Déterminer le paramètre d'une section parabolique dans un hyperboloïde à une nappe

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

H. L EMONNIER

Déterminer le paramètre d’une section parabolique dans un hyperboloïde à une nappe

Nouvelles annales de mathématiques 2

série, tome 14 (1875), p. 169-171

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DÉTERMINER LE PARAMÈTRE DUNE SECTION PARABOLIQUE DANS DN HYPERBOLOÏDE A UNE NAPPE;

PAR M. H. LEMONNIER,

Professeur de Mathématiques spéciales au lycée Henri IV.

X% Y2 Z2

Soit — -{-— 1 = 1 l'équation de l'hyperboloïde rapporté à ses axes ; soit

a.r-f- $y -\- yz — p = o celle du plan sécant, avec la condition

nous supposerons a2 -+- j32 + y* = i .

Quand la section est une ellipse ou une hyperbole, on a, pour les demi-axes d'une section centrale,

; a2 a2 b'fr cV

R2 — a? R2— b> R24 - c2

R

RJ = , ~~f

' ;

et Ton a pour la section par un plan (p)

R² "~

posons

R'³ R' R"

( «7° )

Comme ou a

R R R R

_ p' — gig}— ^P»4-c'

Ci I X ,

il s'ensuit

De là résulte pour une section parabolique

donc

En portant cette valeur de Rj dans l'équation ( i ) , on obtient

4_ i ±

3 , » 3 Û Î 3 o

« a3 £ p2 c y2

1 I J

3 . 3 3 IL \3 3 3 / \ 3 1.3 3 / 7 \ 3 . 3 3hep

\ocq) — a p \aC(l) — o P \abq) -hep

Si l'on ordonne par rapport à </,on trouve dans le coeffi- cient de g

le facteur a

a-h&

j3

— c

y

qui est nul.

L'équation se réduit à

i i l

de sorte que

i. 2.

7__ (abc)*p*

^ a2 a2(c2— b7) -h b2^7 ( — a2 -h c2) -f- c272(è2 -f- ö2)

( ' 7 ' ) et

(

c'est la valeur du demi-paramètre.