Corrigé du devoir surveillé n 5 B : physique des ondes

Corrigé du devoir surveillé n°5 B : physique des ondes

Problème n ° 1 : Etude d’un plasma

1 Propagation d’une onde dans un plasma

1.1/0,5 −→ j = −→

j _e+−→

j _c On néglige la contribution des cations plus lourds et pour lesquels la vitesse est négligeable :

−

→j =−ne−→ v

1.2/0,5 on peut appliquer le PFD à un électron md−→

v

dt =−e−→ E

1.3/1 Les équations de Maxwell s’écrivent :

div −→ E = 0

−→ rot −→

E =−∂−→ B

∂t div −→

B = 0

−→ rot −→

B =µ₀−→

j +ε₀µ₀∂−→ E

∂t Relation de constitution d’un plasma :

∂−→ j

∂t = ne² m

−

→E

En prenant ∂

∂t(M−A), il vient :

∆−→

E =ε0µ0

∂²−→ E

∂t² +µ0ne² m

−

→E

Ce n’est pas l’équation de d’Alembert.

1.4/1

∂

∂t =iω et −→

∇ =−ik−→uz

On pose la pulsation plasma ωp =

rne² mε0

et l’équation devient : k²c² =ω² −ω_p²

1.5/1,5 La relation de dispersion montre quek est imaginaire pur : k =ik” avec k” = ⁺−

ω c

s 1− ω²

ω_p²

En notation réelle, le champ E s’écrit :

−

→E (z, t) =−→

E0exp(k”z) cosωt On ne retient que la partie imaginaire négative :

k”(ω) = −ω c

s 1− ω²

ω_p²

L’onde ne se propage pas dans le plasma. Elle est absorbée et on définit : δ= 1

|k”|

la profondeur de pénétration.

L’onde est dite évanescente.

1.6.a/1,5 La relation de dispersion montre que k est réel et dépend de ω. On écrit k = k^′. En notation réelle, pour une propagation selon −→u_z :

−

→E (z, t) = E0cos(ωt−k^′z)−→ux

Dans ce cas, l’onde est plane, progressive, monochromatique, transverse, polarisée rectilignement.

1.6.b/1,5 Les plans équiphases donnés par la relationz = ω

k^′(ω)t+ C^te se déplacent à la vitesse de phase : vϕ = ω

k^′ = c r

1− ω_p² ω²

On constate que la vitesse de phase dépend de ω : le milieu est dispersif.

On remarque quevϕ > cce qui ne contredit pas la théorie de la relativité. La vitesse de phase ne représente pas la vitesse d’une grandeur matérielle (cest la vtesse de l’oppm “enveloppée” dans le paquet d’onde).

1.6.c/1,5 La vitesse de groupe est la vitesse de l’enveloppe du paquet d’onde.

2kdkc² = 2ωdω d’où vg = dω

dk =cq

1−ω_p²/ω²

La vitesse de groupe décrit le transport de l’enveloppe du signal, c’est-à-dire de l’information. Elle ne peut pas être supérieure à c.

1.6.d/1,5

vϕ

vg

ω c

On constate que la propagation ne se produit que si ω > ω_p le plasma se comporte comme un passe-haut de pulsation de coupure ωp.

1.6.e/1

−

→B =

−

→k ∧−→ E

ω = k^′E0

ω cos(ωt−k^′z)−→uy

1.7.a/1

−

→Π =

−

→E ∧−→ B µ0

= E²k^′ ω

−

→uz

d’où D−→

ΠE

= E²₀ k^′ 2ω

−

→uz

1.7.b/2 L’énergie volumique du champ électromagnétique est : hu_emi= ε0E²₀

4

1 + k^′2c² ω²

L’ énergie volumique du plasma est

hui=huem+eci avec heci=n0

1 2mv²

−

→v = −ie mω

−

→E

d’où heci= n0e²

4mω²E²₀ = ε0E²₀ 4

ω_p² ω² Finalement, hui=huem+eci= ε₀E²₀

4

1 + k^′2c² ω² +ω_p²

ω²

= ε₀E²₀ 2 1.7.b/2 On a hΠi=vehui d’où ve=c²k

ω. On constate que la vitesse de l’énergie s’identifie à la vitesse de roupe déterminée précédemment ce qui n’est pas surprenant.

e

2 Application à une étude documentaire : Télécommunications et ionosphère

2.1/2 Pour traverser l’ionosphère, la fréquence des ondes doit être supérieure à la fréquence plasma la plus grande de l’ionosphère.

Il faut calculer les fréquences plasma des différentes couches connaissant la densité électronique : f_pD = 0,5MHz f_pE= 1,5MHz et f_pF = 5MHz. Ce sont des ordres de grandeur bien sûr.

Les ondes qui peuvent traverser l’atmosphère doivent donc être de fréquence supérieure à 5 MHz. Les ondes de fréquence inférieure seront réfléchies.

2.2/2 La couche D a une fréquence plasma assez faible. Les ondes de fréquence comprise entre cette fréquence et la fréquence plasma de la couche F (environ 10 fois supérieure) ne seront pas réfléchie par cette couche D mais seront absorbées. Cette couche n’étant présente que le jour, ce phénomène ne se passera pas la nuit et les radios pourront émettre la nuit.

2.3/2 Pour des fréquences inféreiures à fp, l’onde est réfélchie sur l’ionosphère qui se comporte comme un miroir. Comme la fréquence de coupure dépend en réalité de l’inclinaison fp

sinα, la fréquence de coupure sera plus grande pour une inclinaison la plus rasante possible. On est bien sûr limité par la courbure de la terre.

2.4/2 Plus la densité électronique est grande plus la fréquence plasma l’est aussi. C’est donc l’été que l’activité solaire est la plus importante et donc que l’on peut transmettre des ondes de fréquences les plus élevées.

2.5/2 Pour une communication sur de telles distances il faut choisir une fréquence de l’ordre du MHz qui sera réfléchie et utiliser des réflexions multiples ionosphère/sol.

2.6/2 Pour de telles communications, il faut choisir une fréquence supérieure à f_p. Comme la vitesse de groupe dépend alors de la fréquence, il est normal que le temps de propagation de l’information dépende de la fréquence.

2.7/2 Il s’agit de l’effet “mirage” ; l’indice de la couche que l’on pourrait définir comme étant c/vϕ dépend de la fréquence plasma et donc de l’altitude (la densité particulaire dépend de l’altitude). C’est pour cela que la trajectoire n’est pas rectiligne. Les ordres de grandeur sont supérieurs à ceux trouvés à la première question car l’inclinaison n’est pas de 90° et la fréquence de coupure augmente alos.

II. Rayonnement

I Modèle de l’électron élastiquement lié

1. (a) Charge e uniformément répartie =⇒ρ(N) = 3e

4πa³ pour r6a.

(b) Il n’y a pas de formulaire d’analyse vectorielle donc on utilise le théorème de Gauss.

• Symétries : tous les plans contenant PN sont plans de symétries de la répartition de charges.

Donc le champ électrique est radial.

• Invariances : la distribution de charges est invariante par une rotation quelconque autour de O. Donc −→

E (N) = E(r)−→u_r.

• Surface de Gauss : sphère de centre P, de rayonr et passant par N.

• Charge intérieure : Qint(r) =er³

a³ pour r6a.

• Synthèse : grâce au théorème de Gauss, il vient −→

E (N) = er 4πε0a³

−

→u r = e 4πε0a³

−→PN.

(c) Force électrique ressentie par l’électron :−→

F =−e−→

E (N) =− e² 4πε0a³

−→PN.

D’après le principe des actions réciproques, l’électron exerce la force −−→

F sur le noyau.

2. m−→¨

R =−µω₀²−→

R avecmω₀² = e² 4πε0a³. D’oùω0 =

r1 m

e² 4πε0a³.

Remarque : cet oscillateur spatial isotrope est un cas particulier de mouvement à force centrale : le mouvement est plan. Les trajectoires sont ici des ellipses de centre O.

3. ω0 ≈1,6.10¹⁶rad.s⁻¹.

La longueur d’onde associée vaut λ≈0,1µm : c’est dans l’ultraviolet.

4. −→p(t)représente le moment dipolaire instantané de l’atome.

(a) La présence de µ0

4π suggère fortement qu’il s’agit d’un champ magnétique. Vérifions si notre intui- tion est bonne. D’après l’équation de Maxwell - Ampère, on sait que −→

B/µ0 est homogène à des A.m⁻¹.

Ici p¨est homogène à des C.m.s⁻² donc à desA.m.s⁻¹. Finalement, l’expression proposée est bien un champ magnétique.

(b) Structure locale d’onde plane progressive :−→ E =−→

B ∧c−→e r soit −→

E = µ0sinθ

4πr p(t¨ −r/c)−→e θ.

(c) Echelles spatiales : hR(t)i ≪λ ≪r. La première inégalité signifie le mouvement des charges n’est pas relativiste.

La deuxième est celle de l’approximation dipolaire.

5. Vecteur de Poynting : −→ Π =−→

E ∧

−

→B µ0

. Soit, après calculs, −→ Π = µ0

16π² sin²θ

cr² p¨²(t−r/c)−→e r.

Moyenne temporelle : D−→ ΠE

= µ0e² 16π²

sin²θ

cr² h¨x²i −→e r.

6. L’élément de surface orienté d’une sphère de rayon r s’écrit δS = r²sinθ dθ dϕ. Donc la puissance moyenne rayonnée (flux sortant du vecteur de Poynting moyen) à travers une sphère de rayonr vaut hPi= µ0e²

16π²c x¨²

Z Z

sin³θ dθ dϕ.

Il vient hPi= µ₀e² 16π²c

x¨² 4

3 ·2π= e² 6πε0c³

x¨²

car ε₀µ₀c² = 1.

7. (a) Il suffit donc d’identifier : −→

F = e² 6πε0c³

...x−→e x.

(b) Nouvelle équation différentielle, projetée sur −→e x :x¨+ω₀²x(t) =− e² 6πε0µc³

...x. Remarque : en fait c’est la force −−→

F qui s’exerce sur la particule fictive puisque le système perd de l’énergie par rayonnement.

(c) i. En notation complexe, il vient −ω²+ω₀² =−i e² 6πε₀µc³ω³. Calculs approchés : ω² ≈ω₀²

1 + 2δω ω0

etω³ ≈ω₀³

1 + 3δω ω0

. La correction due au terme 3δω

ω₀ ne sera pas prise en compte car elle fournira un terme d’ordre 2. Finalement, il vient −2ω0δω ≈ −i e²ω³₀

6πε0µc³ d’où le résultat de l’énoncé.

ii. On a Γ = e²ω²₀ 6πε0µc³.

iii. En assimilant µ ≈ m (approximation encore meilleure pour le rubidium), on trouve Γ ≈ 3,66.10⁷s⁻¹. C’est très proche de la valeur tabulée.

Remarque : les données numériques sont données avec au moins 3 chiffres significatifs donc il faut essayer de conserver cette précision numérique.

II Interaction d’un atome avec une onde électromagnétique

1. (a) Équation différentielle du mouvement, en négligeant le poids : µ−→¨

R = −µω²₀−→

R −µΓ−→˙

R = e−→ E + e−→˙

R ∧−→ B.

Comme l’amplitude du mouvement est petite devant la longueur d’onde, on remplace −→

E (z, t) par

−

→E (0, t). De même pour−→

B. D’autre part, les vitesses n’étant pas relativistes, la force magnétique est négligeable devant la force électrique.

Finalement, on obtient l’équation différentielle de l’énoncé.

(b) En notation complexe,−→p =e−→

R = e²E0

µ

1 ω²−ω²+iΓω

−

→e x.

D’où α(ω) = e² µ

1

p(ω₀²−ω²)²+ (Γω)² etsin(ψ) = −Γω

p(ω²₀ −ω²)²+ (Γω)². 2. (a) Force de Lorentz sur l’électron : −→

Fe=−e−→ E (−→

R−, t)−e−→˙

R− ∧−→ B (−→

R−, t).

Force de Lorentz sur le noyau :−→

Fnoyau =e−→ E (−→

R +, t) +e−→˙

R +∧−→ B (−→

R +, t).

Dans la mesure où le champ électromagnétique est à peu près uniforme à l’échelle des déplace- ments des deux charges, les deux forces électriques se compensent et −→

Frad = −→ Fe+−→

Fnoyau ≈ e

−→˙

R +−−→˙ R−

∧−→

B (O, t), soit −→

Frad= ˙−→p ∧−→ B. (b) Produit vectoriel : −→

Frad=−ωα(ω)E0cos(ωt+ψ)· E0

c cos(ωt)−→e y.

Moyenne temporelle : D−→ FradE

=−ωα(ω) sinψE²₀ 2c

−

→e z.

Il vient D−→ FradE

=−α(ω) sinψ I ε0c

−

→k.

(c) i. Après remplacement,D−→ FradE

= e²I ε0cµω0Γ²

Γ 1 + 4∆²/Γ²

−

→k. Par identification, Is =~ω0

ε0cµΓ² e² . ii. L’intensité de la force est maximale pour ∆ = 0. Elle vaut alorsFrad = I

Is

~Γ.

III Ralentissement Doppler des atomes

1. (a) Pulsations apparentes : pour le vecteur d’onde +−→

k, ω^′₍₊₎ = ω − ω

cv(t). Pour le vecteur d’onde

−−→

k, ω^′₍₋₎ =ω+ ω cv(t).

(b) C’est l’onde de vecteur d’onde−−→

k qui produira l’onde ayant la pulsation apparente se rapprochant le plus de ω0 : ω^′₍₋₎ =ω0+ ∆ + ω0 + ∆

c v(t).

La force radiative la plus intense correspond à la pulsation apparente ω^′₍₋₎. Elle est dirigée dans le sens de −→

k : l’atome sera ralenti.

Pour v(t) <0, c’est avec l’onde de vecteur d’onde +−→

k que l’atome interagit le plus intensément.

La force se comporte encore comme une force de frottement.

En revanche, si ∆>0, les conclusions sont différentes et l’atome sera accéléré.

(c) On doit avoir β <0 pour avoir un ralentissement de l’atome. C’est cohérent avec∆<0(Ouf !).

(d) Théorème de l’énergie cinétique : dEc

dt =βv² soit dEc

dt − 2β MRb

Ec = 0. Le temps caractéristique de décroissance de l’énergie cinétique est donc τ = M^Rb

2|β|. 2. (a) On a 1

2MRbv_q² = 3

2kBT0 d’où vq = 3kBT0

MRb

. AN : vq = 1,91m.s⁻¹.

(b) i. Il vientTmin = ~Γ kB

. AN :Tmin = 0,281mK. C’est vraiment très faible. Que dire de plus ? Pour obtenir des températures plus basses encore, il faut déployer d’autres techniques. Le record actuel est de l’ordre de 0,5nK.

ii. Après simplification, τ = MRbc²

4~ω₀² . AN : τ = 5,16µs. C’est un dispositif très efficace au sens où il est rapide.

(c) Il suffit de rajouter des dispositifs analogues selon les axes Ox et Oy. Cela fait en tout 6 lasers.

D’autre part, il faut qu’ils soient accordables pour adapter ∆ au fur et à mesure que les vitesses des atomes diminuent. Il s’agit d’engluer une population d’atomes dans un piège optique, d’où le terme de mélasse.