MPSI - Exercices - M´ecanique II - Mouvements dans un champ de forces centrales conservatives page 1/1
Mouvement dans un champ de forces centrales conservatives
Exercice 1. Formules de Binet et ´equations des trajectoires.
1. En posant u = 1
r , montrer que, pour un mouvement `a force centrale, v2 = C2
"
u2+ du
dθ 2#
et que a = −C2u2 d2u
dθ2 +u
er o`u C est la constante des aires et erest le vecteur radial de la base polaire.
2. En appliquant alors le principe fondamental de la dynamique `a un point mat´eriel M de massem soumis `a l’attraction gravitationnelle d’un gros astre O de masseM, quelle est l’´equation diff´erentielle v´erifi´ee paru? En d´eduire l’´equation polaire g´en´erale des tra- jectoires (`a t= 0,OM=r0,θ= 0,v=v0et (r0,v0) =α).
3. Pr´eciser en particulier le param`etre de la conique ainsi que son excentricit´e en fonction des conditions initiales. Exprimer finalement l’´energie m´ecanique en fonction du para- m`etre et de l’excentricit´e.
Exercice 2. Vecteur de Runge-Lenz.
Soit un point mat´eriel M de massemsoumis `a l’attraction gravitationnelle d’un gros astre O, fixe dans un r´ef´erentiel galil´eenR, et de masse M. Montrer que le vecteur de Runge Lenz d´efini parA= 1
GmM(v∧LO(M))−er est un invariant du mouvement, qu’il est port´e par l’axe polaire de la trajectoire conique et que sa norme est ´egale `a l’excentricit´e de la conique. Les vecteurs vitesse et moment cin´etique sont ´evalu´es par rapport au r´ef´erentiel galil´eenRet le vecteurerest le vecteur radial de la base cylindrique. Il faudra introduire le vecteur ez orthogonal au plan de la trajectoire, et le vecteur eθ, contenu dans le plan de la trajectoire.
Exercice 3. A propos de Spoutnik.
Le premier satellite artificiel sovi´etique, Spoutnik I, fut plac´e sur orbite en 1957. Son apog´ee ´etait `a l’altitudehA= 947kmet son p´erig´ee ´etait `a l’altitudehP = 228km. Nous supposerons la Terre sph´erique, de rayonR= 6380km. D´eterminer alors le demi-grand axeade la trajectoire, l’excentricit´eede la trajectoire et le param`etrepde la conique.
D´eterminer aussi la p´eriode de r´evolutionT, sachant qu’au niveau de la surface terrestre le champ de pesanteur vautg= 9,81m.s−2.
Exercice 4. A propos des com`etes (d’apr`es concours).
Dans tout l’exercice, R0 d´esigne le rayon de l’orbite suppos´ee circulaire de la Terre
autour du Soleil et v0 d´esigne la vitesse de la Terre par rapport au r´ef´erentiel h´e- liocentrique. Pour les applications num´eriques, nous prendrons R0 = 150.106km et v0=
rGMS
R0
= 30km.s−1, o`uMS d´esigne la masse du Soleil.
1. ´Etude de la com`ete de Halley
Le p´erih´elie (point le plus proche du Soleil) de la com`ete de Halley se trouve `a la distance D = 0,6R0 du centre du Soleil (dont la masse MS vaut MS = 2.1030kg), sa p´eriode T est de 76 ann´ees terrestres. Justifier alors que la trajectoire de cette com`ete autour du Soleil est elliptique. D´eterminer le demi-grand axe a de cette ellipse. En d´eduire l’excentricit´eede la trajectoire de la com`ete de Halley.
2. ´Etude d’une com`ete parabolique
Une com`ete C dont la trajectoire est coplanaire `a l’orbite terrestre a une masse m. Son p´erih´elie P se trouve `a une distance rp = R0/2 du centre du Soleil et la norme de la vitesse de la com`ete en ce point P estvp= 2v0par rapport au r´ef´erentiel h´eliocentrique.
a. Quelle est la nature de la trajectoire de la com`ete C ?
b. Exprimer la norme de la vitesse v de la com`ete par rapport au r´ef´erentiel h´eliocen- trique quand la com`ete se trouve `a une distancerdu centre du Soleil, en fonction de la constante de gravitationG et de la masse du SoleilMS.
c. Calculer l’excentricit´e et le param`etre de la conique d´ecrite par la com`ete en fonction de R0. Calculer aussi la distance com`ete-Soleil pour θ = −π/2 (point A) et pour θ=π/2 (point B), les angles ´etant rep´er´es par rapport `a l’axe polaire. Les points A et B correspondent aux intersections de la trajectoire de la com`ete avec la trajectoire de la Terre.
d. Calculer l’angle que fait la tangente en A `a la trajectoire de la com`ete par rapport `a la tangente en A `a la trajectoire terrestre.
e. Calculer (en jours) le temps pass´e par la com`ete `a l’int´erieur de l’orbite terrestre, temps qui donne un ordre de grandeur de la visibilit´e `a l’oeil nu de la com`ete depuis la Terre. Donn´ee
Z π/2
−π/2
dθ
(1 + cosθ)2 = 4 3
