GÉODÉSIE DES FORÊTS, Du Graphomèlre.

GÉODÉSIE DES FORÊTS,

DES INSTRGJIEXTS PROPRESM^LEVÉMSVl\\\

LESinstrumentsenusage sont:

t⁰ Legraphomètre_;

2°Lecerclesimple,répétiteurou tli*od:>Iitc,consacré spécialement à la trigonométrie_;

38L'équerre simple_;

h"Laboussole;

5°Lesecteurilréflexion_;

6uLadraine ou décamètre.

Parmi_cesinstrumentsjene connais de^fautifsque ceux quisont mal confectionnés_;tous produisentdesrésultats également bons

quand

ilssont employésavec adresse,et appropriés au tempset au terrain. Je dirai les avantages etlesinconvénients de chacund'eux.

Du Graphomèlre.

1. Cet instrument est composéd'un demi-cercleABC (fig.1.)et d'une alidadeD

E,

mobile autour^ducentre F.

Elle est garnie de deux pinnulesP Pqui servent^àpointer

les objets, et quelquefois ^de deux lunettes ayant des soies très-fines tendues au foyer du verre objectif. La lunette qui est placée au-dessus du plan de l'instrument (comme-,'tlafig. 2.

),

s'y meut perpendiculairement dans un arc^{de 20 à25°}d'abaissement et d'élévation.

Lorsque la division du limbe de cet instrumentest exacte, et qu'elle donne la minute au moyen d'un ver- nier_; que sonrayon est au ^moinsdedix centimètres, et qu'enfin deux niveaux_ysontadaptés, ilest d'une grande justesse dans la mesure ^des angles; mais il a aussi des inconvénients qui méritent une attentiond'autantplus sé- rieuse

,qu'ils dépendentmoins de sa perfection que desa nature. Tous ceux^qui ont levé^desplansde quelque im- portance et sur divers terrains,conviendront que^lespro- cédés du graphomètre, toutexacts qu'ils sont, exigent trop de précautions,amènent trop ^de lenteurs dansles opérationsde détail, pour que l'ondoive en recommander l'usage et en attendre le même succès dans toutes^les circonstances_; car, ^{quelque soin} qu'on apporte^àl'obser- vationdesangles,ilestdifficileden'y_pascommettred'er- reur_{, et} ^{la moindre} erreur ^{est de} conséquence,puis- qu'elle déplace tousles sommets etlesrayons des ^angles qui suivent dans une proportion toujours croissante.

Néanmoins,_comme il n'en est pas précisément^deplus exact,_onpeut hardiment l'employer dans^lesterrains peu couvertset peu accidentés, c'est-à-diredans les lieuxoù l'on peut établir de grandes^lignes de construction dont on aperçoivelesextrémités,desextrémités opposées.

Lorsqu'on s'en sert pour^lesdétails d'un plan, ilsuffit qu'il soit divisé de cinq en cinq minutes_, et quesonali- dade_{soit à}pinnules, pourvu toutefois qu'il contienne au moins un niveau d'air, pour placer son plan dans une

situation horizontale;car,sans cetteprécaution,ilarrive qu'on nepeutdéterminer précisément les angles compris entre les projections horizontales des rayons qu'on ob- serve,^et dans ce cas,^il ne fautpass'attendreàtrouverla somme des angles d'un polygone égale ^à autant defois deux anglesdroits, _ou 180°qu'il a decôtés, moinsdeux, ainsi que cela a lieu, à peu de chose près, lorsqu'on opère avecuninstrument complet.

Lesexpériences quej'aifaites ne mepermettentpas de douter de l'impossibilité de faire un travail exact sans ces précautions; ettout arpenteurqui dit, _{avec un} grapho- mètre d'une petitedimension,dépourvu de niveau et ne donnant que les cinqminutes, êtredansl'habitude de fer- mer à quelques minutes tout polygone de huit, dix ou vingt côtés, mentàlui-même et aux autres; sans douteun œilexercé peut mettre^le plan d'un instrument_assezde niveaupour^qu'il n'enrésulte qu'une erreurlégère dans la valeur desangles,mais comme cen'est làqu'unàpeu près,et qu'il n'en faut point admettre engéométrie,_on doit repousser une méthode qui ne peutpas faire règle et quitendraità se contenterd'uninstrumentincomplet, tandis que les plus parfaits ne sont pas même exempts d'erreur.

On nepeutdoncapporter trop desoinsaux opérations de cetinstrument,parce que, quelles que soient saper- fection et la bonté des méthodes qu'on emploie, ^il existe en lui-même tantde chancesd'insuccès, que, pour peu qu'on_y ajoutepar^quelquenégligence,il fauts'attendre àde mauvais résultats.

Du^Cerclerépétiteur.

2. Ce cercle (fig. 2.) _{est un}graphomètre double quant aulimbe, c'est-à-dire qu'il est composé d'un cercleen- tier_{, divisé en}3601, chaque degré _endemi et quelquefois enquartdedegré. Il est garnidedeux lunettes plongean- tes:l'uneinférieure, l'autre supérieure; pour^lesdoubles répétitions d'angles, le mouvement dulimbe, indépen- dant de la lunette inférieure, entraîne _{avec lui}la supé- rieure_; cette dernière forme ordinairement un angle de 25 à 30°, _avec la direction du pied de l'alidade, pour donner la facilité de compterle vernier.

Cetinstrument, ordinairement plus soigné que le gra- phomètre

, est d'une grande précision dansla divisionde sonlimbe,sur lequel l'alidade ou plutôt^lesdeux verniers qui y reposent doivent former continuellement et dans tous ^les mouvements possibles, des angles parfaitement égaux, opposéspar^le sommet :ilsertàl'observationdes angles dans une triangulation. ^Ses résultats sontd'autant meilleurs,qu'il est lui-même plus parfait, et l'observa- teurplus habile.

Est-ce à dire pour cela,ainsiqu'on l'aprétendu,_que le cerclesimple,_oumêmelegraphomètre

, quin'endif- fère queparla dépendance de_sa lunette inférieure et de sonlimbe,n'enpuisse fairelesfonctions, employé d'une certaine manière? Non, sansdoute,et l'expérience est là qui parle plus haut que la théorie; etcommej'ai _{fait un} long _usage de cesdeux instruments,j'oseaffirmerqu'en laissant de côté la lunette inférieureducercle_{, on}peut,

avec la supérieure seule, et_{avec un}peu d'adresse, répé- terles angles_assezexactement pour qu'une triangulation

de la nature de celles qui peuventêtre demandées aux géomètres desforêts, ne^laisserienàdésirer.

Que les ingénieurs géographes du dépôt dela guerre, chargés d'une triangulation depremier ordre,soient tenus de se servir d'instruments qui donnent lessecondes, jele conçois, parce qu'il s'agit de grands rayonstrigonométri- ques et d'un réseau qui embrasse toute la France; maisici le réseau est toujoursborné et isolé, et la précision^du' cercle ou d'ungraphomètreîilunettessuffitàl'établirde manièreàpouvoirrépondrede la longueur des côtésàun millième près. Sur_{ce point}j'enappelle aux praticiens.

De l'Èquerresimple.

3. Il y a deux sortes d'équerres d'arpenteur. La plus estimée est celle quiaquatrepinnulesplacées aux extré-' mités de deux diamètresqui _se coupent à angles droits_; mais elle est moins portative et moins en usage quel'au- tre, qui est un cylindre ou un octogone de cinq ^{à six}cen- timètres dehauteur_surquatredediamètre environ(fig.3).

La distance des incisionsverticales de cettedernière étant fort courte,donne moins rigoureusement que la première la perpendiculaire d'un point très-éloigné à une droite quelconque,etces^incisionsétantfort étroites,il est^diffi- cile de reconnaître et de saisir les points visés, parce qu'ellesdérobentles objets environnants qui aideraient à les distinguer; mais, malgré_cesinconvénients, c'estpour ainsidire la seule qui soit généralement usitée.

Avantde se servir d'uneéquerre,il estbon des'assurer de l'égalité desanglesqu'elle forme. Pour y parvenir on faitplanterdeux jalons dans la direction exacte des deux diamètres del'équerreprisdu même pointàune distance

de cent mètres environ_;ontourne ensuitel'équerre_{sur sa} douillejusqu'à_ceque la fente dirigée sur le premier jalon lesoitsur^lesecond_; sil'équerreestexacte, l'autre fente sera précisément sur^lepremier jalon_;siellen'y_{était pas,} ilfaudraitrejeterl'équerre, _ses résultats seraientfaux. Il estderigueur, dans l'usage, qu'ellesoitplacéetrès-verti- calement sur sonpied, et qu'en latournant,_{sesfentes ne} quittent pas cette verticalité.

Lesfonctionsdecet instrument sont beaucoup pluscir- conscrites que celles du graphomètre; mais aussil'emploi en estbien plussimple et plus facile,_sansqueses résul- tats_ensoientmoinsbons. C'est le seulinstrument, ainsi qu'on le verra ^plus

tard,

_avecles données duquel on puissecalculer de suite sur leterrain,etparles mesures immédiates, la surface des polygones arpentés, _sans le secours ^des logarithmes.

DelaBoussole.

L,. La boussole _se compose d'une boîte carrée ^(fig. 4), quiporteà soncôté une alidade mobile dansunplan ver- tical et formée d'un tuyau^debois garni de cuivre et de petites fenêtresà ses extrémités,_ou d'une lunettesuper- posée, par^lesquelleson vise aux points^à déterminer.A sonfond estunpivot sur lequel est suspendue une aiguille aimantée en forme de losange très-alongé et tournant dans un limbedivisé en^360%queses extrémités affleurent pour donner la facilité de compter^les degrés quand elle n'oscilleplus.

Toute boussole dont l'aiguille ne coupe pas le limbe ou le cercle en deux parties parfaitement égales doit être rejetée. Pour être exacte,il faut, quand l'aiguille marque

d'un bout180% qu'elle marque de l'autre 360°, ou^90°

d'un bout et270°del'autre.

Cetinstrument,quoique frappé deréprobation par^des théoriciens,parquelques praticiens même, dont l'opinion n'estappuyée que sur des faits mal observés, méritepour- tant^de la considérationpour les services qu'il rendtous lesjours aux géomètres qui savent l'employer.

Si desphysiciens instruits ont dit quelques vérités sur l'instabilité magnétique de l'aiguille aimantée, d'autres aussi, quin'étaientsansdoute pas des physiciens, les ont répétéespar^écho en lesexagérant; delà l'idée trop gé- néralement adoptée que ^la boussole n'était bonne tout

auplusqu'àorienter les plans.

Pourmoi, j'ai d'autres prétentions,et sans vouloir^im- poser mesidées,mais convaincu par trente ^ans d'expé- rience,je crois que la répudiation de la boussole dans le levé desplans,surtouten forêt, est l'effet du préjugé et de l'inexpérience.

L'instabilité de la déclinaison de l'aiguille aimantéeavec le méridien estsi peu importante, même dans lecours d'une année, que^sil'on doit entenircompte, c'estsurtout pourl'orientement des plans; car bien quesesvariations soientlentes, comme elles sont continues dans ^lemême sens, ^{il faut} y avoir égard après un certain nombre d'années.

L'aiguillequi décline aujourd'hui de ^22° quelques mi- nutes vers l'ouest, était, avant 1666, dirigée vers le nord-est; _{c'est peu}à peu qu'elle _se rapprocha dunord vrai,qu'elleregardaitdirectement en ^1666. Depuis cette époqueonl'a_vuetournervers l'ouest, etsansinterruption jusqu'en 1816,_aupointoilelle est encore^àquelquesmi- nutes près; cependant _son mouvement est constant vers

lenord,et quoiquetrès-lent, toutporte*à croirequ'elle finirapar l'atteindre encore, pour sediriger ensuite vers lest,,comme avant^1666.Plus heureuxquenous, nos des- cendants apprécierontpeut-être leslois et leslimites de cessinguliers mouvements-, dontlescauses jusqu'ici sont entièrement ignorées.

Quant_aux obstacles que les levésde la boussolepré- sentaient dans leurs rapports aucabinet,ilssont aplanis par ^lepolygonomètre quej'ai inventéà cet ^effet,et dont Ilsera parléen sonlieu.

DuSecteuràréflexion.

k bis. Cetinstrument,dont l'usage n'exigeni pied, ni support, et qu'onpeutappeler graphomètre ou dcnclromè- tredepoche,à cause de son mince volume, _ale double antage de faire leverlesplans rapidement et presque^à vue, ^{du moins} _{en ce}qui concerne la mesure^desangles_; puis de déterminer, employéd'une certainemanière,la hauteur des arbres _avec une extrême promptitude, _au moyeu d'une base de^dix mètres.

lU. Allent; officier du génie,

est,

dit-on, le premier qui en ait donné l'idéeparson équerre de réflexion_;mais jecfois être le premier qui le présente sous cette forme (fig. 98), _{surtout pour sa} propriété dendrométrique.

quim'appartiententièrement.

Il est composé d'une planchettecarréede15 à 20cent.

au plus,encuivre ou en bois, sur laquelle est gravé ou tracé _un quart de cercleA.

Be,

_{divisé en}180% par ^te motif que nous dirons tout à l'heure. ^{D V}est une alidade mobile sur le centre D, ^où est un petit miroir placé sor champ, bien perpendiculairement _au plan de l'instru-

meut etàl'axede l'alidadeD Y

, aveclaquelle_{il se}meut.

E est un autre miroir placé comme ^leprécédent,mais quidemeure toujours immobile; son plan doit former un parallélisme complet avec le plan du miroir D, quand l'alidadeest_à zéro._{Voici son}usage :

Soità trouverl'angleKDI:

I:

Je prends l'instrument avec la main gauchepar une poignéequelconque,adaptée sous latablette; jedirigela ligueDEde manière à voir le point K à travers lapartie non étamée du miroir E, et affleurant sapartie étamée;

jeprendsl'alidade parson boutonH, et la faisant mou- voir dansla rainure circulaire L,je l'amène deAversB, jusqu'àce que le point I vienne se réfléchir en ^E et en contactparfaitavec le pointK; alors, comptant l'arc_que l'alidade_a parcouru ^depuisA, j'ail'anglecherché. Ala vérité,cet arc ne mesure quelamoitié del'angle,_mais comme, par^la loide laréflexion, _un angle, dont les rayons sont réfléchis en un point de contact par^desmi- roirs plans, est double de celui formépar l'obliquité^de ces mêmesmiroirs, l'arcAB Ca dûêtrediviséen^180Q, au lieu de 90°, pourdonner la valeur réelle des angles observés; l'angleK

D

1 est donc de81035' environ, car lecrin placé dans la petite fenêtre g^del'alidade_neper- met que l'approximation desminutes, _ce qui,dureste, estsuffisantdansune opérationdedétail.

Lapossibilité demesurer^{les angles}les plus obtusrend cet instrument bienprécieux; mais à côtéde cet avantage est un inconvénient:silesrayonsàobserver,ou quelques- unes de leurspartiesvisibles, ne sontpas sur le même plan, c'est-à-dire, si, dupoint de station, elles s'incli- nentsur des plans différents, l'observation de l'anglen'est plus possible, puisque le secteur ne peut les réfléchir.

Toutefois, _on peutyobvier par^leprocédé suivant(lig.

4 bis) _: sur^lespentes A DetA F, et dans l'alignement précis de_vosdeux lignes, faitesplanter deux jalonsBet C, assez grands pour que leurs têtes soient au^moinsdans le planBAC, _cequevousreconnaîtrez quand votre sec- teur^lesréfléchira, etvousaurez l'angle cherché. ^Oubien (fig. h

ter);

soit ABC, l'angle à observer:si, _comme c'estprobable,l'un des prolongementsBDou ^BF est sur un plan qui permette d'observer ^{C B D}ou ^{A B} F,jalon- nez ce prolongement sur une distance de^{25 à 30m,}obser- vezcetangle, son supplémentà 180" sera l'angle cher- ché. (Voir len°36,pour la pose^desjalons.) _-

DelaChaîne ou Décamètre^{(fig. 5}).

5. La forme de la chaîne varie selon les goûts et les habitudes, maisla plus commode est celle qui_setermine aux extrémitéspardeux poignées_assezlargespourypas- ser quatre ^doigts.Elle estordinairement accompagnée de dix_{fiches ou} piquets _enfer de 40cent. de hauteur, ter-

minés àlatête parune boucleassezgrandepour y pas- ser aisément un doigt.

Il faut être deux pour employer la chaîne _:celui qui est derrière doit avoir soin del'appuyercontre_son ge- nou qui, touchant la fiche à relever, forme un point d'appui_assezimmuablepour^{résisteràla}tropgrande ten- sion dela chaîne_; ilne doit pas relever la ^ficheavant que celle de devant soit plantée.

Dans les terrainsinclinés il faut avoirsoin de niveler en tenant la chaîne dansunplanhorizontal,etenlaissant tomber verticalement lafiche àterre; etcela,_{parce que} tous ^les terrains doivent être ramenés à leurprojection

horizontale,pourqu'il soit possible d'en construireexac- tement le plan sur lepapier,et encore parce qu'il estad- misque leur étendue productiven'a_pasd'autres bases.

Lorsque l'inclinaison du sol est telle que l'on nepeut arriveràl'horizontale_avecla chaîne entière,ilfaut mesu- reravec cinqmètres seulement.

On obtient plusd'exactitudeàmesurer en descendant qu'en montant, parla raison que_, dans lepremier cas, celuiquiest devant est plus sûr de laissertomber_safiche verticalement, que, ^{dans le deuxième} cas, celui qui est derrièren'est sûrd'éleverla sienne dans cette direction, parce qu'iln'arien,comme celui qui descend, quil'aver- tissedu moment oùilest temps de fairetomberlafiche.

Un bon chaînage n'est pas ^aussi facile qu'on pourrait le croire_; il exige de l'expérienceetdes soins soutenus.

Il est bond'étalonnersouvent lachaîne, et de latenir d'un centimètre plus longue que le décamètre, attendu qu'il estrare qu'on puisse la tendrecomplètement sur le terrain.

Je_{ne connais}d'autreinconvénientàla chaîne quel'atti- tude inclinée qu'il fautprendre àtoutinstantpour planter et ramasser les piquets.

Unvérificateur des plans du cadastre ainventé, dit-on, undécamètre qui, _parle moyen d'un mécanisme com- mode et facile, adapté _{à ses} extrémités, réduit toute erreur^{possible à 1/5000!} Je _{n'ai pas vu ce}décamètre, mais s'il existe, ilfaut_{se le}procurer^àtoutprix, _nefut- cequepour la mesure desbases, écueilde nos décamè- tresordinaires.

Ilest encore quelques autres instruments propres au levé des plans, tels que la planchette, ledéclinatoire, l'équerre de réflexion, l'équerre graduée, _etc.; mais

comme ilsnesont d'un bon usagequ'en plaine,etqu'itl échouent presque toujours dansles bois, jeme dispense d'en donner la description.

DesNiveaux.

6. Leuiveau est un instrument quisertà trouver une lignehorizontale, et à la continuer autant qu'on le juge à propos,^afin- de déterminerpar ce moyen le vrai niveau pourla conduite deseaux, pour rendreles rivières navi- gables, construire un canal,_uneroute, sécher des ma- rais, desfondrières, etc.

Il existe plusieurs sortes de niveaux; mais parmi le grand nombre,lessavantsont fait un choix. C'esten me conformant àcechoix quejeme borne à décrire lenireai d'eau et le niveau à bulle d'air.

DuNiveau d'eau (fig. 6).

7. Ce niveau est fort simple _: il est composé d'un tuyau rond _outube_{en cuivreou en} ferblanc, recourbé sur sa longueur en^Aet en

B,

et à angles droits; dans ces deux parties recourbées sent adaptés deux tubes de verre^{CD.Ayantversé de}l'eau ordinaire,_oumieux, co- lorée, par ^l'undesbouts,jusqu'à ce qu'elle monte dans l'autre, le niveau est construit.Il_nereste qu'àle monter surunpied,_commeonle voit dans lafigure.

Leprincipe de sa construction est fondésur^lapropriété qu'onttous les^fluidesde se mettre dans un plan horizontal.

Ainsi, quand deux pointsrépondentà la surface del'eau dans les tubes du niveau, _ces deux points sont dans le même plan horizontal.

Niveau

d'air

_{ou à}Bulle

d'air

(lig. 7).

8. Ceniveau,qui ne cède rien au premierparsa ^sim- plicité etson exactitude,estbeaucoup moins embarras- sant. Lasensibilité de _sesmouvements est d'un avantage bien précieux dans les opérations délicates

, et sa mon- ture permet d'apprécier la mire bien plus exactement qu'avec le niveau d'eau, aussi est-il préféré à tous les autres.

Ilest composé d'un tube de verre ^{A B} rempli à quel- ques gouttes prèsd'espritdevinet scellé hermétiquement aux deux extrémités.^Labulle d'airR,tendantà occuper lapartie la plus élevée dans letube,doits'arrêtertoujours à une place déterminée. Si,en le mettant sur un plan quelconque, la bulle monte, ce plan penche du côté opposéà son ascension.

Letuyau de cuivre qui contient letube est attaché à une règle^{C F} mobile,relativementà larègle inférieure montée sur une douille avec^visde pression et de rappel pour placer la bulle ^àson point voulu graduellement et presque insensiblement. Aux extrémités de la première règle sont deux montants sur lesquels s'adaptent deux lunettes contiguës, parallèles et opposéespar^l'objectifet l'oculaire.Deux visderappel,4, 5,serventàramener les lunettes dans la vérification du niveau.

Cette vérification_{se fait}en mettant d'abord laballe à sonpoint;ensuite,remarquant unobjet quelconque dans lesdeux lunettes, ou mieux faisantplacer deux mires aux points indiquéspar ^les réticules, jetournealorsleniveau bout pour^{bout, etsiles}mêmes points des deuxmires sont sur les réticules, le niveau est exact;maissicelan'est_pas,

ilfaut, au moyen^{desvis4, 5,} rappelerleslunettesjusqu'à ceque cette concordance existe.

Aulieudelunettes_onpeut_se servir de pinnules fendues horizontalement; mais dans un nivellement de quelque importance et où l'on désire beaucoup d'exactitude dans l'appréciation des pentes, ^les lunettes seules peuventla donner.

Les ingénieurs et les agents-voyers _se servent d'un niveau de pente, appeléaussiclitomètre,fort bien monté et fort commode_:ildonne l'angle d'inclinaison du terrain etpermetdecalculerparl'hypothénuse du trianglerectan- gleobtenu, d'abord lesinus droitde cet angle qui n'est autrechoseque ladifférence deniveau des deuxpoints, et ensuite lesinusde_son complément qui n'est que la lon- gueur de l'hypothénuse réduite^àsaprojection horizontale.

Des tables de sinus naturels abrégent considérablement cescalculs.J'en_{donne une}àla fin de cet ouvrage pour tous ^les degrés du quart de cercle de six en ^six mi- nutes.

LEVÉ DES PLANS.

Triangulation.

9. L'arpentage d'une ou^deplusieurs_massesdebois doit toujoursêtre précédé d'une triangulationquilesembrasseet les enchaîne autant que possible dans un seul réseau; elle est la base de toutesles opérations de détail qui doivent s'y rattacher.C'est une opération délicate sur laquelle est fondée l'exactitude du travail subséquent. On ne peut donc trop _sepénétrer de_sonimportance _{en ce} qui con- cerne la partie graphique.

Jevaisindiquerlesmoyens^lesplus prompts de procéder

àson exécution : je la composerai d'une succession de triangles appuyésles uns sur les autres et formant deux réseaux qu'un bois inaccessible sépare et ^isole.

Je commenced'abord par parcourir ^leterraindans_ses positionslesplusélevées,etsi je juge que ces points sont trop rapprochés ou tropéloignés les uns desautres, je cherche le moyen d'enétablirou d'en supprimerd'inter- médiaires, car^ilne fautpastroples multiplier_;des côtés de 800 à 100ûm suffisent même pour ^desbois sinueux et accidentés,surtoutquand plusieurs des points choisis sont situés dans les boisà arpenter ou avoisinent leur périmètre :disposition heureuse qu'il faut tâcherd'ob- tenir le plus souvent possible.

J'évite avec soin les triangles tropobliquangles,parce que leurs côtés ne peuvent jamais être déterminés avec autantd'exactitude que ceux d'untriangle approchantde l'équilatéral.

Lorsque l'emplacement des signaux est biendéterminé, j'yfaiscreuser untrouetplanter _uneperche droite, lon- gue de quatre à cinq mètres, garnie d'un bouchon de paille_oud'un linge blanc quel'airpuisse agiter.

Celafait,jem'établis_aupremiervenu de ces pointsavec moninstrument qui est _un cercle. Quand son centre ré- pondà plomb sur letroudu signalA (fig. 8), et que son plan est bien horizontal,jeplacel'alidadeàzéro,c'est-à- direà 3600 d'un bout età 180° del'autre. Je desserre la vis depression qui est sous la lunette inférieure, jetourne le limbejusqu'à_ceque le réticule vertical de la lunette su- périeurecoupe le pied du signalB, etjefixel'instrument dans cette position.

Prenant alors l'alidade près duvernier, jelafaisglisser doucement sur le limbe et sanssecousse, jusqu'àceque

lecrin de lalunette couvre^lepieddu signalS, et je l'y

mets plus sûrement par ^{la vis de} rappelde l'alidade.

Comptant sur levernierl'arc_{que cette}alidade_aparcouru, jele trouvede 97°35'.

Expliquonsla manièrede compterle vernier_:

Si lelimheestdivisé _en demi-degré,_{et son} vernierde minute _enminute, _cevernier contiendra vingt-neuf demi- degrés divisés_entrente partieségales, et alorsla lignede cettedivision quisetrouverale plus_encoïncidence avec une deslignes quelconques dulimbe,indiquera lenombrede minutesqu'il faut ajouter _aunombre de degrésindiqués par la lignezéro de_cevernier,etcesera l'anglecherché.

Ainsila ligne zéro (fig. 19) _se trouvant^{à 970 30'} plus unefraction, _etla cinquième lignedu vernier étant celle qui_setrouve le plusenrapport avec unedesdivisionsdu limbe, c'est 5' qu'ilfaut ajouterà97030'_:l'angleestdonc de97°35'.

Jel'inscris suruncroquis (fig. 9) et ramenant_encore tout l'instrumentsansdéranger la lunette-, maisjusqu'à_ce qu'elle _se trouve _{sur le} rayon ^AB, je fixe_{de nouveau} l'instrument,_etj'amèneune seconde fois la lunette_{sur le} signalS;lisant_{sur le} limbe 195°9',

j'ai,

à uneminute près, le doublede mon angle qui, parcetteopération,se

trouve répété. Si je _{veux le} répéter une seconde fois, j'yprocède commepour la première,^ettrouvant292°44', letiersde cette somme,c'est-à-dire97°34'40",_estl'an- gle cherché. Outre cette répétition,j'ai _encore celle de l'autre bout del'alidade, d'où jepuis faire lamême dé- ductioncomme moyen devérification.

Il faut_une loupe pour apprécier plus exactement les divisions duvernier _enrapport avec celles dulimbe.

Passantsuccessivement aux autres angles,jelesobtiens

parles mêmes procédés; et ^sij'aifait_untour d'horizon, je vois si la somme des angles est de ^360°. S'il ne s'en faut que de deux ou trois minutes,je tiens mon opération pour bonne; s'il s'en manquedavantage, je ne dois pas hésiterà recommencerjusqu'à _{ce que}j'obtienne ce ré- sultat.

Comme onpeut le voiràlafig. 9

, j'établisun canevas ou croquis visuel, sur lequelje traceàmesure les rayons observés et la valeur des angles conjugués; celadonne la possibilité de voir d'un coup-d'œil la figure approchée des triangles et de compter plus aisément la somme de leurs angles. Ilfaut autant que possible observer ^les trois an- gles dechaquetriangle, et ne pas abandonner ^les lieux avant d'avoir obtenu leur fermeture à une ou deux mi- nutes près, c'est-à-direà_{180° —}ou

+

^2'.

On a puremarquerque la lunette inférieure^del'instru- mentn'a faitici aucune fonction; et cela parce que je la crois sans utilité dans un cercle.Déjà plusieurs_"géomètres l'ontsenti comme^moi et la suppriment dans leursopéra- tions: d'oùilestàdésirer que^lesfabricantsn'en surchar- gent plus ces instruments;ilenrésulteraitdeux avantages pour les géomètres:diminution deprixetde poids_; mais la routine, sipuissante en toute chose, sera long-temps encore plus forte quecevœu.

Réductiond'unangleaucentre^dela station.

10. Dansune triangulation de quelqueétendue,_{on est} souvent obligé de prendre des clochers, des tours, ou même desarbres pour^signaux; et commeonne peut éta- blirl'instrument aucentrede ces points pourystationner, on se contente souvent de conclure les angles dont^ilssont

lessommets; maiscetteconclusionest sujette àerreuren ceque rien n'avertit de l'inexactitudequipourrait exister danslesdeux angles observés.

Dans ce cas assez fréquent, _{comme dans}celui _{où un} triangle_{a tous} ses sommetsinaccessibles,_il faut réduire l'angle au centre,c'est-à-direfaire une station^àlamoin- dre distancedu point inaccessible

, d'où l'onpuisse con- clurepar ^{le calcul}l'angle qu'on aurait obtenu au centre même de _{ce point.} Il existe plusieurs manières de faire cette opération. J'indiquerai d'abord celleque j'emploie toujours_avec le plus desuccèset decélérité. Cette mé- thode, exempte de calcul, m'est particulière.

11. Soità déterminerL'angle

ABC

dontle sommet est inaccessible (fig. 10)_:

Je_meplacele plus près possible dupointB et sur le rayon^ABdont je cherche l'alignement_enD avectoute la rigueurpossible d'une équerre àplomb_;remarquant vers Funpoint quelconque,_{soit un}clocher, une tour,unarbre outout autre objetfacileàsaisir avec lecrin delalunette, jeprends l'angle ADF. Jefais planter_en E, àl'intersec- tion précise des rayons^DF etBG, unjalon_{ou un}piquet auquelje_metransporte ensuite pour observerl'angle^GEF;

soustrayant cet angle^dupremier,lereste estlavaleur de l'angle AD Get par conséquent de l'angle cherchéABC quiluiest égalcommecorrespondant.

Comme iln'est pas toujours^possibled'employer_cepro- cédé,_{à cause} des ondulationsduterrain_oudes obstacles qui rendent impossible l'alignement des deux rayons de l'angleàobserver,_{on a}recours^à d'autres moyens, etl'art n'en manque pas.^Ainsi:

12. Soit à trouver l'angle

ABC

^(fig. 11), dont ^le _sommet estinaccessible, mais auprès duquel _on peut stationner sur un^desrayons,commeenD_:

Onobserve l'angleADC, etparsonsupplémentBDC

etlaconnaissance du côtéB C et du côtéDB mesurépar une opération trigonométrique, au moyend'unebaseD F et des angles adjacents,on adeux côtés et un angle opposé qui serventàdéterminer l'angle cherché D B C ou^{A BC,} par

le

^{procédé dun° 23.}

Quand _on ne peut s'établir sur aucun des rayons de l'angle, onseplaceàun point quelconqued'où l'on aper- çoive pourtantlesdeux autres sommets^Aet^{C (fig.} 12).

Alors on mesure les angles ^{AD C} et ^A D B formant ensemblel'angleBDC du triangle_{B C D ;} en cherchant l'angleC B D compris entre^lescôtés connus ^DBetBC, puis trouvant l'angle^ABDcompris entreB AetB Dcon- nus, cet angle, moins l'angle^{C B D,} est l'angle cherché ABC.

Cesdeux derniers procédésn'offrent pas l'exactitude du premier et nécessitent des calculs dontl'autreest exempt, maisje n'en connais pas de plus expéditif dans le casdont ils'agit.

Dansla détermination exacte dupetitcôtéDB, ilarrive assezsouventqu'en raison du peu de distance où l'on est du centre delastation, _on ne peut apercevoirce centre, et on éprouve alors une double'difficulté,celle de nepou- voirle viseret d'ypénétrer _pour enmesurer la distance;

maisl'artaplanitces difficultés.

£

'v

13. Soit à déterminer une ligne deprojection au centre invisible dela tour

0

(fig. 13).

Du pointAje mesure l'angleBACdont les rayons sont tangentes à la circonférence de la tour_; j'ouvre sur le rayon^ABun angle^{B A}

0

égalàla moitié duprécédentet j'ai_unrayondeprojectionA0passantpar^lecentre même

de cette toùr.

Quesije veux avoir la demi-épaisseur de laditetour, j'élèvesur ^la ligneABune perpendiculaire A D et sur celle-ci_une autreD E faisant tangente_;la moitié de AD est la demi-épaisseur_{ou le} rayon de sa circonférence;

ajoutant cette moitiéAF

=

^G0àla distanceAG,mesurée commeprécédemment, j'ailalongueurdeA O. ' ^:

Telles sont les principales opérations que nécessitent les réductionsde l'angle au centre et dont il faut bien_se pénétrer quand _on veut opérer _aveccertitude et préci- sion.

Mesure dela^base.

14. Ilseraitàpeu près indifférent deprendre tel_{ou tel} côtépour^{base, sile}terrain permettaitde lesmesureravec la même exactitude_; maiscomme il n'enestpointainsi, il faut choisirlecôtéde latriangulationleplus exempt d'em- barraset d'accidents deterrain,_{parce que de son} exacti- tude dépend celle detous les autrescôtés. Il est bon de la mesurer au^moinstroisfoisetde la fixerau terme moyen

destrois longueurs trouvées.

Lorsquele territoire oil l'on opère est couvert, mon- tueux et coupépar^{desravins,des}ruisseaux ou^desrivières, ilest difficileet presque impossible de mesurer exactement

une baseavec la chaîne sans unepertede temps considé- rable;dans_cecas,on y supplée_endéterminant cette base parun des côtés connus de la triangulation des ingénieurs- géographes, pourvu que ce côté ne forme pas des angles tropobliques_aveclesextrémités de la baseà établir.

15. Ainsi, soità déterminer lecôtéLM(fig. l/i) _{qu'on ne} peut mesurer, mais ^desextrémités_{duquel on}aperçoit le clocher R etla pyramide S formantun côté connu etdonné

pour tigoureusement exact:

Aprèsavoir du pointL observélesdeux anglesR L S, SL M, et du point M les deux angles LM R, RM S,je donneàmon côté ^LMune longueur^fictive et je calcule lestrianglesLMR et LMS. Ensuite,par ^{les deux côtés} RMetSM ainsi déterminés,et l'angle compris R M S, j'obtiensles anglesR SMetMRS.Trouvant de mêmepar lesdeux côtés L S et R L, et l'angle compris RLS, les anglesRSL et L RS,j'aitous les angles adjacents à la base RS.

Je n'ai pas besoin de démontrerque la longueur fic- tive donnée au côté ^{L M} n'a point changé la valeur des angles,puisque dans les triangles semblables les angles sont égaux de chacun àchacun et les côtés homologues, proportionnels, et que dès-lorsj'ailesangles réels.

En conséquence,calculantlestrianglesR S M,RS Lsur la véritable baseRS,j'arriveàla connaissance exacte du côté L lU, et la base de ma triangulation est connue sans avoir été mesurée.

Lier deux réseaux séparésparun ^bois.

16. Je suppose qu'il est possible decontournerle bois d'un côté,_sans obstacle_; car^s'il s'étendait trop ou était

contiguàd'autresbolsqui nepermissent pas de letourner, lerattachement des deux réseaux deviendraitsilong et sicompliqué qu'il_yperdrait_{de son} exactitude et dès-lors de_son utilité; ou bien ^ilfaudrait échafauder sur les ar- bresles plus élevés de la forêt, commej'ai fait_{en 1823} dans la forêt d'Orléans,_ce quin'estpas toujours possible, exact,nipermis_;ou il faudraitserésoudre à employer des moyens purement graphiquesentirant de grandes lignesà travers bois,ce qui n'estpas toujours permis non plus, et offred'ailleurs peu de précision.

17. Ainsi, soit leréseau?*MMMM"1à lier aurèseaun°2.(fig.8):

Formant deux trianglesCDE, C EF, que j'observe et que je détermine parle côté connu^{C D, si}du point F j'aperçoistrois points connus du second réseau,_comme

GHI appartenant au même triangle, je puis me dispenser de_metransporter_enGet en^H pour obtenir les angles

G HFetH GF, attendu que la connaissance^des angles

HF I et GF

1,

que je puis obtenirdu point F, _{me suffit} pourdéterminer le triangle FG H. En effet(fig. 15) _:

J'ai l'angle LK

E

^{égalàl'angleLI}

0,

et l'angle^EKI égal à l'angle

0

^L

1

commemesuré par le même arc

0 1

et

0

L,je puis donc calculer le triangle

LOI

par^lecôté

LI. Puis soustrayant 01

L

^de

LIE,

j'ai

OIE

compris entrelesdeux côtés connus

01,

1

E,

d'où je trouveE

0

¹

égal par son supplément

KOI,

^{îi K}L

1

^mesurépar un arc commun^K

1.

Trouvant

LIK

de la même manière, toutm'est connu dans le triangle K.LL

D'où, par^{les deux côtés HFetFC}et l'angle compris

GFH (fig. 8), j'obtiens HC

, puisparconclusion à 360°, l'angleH CKet^ainsides autres.

On sent que cetteliaison, subordonnée àl'exactitude du triangle HFG, peut ^bienn'être pas des plus rigou- reuses;^maislorsque les localités ne permettent pas de l'étendredavantage,ilfaut s'encontenterets'attacherdès- lorsà déterminer l'angleF avec le plus d'exactitude pos- sible.

Résolution etcalculdestriangles.

18. Nous admettons que la base ^{A M} (fig.

9)

est de

78Um 5d.

Il est bon de faire soi-même quelques-unes desopéra- tions qui vont suivre, comme^sil'on voulaitlesvérifier,et de_seposer^aussid'autresexemples; c'estlemoyen de se familiariser de suite avec les tables des logarythmesdont le secours est indispensable dans la solution des problèmes trigonométriques. J'emploierailes tables de Lalande_ou de Reynaud, calculées deminute en minutepour^{tous les} degrés duquartdecercle,etpour^{dix millenombres} en- tiers. Bien que ces tables ne soientqu'à cinq décimales, ellessuffisentàl'exactitude d'unetriangulation del'ordre de celles que les ingénieurs des forêts auront^àfaire. Les tables deCallet,calculéesde dix en dix secondes, ne sont employées que pour la triangulation de la carte de France.

J'opèrerai parles complémentsarithmétiques, afinde n'avoir jamais que le rayon à soustraire dans le calcul des proportions,ce qui abrége beaucoupcesopérations.

Exemple_:

19. Soitci trouver^{le 4me}terme _{de cette}proportion, sans l'emploidu complémentarithmétique_:

67_: 83_{: :}49 _:X Log. de83

=

^1,91908

Log. de49

=

^1,69020

SOMME.. 3,60928

Asoustrairelelog. de 67

=

^1,82607

Log. du4meterme==1,78321

=

^60,7.

Parlecomplément_: Complément dulog. de67

=

^{8,17393 (1)}

Log. de83

=

^1,91908

Log. de 49

=

^1,69020

SOMMEetLOG.du41,11,terme 11,78321

=

^60,7.

Onvoit, par cesdeux méthodes, que la dernière est plusprompte,_{en ce} qu'elle épargne la soustraction du log. du 1er terme, attendu qu'on ajouteà ce log. cequi lui manque pour arriveraurayon,et que ^la soustraction

(1) Voici la manière detrouver_cecomplément_:lelogarithme de 67

étantde 1,82607

J'ajouteàchaque chiffre, en commençant par la caracté- ristique, _{ce qui} lui manque pour valoir 9, et au ^der-

nier, pour valoir10, j'aidonc 8,17393 Qui,réunis avec^le logarithme,donnent lerayon.. ^10,00000

Avecun peud'habitude,ce complémentsepeint dansl'esprit _sansle moindreeffort,rienqu'àla vue du logarithme.

de ce rayon s'opère en négligeant ^le dernierchiffre à gauche.

20. Lesformules des problèmes de la trigonométrie _se réduisent_ci trois_:

1*Dansun triangle quelconque, les sinus des angles sont proportionnels aux côtés opposés : cequi donnele moyen de résoudre un triangle, quand,parmi les trois données nécessaires,il entre un angle et un côté opposé;

2°Lasomme des deux côtés d'un triangle estàleurdif- férence comme la co-tangente de la moitié de l'angle compris estàla tangente de la demi-différence des deux autres angles;

3°Pour trouver les anglesd'un triangle dont oncon- naît les trois côtés :de la demi-somme des troiscôtés, soustrayez successivement les côtés de l'angle cherché_; aux log. de_cesdeux restes joignezles complémentsarith- métiques de_cesmêmes côtés,moitié de la somme totale exprimerale log. dusinusde la moitié de l'angle cherché.

21. Ainsi, dansletriangleA ME (fig.9. ) oùl'on acette proportion :

, . T. »

..

^T .

fA: ^ME⁾on la résout de

Log.

°

^{sinus E :AM: : Log.}

°

^sin.

J...

_(M:AEj„

_A

cette manière:

Complément sin.

E =

^0,06900

Log. AM

=

^2,89459

Log.sin.A

=

^9,98021

Log. M

E =

^12,94380

₌

^878,6

Log. sin. M

=

^9,87524

Log. A

E =

^12,83883

₌

⁶⁹⁰