrage " Dynamic of structures" [2]. A partir des années 80 plusieurs codes de calcul basés sur cette méthode ont été élaborés un peu partout dans le monde : on trouve, en Suède l'équipe du professeur Akesson qui a développé le pre- mier code de calcul, le code PFVIBAT [15], limité au structures planes ( poutres d'Euler Bernoulli) puis le code SFVIBAT dédié à l'analyse des assemblages tridimen- tionnelles de tubes (assemblage de poutres de Timoshenko). Plus tard est apparu le code DISTEL (Distributed Element) faite par l'ESTEC (centre d'étude de l'Agence Spatiale Européenne) qui est dédié à l'étude de la réponse dynamique des armatures de panneaux de satellites qui se résume dans la détermination de la matrice d'impé- dance de la structure [16]. En Angleterre, plusieurs codes de calcul sont également apparus. Entre autres, le code VICONOPT [17] développé par F.W Williams à l'uni- versité de Cardi permet l'étude de la réponse dynamique et l'analyse du ambage des structures de plaques prismatiques anisotropes assemblées. Aux Etats-Unis, le code BUNVIS-RG développé par la NASA traite d'une part des poutres de Timoshenko pour le calcul des modes propres d'assemblages, des sous-structures répétitives et des plaques de formes prismatiques [18]. Plus tard en Allemagne, Kulla a développé un code nommé IDA qui permet l'étude dynamique des plaques et l'analyse des assem- blages de poutres [19].
En France la Direction des Constructions Navales (D.C.N), dont le rôle est la conception et la production de navires militaires, a cherché à améliorer la précision de ces simulations en dynamique à travers l'utilisation de la méthode des éléments continus dans un code de calcul développé en interne, le code ETAPE [20] (Etude de Transmissibilité des Assemblages de Poutres Elastiques). Ce code est destiné à
CHAPITRE 1. ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE A partir des résultats obtenus pour ces types d'assemblage, les équipes de re- cherche ont pris conscience des performances de cette approche comparées à celles des autres méthodes de résolution. Alors que la précision des modèles éléments nis est fortement conditionnée par la nesse de maillage, celle des éléments continus ne l'est que par le nombre de termes des séries utilisées pour la construction des ma- trices de raideurs dynamique. Ce nombre de termes peut être arbitrairement grand sans pour autant conduire à une augmentation sensible du volume de données trai- tées. Seul, le temps de calcul est impacté par la richesse des séries.
La méthode est aujourd'hui apte à traiter des assemblages de dimensions quel- conques constitués de poutres, plaques et coques pour une discrétisation réduite au minimum, c'est à dire uniquement dénie vis à vis des discontinuités géométriques de la structure.
1.3.2 Les méthodes numériques de l'analyse vibratoire
La réponse harmonique des structures constitue une information capitale pour bon nombre de secteurs industriels. Ainsi, une structure mécanique qui interfère avec des systèmes motorisés ou bien soumise à des frottements ou des sollicitations sismiques peut devenir le siège de vibrations très importantes qu'il s'agit de prévoir. La majorité des acteurs industriels sont confrontés à la nécessité de prévoir le comportement vibratoire des structures mécaniques. An d'atteindre cet objectif, les chercheurs ont essayé de développer diérentes méthodes et approches sur structures vibratoires simples telles que les poutres, les plaques ou les coques ainsi que sur des structures plus complexes. On détaille ci-dessous, les méthodes les plus usitées dans ce domaine.
Procédures de Rayleigh-Ritz
Pour résoudre le problème de la réponse harmonique des structures, les chercheurs ont essayé d'utiliser des méthodes approchées qui se basent sur la résolution de l'équa- tion diérentielle partielle du mouvement pour des conditions aux limites prescrites.
Parmi ces méthodes, les plus exploitées restent les méthodes de type Rayleigh-Ritz.
Elles consistent à rechercher une approximation des modes de la structure dans un espace de dimension N engendré par N fonctions choisies. Le choix des fonctions est important puisqu'il contribue directement à la précision des résultats. Les solutions prennent alors la forme suivante :
w(x, y, t) =
N
X
i=1
Ai(t).φi(x, y) (1.1) où les coecients Ai représentent les coordonnées généralisées.
Un grand nombre de codes a ainsi été développé dans le but d'étudier diérentes formulations de types poutres, coques et plaques. Ensuite, de très nombreuses re- cherches ont porté sur le développement de la méthode de Rayleigh-Ritz en vue
12
1.3. ETAT DE L'ART SUR LA MÉTHODE DES ÉLÉMENTS CONTINUS d'étudier des structures aux dénitions géométriques plus complexes telles que les coques et les plaques raidies. Wang et al. [56] ont utilisé la méthode de Rayleigh- Ritz pour résoudre le problème des vibrations libres d'une coque cylindrique avec variation dans la distribution des raidisseurs circonférentiels. De même Jafari et Ba- gheri [8] ont mené une étude analytique, expérimentale et numérique qui porte sur l'étude du comportement vibratoire d'une coque cylindrique raidie équipée de plu- sieurs raidisseurs externes qui ne sont pas régulièrement espacés tout au long de la coque. L'étude analytique a été basée sur le choix des fonctions de Ritz qui inuent considérablement sur la précision des résultats ce qui présente l'un des inconvénients majeurs de cette méthode. J.Tian et al [57] ont utilisé la méthode de Ritz an d'ana- lyser le ambement élastique d'une coque cylindrique raidie soumise à une charge générale de pression.
Méthode des éléments nis
La méthode des éléments nis reste évidemment la démarche la plus adoptée au- jourd'hui. L'utilisation de modèles éléments nis permet en eet de résoudre la grande majorité des problèmes mécaniques tels que la tenue statique des structures, leur com- portement dynamique au sens large du mot c'est à dire allant de l'analyse modale jusqu'à l'analyse transitoire, les problèmes de dynamique rapide, d'élasto-plasticité, de thermoélasticité et ce, quelle que soit la nature du comportement des matériaux, qu'il soit linéaire ou non.
Le principe de cette approche réside dans la discrétisation du domaine géomé- trique en sous domaines appelés éléments nis (EF) et dans l'écriture des équations locales aux dérivées partielles de l'élastodynamique sous forme variationnelle. Une solution faible du problème est obtenue par des approximations polynômiales dénies sur chaque élément. Le système d'équations aux dérivées partielles est ainsi trans- formé par exemple par une méthode de type résidus pondérés.
La méthode des résidus pondérés est destinée à aaiblir un système d'équations pour permettre sa résolution dans le cas où celui-ci présenterait des dicultés d'ordre mathématique (discontinuités, fonction non dénie, valeurs innies ...). Elle est basée sur la dénition d'un résidu R(u) = L(u) +f v (L est l'opérateur diérentiel carac- térisant le système, u fonction inconnue, fv sollicitations). Ensuite, la recherche des fonctions u qui annulent la forme intégrale globale W = R
V
hψi · {R(u)}dV = 0, Ψ étant une fonction test (fonction de pondération), le nombre de fonctions Ψi est égal au nombre de paramètres inconnus. Le choix des fonctions de pondérationΨi conduit aux diérentes méthodes de résolution, parmi lesquelles on peut citer la plus répan- due : la méthode de Galerkine. Cette méthode consiste à prendre les fonctions testΨi égales à la variation des fonctions u. La forme d'intégrale obtenue est une forme
CHAPITRE 1. ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE un problème décrit par un système d'équations diérentielles du second ordre de la forme :
[M]n U¨o
+ [C]n U˙o
+ [K]{U}={F} (1.2) avec [M]matrice de masse, [C] matrice d'amortissement,[K] matrice de rigidité, {U}et{F}représentent les vecteurs déplacements et eorts généralisés.n
U˙ oetn
U¨ o sont les vecteurs vitesse et accélération relatifs aux degrés de libertés dénis par le maillage.
Dans le cadre de l'analyse des vibrations, ce système se particularise ensuite par la recherche de solutions harmoniques, et donne lieu à :
([K]−ω2[M]).{W}={0}, dans le cas d'un système libre non amorti.
([K]−ω2[M]).{W}={F}, dans le cas d'un système forcé non amorti.
La méthode la plus précise pour résoudre ce système est la méthode dite complète, basée sur l'inversion du système ([K]−ω2[M]) pour chaque valeur de la pulsation ω. Une seconde méthode, moins précise mais beaucoup plus rapide est basée sur le principe de superposition modale. Les équations de mouvement sont projetées sur une base de vecteurs propres réduite ce qui permet d'obtenir un système formé par n équations découplées de la forme :
miui+kiu¨i =fi (1.3)
avecui le déplacement modal en chaque noeud de chaque élément etfi est la force modale associée au modei. La solution générale du problème est la superposition de toutes les solutions élémentaires.
Si l'on compare les deux approches de résolution du problème harmonique, on s'aperçoit que la précision des résultats obtenus par la seconde de superposition mo- dale est fortement conditionnée par le nombre de modes qui forment la base. La méthode complète permet de garantir une précision maximale des résultats compte tenu de la discrétisation retenue.
De très nombreux chercheurs ont exploité la MEF pour analyser le comportement vibratoire des diérents types de structure. Il est impossible d'être exhaustif sur le sujet. On peut néanmoins se reporter à quelques ouvrages de référence. Batoz a ainsi détaillé tous les types de structures (poutres [9], plaque [10] et coques [11]) traités par la MEF. Pour le sujet qui nous intéresse plus directement, on peut citer les tra- vaux de A. El Damatty et al. [12] qui ont examiné le comportement dynamique d'une coque cylindrique-conique raidie en utilisant la méthode des éléments nis tridimen- sionnelle, B.P.Patel et al. [13] ont appliqué la MEF pour étudier les vibrations libres
14
1.3. ETAT DE L'ART SUR LA MÉTHODE DES ÉLÉMENTS CONTINUS d'une coque composite feuilletée conique-cylindrique.
Malgré l'importance majeure de la MEF, ses nombreux avantages pour le traite- ment des basses fréquences et son vaste domaine d'application, cette méthode présente des inconvénients qui peuvent être un obstacle aux avancées des études de l'ingénie- rie mécanique. Ainsi, l'utilisation de la MEF pour le traitement des moyennes et hautes fréquences présente de grandes dicultés car lorsque la fréquence augmente, le nombre de modes propres requis pour l'analyse modale ou l'étude de la réponse har- monique croit ainsi que la densité modale. Ceci conduit à des dicultés numériques d'extraction des modes propres. La solution décrite à l'aide de grandeurs ponctuelles qui sont les déplacements généralisés devient hypersensible aux moindres petites va- riations des paramètres structuraux et des conditions aux limites.
De plus, le maillage demeure une diculté et un inconvénient majeur de la MEF.
L'augmentation de la plage fréquentielle étudiée nécessite ou conduit à des nesses de maillage rédhibitoires, les temps de calcul sont ainsi allongés et nécessitent l'utilisation de puissances de calcul toujours plus grandes. Confrontés à ces problèmes, plusieurs chercheurs essaient de trouver des alternatives de résolution tant dans le domaine aéronautique et que celui de la construction navale. Des méthodes plus aptes à être exploitées en moyennes et hautes fréquences ont ainsi été adoptées.
Méthode des éléments de frontière
Le principe de la Méthode des Eléments de Frontières ou Boundary Element Me- thod (BEM), consiste, entre autre, à ne discrétiser que les frontière du domaine étudié an de réduire le nombre de degrés de liberté [14]. Cette approche est basée sur l'uti- lisation de la fonction de Green qui constitue une méthode de transformation d'équa- tions diérentielles en équations intégrales. Par cette modélisation on parvient à une formulation intégrale de la frontière qui établit un lien entre les champs intérieurs et les quantités sur le bord. Comme seule la frontière est discrétisée, la matrice obtenue est de petite taille, pleine et non symétrique ce qui mène à une perte d'ecacité et de précision numérique.
Le principal avantage de cette méthode est la réduction du maillage puisque seule la frontière est discrétisée. Le manque de précision associé au principe de discrétisa- tion est donc également réduit ce qui fait de la méthode des éléments de frontières une assez bonne alternative à la méthode des éléments nis lorsque la fréquence augmente. Malgré ses avantages la méthode des éléments de frontière présente aussi quelques inconvénients qui résident essentiellement dans la complexité de la formu- lation. L'utilisation de la fonction de Green apporte certes un plus par rapport aux
CHAPITRE 1. ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE
1.3.3 Structures vibratoires traitées par la MEC
Eléments continus de poutres
Les premiers éléments développés ont été les poutres droites. L'approche trouve son origine dans la méthode dite des matrices de transfert [58]. L'idée de cette ap- proche est de construire des matrices de transfert reliant les déplacements et les eorts généralisés (eort, moment, èche, rotation) aux extrémités de la poutre. Cette ma- trice de transfert permet, par simple multiplication, la résolution de problèmes de poutres y compris lorsque les sections et les propriétés du matériau changent. Les matrices de raideur dynamique peuvent être obtenues à partir des matrices de trans- fert par une réorganisation des variables d'état. Le principe multiplicatif est alors remplacé par un principe d'assemblage permettant la modélisation de structures com- plexes. Le problème est ramené à la résolution d'un système matriciel paramétré par la pulsation ω du régime harmonique qui prend alors la forme suivante :
{Fext}= [K(ω)]{U} (1.4)
où{Fext}est le vecteur des forces extérieures,{U}est le vecteur des déplacements, [K(ω)] est la matrice de rigidité dynamique.
Le vecteur des eorts extérieurs étant donné, la résolution de ce système matriciel pour chaque pulsation balayant un intervalle xé permet d'obtenir les déplacements en fonction d'icelle.
Les éléments continus de poutres sont également connus sous d'autres dénomina- tions. On peut citer : méthode de la rigidité directe [2]. En réalité, Clough a présenté une technique de construction globale de la matrice de rigidité dynamique telle que les coecients matriciels sont calculés terme à terme en se basant sur les fonctions de Kolousek [21]. On trouve également Méthode de déplacement exacts [15], Méthode de la raideur dynamique [59], et Méthode des éléments nis analytique [3].
La matrice de raideur dynamique est fonction de la pulsation du régime harmo- nique, elle condense à la fois les propriétés élastiques et massiques. Elle est obtenue par résolution exacte de l'équation diérentielle régissant les mouvements harmoniques pour des conditions aux limites libres. La relation eort/déplacement est obtenue sans approximation et sans faire appel aux modes propres de l'élément.
Dans ce cadre s'illustrent plusieurs travaux de recherches, on peut notamment citer ceux de Banerjee en Angleterre [22] qui a établi les raideurs d'une poutre droite d'Eu- ler Bernoulli en tenant compte du couplage exion-torsion. Les travaux de William et Kennedy [23] ont permis la détermination de la matrice de raideur dynamique d'une poutre de Bernoulli sur fondation élastique. En France, les travaux de Duforet [20] ont permis la construction de matrices de rigidité de poutres de Timoshenko en tenant compte de l'eet de l'amortissement structural, les termes de la matrice de raideur sont alors complexes. Les travaux de Capron et Williams [24] ont permis de
16
1.3. ETAT DE L'ART SUR LA MÉTHODE DES ÉLÉMENTS CONTINUS dénir un principe de construction numérique de la raideur dynamique d'une poutre en torsion plongée dans un milieu élastique. Montalvao [25] a utilisé cette technique pour étudier un élément continu de poutre circulaire vibrant hors de son plan. Encou- ragées par les performances de cette approche en analyse harmonique des structures, les équipes de recherche se sont ensuite attachées à étendre la formulation à des élé- ments structuraux plus complexes selon diverses hypothèses d'élastodynamiques.
Les travaux de recherches de Casimir restent les plus complets à ce jour concernant les éléments continus de poutres [26], [27]. Ces travaux sont basés sur une technique permettant le calcul numérique des raideurs dynamiques impliquant le calcul préa- lable de matrices de transfert. Cette approche lui a permis de développer un ensemble d'éléments de poutres courbes et gauches [28]. De même, Lee dans le cadre de la mé- thode des éléments spectraux [29] présente un ensemble de formulations élémentaires unidimensionnelles (conduite, corde, poutre en rotation, poutre multicouche à plis viscoélastique).
Plus récemment, les travaux de Banarjee et al. [30, 31], ceux de Howson et al. [32]
ont traité du comportement vibratoire de poutres sandwichs et composites. Et aussi les travaux de Kim et al. [33] qui ont concerné l'étude des poutres à parois minces.
Eléménts continus de plaques
Pour les formulations de plaque, il est possible de considérer deux principales théo- ries élastodynamiques : la théorie de Love-Kircho et la théorie de Reissner/Mindlin.
La diculté réside dans le fait que les solutions analytiques pour des conditions aux limites quelconques n'existent pas. Contrairement à la formulation des éléments poutres, il est alors nécessaire d'utiliser des développements en série de solutions.
D.J.Gorman [34] a proposé une approche permettant l'obtention des déplacements transverses pour des conditions aux limites quelconques. Cette méthode consiste à décomposer le problème aux limites en plaques élémentaires aux conditions aux li- mites plus simples pour lesquelles des solutions de type Lévy peuvent être écrites. Les travaux de Gorman ont ainsi porté tant sur les plaques de Kirchho que sur celles de Mindlin [35]. Il a ensuite corrélé sa technique à la méthode Galerkin [36].
En s'appuyant sur la méthode de Gorman, P. Hagedorn et al. [37] ont déterminé les solutions sous forme de séries paramétrées par des coecients : Am, Bm, Cm et Dm. Les relations entre le vecteur des eorts généralisés, les déplacements généralisés et ces coecients peuvent alors être établies. L'inversion d'une de ces relations per- met ensuite d'obtenir une matrice de raideur dynamique. Dans ce contexte s'illustrent également les travaux de P. H. Kulla [4, 38]. Il utilise le développement en séries de Lévy [60] pour exprimer la solution d'une plaque de Kirchho en exion.
CHAPITRE 1. ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE de Kirchho. De même, Lee [29] développe la méthode des éléments spectraux pour l'étude d'une plaque, cependant Lee se limite au cas d'une plaque ayant les conditions aux limites simples pour lesquelles une solution de Levy existe. Cette simplication lui permet de réduire le problème d'une dimension. Les travaux de Casimir et al. [41]
portent sur l'étude du comportement vibratoire des éléments de plaque. La solution de l'équation de mouvement étant inaccessible, une matrice de rigidité est tout de même construite par des développements en série. Une approche similaire est utilisée par Donadon et al. [42] pour étudier le comportement vibratoire des plaques renfor- cées.
Plus récemment, les travaux de Boscolo et Banerjee [45] ont permis le développe- ment de la matrice de rigidité d'un élément de plaque pour une théorie du premier ordre de déformation de cisaillement. Tandis que, Fazzolari et al. [46] ont étudié les plaques composites de Mindlin selon la théorie de déformation de cisaillement d'ordre supérieur.
Eléments continus de de coques axisymétriques
Les coques axisymétriques sont des structures très fréquemment utilisées dans de nombreux domaines de la mécanique. Plusieurs méthodes ont été employées pour la résolution de ce type de structure basées sur les équations de Kirchho ou encore celles de Reissner/ Mindlin. Kalnin [47] a établi le modèle analytique de référence des coques axisymétriques minces ou épaisses.
Les équations générales d'une coque sont en général exprimées dans le système de coordonnées curviligne(s, θ, ϕ) associé à la coque. Pour ce modèle on distingue trois déplacements us, v, w, deux rotations β, βθ, cinq eorts internes Ns, Nθ, Nsθ, Ts, Tθ et trois moments Ms, Mθ, Msθ. Selon la théorie adoptée, l'idée est de constituer un vecteur d'état à partir des eorts internes et des déplacements de manière à rame- ner le problème harmonique à un système diérentiel d'ordre 1 déni par l'équation suivante :
dEm
ds = ∆m(s, ω)Em (1.5)
E = (u, v, w, β, βθ, Ns, Nθs, Ts, Ms, Mθs)est le vecteur d'état, sl'abcisse curviligne le long de l'axe de la coque.
La résolution numérique de cette équation permet d'obtenir la matrice de trans- fert dynamique de la coque Tm(ω).
Les conditions nécessaires pour la résolution sont Tm(0, ω) = I. La matrice de raideur dynamique est ensuite déterminée numériquement à partir de la relation :
Km(ω) =
T12−1(ω)T11(ω) T12−1(ω) T21(ω)−T22(ω)T12−1(ω)T11(ω) T22(ω)T12−1(ω)
(1.6) 18
1.4. CONCLUSION En se basant sur cette approche, Le Sourne [48] a établi une base d'éléments continus de coques minces telles que des cylindres, des cônes et a étendu le principe à des coques non axisymétriques toriques (coudes). Les plus récents travaux sur les éléments continus de coques sont ceux de Casimir [49], ils concernent les coques de type Reissner/Mindlin dont la formulation a pu être validée par une étude expérimen- tale. Dans le même contexte les travaux de Khadimallah [50] ont permis d'introduire l'action d'un uide interne ou externe à la coque axisymétrique.
1.3.4 Les Limite actuelles de la Méthode des Eléments Conti- nus.
Actuellement la méthode des éléments continus permet de couvrir un vaste champ d'applications concernant le calcul de la réponse harmonique de structures simples ou complexes. Elle permet d'obtenir des résultats aussi satisfaisants que ceux obtenus par les autres méthodes de résolution sans nécessiter de discrétisation géométrique.
La facilité d'utilisation et la précision des résultats en sont améliorés. Malgré ces avantages, la MEC présente quelques limitations que l'on peut résumer ci-dessous :
Elle ne concerne que les structures et les chargements qui permettent de se pla- cer dans les hypothèses des petites déformations et de comportement linéaire.
Les formulations d'éléments structuraux massifs ou de coques quelconques ne sont pas établies.
1.4 Conclusion
Dans ce premier chapitre, un état de l'art est présenté concernant la méthode des éléments continus ainsi que les autres méthodes retenues pour la modélisation du comportement vibratoire des structures. On s'est attaché à mettre en évidence les avantages que présente la méthode des éléments continus par rapport aux mé- thodes concurrentes. Nous avons aussi présenté les diérentes théories de coques et de poutres existantes susceptibles d'être exploitées dans la suite de ce travail.
Le deuxième chapitre est consacré à la formulation et la mise en oeuvre d'un élé- ment continu de poutre circulaire selon la théorie de Timoshenko. Cette formulation élémentaire est nécessaire puisqu'un tel élément n'a pas encore été développé selon l'approche des éléments continus. Il représente un des constituants des structures de coques raidies décrites par la suite. La validation est menée par une confrontation avec la méthode bien établie des éléments nis.
CHAPITRE 1. ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE
20
Développement d'un élément continu
d'anneau circulaire
2 Développement d'un élément continu d'anneau circulaire
2.1 Introduction
Ce chapitre est consacré au développement d'un élément continu d'anneau cir- culaire. Nous présentons en premier lieu la géométrie et la théorie adoptée pour les poutres courbes de Timoshenko. Ensuite une procédure pour la détermination d'un élément continu d'anneau circulaire est présentée. Enn la validation de la formu- lation élément continu est faite en utilisant la méthode des éléments nis (Ansys) . Ainsi ce travail est une continuation des diérents travaux concernant le développe- ment d'éléments continus de type poutre. Son objectif est de présenter une procédure de construction de la matrice de rigidité dynamique d'un anneau circulaire à partir d'une solution des équations de l'élastodynamique développée en série de Fourier.
Cette approche permettra le couplage ultérieur de cet élément avec les éléments de coques axisymétriques exploitant déjà ce type de solutions. La particularité de cet élément vis à vis des éléments de poutres circulaires existants est qu'il ne possède pas d'extrémités sur lesquelles des conditions de Neuman puissent être appliquées.
La relation de raideur dynamique concerne les déplacement de la ligne moyenne et les eorts s'y exerçant. Ces déplacements et ces eorts sont des fonctions vectorielles de l'abscisse curviligne s et non des vecteurs localisés aux extrémités.
2.2 Théorie des poutres courbes de Timoshenko
2.2.1 Dénition de la géométrie de l'anneau circulaire
La géométrie de l'anneau circulaire est dénie par un rayon de courbure constant R et une section constante S orientée de telle sorte que l'axe principal d'inertie Z reste normal au plan de l'anneau et que l'axe principal d'inertie Y reste parallèle à ce plan. La ligne moyenne de la poutre est décrite par l'abscisse curviligne s (voir gure 2.1).
CHAPITRE 2. DÉVELOPPEMENT D'UN ÉLÉMENT CONTINU D'ANNEAU CIRCULAIRE
Figure 2.1 Poutre circulaire avec un rayon de courbure constant
On note G(s) le point courant de la ligne moyenne. La position d'un point courant M de la section d'abscisse s est décrite par deux coordonnées η,ζ relativement au repère principal d'inertie (G;Y,Z) (voir gure 2.2).
Figure 2.2 Section de la poutre
Les grandeurs mécaniques dénies en un point quelconque M (déplacements, dé- formations, contraintes) seront décrites dans le système de coordonnées curvilignes (s, η, ζ)et seront projetées sur la base courante(X,Y,Z). Il est donc utile d'exprimer le gradient gradV d'un champ vectoriel V(s, η, ζ) dans ce système de coordonnées.
Ce gradient est obtenu à partir de l'écriture de sa dénition, à savoir :
dV =∇.dOM (2.1)
24
2.2. THÉORIE DES POUTRES COURBES DE TIMOSHENKO La description paramétrique d'un point courant M est donnée par :
OM(s, η, ζ) =OG(s) +ηY(s) +ζZ (2.2) La base (X,Y,Z) se confond avec la base de Frénet (t,n,b) dénie en tout point G(s) de la ligne moyenne, c'est à dire :
X(s) = t(s) = dOG
ds Y(s) = n(s) Z=b=t∧n (2.3) et satisfait donc les relations de Frénet-Serret des courbes planes, soit :
dX
ds = YR
dY
ds =−XR (2.4)
L'élément diérentiel dM peut donc s'écrire : En eet la base (X, Y, Z) satisfait les formules de Fernet- Serret dénie par :
dOM=dOG+dηY(s) +ηdY+dζZ = dOG
ds ds+dηY(s) +ηdY
ds ds+dζZ
dOM = 1− η
R
X(s)ds+Y(s)dη+Zdζ (2.5) De même, l'élément diérentiel dV s'écrit :
dV = ∂V
∂sds+∂V
∂η dη+∂V
∂ζ dζ (2.6)
Si l'on note Vs, Vη, Vζ les composantes du champ vectoriel V sur la base (X,Y,Z), c'est à dire :
V(s, η, ζ) = Vs(s, η, ζ)X+Vη(s, ηζ)Y+Vζ(s, η, ζ)Z (2.7) L'identication de 2.1 et 2.5 associée à 2.6 donne immédiatement :
[∇V] =
1 1−Rη
∂Vs
∂s −VRη ∂V
η
∂s
∂Vζ
∂s 1
1−Rη
∂Vη
∂s − VRs
∂Vη
∂η
∂Vη
∂ζ 1
1−η
R
∂V
ζ
∂s
∂V
ζ
∂η
∂Vζ
∂ζ
(X,Y,Z)
(2.8)
2.2.2 Hypothèses cinématiques
Pour ce type de poutre, les hypothèses cinématiques de Timoshenko sont retenues : Hypothèse des petits déplacements.
CHAPITRE 2. DÉVELOPPEMENT D'UN ÉLÉMENT CONTINU D'ANNEAU CIRCULAIRE En tenant en compte de ces hypothèses, le champ de déplacement en tout point courant M peut être exprimé comme suit :
U(s, η, ζ) = UG(s) + [θx(s)X(s) +θy(s)Y(s) +θZ(s)Z(s)]∧GM (2.9) d0o :
U(s, η, ζ) = UG+ (θyζ−θZη)X−ζθxY+ηθxZ (2.10) Si on note us; uη et uζ les composantes du vecteur UG sur la base (X,Y,Z), on obtient pour les composantes de Usur cette même base :
Us(s, η, ζ) = us(s) +ζθy(s)−ηθZ(s) Uη(s, η, ζ) = uη(s)−ζθX(s)
Uζ(s, η, ζ) =uζ(s) +ηθX(s)
(2.11)
θX, θY, θZ sont les rotations de la section d'abscisse s autour des directions X,Y,Z respectivement.
En tenant compte de l'hypothèse des petits déplacements le tenseur de déforma- tion s'écrit :
ε = 1 2
∇U +∇U
(2.12) Compte tenu de l'expression du gradient établie précédemment (Equation 2.8), le tenseur des petites déformations prend la forme suivante :
[ε] =
1 1−η
R
dus
ds +ζdθdsY −ηdθdsZ − uRη +RζθX
1 2(1−Rη)
−θZ+dudsη −ζdθdsX + uRs +RζθY
0 sym
1 2(1−Rη)
du
ζ
ds +ηdθdsX +θY −θY Rη
0 0
(X,Y,Z)
(2.13)
2.2.3 Relations comportementales
Loi de comportement
Le matériau constitutif est supposé isotrope et caractérisé par son module d'Young E et son coecient de poissonν. Le module de Coulomb est noté G. Sa masse volu- mique est notéeρ. Le tenseur de contraintes de Cauchy est alors déterminé en tenant compte de deux hypothèses :
Une loi de comportement élastique linéaire isotrope donnée par :ε= 1+νE σ−EνIσI L'hypothèse de Saint-Venant qui consiste à dire, que loin de l'application des
charges, le tenseur des contraintes est de la forme :
[σ] =
σss σsη σsζ σsη 0 0 σsζ 0 0
(X,Y,Z)
(2.14)
26
