R ENDICONTI
del
S EMINARIO M ATEMATICO
della
U NIVERSITÀ DI P ADOVA
M. M IRANDA
Comportamento delle successioni convergenti di frontiere minimali
Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova, tome 38 (1967), p. 238-257
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CONVERGENTI DI FRONTIERE MINIMALI
M. MIRANDA
*)
Per le definizioni e le notazioni rinviamo a
[6].
Questo
lavoro è costituito di dueparti.
Nellaprima
si considera ilcomportamento
delle successioni di funzioni aventigradiente
mi-nimale e
convergenti
in Nella seconda si considera il casodelle funzioni caratteristiche
d’insieme,
ovvero delle frontiere mini- mali. Perqueste
viene consideratol’integrale
della somma dei qua- drati delle curvatureprincipali
e si dimostra che taleintegrale
èsemicontinuo inferiormente.
Ringrazio
Ennio DeGiorgi
con ilquale
ho discusso i risiltatidi
questo
lavoro.1. È
noto che se g E(E),
dove E cR"
è un insieme misu-rabile,
allora perquasi
tutti ipunti x
E E vale la relazioneNel caso delle funzioni aventi derivate
prime
misure sipuò
dire
qualcosa
dipiù
sull’insieme deipunti
per iquali
vale la(1.1).
*) Lavoro eseguito nell’ambito dell’attività dei Gruppi di Ricerca del Comi-
tato Nazionale per la Matematica del C. N. R.
Indirizzo dell’A.: Istituto Matematico, Università, Pisa.
Cominciamo col provare un lemma
riguardante
le misure.LEJrXà,
1 Sia A c Rnaperto
e 2v : A -+ Rlipschitziana
coninf «7
(A) >
0. Sia ,u una misurapositiva definita
su Q =«x, y) ;
x EA,
0 y
(x»
e sia ,u(Q)
oo. Allora perquasi
tutti ipunti
x E Asi ha
D IM. Indichiamo con
(ej)
una successione decrescente infinite- sima di numeri reali tale chePer
ogni j
consideriamo la misurapoF3itiva uj
definita su A daper B c A di Borel.
Avremo
allora, poiché
Ad
ogni p; possiamo
d’altraparte
associare(v.
Teorema diRadon-Nikodym-Besicovitch)
unafunzione gj
E Li(A)
in modo chevalgano
leper
quasi
tuttigli x
EA, (Wn
= mis x ER", I X
C1)).
Dalle
(1.3)
e(1.6)
si ha che lalgjl
è una successione non cre-scente di funzioni non
negative
e per essavale, grazie
alle(1.4)
e(1.5).
Dal Teorema di
Lebesgue
si ha allora che deve essere perquasi
tuttigli x
E A.Ma dalle
(1.3)
e(1.6)
si haanche,
perquasi
tuttigli
e
quindi
dalle(1.8)
e(1.9)
si ha che la(1.2)
vale perquasi
tuttigli
x E A.c.v.d.
Dal Lemma 1 si ricava il
seguente
risultatoriguardante
lefunzioni aventi derivate
prime
misure.TEOREMA,
1. Sia A c Rnaperto
A - Rlipschitziana
coninf w
(A) >
0.quasi
tuttigli
x E A valee per
ogni
g =(g1 ,
... ,gn+l),
con le gi di classe CI e asupporto fatto
contenuto inA X.R+ 1),
vale(v
normale est. su~S ~.
DIM. Dalle formule di Green classiche e dal fatto che
f può
essere
approssimata
inLloc (Q)
con funzioni di classeC’
si ha cheesiste
dove si deve intendere
per
ogni
insieme di Borel Bc A,
dove si deve
intendere ,tÈ (x,
w(x)) =.f (X9 W (x)- E).
Dalla
(1.13)
si ha che esiste ile
detto
talelimite,
tenuto conto della(1.12),.
si hache 99
verificala
(1.11),
d’altraparte,
tenuto conto della(1.13)
si ha anchePer verificare la
(1.10)
cominciamo coll’osservare che si haed è ovviamente
D’altra
parte essendo 99
E Li(~S)
si ha che cp(x, w (x))
E Li(A)
equindi
vale, per
quasi
tuttigli x
E A.Mentre per
quanto riguarda
l’a,ltro termine si haper
cui,
tenuto conto della(1.14),
valeDalla
(1.19)
e dal lemma 1 si ricava alloraper
quasi
tuttigli
x E A.Dalle
(1.15), (1.16), (1.17)
e(1.20)
segue allora la(1.10).
c.v.d.
OSSERVAZIONE,
1. Nella situazione del Teorema 1 la funzione q; verrà detta traccia dif
su S.Dal Teorema 1 si ricava il
segnente
TEOREMA,
2. Sia A c Rnaperto, (cr-, b) e
.R un intervalloaperto
ew : A -
(a, b) lipschitziana
conIndicata con
f
lafunzione
di(S~),
dove Q =che
verifica
si ha :
dove S =
«x,
w(x)) ;
x EA) e g~2
sono le tracce su S difi
ef2 .
DIM. Dalla
(1.11)
siha,
se g =(gl,
... , con gi ECó (Q),
Dalla
(1.21)
segue allora evidentemente l’asserto.c.v.d.
A
proposito
della validità della(1.1)
per le funzioni aventi de- rivateprime
misurepossiamo
allora fare laseguente
osservazioneOSSERVAZIONE,
2. conaperto
e S c Qè una
ipersuperficie lipschitziana
tale cheallora i valori di
f
neipunti
di S possono essere scelti in modo chevalga,
perquasi
tutti ipunti
x ES,
Nel
seguito
per valore di una funzionef E (,)
in unpunto
x E S~ intenderemo il numero
f (x)
per cui vale la(1.22), ogni
voltache tale numero esista.
2. Ricordiamo che per funzione avente
gradiente
minimale inun
aperto Q
c Rn intendiamo una/6B7ioc (S~)
per laquale valga,
per
ogni compatto
g cQ,
Utilizzando
quanto
è stato visto nel n. 1possiamo
allora provare ilseguente
TEOREMA,
3. Se Rn èaperto
e(fh)
è una successionedi fun-
zioni aventi
gradiente
minimale in il econvergente
i~a(Q)
versof,
allora anchef
hagradiente
minimate in D.DIM. Possiamo supporre che
valga,
perogni compatto
Kc il,
Infatti da una
qualunque
successioneconvergente
inléo (D)
se nepuò
estrarre una per cuivalga
la(2.2).
Cominciamo col provare che Per
questo basta, grazie
allaProposizione
0.3 di[5],
mostrare che perogni compatto
si ha
Per verificare la
(2.3),
fissatog,
indichiamo con A unaperto
rela-tivamente
compatto
inS~,
con frontiera localmentelipschitziana
etale che
Se,
perogni h,
indichiamo con gh la funzione che vale zero in A ed èeguale
afh
in dal Teorema 2 dalla(2.5)
e dall’Osser- vazione 2 si ricavada
cui,
tenuto conto dellaproprietà
di minimo delgradiente
difh
si ha
Dalle
(2.8), (2.6)
e(2.4)
si ha allora che vale la(2.3).
Per verificare che
f
hagradiente
minimale in ,S~ resta da far vedere che perogni compatto
l~ c S~ e perogni g
E BVioc (S~)
tale cheg
= f
in risultaPer provare la
(2.9),
fissati g e g, indichiamo con A unaperto
relativamente
compatto
in~
con frontiera localmentelipschitziana,
per il
quale valgano
le(2.4), (2.5)
e in inpiù
leSe
indichiamo,
perogni h,
con gh la funzioneeguale
a g in A eda
fh
in avremo, tenuto conto del Teorema2,
dell’Osserva- zione2,
delle(2.5), (2.10)
e del fatto cheg = f
in Q-KPoichè
f
hagradiente
minimale si hada cui a fortiori
Dalle
(2.14),
tenuto conto della(2.11)
e dellasemicontinuità, rispetto
alla convergenza in della variazione totale del
gradiente
suun
aperto (cfr. Prop.
0.3 di[5])
si ricavaLa
(2.9)
è allora conseguenza immediata della(2.15),
della(2.4)
edel fatto
che g = , f
inc. v. d.
OSSERVAZIONE,
3. Se(fhl
è una successione di funzioni aventigradiente
minimalenell’aperto Q
c Rn econvergente
versof
inLlo (S~)~
e se .E è un insieme relativamentecompatto
in Q tale cheallora si ha
Infatti se A n E è un
aperto
relativamentecompatto
in Q sceltocome nella seconda
parte
della dimostrazione del Teorema 3 siha,, ragionando
come è stato lfatto,
Essendo A-.E
aperto
si ha d’altraparte,
per la semicontinuitàsugli aperti
della variazione totale delgradiente,
ovvero, tenuto conto della
(2.17),
Ma essendo
aperto
deve essereDalle
(2.19)
e(2.20),
essendo segue che deve valere la3. In
questo paragrafo
diamo alcunicomplementi riguardanti
le frontiere
minimali,
ovvero le funzioni caratteristiche d’insieme aventigradiente minimale,
che sono stategià
considerate in[3]
e[6].
Per
gli
insiemi misurabili E c Rn sottintenderemo sempre che la lorofrontiera,
che indicheremocon 7-E,
verifichiPer tali frontiere
può
farsi laseguente
OSSERVAZIONE9
4. Se(Eh)
è una successione di insiemi conver-gente
verso un insieme E inLtoc (Q) (si
intenda che le funzioni caratteristiche convergono verso la funzionecaratteristica)
doveil c Rn è
aperto,
e se x ES~,
allora perogni
~O>
0 esistehe
tale che
Infatti, supposto
edist (x,
dalla(3.1)
e dalla convergenzadegli Eh
verso E si ha che esisteh~
per cuie la
(3.3) implica
ovviamente la(3.2).
Considerazioni
più precise
possono farsiquando
si tratti difrontiere minimali. A
proposito
diqueste
ricordiamo che se è minimale in Q c Rn allora9E
f1 S~ è costituita di unaparte singo-
lare
N,
chiusa inS~,
e di misura(n
-1 )-dimensionale
nulla e diuna
parte regolare
che è unaipersuperficie
analitica. Laparte
re-golare
è formata daipunti
x per iquali
esiste il(99E
funzione caratteristica diE)
e tale limite è un n-vettore di modulo 1. Ovvero la
parte regolare è,
con le notazioni introdotte da DeGiorgi
in[2],
lafrontiera
ridotta di .E inQ,
cioè n Q. Perquesti
risultati siveda il Teorema 6.5 di
[6]
oppure[3].
OSSERVAZIONE,
5. sia una successione di insiemi aventi frontiera minimalenell’aperto Q
c(rh)
sia una successione dipunti
EgEh
h. SeEh
- E in(S~)
e Xh -~ x E S~ al-lora si ha x E
7E.
Infatti : se
x ~
tenuto conto di(3.1)
e di un eventualepassaggio
aicomplementari
di tuttigli
insiemiconsiderati,
sipuò determinare p : 0 ~
eC
dist(x, 5D),
tale cheDalla
(3.5), poiché Eh
2013~ .E inLfoc (il)
epoiché
é dist(x, aS2)
siricava
D’altra
parte,
seho
è tale cheper il fatto
che xh
E7E
si ha(cfr.
Teor. IX pag. 21 di[3]
oppureil Teor. 3.8 di
[6])
Le
(3.8)
e(3.6)
essendoincompatibili
si deve dedurre che x E Per il caso di frontiere minimali sipuò
farequalche precisa-
zione
riguardo
aipunti regolari.
Vale alproposito
ilseguente TEOREMA,
4. Sia Q cacperto
ed una successione di in- siemi aventifrontierac
minimale in e sia(Xh)
unac successione dipunti verificante
Xh ECJEh, V
h. SeEh
- E in(il)
e Xh - x ese x E allora esiste
ho
tale cheDm. Dal Teorema 3 si ha è minimale in Q e
quindi,
se o
dist (x,
si ha(cfr.
formula(3.11)
di[6]
oppure Teor. VIIpag. 17 di
[3])
Dalla
(3.9)
e dal fatto che si haEsisterà
allora 2,
0 dist(x,
tale chedove
a (n, 2 J B 2 Ì
/ è la costante del Teorema 5.7 di[6].
Possiamopoi
evidentemente supporre anche che
valga
Dalla
(3.12)
si ricavaallora,
per l’Osservazione3,
oltreché ovviamente
Posto , essendo per
h -~ oo,
dalle(3.11 ), (3.13)
e(3.14)
si ha che esiste)zo
tale che: perogni h > ho
si haper cui a fortiori vale
Dalla
(3.16),
per il Teorema 5.7 di[6],
si ha che xh Ee per il Corollario 6.3 di
[6],
si haDalle
(3.17)
e(3.18)
e dal fatto che perquasi
tutti it aD)
si ha
segue che vale la
ii).
c. v. d.
Dal Teorema 4 e da un risultato
provato
in[5]
si ricava ilseguente
LIEMXAY
2. Se~Eh~
è una successione di insiemi aventifrontiera
minimale
nell’aperto
Q c seEh
-~ E inL10c (Q)
e se x =(y, t)
(y
ERn-1,
t ER) appartiene
a97*-E
f1 ,~ e valeallora esistono due numeri
positivi
e, a, un indiceho
e perogni
h
> ho
unafunzione fh defcnita in (y; 1 y - y
valori in(t;
in modo cheDtwt. Dal Teorema 4 si ha che possono
determinarsi e,
aposi-
tivi e
ho
in modo chee
Se a è scelto in modo che
valga
dalla
(3.20)
e dal Teorema 5.6 di[5]
si ha che esistefh ,
perh ~ ho ,
tale che
valga
lai)
ec. v. d .
OSSERVAZIONE,
6. Dal teorema di DeGiorgi
relativo alla hol- derianità delle estremalidegli integrali multipli regolari (v. [1])
eda un classico risultato relativo alla hölderianità delle derivate se-
conde delle soluzioni
regolari
delleequazioni
ellittiche(v.
Teor. 35.IV di
[4])
si ha che :se
(fh)
è una successione di funzioni analitiche s u unaperto
A di R~ ed ivi soluzioni
dell’equazione
delleipersuperfici
di areaminima
se la converge in
(A)
e se perogni compatto
K c A valeallora
ogni
successione che si ottiene derivandoquante
volte si vuolela
lfhl
converge uniformemente suicompatti
K c A.Dal Lemma 2 e dalla Osservazione 6 si ricava allora il
seguente TEOREMA,
5. Sia D =l(y, t) ;
y ERn-1, ~ y ~ C
e, t ER, I t C a~
e(Eh)
una successione di insiemi aventifrontiera
minimale inQ,
con -vergente
in(D)
verso t’insieme E =«y, t); I y C
~o, tC f (y)~,
dovef
è unafunzione
analitica in~y ; ~ I y C é)
a valorif (y) C 6.
Alloraper
ogni ~o’ C
e esiste o’C ~
e un indice h’ tali chee
le fh
sono analitiche inogni
successione che si ot- tiene derivandoquante
volte si vuole la(fhl
converge alla derivata omonima dif uniformemente
su ~(y ; I y e’).
4. In
questo paragrafo riprendiamo
lo studio delle curvature delleipersuperuci
minimali iniziato in[7].
Leipersuperfici
chequi
considereremo saranno frontiere di insiemi e
quindi
non necessaria- mente cartesiane come in[7].
Se Q c I~n è
aperto
ed E è un insieme avente frontiera mini- male inQ,
inogni punto
din Q,
ovvero inogni punto
rego- lare diJE n Q,
si possono considerare le curvaturedell’ipersuper-
ficie n Q. Indicheremo allora
con rE
la misurapositiva
defi-nita su il da
dove
c2
è la somma deiquadrati
delle curvatureprincipali dig*R n
Q.Vale allora il
seguente
LEMMA,
3. Se Q c èaperto,
9 se è una successione di in- siemi aventifrontLera
minimacle in S~ econvergente
inLloc (S~)
versol’insieme
E,
allora si haper
ogni funzione
continua g il cuisupporto compatto
sia contenutoin il e non abbia
punti
in comune collaparte singolare
di9-R.
DIM.
Se ~
E supp g allora necessariamenteo ~ ~ 71- E o ~
è unpunto regolare di 7 E.
Nelprimo
casopuò
trovarsi unaperto A ~ 3 ~
e un indice
h~
tali chenel secondo caso
può
trovarsi unaperto A~ 3 ~
e unindice h~
taliche,
perogni h > h ~ ~ 7 Ein A ~
è ilgrafico
di i una funzione anali- tica e la successione di funzioni analitiche che cos viene a trovarsi(v.
Teorema[5])
converge uniformemente verso una funzione anali- tica il cuigrafico
è e le successioni derivate convergono uniformemente verso la derivata omonima di tale funzione.Indichiamo allora con un numero finito di funzioni conti-
nue non
negative
asupporto compatto
e tali che(4.4)
perogni i esiste Ei
tale che supp ai cAvremo allora
e per
ogni i
Dalle
(4.6)
e(4.7)
segue allora la(4.2)
c.v.d.
c.v.d.
Dal Lemma 3 si ricava il
seguente
TEOREMA,
6. Se S~ c èaperto,
se(Eh)
è una successione di insiemi aventifrontiera
minimale in ,S~ econvergente
in(S~)
versoE,
allora perogni aperto
A c ,S~ si haDIM. Basta osservare che essendo
~
una misurapositiva
consupporto
contenuto in7* (qui
ilsupporto
va inteso nel sensodella teoria della
misura, quindi
non occorre che siachiuso)
si hae
applicare
il Lemma 3.c. v. d.
A
proposito dell’integrale
della somma deiquadrati
delle cur-vature
principali
in[7] è
statoprovato
che perogni
intero n esisteuna costante
k (n)
taleche,
perogni ipersuperficie S = ~(x, f (x)) ;
x E il c minimale analitica e per
ogni
dist(xo, aS~)
si ha
Con la stessa dimostrazione si
può
provarepiù
ingenerale
cheMediante il Teorema 6 la validità della
(4.11) può
essere estesaalle frontiere minimali
approssimabili
conipersuperfici
cartesianemin mali analitiche. Vale
infatti,
come conseguenza immediata del Teorema 6 e della(4.11 ),
ilseguente
TEOREMA,
7. Sia Q c Rnaperto
e(x)) ;
x EQ)
sia una suc-cessione di
ipersuperfici
m2inimali analitiche. Se la successione di in- siem iEh = ~ (x, y) ;
x Efh (x) j
converge inLtoe
versol’insieme
E,
allora perogni
xo EQ,
yo E R e d = dist(xo ,
si hadove k
(n)
è la stessa costante delladiseguaglianza (4.11).
c.v.d.
BIBLIOGR,AFIA
[1]
E. DE GIORGI : Sulla differenziabilità e l’analiticità delle estremali degli integrali multipli regolari. Mem. Acc. Sc. Torino, 1957.[2]
E. DE GIORGI : Nuovi teoremi relativi alle misure (r 2014 1)-dimensionali in uno spazioad r dimensioni. Ric. Matem. Napoli, 1955.
[3]
E. DE GIORGI : Frontiere orientate di misura minima. Sem. Mat. Scuola NormaleSup., Pisa, Anno Acc. 1960-61.
[4]
C. MIRANDA : Equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico. Springer-Verlag, Berlino, 1955.[5]
M. MIRANDA : Distribuzioni aventi derivate misure e insiemi di perimetro localmente finito. Ann. Scuola Norm. Sup., Pisa, 1964.[6]
M. MIRANDA : Sul minimo dell’integrale del gradiente di una funzione. Ann. ScuolaNormale Sup. Pisa, 1965.
[7]
M. MIRANDA : Una maggiorazione integrale per le curvature delle ipersuperficiminimali. Rend. Sem. Mat. Padova, 1967.
Manoscritto pervenuto in redazione il 17 marzo 1967