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pour des matrices aléatoires suivant une mesure de Gibbs, théorèmes limites pour des produits au sens

max-plus

Glenn Merlet

To cite this version:

Glenn Merlet. Produits de matrices aléatoires :exposants de Lyapunov pour des matrices aléatoires suivant une mesure de Gibbs, théorèmes limites pour des produits au sens max-plus. Mathématiques [math]. Université Rennes 1, 2005. Français. �tel-00010813�

Produits de matrices al´eatoires :

- exposants de Lyapunov pour des matrices al´ea- toires suivant une mesure de Gibbs,

- th´eor`emes limites pour des produits au sens (max, +).

Version du 7 octobre 2005

Glenn MERLET

7 octobre 2005

Remerciements

Je voudrais remercier ici tous ceux sans qui cette th`ese n’aurait pas ´et´e la mˆeme.

Merci d’abord `a mes directeurs Jean-Pierre Conze et Albert Raugi, qui m’ont propos´e de travailler sur les produits de matrices al´eatoires et qui m’ont accom- pagn´e avec une disponibilit´e constante tout au long de ces trois ans.

C’est par les travaux de Jean Mairesse que j’ai d´ecouvert (max,+) . Il a tou- jours trouv´e par la suite le temps de se replonger dans ses articles pour r´epondre

`

a mes questions et finalement dans ce manuscrit pour en ˆetre le rapporteur. Merci pour tout cela.

Merci aussi `a Marc Peign´e d’avoir minutieusement rapport´e sur cette th`ese, sans doute pas toujours facile `a lire. L’int´erˆet qu’a port´e Yves Guivarc’h `a mon travail, sa connaissance encyclop´edique et sa disponibilit´e `a mon ´egard ont ´et´e une aide r´eguli`ere. C’est donc un plaisir de le voir aujourd’hui dans mon jury. De mˆeme pour ´Emile Le Page, qui a contribu´e `a cette th`ese `a son insu, puisque ses travaux ont largement inspir´e le chapitre 5.

Au chapitre des dettes scientifiques, je voudrais ajouter Yves Derriennic, `a qui je dois de m’ˆetre orient´e vers la th´eorie ergodique.

Si la ”tour des maths” de Rennes est de l’avis unanime un endroit agr´eable pour faire sa th`ese, c’est dˆu `a la gentillesse de ceux qui l’habitent. Je pense en par- ticulier aux personnels administratifs de l’IRMAR `a beaucoup d’autres coll`egues.

Une pens´ee sp´eciale bien sˆure pour tous ceux avec qui j’ai partag´e des repas au RU, r´eguli`erement ou irr´eguli`erement : Benoˆıte, Bert, Corentin, Damien, ´Elise, Erwan, Gwenol´e, Jean-Baptiste, Natacha, Olivier, Philippe, Sandrine, Solen, Va- l´ery, Vincent, Yassine...

Merci `a tous ceux que j’ai rencontr´e dans les associations de jeunes chercheurs et qui m’ont fait voir diff´eremment le doctorat. Alban, Ronan et Sylvain en tout premier lieu.

Merci `a tous les proches ou moins proches qui m’ont soutenu dans les bas de cette aventure, et qui ont r´eussi `a me faire croire qu’ils ´etaient vraiment int´eress´es par le titre de cette th`ese.

Enfin, merci `a Estelle, sans qui rien ne serait pareil.

Introduction

0.1 Suites r´ ecurrentes stochastiques

Cette th`ese comporte deux parties essentiellement ind´ependantes, la premi`ere portant sur les produits de matrices al´eatoires et la seconde sur les compos´ees d’applications topicales al´eatoires. Ces deux objets d’´etudes peuvent ˆetre regrou- p´es dans le formalisme commun des suites r´ecurrentes stochastiques que l’on va rappeler ici.

On donne d’abord quelques d´efinitions fondamentales de la th´eorie ergodique.

D´efinition 0.1.1 (Syst`eme dynamique mesurable).

1. Soit (Ω,F,P) un espace probabilis´e et (X,G) un espace mesurable. On ap- pelle variable al´eatoire `a valeurs dans X une application f mesurable de (Ω,F) dans (X,G). Quand X est un espace de matrices (resp. d’applica- tions,...), on parlera de matrice (resp. d’application,...) al´eatoire.

La loi de f est la probabilit´e image de P par f, not´ee f∗P :

∀A∈ G,(f∗P)(A) :=P f⁻¹(A) .

2. Une suite (Xn)n∈N de variables al´eatoires `a valeurs dans un mˆeme espace mesurable (X,G) est dite stationnaire si pour tout entier k ∈ N^∗ et tout k-uplet (i₁ < i₂ < · · · < ik−1 < i_k) d’entiers, la loi de la variable al´eatoire (Xi1,· · ·, Xi_k) est celle de (X0, Xi2−i1,· · ·, Xi_k−i1).

3. On appelle syst`eme dynamique mesurable (s.d.m.) un quadruplet (Ω,F,P, θ) o`u (Ω,F,P) est un espace probabilis´e et θ une applicationF-mesurable de Ω dans lui mˆeme et qui laisse P invariante :

∀A∈ F,P θ⁻¹(A)

=P(A).

Le syst`eme dynamique est dit inversible si θ l’est et si son inverse est me- surable. Il est dit ergodique si tous les ensembles invariants par θ sont de probabilit´e 0 ou 1.

3

Rappelons que si (Ω,F,P) est un espace probabilis´e et (X_n)n∈N une suite stationnaire `a valeurs dans un espace (X,G), on peut lui associer canoniquement le syst`eme dynamique (X^N,F^⊗N,P˜, θ), o`u ˜P est la loi de (X<sub>n</sub>)<sub>n∈N</sub>, consid´er´ee comme variable al´eatoire `a valeurs dans X^N, et θ est le d´ecalage sur X^N.

On voit que pourf : (x_n)n∈N7→x₀, la suite (f◦θⁿ)n∈Na mˆeme loi que (X_n)n∈N. Dans la suite du texte, on partira indiff´eremment du syst`eme dynamique ou de la suite. En particulier, (X<sub>n</sub>)n∈N est ergodique signifiera que le syst`eme dynamique canonique associ´e l’est.

SiX est un espace polonais muni de sa tribu de Borel, on peut aussi associer canoniquement le syst`eme dynamique inversible (X<sup>Z</sup>,F<sup>⊗Z</sup>,Pˆ,θ), o`ˆ u ˆθ est le d´e- calage sur X^Z et ˆP est une probabilit´e telle que pour ˆf : (x_n)n∈Z 7→ x₀ la suite (f ◦θˆⁿ)_n∈N a mˆeme loi que (X_n)_n∈N.

D´efinissons maintenant les suites r´ecurrentes stochastiques.

D´efinition 0.1.2 (Suites r´ecurrentes stochastiques). Si (An)n∈N est une suite stationnaire d’applications al´eatoires d’un espace X dans lui mˆeme, on ap- pelle suite r´ecurrente stochastique (SRS) associ´ee `a (A<sub>n</sub>)n∈N toute suite de va- riables al´eatoires `a valeurs dansX v´erifiant l’´equation

X_n+1 =A_nX_n. (1)

On dira que (A_n)n∈N gouverne la SRS (X_n)n∈N.

La suite (Xn)n∈N n’a pas de raison d’ˆetre stationnaire. On va donc chercher des variables al´eatoires X₀ telles que l’unique (X_n)n∈N v´erifiant l’´equation (1) soit stationnaire. Pour cela, il sera int´eressant de se ramener `a un cas o`u X est compact. D’o`u l’utilisation d’espaces de drapeaux et d’espaces projectifs dans les deux parties. Nous montrerons des r´esultats de couplage avec des suites station- naires dans ces espaces. Nous donnons ici les d´efinitions de couplage que nous utiliserons par la suite.

D´efinition 0.1.3 (Couplage). Soient (X_n)n∈N et (Y_n)n∈N deux suites de va- riables al´eatoires d´efinies sur un mˆeme espace de probabilit´e `a valeurs dans un mˆeme espace m´etrique (X, d).

1. On dit que les suites (X_n)n∈N et (Y_n)n∈N couplent si d(X_n, Y_n) tend vers 0 en probabilit´e,

2. On dit que les suites (X_n)_n∈N et (Y_n)_n∈N couplent en temps fini si P({ω∈Ω|∃N ∈N,∀n≥N, X_n =Y_n}) = 1.

Comme la suite n’est pas stationnaire, on ne peut pas utiliser le th´eor`eme de Birkhoff. L’outil fondamental pour obtenir des r´esultats de type loi des grands nombres sera le th´eor`eme ergodique sous-additif de Kingman [Kin73] rappel´e ci- dessous.

0.2. EXPOSANTS DE LYAPUNOV 5 D´efinition 0.1.4 (Sous-additivit´e). Un s.d.m. (Ω,F,P, θ) ´etant donn´e, une suiteF_n de v.a.r. d´efinie sur Ω est diteθ-sous-additive si elle v´erifie les in´egalit´es suivantes :

∀n, m∈N, F_n+m ≤F_n◦θ^m+F_m P−p.s..

Th´eor`eme 0.1.5 (Th´eor`eme sous-additif de Kingman [Kin73]). Soient (Ω,F,P, θ) un s.d.m. et (F_n)n∈N une suite θ-sous-additive de v.a.r. telle que la partie positive F₁⁺= max(F1,0) de F1 soit int´egrable.

La suite (¹_n F_n)n∈N converge presque sˆurement vers une variable al´eatoire P-presque sˆurement θ-invariante f `a valeurs dans R∪ {−∞} telle que :

Z

f dP= lim

n→+∞

1 n

Z

F_n dP= inf 1 n

Z

F_n dP.

Si cette limite est finie, et si lesF_n sontP-int´egrables, alors la convergence a lieu dans L¹.

En particulier, si le syst`eme est ergodique, la suite (_n¹F_n)n∈N converge presque sˆurement vers lim_n¹ R

F_n dP.

Dans la suite de ce chapitre d’exposition, nous pr´esentons les diff´erents cas de SRS auxquels nous nous sommes int´eress´es et les r´esultats obtenus dans leur contexte.

0.2 Exposants de Lyapunov

Dans la premi`ere partie, la suite (A<sub>n</sub>)n∈Nqui gouverne la suite r´ecurrente sto- chastique (Xn)n∈N est `a valeurs dans l’espace des matrices inversibles d’ordre d.

On est dans le cas des produits de matrices al´eatoires. Ce sujet a ´et´e ´etudi´e inten- sivement depuis les travaux de H. F¨urstenberg et H. Kesten ([FK60] et [Fur63]).

Le th´eor`eme ergodique multiplicatif1.1.2d’Oseledets [Ose68], g´en´eralis´e par Rag- hunathan [Rag79] montre que _n¹logkX_nk

n∈N converge presque sˆurement et, si la suite (A_n)n∈N est ergodique, la limite ne peut prendre que d valeurs, ´eventuel- lement ´egales. Ces valeurs sont appel´ees les exposants de Lyapunov de (An)n∈N, et not´ees par ordre d´ecroissant γ₁,· · ·, γ_d.

Le th´eor`eme d’Oseledets donne une d´ecomposition de An en blocs, dont la taille est donn´ee par la multiplicit´e des exposants. On va donc essayer de s´eparer les exposants de Lyapunov, c’est-`a-dire de montrer que pour certains r, γ_r >

γr+1. Ce type de r´esultats est d’autant plus int´eressant qu’´E. Le Page a montr´e (cf. [LP82]) queγ₁ > γ₂ est la condition cruciale pour prouver que la suite (X_n)n∈N

satisfait des th´eor`emes limites, tels que le TCL.

De nombreux travaux ont donc ´et´e men´es dans cette direction. Quand les variables al´eatoires A_n sont i.i.d. de loi µ, Y. Guivarc’h et A. Raugi ont montr´e

(cf. [GR85] et [GR89]) que γ_r > γ_r+1 si l’action du support S_µ de µ sur l’es- pace D_r des sous-espaces de dimension r de R^d est proximale et irr´eductible.

Ces travaux ont ´et´e ´etendus depuis `a des cas de matrices en d´ependance mar- kovienne ([Gui84] et [GLP04]), et la condition d’irr´eductibilit´e a ´et´e raffin´ee. De plus Ya. Gol’dshe¨ıd et G. A. Margulis ont montr´e ([GdM87] et[GdM89]) que les exposants sont tous diff´erents quand le semi-groupe engendr´e par S<sub>µ</sub> est Zariski- dense. L’introduction de ces concepts alg´ebriques a donn´e lieu `a de nouvelles avanc´ees, comme [GG96].

Le but du chapitre1est de montrer le th´eor`eme1.1.3et ses corollaires, ´enonc´es dans la partie 1.1. La situation est la suivante :

- Soit S un ensemble fini etA une application de S dans GL(d,R).

- Soit T une matrice irr´eductible d’indices dans S et de coefficients dans {0,1}, Σ_T ={(x_n)_n∈N∈S^N|∀n ∈N T_xn,xn+1 = 1}

le sous-shift unilat`ere associ´e. On note X0, X1,· · · les projections coordonn´ees de Σ_T et

Σ^∗_T =

x₁· · ·x_k∈S^k|k ∈N,∀n, T_xn,xn+1 = 1 l’ensemble des mots finis admissibles.

Dans le cas o`uT est une matrice primitive (c’est `a dire qu’il existe N ∈Ntel queT^N >0), R. Bowen a montr´e qu’il existe pour chaque fonction h¨old´eriennef de Σ_T dans Rune unique mesure de probabilit´eµtelle qu’il existe des constantes C etP telles que pour tout cylindre cde longueurn, on ait :

1

Ce^{−nP+f(x)+···f(θn−1x)} ≤µ(c)≤Ce^{−nP+f(x)+···f(θn−1x)}.

Cette mesure est appel´ee mesure de Gibbs associ´ee au potentiel f. On utilise ici une notion qui g´en´eralise ce cas, quand T est simplement irr´eductible et qui est d´efinie au chapitre 1.

Nous obtenons alors le th´eor`eme suivant :

Th´eor`eme 0.2.1 (1.1.3). S’il existe un s∈S tel que l’ensemble de matrices T_s={A(s₁)· · ·A(s_n)|s₁ =s, s₁· · ·s_ns∈Σ^∗_T}

agisse de mani`ere totalement irr´eductible sur la grassmanienne d’ordre r, not´ee D_r, et contienne une suite qui contracte D_r, alors, pour toute mesure de Gibbs d´efinie par un potentiel h¨old´erien sur ΣT, les exposants de Lyapunov de la suite (A◦θⁿ)_n∈

N v´erifient γ_r > γ_r+1.

Les notions d’action totalement irr´eductible et de contraction sont d´efinies et

´

etudi´ees dans la partie 1.2. Les T_s jouent le rˆole du semi-groupe engendr´e par

0.3. APPLICATIONS TOPICALES 7 S_µ dans le cas ind´ependant. Ils prennent en compte l’interdiction de certaines successions de matrices.

Dans [GLP04], Y. Guivarc’h et ´E. Le Page ´etendent le crit`ere de s´eparation des exposants des matrices i.i.d `a des matrices en d´ependance markovienne. Ils remarquent que leur cas inclut la situation pr´esent´ee ici, quand Σ_T est le shift complet S^N, c’est-`a-dire quand T<sub>ij</sub> = 1 pour tout i, j ∈ S. Nous reprenons leur d´emonstration et l’´etendons. ˆEtre pass´e `a un sous-shift permet ensuite d’´etendre le r´esultat `a des cocycles A d´ependant d’un nombre fini de coordonn´ees (corol- laire 1.1.4), et `a des chaˆınes de Markov `a espace d’´etats fini (corollaire1.1.5).

En outre nous donnons explicitement la d´emonstration de la s´eparation du r-i`eme exposant, c’est-`a-dire que nous rempla¸cons l’espace projectif par la grass- manienne d’ordre r et faisons les adaptations n´ecessaires.

Signalons enfin que Ch. Bonatti et C. Viana ont montr´e [BV04] des r´esultats de s´eparation pour des cocycles h¨old´eriens au dessus d’une mesure de Gibbs. Leur cadre est donc beaucoup plus g´en´eral, mais leur hypoth`ese est moins explicite, car elle fait intervenir les holonomies autour d’un point p´eriodique. Elle leur permet cependant de montrer que la situation o`u les exposants sont s´epar´es est g´en´erique en plusieurs sens.

0.3 Applications topicales

0.3.1 Contexte

Dans la seconde partie, (A_n)n∈N est `a valeurs dans l’espace T op<sub>d</sub> des applica- tions topicales (i.e. croissantes et additivement homog`enes) deR^ddans lui mˆeme, et pour les chapitres 2 `a 4, dans le sous-espace (R∪ {−∞})<sup>d×d</sup> des matrices `a coefficients dans le semi-anneau (R∪ {−∞},max,+) not´e Rmax.

Dans ce sous-cas, l’´equation (1) devient

∀i∈ {1,· · ·, d},(X_n+1)_i = max

j ((A_n)_ij + (X_n)_j).

Les suites r´ecurrentes stochastiques (X_n)n∈Nassoci´ees `a de telles applications mod´elisent une classe de syst`emes `a ´ev´enements discrets. Cette classe inclut les graphes ´ev´enements temporis´es (F. Bacelli [Bac92]), certains r´eseaux de files d’at- tente (J. Mairesse [Mai97]) et de multiples applications. Citons par exemple les ateliers flexibles (G. Cohen et al.[CDQV85]), des r´eseaux ferroviaires (H. Bra- ker [Bra93]) ou un mod`ele de m´ecanique statistique (R. Griffiths [Gri90]).

Ces suites ont fait l’objet de nombreux travaux, certains conduisant `a des th´eor`emes limites d´ecrivant le comportement de (X_n)n∈N de type loi des grands nombres (J.E. Cohen [Coh88], F. Baccelli et Z. Liu [BL92], F. Baccelli et J.

Mairesse [BM98] dans le cas (max,+) , A. Jean-Marie et G. Olsder [JMO96], J.M. Vincent [Vin97], J. Mairesse et T. Bousch [BM03] dans le cas topical),

th´eor`eme central limite (J. Resing et al. [RdVH⁺90] dans le cas (max,+) ) et grandes d´eviations (F. Toomey [Too02] dans le cas topical). Signalons le livre de F. Baccelli et al. [BCOQ92] qui reprend un grand nombre de r´esultats dans le cas (max,+). et celui, plus g´en´eraliste, de P. Glasserman et D. Yao [GY94].

Les r´esultats de convergence de ¹_nX_n

n∈N ou de

1

n(A_n−1A_n−2· · ·A₀)_ij

n∈N

sont appel´es du premier ordre. Les r´esultats de convergence de ((Xn)i−(Xn)j)_n∈

ou de ((X_n+1)_i−(X_n)_i)_n∈ N

N sont dits du second ordre.

Dans tous les cas, il existe un exposant de Lyapunov maximal (th´eor`eme- d´efinition 2.2.7), d´efini comme limite presque sˆure de _n¹maxi(Xn)i

n∈N.

0.3.2 R´ esultats pour les matrices al´ eatoires non irr´ educ- tibles

Les chapitres 2 `a 4 sont consacr´es `a l’´etude du sous-cas o`u les A<sub>n</sub> sont des matrices `a coefficients dans le semi-anneau Rmax.

Dans les chapitres 2 et 3, on d´ecompose les matrices al´eatoires en blocs (d´e- finition 2.4.2), en fonction des coefficients toujours ´egaux `a −∞, et on montre que le comportement des suites est essentiellement d´etermin´e par celui des blocs diagonaux. Nous suivons la d´emarche de [BL92] et de [Bac92], en nous affran- chissant, quand c’est possible, des conditions suppl´ementaires pr´esentes dans ces deux articles, ou sinon en les modifiant. Ces conditions, qui proviennent du mo- d`ele des graphes d’´ev´enements temporis´es, sont principalement une condition dite de structure fixe (la place des coefficients −∞ n’est pas al´eatoire) et une condi- tion de pr´ec´edence (les coefficients diagonaux sont positifs).

Dans la partie2.3, on ´etudie les variables al´eatoires d´efinies par l’´equation

Y_n+1= max (A_nY_n, B_n) (2)

o`u (An, Bn)_n∈N est une suite stationnaire, d’applications (les An) et de vecteurs (les B_n) al´eatoires.

Dans [BL92], les applications sont des matrices `a coefficients dansRmax, mais tout est r´edig´e avec les coefficients, sans introduire les matrices elles-mˆemes.

Dans [Bac92], les matrices sont mises en ´evidence mais tout n’est pas repris dans ce cadre. Dans les deux cas, B_n= 0, mais on peut en d´eduire le cas o`uB<sub>n</sub> est fini en utilisant une m´ethode dite de r´esiduation. En introduisant une notion d’appli- cation topicale g´en´eralis´ee (d´efinition 2.2.2), qui g´en´eralise `a la fois les matrices

`

a coefficients dans Rmax et les applications topicales, nous obtenons des preuves plus lisibles et un cadre plus g´en´eral, ce qui sera utile pour la suite.

0.3. APPLICATIONS TOPICALES 9 Signalons aussi que P. Glasserman et D. Yao m`enent dans [GY95] une ´etude unifi´ee des solutions d’´equations du type de (2) quandA<sub>n</sub> prend ses valeurs dans un espace de matrices `a coefficients dans divers semi-anneaux. La preuve du th´eor`eme 2.3.1 revient `a mener cette ´etude, quand A_n prend ses valeurs dans l’ensemble des applications topicales g´en´eralis´ees.

Nous utilisons les r´esultats de la partie2.3 pour montrer (th´eor`eme 2.4.4) que l’exposant de Lyapunov maximal d’une suite (A_n)n∈Nde matrices al´eatoires est le maximum des exposants des suites de blocs diagonaux, et cela sans aucune autre condition que l’ergodicit´e.

En revanche l’abandon de la condition de pr´ec´edence introduit la possibilit´e de nouveaux comportements de la suite (Xn)n∈N. On doit donc imposer des condi- tions suppl´ementaires pour que la suite (X_n)n∈Nsatisfasse une loi forte des grands nombres.

Ces conditions seront soit l’ind´ependance desA_net une condition d’absence de ligne de−∞ dans certains blocs de la matrice (th´eor`eme2.4.8 et son corollaire), soit des conditions de structure fixe et d’ergodicit´e renforc´ee (th´eor`eme 2.4.10 et lemme2.4.7).

Les exemples1et2montrent que dans chaque cas, aucune des deux conditions ne suffit.

La preuve du th´eor`eme 2.4.10 est essentiellement celle de [Bac92], alors que celle du th´eor`eme 2.4.8 apporte une contribution nouvelle, essentiellement dans le lemme 2.4.13.

Dans la partie3.4, on montre (th´eor`eme3.4.1) que les suites ((X_n)_i−(X_n)_j)_n∈

et ((X_n+1)_i−(X_n)_i)_n∈ N

N, couplent en temps fini avec une suite stationnaire, qui ne d´epend pas de la condition initiale X₀, sous trois hypoth`eses : une hypoth`ese sur les exposants de Lyapunov maximaux des blocs diagonaux, une hypoth`ese de couplage relative `a certains blocs de la d´ecomposition pr´ec´edente, et une hypo- th`ese sur la loi de (A_n)n∈N (Les A_n sont i.i.d. ou ont la propri´et´e de structure fixe). Remarquons que, contrairement au premier ordre, ni condition sur les−∞, ni ergodicit´e renforc´ee ne sont n´ecessaires.

Nous ´etendons ainsi le r´esultat de [Bac92] sur le deuxi`eme ordre. Les r´esul- tats de la partie2.3 permettent encore de simplifier la r´edaction et d’´etendre les preuves.

A nouveau, la preuve du cas i.i.d. est fond´` ee sur le lemme 2.4.13 et les m´e- thodes de [Bac92].

0.3.3 Perte de m´ emoire

Dans le chapitre 4, on revient sur la propri´et´e dite de perte de m´emoire, d´ej`a introduite dans la partie 3.2. J. Mairesse a montr´e (th´eor`eme 3.2.2, extrait de [Mai97]) qu’elle assure le couplage en temps fini de (X_n)n∈N avec une suite

stationnaire, ind´ependante de la condition initiale X₀. S. Gaubert et D. Hong, qui lui ont donn´e son nom, la supposent v´erifi´ee pour prouver l’analyticit´e de l’exposant de Lyapunov maximal ([GH00]).

Nous prouvons (th´eor`emes4.1.3et4.1.4) que la propri´et´e de perte de m´emoire est g´en´erique pour les produits de matrices al´eatoiresA<sub>n</sub>i.i.d. `a coefficients finis : si elle n’est pas satisfaite, alors le support de la loi µ de A₁ est inclus dans une union finie d’hyperplans affines et les couples d’atomes de µ sont li´es par une relation lin´eaire.

Ce r´esultat est pr´esent´e dans l’article [Mer04]. Pour le prouver, on utilise les r´esultats et certaines m´ethodes de la th´eorie spectrale et asymptotique des matrices `a coefficients dans Rmax, qui est donc rappel´ee dans la partie 4.2.

0.3.4 Th´ eor` emes limites

Enfin le dernier chapitre montre que si (A_n)n∈N est une suite i.i.d. d’applica- tions topicales et a la propri´et´e de perte de m´emoire, alors (X_n)n∈Nv´erifie un th´eo- r`eme central limite (th´eor`eme5.2.1), ´eventuellement avec vitesse (th´eor`eme5.2.1), un th´eor`eme local limite (th´eor`eme 5.2.4), un th´eor`eme de renouvellement (th´eo- r`eme5.2.6) et un principe des grandes d´eviations partiel (th´eor`eme5.2.1). De plus, quand les A_n sont des matrices, on donne des conditions alg´ebriques de nullit´e de la variance dans le TCL (th´eor`eme5.2.9) et de non-arithm´eticit´e dans le TLL (th´eor`eme 5.2.11), qui sont v´erifi´ees g´en´eriquement (corollaires 5.2.12 et5.2.10).

Tous ces r´esultats sont obtenus par la m´ethode du trou spectral appliqu´ee `a la chaˆıne de Markov (Xn)n∈N. Ils sont pr´esent´es dans l’article [Mer05].

Notons que J. Resing et al. [RdVH⁺90] ont d´ej`a prouv´e un TCL dans le cas (max,+) par une m´ethode de martingale, mais la condition qu’ils obtiennent n’est pas explicite. Notons aussi que F. Toomey [Too02] a ´etabli un principe des grandes d´eviations, sous une hypoth`ese de bornitude plus forte que notre condition d’int´egrabilit´e, mais en n’exigeant pas la perte de m´emoire.

0.4 Perspectives

Le r´esultat de F. Toomey sugg`ere que des th´eor`emes limites restent vrais sans l’hypoth`ese de perte de m´emoire. Quand (A_n)_n∈N prend ses valeurs dans un en- semble de deux matrices carr´ees de taille 2, on peut montrer que c’est le cas. En effet, si la propri´et´e de perte de m´emoire n’est pas satisfaite, alors il existe une orbite finie dans l’espace projectif au sens (max,+) .

Pour obtenir des r´esultats dans cette direction, un premier pas consisterait `a

´

etudier les mesures invariantes possibles. Cela permettrait aussi, sous l’hypoth`ese de perte de m´emoire, de simplifier le th´eor`eme limite local, sous des hypoth`eses suppl´ementaires. Ces hypoth`eses pouraient s’inspirer de celles d’irr´eductibilit´e du

0.5. SUR LE LIEN ENTRE LES DEUX PARTIES 11 cas des matrices inversibles.

Ensuite, on peut s’int´eresser au comportement des suites A₁· · ·A_n dans l’es- pace projectif. Dans le cas de perte de m´emoire, elles ´ecrasent l’espace sur un point au bout d’un temps fini, ce qui est `a la base des r´esultats de J. Mairesse, et de ceux du chapitre5. Dans les cas ´etudi´es, elles semblent ´ecraser l’espace sur un sous ensemble sur lequel elles ont une action isom´etrique. Le comportement devrait ˆetre clarifi´e, au moins dans le cas (max,+) .

Finalement, on esp`ere qu’une meilleure connaissance de la dynamique dans l’espace projectif permettrait de prouver des th´eor`emes limites sans l’hypoth`ese de perte de m´emoire. Un autre angle d’attaque consisterait `a utiliser la g´en´ericit´e de la perte de m´emoire et ´etendre les r´esultats par densit´e.

Une autre direction pour ´etendre les th´eor`emes limites serait de s’affranchir de la condition d’ind´ependance et de prouver des th´eor`emes pour des SRS gou- vern´ees par des suites m´elangeantes ou provenant de syst`emes dynamiques. Un point de d´epart dans le cas des suites m´elangeantes pourrait ˆetre l’article de H. Hennion [Hen97] sur les matrices positives.

0.5 Sur le lien entre les deux parties

On peut voir les produits de matrices au sens (max,+) comme un cas limite des produits de matrices au sens usuel. En effet, si A ∈ R^d×dmax n’a pas de ligne de−∞, l’applicationA deR^d dans lui mˆeme d´efinie par (Ax)_i = max_j(A_ij+x_j), qui correspond au produit de matrices `a coefficients dansR^max, est limite uniforme quand λ tend vers +∞des applications A^λ d´efinies par

(A^λx)_i = 1

λln X

j

e^λAije^λxj

! .

En utilisant cette convergence, T. Bousch et J. Mairesse ont d´eduit du th´eo- r`eme d’Oseledets pour les matrices positives ([Rag79]) la loi forte des grands nombres pour la suite _n¹A₁· · ·A_nx₀

n∈N, o`u x₀ est un vecteur de R^d, (A_n)_n

∈N

une suite stationnaire de matrices al´eatoires et o`u tous les produits sont pris au sens (max,+). On appellera exposants de Lyapunov au sens (max,+) les limites de cette suite.

G´en´eriquement, une suite de matrices al´eatoires inversibles i.i.d. adexposants de Lyapunov au sens classique, et l’espace projectif est contract´e en direction d’une solution stationnaire de l’´equation 1(dite r´egime stationnaire).

Pour des produits au sens (max,+), nous montrons au chapitre4qu’une suite g´en´erique de matrices al´eatoires i.i.d. a la propri´et´e de perte de m´emoire. Cela

implique qu’il n’y a qu’un seul exposant de Lyapunov au sens (max,+), mais aussi que l’espace projectif (max,+) est contract´e en direction d’un unique r´e- gime stationnaire.

Les produits de matrices strictement positives contractent le cˆone des vecteurs positifs vers un unique r´egime stationnaire. Il ne semble pas facile d’en d´eduire un r´egime stationnaire pour le cas (max,+). En effet, mˆeme pour des matrices

`

a coefficients finis, le r´egime stationnaire n’est pas n´ecessairement unique. On retrouve donc des probl`emes analogues `a ceux du comportement des mesures de Gibbs quand la temp´erature tend vers 0.

On obtient plus facilement les r´egimes stationnaires directement (Th´eor`emes 3.2.2,3.3.2 et3.4.1), sous des hypoth`eses suppl´ementaires, g´en´eriques dans le cas irr´eductible.

Dans le cas d´eterministe, on peut adapter les arguments de J. Br´emont [Br´e03]

pour le ”refroidissement” des mesures de Gibbs associ´ees `a un potentiel locale- ment constant. On montre ainsi que si V^λ est le vecteur propre positif normalis´e associ´e au rayon spectral de la matrice positive e^λAij

1≤i,j≤d, alors pour toute coordonn´ee i, _λ¹ ln(V_i^λ) converge vers une limite H_i. La limite H est un vecteur propre au sens (max,+) de la matrice A, non n´ecessairement unique (Proposi- tion 4.2.4).

Finissons cette partie en signalant que la th´eorie des produits de matrices al´eatoires classiques a ´et´e une source d’intuitions pour le chapitre4et de m´ethodes pour le chapitre 5.

Premi` ere partie

Matrices al´ eatoires inversibles

13

Chapitre 1

S´ eparation des exposants de

Lyapunov : cas des sous-shifts de type fini

1.1 Pr´ esentation et r´ esum´ e

Soient (Ω,F,P, θ) un syst`eme dynamique mesurable et M : Ω → M(R, d) une matrice al´eatoire.

On pose M₀ = I, o`u I d´esigne la matrice identit´e de rang d et pour tout n∈N^∗, M_n=M ◦θⁿ⁻¹· · ·M ◦θ M.

Le premier r´esultat d´ecoule imm´ediatement du th´eor`eme sous-additif de King- man et donne le comportement dekM_nk :

Th´eor`eme 1.1.1 ([FK60],[Rag79]). Si log⁺(kMk)est int´egrable, alors la suite

1

nlog(kM_nk)

n∈N converge presque sˆurement vers une variable al´eatoire γ `a va- leurs dans R∪ {−∞}. De plus γ est θ invariante et

1

nElog(kM_nk)→Eγ.

Ce r´esultat avait ´et´e d´emontr´e d`es 1960, sans le th´eor`eme de Kingman, par H. F¨urstenberg et H. Kesten [FK60] dans le cas o`u les matrices al´eatoiresM◦θ<sup>n</sup> sont i.i.d. . En outre γ est appel´e premier exposant de Lyapunov de la suite (M ◦ θ<sup>n</sup>)n∈N. Il co¨ıncide avec le premier coefficient γ<sub>1</sub> du th´eor`eme ergodique multiplicatif d’Oseledets que nous ´enon¸cons maintenant.

Th´eor`eme-D´efinition 1.1.2 ([Ose68]).

Si θ est inversible, si M est `a valeurs dans GL(R, d) et si la variable al´eatoire r´eelle log(max(kMk,kM⁻¹k)) est int´egrable, alors il existe une variable al´ea- toire φ : Ω → GL(R, d) et des variables al´eatoires r´eelles γ₁ ≥ γ₂· · · ≥ γ_d,

15

θ-invariantes, appel´ees exposants de Lyapunov de la suite (M◦θⁿ)n∈N, telles que les ´enonc´es suivants soient v´erifi´es presque sˆurement :

i) pour tout n, la matrice al´eatoire φ⁻¹ ◦θⁿ M_n φ est diagonale par bloc ; ii) le i-`eme vecteur e_i de la base canonique de R^d v´erifie

lim 1

nlogkM_nφe_ik=γ_i

et i et j sont dans le mˆeme bloc d’indices pour l’´enonc´e i) ssi γ_i =γ_j. En cas d’ambiguit´e, on notera γ_i(M, θ) les variables ainsi d´efinies.

M.S. Raghunathan a montr´e dans [Rag79] que le deuxi`eme ´enonc´e reste vrai pour des matrices non n´ecessairement inversibles d`es que log⁺(kMk) est int´e- grable. Sa d´emonstration fait apparaˆıtre les exposants de Lyapunov en fonction des limitesγ obtenues en appliquant le th´eor`eme1.1.1 aux suites (∧_rM◦θⁿ)_n∈

N, o`u ∧<sub>r</sub>M est la matrice associ´ee `a l’action de M sur le r-i`eme produit ext´erieur de R^d :

1

n logk∧_rM_nk →

r

X

i=1

γ_i.

Comme annonc´e dans l’introduction, nous allons montrer un th´eor`eme de s´eparation des exposants de Lyapunov, adapt´e de [GLP04]. On se place dans la situation suivante :

- Soit S un ensemble fini etA une application de S dans GL(d,R).

- Soit T une matrice irr´eductible d’indices dans S et de coefficients dans {0,1}, Σ_T ={(x_n)n∈N∈S^N|∀n ∈N T_xn,xn+1 = 1}

le sous-shift unilat`ere associ´e. On note X0, X1,· · · les projections coordonn´ees de Σ_T et

Σ^∗_T ={x₁· · ·x_k∈S^k|k ∈N,∀n, T_xn,xn+1 = 1}

l’ensemble des mots finis admissibles.

- Soit pune fonction h¨old´erienne strictement positive sur Σ_T telle que pour tout x ∈ ΣT, P

s∈S,s.x∈Σ_T p(s.x) = 1. Elle d´efinit un op´erateur de Perron P et une unique mesure P-invariante µ sur Σ_T, qui est invariante par le d´ecalage θ. La suite de variables al´eatoires (A◦X_n)_n∈N est stationnaire et born´ee donc poss`ede des exposants de Lyapunov. Le r-i`eme exposant est not´e γr ou γr(A, θ) si on veut pr´eciser.

L’unicit´e de la mesure µ d´ecoule du th´eor`eme de Ruelle-Perron-Frob´enius.

Pour une d´emonstration dans le cas o`u T est simplement irr´eductible, on peut consulter [Bal00].

Dans le cas o`u T est une matrice primitive (c’est `a dire qu’il existe N ∈ N tel que T^N > 0), les mesures P-invariantes associ´ees `a de telles fonctions p

1.1. PR ´ESENTATION ET R ´ESUM ´E 17 sont les mesures de Gibbs associ´ees `a des potentiels h¨old´eriens (cf. [Bow75]).

Par extension, on appellera mesures de Gibbs h¨old´erienne toutes les mesures µ associ´ees `a des fonctions p h¨old´eriennes.

Le but de ce chapitre est de prouver le crit`ere suivant, qui assure que deux exposants cons´ecutifs sont distincts :

Th´eor`eme 1.1.3. S’il existe un s∈S tel que le semi-groupe

T_s ={A(s₁)· · ·A(s_n)|n ∈N, s₁ =s,(s₁,· · ·, s_n, s)∈Σ^∗_T}

agisse de mani`ere totalement irr´eductible sur l’espace D<sub>r</sub> des drapeaux homo- g`enes d’ordre r et contienne une suite qui contracte D_r, alors les coefficients de Lyapunov pour une mesure de Gibbs h¨old´erienne sur Σ_T v´erifient γ_r > γ_r+1.

Les notions de drapeaux, d’action totalement irr´eductible et de contraction sont d´efinies et ´etudi´ees dans la partie 1.2. On a d´ej`a remarqu´e que les semi- groupesT<sub>s</sub> g´en´eralisent le semi-groupe dont l’action donnait le crit`ere de s´epara- tion pour des matrices i.i.d. .

On d´eduit du r´esultat pr´ec´edent un r´esultat pour des fonctions d´ependant d’un nombre fini de coordonn´ees.

Corollaire 1.1.4. SoientS un ensemble fini,T une matrice irr´eductible `a indices dansS et `a coefficients dans{0,1}etAune application deΣ_T dansG=Gl(d,R) ne d´ependant que des k premi`eres coordonn´ees.

Pour (t₁,· · ·, t_k) ∈ Σ^∗_T, soit T_t1,···,t_k le semi-groupe des matrices de la forme A(s₁,· · ·, s_k)· · ·A(s_n+1,· · ·, s_n+k) tels que s₁,· · ·, s_n+k v´erifie :

– s1· · ·sn+k∈Σ^∗_T – s₁· · ·s_k =t₁· · ·t_k

– s_n+2· · ·s_n+k =t₁· · ·tk−1

S’il existe (t1,· · ·, tk) ∈ S^k, tel que Tt1,···,t_k agisse de mani`ere totalement ir- r´eductible sur D<sub>r</sub> et contienne une suite qui contracte D<sub>r</sub>, alors les coefficients de Lyapunov de toute mesure de Gibbs associ´ee `a un potentiel h¨old´erien sur Σ_T v´erifient γr> γr+1.

D´emonstration. Posons ˜S =S^k, et soit ˜T la matrice `a indices dans ˜S d´efinie par T˜_{(s1,···,sk),(s}⁰

1,···,s⁰_k) =

1 si (s⁰₁,· · ·, s⁰_k, s_k)∈Σ^∗_T et (s⁰₁,· · ·, s⁰_k−1) = (s₂,· · ·, s_k) 0 sinon

ΣT˜ est le sous-shift de ˜S^Nassoci´e `a ˜T etµla mesure de Gibbs sur ΣT˜ associ´ee

`

a la fonction ˜p d´efinie par

˜

p((s₁,· · ·, s_k),(s₂,· · ·, s_k+1)· · ·) =p(s₁, s₂· · ·).

Il suffit de remarquer que le syst`eme dynamique consid´er´e est isomorphe `a (ΣT˜, µ, θ), que le conjugu´e ˜A deApar l’isomorphisme ne d´epend que d’une coor- donn´ee de ΣT˜ et que les hypoth`eses de la proposition sont exactement celles pour lesquelles (ΣT˜, µ, θ) et ˜A v´erifient les hypoth`eses du th´eor`eme 1.1.3.

La d´emonstration du th´eor`eme 1.1.3 se fera sur le shift bilat`ere. La proba- bilit´e sur les coordonn´ees n´egatives sachant ∀n ≥ 0, X_i = x_i est not´ee Px. Si p ne d´epend que des deux premi`eres coordonn´ees, les P<sup>x</sup> sont les mesures d’une chaˆıne de Markov `a ´etats dans S, avec donn´ee initiale x₀. La projection de ˆµsur les coordonn´ees n´egatives est donc une mesure de Markov stationnaire. Comme γ_r(θ, A) =γ_r(θ⁻¹,^tA), on en d´eduit :

Corollaire 1.1.5. Soit S un ensemble fini et (X_n)n∈N une chaˆıne de Markov `a valeurs dans S, stationnaire et irr´eductible. Soit A une application de S dans G=Gl(d,R). S’il existe un s∈S tel que le semi-groupe d´efini par

Ts ={A(s1)· · ·A(sn)|sn=s,P(X0 =s, X1 =s1,· · ·, Xn =sn)>0}

agisse de mani`ere totalement irr´eductible surD_ret contienne une suite qui contracte D_r, alors les coefficients de Lyapunov de la suite (A◦X_n)_n∈N v´erifient γ_r > γ_r+1.

La suite du chapitre constitue la d´emonstration du th´eor`eme 1.1.3. On com- mence par introduire les diff´erents outils alg´ebriques dans la partie1.2. On ´etudie, dans la partie 1.3, les noyaux harmoniques qui remplacent les mesures station- naires du cas i.i.d. On montre qu’il en existe (th´eor`eme 1.3.2) et qu’ils prennent leurs valeurs dans l’ensemble des probabilit´es irr´eductibles (th´eor`eme1.3.4). Dans la partie suivante, on montre (th´eor`eme1.4.1) que la suite (M M◦θ· · ·M ◦θⁿ))_n∈

N

contracte presque sˆurementD_r. Enfin, dans la derni`ere partie, on en d´eduit le cri- t`ere de s´eparation.

1.2 Outils alg´ ebriques

1.2.1 D´ ecompositions du groupe lin´ eaire

Notations. Soit d ∈ N^∗. On note I_d l’ensemble des entiers compris entre 1 et d. Soient G = GL(R, d), K = O(R, d), N =N(R, d) le sous-groupe de G des matrices triangulaires inf´erieures `a ´el´ements diagonaux ´egaux `a 1, A=A(R, d) le sous-groupe de G des matrices diagonales `a ´el´ements diagonaux strictement positifs. On d´esignera par kxkla norme associ´ee au produit scalaire canonique si x ∈R<sup>d</sup>, la norme d’application lin´eaire associ´ee si x ∈G. Cependant, la plupart des r´esultats seront valables pour une norme quelconque grˆace `a l’´equivalence des normes sur les espaces de dimension finie.

Th´eor`eme-D´efinition 1.2.1 (D´ecomposition polaire).

Toute matrice g ∈G s’´ecrit g =xa(g)k, avec i) x, k ∈K

ii) a(g) = diag(a₁(g), ..., a_d(g))∈A et a₁(g)≥a₂(g)≥...≥a_d(g)>0.

1.2. OUTILS ALG ´EBRIQUES 19 De plus a(g) est unique et les a_i(g) sont les racines carr´ees des valeurs propres de g^tg. En particulier, a₁(g) = kgk et a_d(g) =kg⁻¹k⁻¹.

Une telle d´ecomposition est dite d´ecomposition polaire de g.

D´emonstration. Sig =xa(g)k, alors g^tg =xa²(g)x⁻¹, d’o`u la seconde partie du th´eor`eme.

En outreg^tg est sym´etrique d´efinie positive. Elle admet donc une base ortho- norm´ee de vecteurs propres que l’on ordonne par valeurs propres d´ecroissantes.

Matriciellement cela s’´ecrit g^tg =xa²x⁻¹, avec x∈K et a comme souhait´ee. On pose alorsk =a⁻¹x⁻¹g et on v´erifie quek ∈Ketg =xak.

Remarque 1.2.1. Sig =xa(g)k, alorsg⁻¹ =k⁻¹a⁻¹(g)x⁻¹, d’o`ua_i(g⁻¹) =a⁻¹_d+1−i(g).

De mˆeme, κg=κxa(g)k, donca(κg) =a(g),∀κ∈K.

Th´eor`eme-D´efinition 1.2.2 (D´ecomposition d’Iwasawa).

Toute matrice g ∈G s’´ecrit de fa¸con unique g =η(g)b(g)κ(g) avec 1. η(g)∈ N

2. κ(g)∈ K 3. b(g)∈A.

On note alorsb(g) =diag(b₁(g),· · ·, b_d(g))et on appelle d´ecomposition d’Iwasawa de g cette d´ecomposition.

D´emonstration. Existence:

On applique le proc´ed´e d’orthogonalisation de Schmidt aux vecteurs colonnes de

tg⁻¹, not´es v₁,· · ·, v_d. On obtient u₁,· · ·, u_d tels que la matrice de passage η de v `a u soit triangulaire sup´erieure de diagonale I. La matrice de passage κ de e1,· · ·, ed `a _ku^u1

1k,· · ·,_ku^ud

dk est orthogonale et ^tg =κdiag(ku1k⁻¹,· · ·,kudk⁻¹)η.

Unicit´e :

Siηbκ et ˜η˜b˜κ sont deux d´ecompositions de g, alors (˜η˜b)⁻¹ηb= ˜κκ⁻¹ est orthogo- nale et triangulaire inf´erieure. C’est donc l’identit´e. Donc κ= ˜κ et ˜η˜b=ηb, d’o`u

˜b=b (c’est la restriction `a la diagonale de l’´egalit´e pr´ec´edente) et ˜η =η.

1.2.2 Produits ext´ erieurs

D´efinition 1.2.3 (Produits ext´erieurs). Soient E un espace vectoriel de di- mension finie d etr ∈I_d.

1. On appelle r-i`eme produit ext´erieur de E, et on note ^

r

E, l’espace des formes r-lin´eaires altern´ees sur E.

2. Un ´el´ement de^

r

E est appel´e r-vecteur.

3. Pour toute former-lin´eairef surE, l’antisym´etris´ee de f, not´eeAlt(f), est donn´ee par :

Alt(f)(x₁,· · ·, x_r) = 1 r!

X

σ∈Sr

Sgn(σ) f(x_σ(1),· · ·, x_σ(r))

4. Pour toutes formes f ∈ ^

k

E et g ∈ ^

l

E, on d´efinit le produit ext´erieur f ∧g ∈^

k+l

E de f etg par f∧g = ^(k+l)!_k!l! Alt(f ⊗g), o`u

f⊗g(x₁,· · ·, x_k+l) = f(x₁,· · ·, x_k)g(x_k+1,· · ·, x_k+l).

5. Unr-vecteur non nul qui s’´ecritx₁∧ · · · ∧x_r (E est identifi´e `a ^

1

E) est dit d´ecomposable.

R´esultats :

1) Soit (e_i)^d_i=1 une base de E, alors (e_i1 ∧ · · · ∧e_ir)1≤i₁<···<i_r≤n est une base de

^

r

E. On identifie d´esormais ^

r

E `aR^Crd.

Via cette identification on transporte la structure euclidienne usuelle de R^C

r d

sur ^

r

E. On a alors sur ^

r

E un produit scalaire < , > qui v´erifie pour (u_i)^r_i=1 ∈E^r et (v_i)^r_i=1 ∈E^r :

< u1∧ · · · ∧ur, v1∧ · · · ∧vr >=det[(< ui, vj >)^r_i,j=1].

On note k.k la norme euclidienne associ´ee.

2) GL(R, d) op`ere sur ^

r

E par :

∀ g ∈ GL(R, d), ∀ (u_i)^r_i=1 ∈E^r, g.(u₁∧ · · · ∧u_r) =gu₁∧ · · · ∧gu_r. On note ^

r

g la matrice de GL(R, C_d^r) associ´ee `a cette action ´ecrite sur la base du 1).

Les indices sont donc pris dans C_r ={(i₁,· · ·, i_r) | 1≤ i₁ <· · · < i_r ≤ d}, ordonn´e par l’ordre lexicographique.

3) < e_i1∧· · ·∧e_ir, ge_j1∧· · ·∧ge_jr >est ´egal au mineur deg obtenu en conservant uniquement les lignes i₁,· · ·, i_r et les colonnes j₁,· · ·, j_r.

<^t ge_i1 ∧ · · · ∧^t ge_ir, e_j1 ∧ · · · ∧ e_jr > est ´egal au mineur de ^tg obtenu en conservant uniquement les lignes j₁,· · ·, j_r et les colonnes i₁,· · ·, i_r.

4) On en d´eduit (^

r

g)⁻¹ =^

r

(g⁻¹) et ^t(^

r

g) =^

r

(^tg) .

1.2. OUTILS ALG ´EBRIQUES 21 5) Sig =xak est une d´ecomposition polaire de g,

alors (^

r

g) = (^

r

x)(^

r

a)(^

r

k) en est une de (^

r

g) et

∀ı= (i₁,· · ·, i_r)∈ C_r, a_ı(g) :=a_ı(^

r

g) =a_i1· · ·a_ir(g).

On notera aussi ı_r pour (1,· · ·, r).

6) Sig =ηbkest la d´ecomposition d’Iwasawa deg, alors (^

r

g) = (^

r

η)(^

r

b)(^

r

k) est celle de (^

r

g) et

∀ı= (i₁,· · ·, i_r)∈ C_r, b_ı(g) :=b_ı(^

r

g) =b_i1· · ·b_ir(g).

1.2.3 Comparaison des d´ ecompositions

Lemme 1.2.4.

Pour tout g ∈ G et tout j ∈I_d, on a 1

kg⁻¹k = 1

a₁(g⁻¹) =a_d(g)≤ b_j(g)≤ a₁(g) =kgk.

En appliquant ce lemme `a ^

r

g, on obtient : Corollaire 1.2.5.

Pour tout g ∈ G, tout r∈ {1,· · ·, d} et tout j = (j₁,· · ·, j_r)∈ C_r, on a

r

Y

k=1

ad−r+k(g)≤

r

Y

k=1

b_jk(g)≤

r

Y

k=1

a_k(g).

D´emonstration du lemme. Les ´egalit´es sont claires. Soit g = ηbk une d´ecompo- sition d’Iwasawa de g. Le coefficient bj est le j^eme ´el´ement de la diagonale de ηb=g^tk, donc b_j =< g^tke_j, e_j >≤ kg^tkk=kgk.

De mˆeme b⁻¹_j =< kg⁻¹e_j, e_j >≤ kkg⁻¹k=kg⁻¹k.

Pour am´eliorer la minoration du lemme 1.2.4, on pose, pour tout r ∈I_d tout g ∈ G, et pour tout k ∈ K,

∆_r(g) =< e_ır,^

r

ge_ır > etφ_r(k) = log(|∆_r(k)|).

Lemme 1.2.6.

Soient g ∈ G, k ∈K et g =xa(g)κ une d´ecomposition polaire de g. Alors :

∀ r∈I_d, log(a_ır(g)) +φ_r(kx)≤log(b_ır(kg))≤log(a_ır(g)).

D´emonstration. La seconde in´egalit´e r´esulte du corollaire 1.2.5et de la remarque suivant la d´efinition de la d´ecomposition polaire.

Pour prouver la premi`ere in´egalit´e, remarquons qu’on a : b_ır(kg)

aır(kg) = k^

r

t(kg)e_ırk k^

r

tgk =

k^

r tg^

r

tk e_ırk k^

r

tgk . Alors

b_ır(kg) a_ır(kg) =

k^

r

ta(g)^

r tx^

r

tk e_ırk k^

r tgk

= (X

j∈Cr

a_j(g)² < e_ır,^

r

k^

r

x(g)e_j >²)^1/2 a_ır(g)

≥ |< e_ır,^

r

k^

r

x(g)e_ır >|.

Lemme 1.2.7. ∀r ∈ I_d, ∀p ∈ [1,+∞], φ_r ∈ L^p(K, m_K), o`u m_K est la mesure de Haar normalis´ee sur K.

D´emonstration. On fixe d et on fait un r´ecurrence finie sur r.

Soit σd−1 la loi uniforme sur S^d−1. Soit p≥ 1. Il existe c∈R⁺ tel que R

K|log(|∆₁(k)|)|^p dm_K(k) = R

S^d−1|log(|< v, e₁ >|)|^p dσ_d−1(v)

≤ cRπ

0 |log(|cos(Θ)|)|^pdΘ

< +∞

Supposons le lemme montr´e jusqu’au rang r−1.

On admet pour l’instant la relation suivante, o`u u_r(g) est un vecteur norm´e orthogonal aux vecteurs ge₁,· · ·, ger−1 :

|∆_r(g)| ≥ |∆r−1(g)||< ge_r, u_r(g)>| (1.1) On en d´eduit que l’int´egrabilit´e de|φ_r|^p´equivaut `a celle de|log(|< u<sub>r</sub>(.), .e<sub>r</sub> >|)|<sup>p</sup>. Soit X une variable al´eatoire `a valeur dans K de loi m_K.

E[|log(|< u_r(X), Xe_r>|)|^p] =E[E[|log(|< u_r(X), Xe_r>|)|^p|Xe₁, · · ·, Xer−1]].

1.2. OUTILS ALG ´EBRIQUES 23 Etant donn´´ e (v₁, · · ·, vr−1) un syst`eme de vecteurs orthogonaux de R<sup>d</sup>, la dis- tribution deXe<sub>r</sub> sachantXe<sub>1</sub> =v<sub>1</sub>, · · ·, Xer−1 =vr−1 est la loi uniforme sur la sph`ere unit´e de l’orthogonal dans R^ddevect(v₁, · · ·, v_r−1).On a donc l’existence deC ∈R⁺ tel que

E[|log(|< u_r(X), Xe_r >|)|^p] = R

S^d−r|log(|< e₁, v >|)|^p dσd−q(v)

≤ CRπ

0 |log(|cos Θ|)|^p dΘ

< +∞.

Le lemme est donc d´emontr´e par une r´ecurrence finie.

Il reste `a montrer la relation 1.1. C’est ce que nous faisons maintenant.

Pour tout q∈I_d, on note π_q le projecteur orthogonal de R^d sur V_q =

q

M

i=1

Re_i et δ_q(g) le d´eterminant de la matrice carr´ee d’ordre r−1 obtenue `a partir de (π_r(ge₁),· · ·, π_r(ge_r−1)) en enlevant la ligneq. On d´efinit alorsu_r(g) par les rela- tions suivantes :

v(g) =

r

X

i=1

(−1)ⁱδ_i(g)e_i et u_r(g) = v(g) kv(g)k. Alors, on a pour toutk ∈I_r−1,

< v(g), ge_k >=Det(π_r(ge₁),· · ·, π_r(ger−1), π_r(ge_k)) = 0, doncv(g) et u_rg sont bien orthogonaux aux vecteurs ge₁,· · ·, ger−1.

Si ∆r−1(g) = 0, l’in´egalit´e (1.1) est triviale. Sinon la famille (π_r(ge₁),· · ·, π_r(ger−1)) est de rangr−1, donc (π_r(ge₁),· · ·, π_r(ger−1), u_r(g)) est une base de V_r. En d´e- composant π_r(ge_r) dans cette base et on d´eveloppe le d´eterminant suivant la derni`ere colonne. Par l’orthogonalit´e de u_r(g) par rapport aux autres vecteurs, tous les termes s’annulent, et il vient :

|∆_r(g)| = |Det(π_r(ge₁),· · ·, π_r(ge_r))|

= |< ur(g), ger >|.|Det(πr(ge1),· · ·, πr(ger−1), ur(g)|

Comme kv(g)k² =

r

X

i=1

δ_i(g)² =|Det(π_r(ge₁),· · ·, π_r(ger−1), v(g)|, on en d´eduit :

|∆_r(g)| = |< u_r(g), ge_r>|.kv(g)k

≥ |< u_r(g), ge_r>|.|δ_r(g)|

= |< u_r(g), ge_r>|.|∆_r−1(g)|

1.2.4 Espaces des drapeaux, contractions

Dans toute la suite,r ∈I_d sera une dimension de sous-espace de R^d.

D´efinition 1.2.8 (Espaces des drapeaux). On appelle espace des drapeaux d’ordre r, et on note D_r, l’ensemble des sous-espaces vectoriels de R^d de dimen- sion r.

Pour tout Θ ⊂ Id−1, on appelle drapeau de type Θ un Θ-uplet (U_i)i∈Θ de sous- espaces vectoriels de R^d tels que

∀ i∈Θ, dim U_i =i et ∀i, j ∈Θ, i < j⇒ U_i ⊂ U_j. On note D_Θ l’ensemble des drapeaux de type Θ.

Remarque 1.2.2. Si U ∈ Dr, et si (ui)^r_i=1 est une base de U, on identifiera U

`

a u₁Λ· · ·Λ u_r ∈ P(^

r

R^d), ce qui munit D_Θ d’une structure d’espace m´etrique compact.

Notations.

On note, pour tout r∈Θ, π_r lar-i`eme projection deD_Θ. Le drapeau dit canonique, que l’on notera ∂Θ est donn´e par :

∀ r∈Θ, π_r(∂_Θ) = e_ır. Le groupe Gop`ere sur D_Θ de la fa¸con suivante :

∀ g ∈ G, ∀(U_i1, · · ·, U_im)∈ D_Θ, g.(U_i1, · · ·, U_im) = (g(U_i1), · · ·, g(U_im)).

Le stabilisateur de ∂_Θ pour cette action est not´e P_Θ. D´efinition 1.2.9 (Contractions).

1. On dit qu’une suite (g_n)_n∈Nde matrices deGcontractePR^ds’il existez ∈R^d non nul tel que pour toute valeur d’adh´erence M de

gn

kgnk

n∈N

, M est de rang 1 et a pour image z =R z.

On dit alors que (gn)n∈N contracte PR^d en direction dez.

2. On dit qu’une suite (g_n)n∈Nde matrices deGcontracteD_rsi^

r

g_ncontracte P(V

rR). On dira aussi que la suite contracteD_r. Remarque 1.2.3. les valeurs d’adh´erence de

gn

kg_nk

n∈N

sont appel´ees les valeurs d’adh´erence quasi-projective de (g_n)n∈N.

Lemme 1.2.10. Soit (gn)n∈N une suite de matrices de G.

Pour chaque n∈N, soit g_n=x_na(g_n)k_n une d´ecomposition polaire de g_n.