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CIP LaurentPoinsot Surleplongementducomplétéd’unespacenormédanssoncomplétépouruneautrenorme

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(1)

Sommaire de la présentation

Sur le plongement du complété d’un espace normé dans son complété pour une autre norme

Laurent Poinsot

LIPN UMR 7030 - Université Paris 13 - Institut Galilée

CIP

Laurent Poinsot Sur le plongement du complété

(2)

Sommaire de la présentation

Sommaire de la présentation

1 Présentation du problème

2 Quelques rappels utiles

3 La bonne hypothèse ?

4 Preuve

Laurent Poinsot Sur le plongement du complété

(3)

Sommaire de la présentation

Sommaire de la présentation

1 Présentation du problème

2 Quelques rappels utiles

3 La bonne hypothèse ?

4 Preuve

Laurent Poinsot Sur le plongement du complété

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Sommaire de la présentation

Sommaire de la présentation

1 Présentation du problème

2 Quelques rappels utiles

3 La bonne hypothèse ?

4 Preuve

Laurent Poinsot Sur le plongement du complété

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Sommaire de la présentation

Sommaire de la présentation

1 Présentation du problème

2 Quelques rappels utiles

3 La bonne hypothèse ?

4 Preuve

Laurent Poinsot Sur le plongement du complété

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Présentation du problème Quelques rappels utiles La bonne hypothèse ? Preuve

Présentation du problème

SoitEun espace vectoriel (complexe ou réel) normépour deux normesp,q. On noteEp,Eql’espaceEmuni de la norme adéquate.

On suppose queqestplus fortequep,i.e., quel que soitx∈E, p(x)≤q(x)(on note celap≤q). (C’est une hypothèse qui apparaît assez naturellement dans l’étude des espaces de Fréchet.) Soient bEp,bEqles espaces de Banach, complétés des espaces normésEp,Eq. L’application identitéipq:Eq→Epest continue (par l’hypothèse sur les normes). Elle s’étend donc, par uniforme continuité, aux Banach bipq:bEq→bEp. Contrairement àipq, l’applicationbipqn’est pas

nécessairement injective (ni même surjective). On se pose alors la question suivante :sous quelle conditionbEqse plonge-t-il

(continûment) dansEp?En d’autres termes,quelle propriété doit être satisfaite pour quebipqsoit injective ?

Laurent Poinsot Sur le plongement du complété

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Présentation du problème Quelques rappels utiles La bonne hypothèse ? Preuve

Présentation du problème

SoitEun espace vectoriel (complexe ou réel) normé pour deux normesp,q.On noteEp,Eql’espaceEmuni de la norme adéquate.

On suppose queqestplus fortequep,i.e., quel que soitx∈E, p(x)≤q(x)(on note celap≤q). (C’est une hypothèse qui apparaît assez naturellement dans l’étude des espaces de Fréchet.) Soient bEp,bEqles espaces de Banach, complétés des espaces normésEp,Eq. L’application identitéipq:Eq→Epest continue (par l’hypothèse sur les normes). Elle s’étend donc, par uniforme continuité, aux Banach bipq:bEq→bEp. Contrairement àipq, l’applicationbipqn’est pas

nécessairement injective (ni même surjective). On se pose alors la question suivante :sous quelle conditionbEqse plonge-t-il

(continûment) dansEp?En d’autres termes,quelle propriété doit être satisfaite pour quebipqsoit injective ?

Laurent Poinsot Sur le plongement du complété

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Présentation du problème Quelques rappels utiles La bonne hypothèse ? Preuve

Présentation du problème

SoitEun espace vectoriel (complexe ou réel) normé pour deux normesp,q. On noteEp,Eql’espaceEmuni de la norme adéquate.

On suppose queqestplus fortequep,i.e., quel que soitx∈E, p(x)≤q(x)(on note celap≤q).(C’est une hypothèse qui apparaît assez naturellement dans l’étude des espaces de Fréchet.) Soient bEp,bEqles espaces de Banach, complétés des espaces normésEp,Eq. L’application identitéipq:Eq→Epest continue (par l’hypothèse sur les normes). Elle s’étend donc, par uniforme continuité, aux Banach bipq:bEq→bEp. Contrairement àipq, l’applicationbipqn’est pas

nécessairement injective (ni même surjective). On se pose alors la question suivante :sous quelle conditionbEqse plonge-t-il

(continûment) dansEp?En d’autres termes,quelle propriété doit être satisfaite pour quebipqsoit injective ?

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Présentation du problème Quelques rappels utiles La bonne hypothèse ? Preuve

Présentation du problème

SoitEun espace vectoriel (complexe ou réel) normé pour deux normesp,q. On noteEp,Eql’espaceEmuni de la norme adéquate.

On suppose queqestplus fortequep,i.e., quel que soitx∈E, p(x)≤q(x)(on note celap≤q). (C’est une hypothèse qui apparaît assez naturellement dans l’étude des espaces de Fréchet.)Soient bEp,bEqles espaces de Banach, complétés des espaces normésEp,Eq. L’application identitéipq:Eq→Epest continue (par l’hypothèse sur les normes). Elle s’étend donc, par uniforme continuité, aux Banach bipq:bEq→bEp. Contrairement àipq, l’applicationbipqn’est pas

nécessairement injective (ni même surjective). On se pose alors la question suivante :sous quelle conditionbEqse plonge-t-il

(continûment) dansEp?En d’autres termes,quelle propriété doit être satisfaite pour quebipqsoit injective ?

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Présentation du problème Quelques rappels utiles La bonne hypothèse ? Preuve

Présentation du problème

SoitEun espace vectoriel (complexe ou réel) normé pour deux normesp,q. On noteEp,Eql’espaceEmuni de la norme adéquate.

On suppose queqestplus fortequep,i.e., quel que soitx∈E, p(x)≤q(x)(on note celap≤q).(C’est une hypothèse qui apparaît assez naturellement dans l’étude des espaces de Fréchet.) Soient bEp,bEqles espaces de Banach, complétés des espaces normésEp,Eq. L’application identitéipq:Eq→Epest continue (par l’hypothèse sur les normes). Elle s’étend donc, par uniforme continuité, aux Banach bipq:bEq→bEp. Contrairement àipq, l’applicationbipqn’est pas

nécessairement injective (ni même surjective). On se pose alors la question suivante :sous quelle conditionbEqse plonge-t-il

(continûment) dansEp?En d’autres termes,quelle propriété doit être satisfaite pour quebipqsoit injective ?

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Présentation du problème Quelques rappels utiles La bonne hypothèse ? Preuve

Présentation du problème

SoitEun espace vectoriel (complexe ou réel) normé pour deux normesp,q. On noteEp,Eql’espaceEmuni de la norme adéquate.

On suppose queqestplus fortequep,i.e., quel que soitx∈E, p(x)≤q(x)(on note celap≤q). (C’est une hypothèse qui apparaît assez naturellement dans l’étude des espaces de Fréchet.)Soient bEp,bEqles espaces de Banach, complétés des espaces normésEp,Eq. L’application identitéipq:Eq→Epest continue (par l’hypothèse sur les normes).Elle s’étend donc, par uniforme continuité, aux Banach bipq:bEq→bEp. Contrairement àipq, l’applicationbipqn’est pas

nécessairement injective (ni même surjective). On se pose alors la question suivante :sous quelle conditionbEqse plonge-t-il

(continûment) dansEp?En d’autres termes,quelle propriété doit être satisfaite pour quebipqsoit injective ?

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Présentation du problème Quelques rappels utiles La bonne hypothèse ? Preuve

Présentation du problème

SoitEun espace vectoriel (complexe ou réel) normé pour deux normesp,q. On noteEp,Eql’espaceEmuni de la norme adéquate.

On suppose queqestplus fortequep,i.e., quel que soitx∈E, p(x)≤q(x)(on note celap≤q). (C’est une hypothèse qui apparaît assez naturellement dans l’étude des espaces de Fréchet.) Soient bEp,bEqles espaces de Banach, complétés des espaces normésEp,Eq. L’application identitéipq:Eq→Epest continue (par l’hypothèse sur les normes). Elle s’étend donc, par uniforme continuité, aux Banach bipq:bEq→bEp.Contrairement àipq, l’applicationbipqn’est pas

nécessairement injective (ni même surjective). On se pose alors la question suivante :sous quelle conditionbEqse plonge-t-il

(continûment) dansEp?En d’autres termes,quelle propriété doit être satisfaite pour quebipqsoit injective ?

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Présentation du problème Quelques rappels utiles La bonne hypothèse ? Preuve

Présentation du problème

SoitEun espace vectoriel (complexe ou réel) normé pour deux normesp,q. On noteEp,Eql’espaceEmuni de la norme adéquate.

On suppose queqestplus fortequep,i.e., quel que soitx∈E, p(x)≤q(x)(on note celap≤q). (C’est une hypothèse qui apparaît assez naturellement dans l’étude des espaces de Fréchet.) Soient bEp,bEqles espaces de Banach, complétés des espaces normésEp,Eq. L’application identitéipq:Eq→Epest continue (par l’hypothèse sur les normes).Elle s’étend donc, par uniforme continuité, aux Banach bipq:bEq→bEp. Contrairement àipq, l’applicationbipqn’est pas

nécessairement injective (ni même surjective).On se pose alors la question suivante :sous quelle conditionbEqse plonge-t-il

(continûment) dansEp?En d’autres termes,quelle propriété doit être satisfaite pour quebipqsoit injective ?

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Présentation du problème Quelques rappels utiles La bonne hypothèse ? Preuve

Présentation du problème

SoitEun espace vectoriel (complexe ou réel) normé pour deux normesp,q. On noteEp,Eql’espaceEmuni de la norme adéquate.

On suppose queqestplus fortequep,i.e., quel que soitx∈E, p(x)≤q(x)(on note celap≤q). (C’est une hypothèse qui apparaît assez naturellement dans l’étude des espaces de Fréchet.) Soient bEp,bEqles espaces de Banach, complétés des espaces normésEp,Eq. L’application identitéipq:Eq→Epest continue (par l’hypothèse sur les normes). Elle s’étend donc, par uniforme continuité, aux Banach bipq:bEq→bEp.Contrairement àipq, l’applicationbipqn’est pas

nécessairement injective (ni même surjective). On se pose alors la question suivante :sous quelle conditionbEqse plonge-t-il

(continûment) dansEp?En d’autres termes,quelle propriété doit être satisfaite pour quebipqsoit injective ?

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Présentation du problème Quelques rappels utiles La bonne hypothèse ? Preuve

Présentation du problème

SoitEun espace vectoriel (complexe ou réel) normé pour deux normesp,q. On noteEp,Eql’espaceEmuni de la norme adéquate.

On suppose queqestplus fortequep,i.e., quel que soitx∈E, p(x)≤q(x)(on note celap≤q). (C’est une hypothèse qui apparaît assez naturellement dans l’étude des espaces de Fréchet.) Soient bEp,bEqles espaces de Banach, complétés des espaces normésEp,Eq. L’application identitéipq:Eq→Epest continue (par l’hypothèse sur les normes). Elle s’étend donc, par uniforme continuité, aux Banach bipq:bEq→bEp. Contrairement àipq, l’applicationbipqn’est pas

nécessairement injective (ni même surjective).On se pose alors la question suivante :sous quelle conditionbEqse plonge-t-il

(continûment) dansEp?En d’autres termes,quelle propriété doit être satisfaite pour quebipqsoit injective ?

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Présentation du problème Quelques rappels utiles La bonne hypothèse ? Preuve

Présentation du problème

SoitEun espace vectoriel (complexe ou réel) normé pour deux normesp,q. On noteEp,Eql’espaceEmuni de la norme adéquate.

On suppose queqestplus fortequep,i.e., quel que soitx∈E, p(x)≤q(x)(on note celap≤q). (C’est une hypothèse qui apparaît assez naturellement dans l’étude des espaces de Fréchet.) Soient bEp,bEqles espaces de Banach, complétés des espaces normésEp,Eq. L’application identitéipq:Eq→Epest continue (par l’hypothèse sur les normes). Elle s’étend donc, par uniforme continuité, aux Banach bipq:bEq→bEp. Contrairement àipq, l’applicationbipqn’est pas

nécessairement injective (ni même surjective). On se pose alors la question suivante :sous quelle conditionbEqse plonge-t-il

(continûment) dansEp?En d’autres termes,quelle propriété doit être satisfaite pour quebipqsoit injective ?

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Présentation du problème Quelques rappels utiles La bonne hypothèse ? Preuve

Présentation du problème

SoitEun espace vectoriel (complexe ou réel) normé pour deux normesp,q. On noteEp,Eql’espaceEmuni de la norme adéquate.

On suppose queqestplus fortequep,i.e., quel que soitx∈E, p(x)≤q(x)(on note celap≤q). (C’est une hypothèse qui apparaît assez naturellement dans l’étude des espaces de Fréchet.) Soient bEp,bEqles espaces de Banach, complétés des espaces normésEp,Eq. L’application identitéipq:Eq→Epest continue (par l’hypothèse sur les normes). Elle s’étend donc, par uniforme continuité, aux Banach bipq:bEq→bEp. Contrairement àipq, l’applicationbipqn’est pas

nécessairement injective (ni même surjective). On se pose alors la question suivante :sous quelle conditionbEqse plonge-t-il

(continûment) dansEp?En d’autres termes,quelle propriété doit être satisfaite pour quebipqsoit injective ?

Laurent Poinsot Sur le plongement du complété

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Présentation du problème Quelques rappels utiles La bonne hypothèse ? Preuve

Présentation du problème

SoitEun espace vectoriel (complexe ou réel) normé pour deux normesp,q. On noteEp,Eql’espaceEmuni de la norme adéquate.

On suppose queqestplus fortequep,i.e., quel que soitx∈E, p(x)≤q(x)(on note celap≤q). (C’est une hypothèse qui apparaît assez naturellement dans l’étude des espaces de Fréchet.) Soient bEp,bEqles espaces de Banach, complétés des espaces normésEp,Eq. L’application identitéipq:Eq→Epest continue (par l’hypothèse sur les normes). Elle s’étend donc, par uniforme continuité, aux Banach bipq:bEq→bEp. Contrairement àipq, l’applicationbipqn’est pas

nécessairement injective (ni même surjective). On se pose alors la question suivante :sous quelle conditionbEqse plonge-t-il

(continûment) dansEp?En d’autres termes,quelle propriété doit être satisfaite pour quebipqsoit injective ?

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(19)

Présentation du problème Quelques rappels utiles La bonne hypothèse ? Preuve

Évacuons immédiatement la situation (triviale) suivante.Supposons queEsoit un espace de Banach pour les deux normesp,qtelles que p≤q. Alors le théorème de l’application ouverte, appliqué à l’application identique deE, implique que les deux normes sont équivalentes,c’est-à-dire que l’on peut trouver un réelC>0 tel que quel que soitx∈E,Cq(x)≤p(x)≤q(x). Par conséquent le

problème précédent n’est intéressant que siEn’est complet pas pour les deux normes simultanément.

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Présentation du problème Quelques rappels utiles La bonne hypothèse ? Preuve

Évacuons immédiatement la situation (triviale) suivante. Supposons queEsoit un espace de Banach pour les deux normesp,qtelles que p≤q.Alors le théorème de l’application ouverte, appliqué à l’application identique deE, implique que les deux normes sont équivalentes, c’est-à-dire que l’on peut trouver un réelC>0 tel que quel que soitx∈E,Cq(x)≤p(x)≤q(x).Par conséquent le

problème précédent n’est intéressant que siEn’est complet pas pour les deux normes simultanément.

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Présentation du problème Quelques rappels utiles La bonne hypothèse ? Preuve

Évacuons immédiatement la situation (triviale) suivante. Supposons queEsoit un espace de Banach pour les deux normesp,qtelles que p≤q. Alors le théorème de l’application ouverte, appliqué à l’application identique deE, implique que les deux normes sont équivalentes,c’est-à-dire que l’on peut trouver un réelC>0 tel que quel que soitx∈E,Cq(x)≤p(x)≤q(x). Par conséquent le

problème précédent n’est intéressant que siEn’est complet pas pour les deux normes simultanément.

Laurent Poinsot Sur le plongement du complété

(22)

Présentation du problème Quelques rappels utiles La bonne hypothèse ? Preuve

Évacuons immédiatement la situation (triviale) suivante. Supposons queEsoit un espace de Banach pour les deux normesp,qtelles que p≤q. Alors le théorème de l’application ouverte, appliqué à l’application identique deE, implique que les deux normes sont équivalentes, c’est-à-dire que l’on peut trouver un réelC>0 tel que quel que soitx∈E,Cq(x)≤p(x)≤q(x).Par conséquent le

problème précédent n’est intéressant que siEn’est complet pas pour les deux normes simultanément.

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Présentation du problème Quelques rappels utiles La bonne hypothèse ? Preuve

Évacuons immédiatement la situation (triviale) suivante. Supposons queEsoit un espace de Banach pour les deux normesp,qtelles que p≤q. Alors le théorème de l’application ouverte, appliqué à l’application identique deE, implique que les deux normes sont équivalentes, c’est-à-dire que l’on peut trouver un réelC>0 tel que quel que soitx∈E,Cq(x)≤p(x)≤q(x). Par conséquent le

problème précédent n’est intéressant que siEn’est complet pas pour les deux normes simultanément.

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Présentation du problème Quelques rappels utiles La bonne hypothèse ? Preuve

Exemples

1 SoitP l’espace des fonctions (d’une variable réelle) polynomiales complexes,avec les normes

p(P) =supx∈[0,1]|P(x)|et

q(P) =supx∈[0,1]max{|P(x)|,|P0(x)|}. Le théorème de

Stone-Weiertraß implique que le complété dePpestC0([0,1]), alors que celui dePqestC1([0,1]). Dans ce cas, l’applicationbipq

est l’inclusion canonique ;

2 Siq(P) =supx∈[0,2]|P(x)|, alorsPbqestC0([0,2]), etbipqest surjective (c’est la restriction) mais non injective ;

3 Siq(P) =supx∈[0,2]max{|P(x)|,|P0(x)|}, alorsPbq=C1([0,2]), etbipq(encore la restriction) n’est ni injective ni surjective.

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Présentation du problème Quelques rappels utiles La bonne hypothèse ? Preuve

Exemples

1 SoitP l’espace des fonctions (d’une variable réelle) polynomiales complexes, avec les normes

p(P) =supx∈[0,1]|P(x)|et

q(P) =supx∈[0,1]max{|P(x)|,|P0(x)|}.Le théorème de

Stone-Weiertraß implique que le complété dePpestC0([0,1]), alors que celui dePqestC1([0,1]).Dans ce cas, l’applicationbipq

est l’inclusion canonique ;

2 Siq(P) =supx∈[0,2]|P(x)|, alorsPbqestC0([0,2]), etbipqest surjective (c’est la restriction) mais non injective ;

3 Siq(P) =supx∈[0,2]max{|P(x)|,|P0(x)|}, alorsPbq=C1([0,2]), etbipq(encore la restriction) n’est ni injective ni surjective.

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Présentation du problème Quelques rappels utiles La bonne hypothèse ? Preuve

Exemples

1 SoitP l’espace des fonctions (d’une variable réelle) polynomiales complexes, avec les normes

p(P) =supx∈[0,1]|P(x)|et

q(P) =supx∈[0,1]max{|P(x)|,|P0(x)|}. Le théorème de

Stone-Weiertraß implique que le complété dePpestC0([0,1]), alors que celui dePqestC1([0,1]). Dans ce cas, l’applicationbipq

est l’inclusion canonique ;

2 Siq(P) =supx∈[0,2]|P(x)|, alorsPbqestC0([0,2]), etbipqest surjective (c’est la restriction) mais non injective ;

3 Siq(P) =supx∈[0,2]max{|P(x)|,|P0(x)|}, alorsPbq=C1([0,2]), etbipq(encore la restriction) n’est ni injective ni surjective.

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Présentation du problème Quelques rappels utiles La bonne hypothèse ? Preuve

Exemples

1 SoitP l’espace des fonctions (d’une variable réelle) polynomiales complexes, avec les normes

p(P) =supx∈[0,1]|P(x)|et

q(P) =supx∈[0,1]max{|P(x)|,|P0(x)|}. Le théorème de

Stone-Weiertraß implique que le complété dePpestC0([0,1]), alors que celui dePqestC1([0,1]).Dans ce cas, l’applicationbipq

est l’inclusion canonique ;

2 Siq(P) =supx∈[0,2]|P(x)|,alorsPbqestC0([0,2]), etbipqest surjective (c’est la restriction) mais non injective ;

3 Siq(P) =supx∈[0,2]max{|P(x)|,|P0(x)|}, alorsPbq=C1([0,2]), etbipq(encore la restriction) n’est ni injective ni surjective.

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Présentation du problème Quelques rappels utiles La bonne hypothèse ? Preuve

Exemples

1 SoitP l’espace des fonctions (d’une variable réelle) polynomiales complexes, avec les normes

p(P) =supx∈[0,1]|P(x)|et

q(P) =supx∈[0,1]max{|P(x)|,|P0(x)|}. Le théorème de

Stone-Weiertraß implique que le complété dePpestC0([0,1]), alors que celui dePqestC1([0,1]). Dans ce cas, l’applicationbipq

est l’inclusion canonique ;

2 Siq(P) =supx∈[0,2]|P(x)|, alorsPbqestC0([0,2]),etbipqest surjective (c’est la restriction) mais non injective ;

3 Siq(P) =supx∈[0,2]max{|P(x)|,|P0(x)|}, alorsPbq=C1([0,2]), etbipq(encore la restriction) n’est ni injective ni surjective.

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Présentation du problème Quelques rappels utiles La bonne hypothèse ? Preuve

Exemples

1 SoitP l’espace des fonctions (d’une variable réelle) polynomiales complexes, avec les normes

p(P) =supx∈[0,1]|P(x)|et

q(P) =supx∈[0,1]max{|P(x)|,|P0(x)|}. Le théorème de

Stone-Weiertraß implique que le complété dePpestC0([0,1]), alors que celui dePqestC1([0,1]). Dans ce cas, l’applicationbipq

est l’inclusion canonique ;

2 Siq(P) =supx∈[0,2]|P(x)|,alorsPbqestC0([0,2]), etbipqest surjective (c’est la restriction) mais non injective ;

3 Siq(P) =supx∈[0,2]max{|P(x)|,|P0(x)|}, alorsPbq=C1([0,2]), etbipq(encore la restriction) n’est ni injective ni surjective.

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Présentation du problème Quelques rappels utiles La bonne hypothèse ? Preuve

Exemples

1 SoitP l’espace des fonctions (d’une variable réelle) polynomiales complexes, avec les normes

p(P) =supx∈[0,1]|P(x)|et

q(P) =supx∈[0,1]max{|P(x)|,|P0(x)|}. Le théorème de

Stone-Weiertraß implique que le complété dePpestC0([0,1]), alors que celui dePqestC1([0,1]). Dans ce cas, l’applicationbipq

est l’inclusion canonique ;

2 Siq(P) =supx∈[0,2]|P(x)|, alorsPbqestC0([0,2]),etbipqest surjective (c’est la restriction) mais non injective ;

3 Siq(P) =supx∈[0,2]max{|P(x)|,|P0(x)|},alorsPbq=C1([0,2]), etbipq(encore la restriction) n’est ni injective ni surjective.

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Présentation du problème Quelques rappels utiles La bonne hypothèse ? Preuve

Exemples

1 SoitP l’espace des fonctions (d’une variable réelle) polynomiales complexes, avec les normes

p(P) =supx∈[0,1]|P(x)|et

q(P) =supx∈[0,1]max{|P(x)|,|P0(x)|}. Le théorème de

Stone-Weiertraß implique que le complété dePpestC0([0,1]), alors que celui dePqestC1([0,1]). Dans ce cas, l’applicationbipq

est l’inclusion canonique ;

2 Siq(P) =supx∈[0,2]|P(x)|, alorsPbqestC0([0,2]), etbipqest surjective (c’est la restriction) mais non injective ;

3 Siq(P) =supx∈[0,2]max{|P(x)|,|P0(x)|}, alorsPbq=C1([0,2]), etbipq(encore la restriction) n’est ni injective ni surjective.

Laurent Poinsot Sur le plongement du complété

(32)

Présentation du problème Quelques rappels utiles La bonne hypothèse ? Preuve

Exemples

1 SoitP l’espace des fonctions (d’une variable réelle) polynomiales complexes, avec les normes

p(P) =supx∈[0,1]|P(x)|et

q(P) =supx∈[0,1]max{|P(x)|,|P0(x)|}. Le théorème de

Stone-Weiertraß implique que le complété dePpestC0([0,1]), alors que celui dePqestC1([0,1]). Dans ce cas, l’applicationbipq

est l’inclusion canonique ;

2 Siq(P) =supx∈[0,2]|P(x)|, alorsPbqestC0([0,2]), etbipqest surjective (c’est la restriction) mais non injective ;

3 Siq(P) =supx∈[0,2]max{|P(x)|,|P0(x)|},alorsPbq=C1([0,2]), etbipq(encore la restriction) n’est ni injective ni surjective.

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(33)

Présentation du problème Quelques rappels utiles La bonne hypothèse ? Preuve

Exemples

1 SoitP l’espace des fonctions (d’une variable réelle) polynomiales complexes, avec les normes

p(P) =supx∈[0,1]|P(x)|et

q(P) =supx∈[0,1]max{|P(x)|,|P0(x)|}. Le théorème de

Stone-Weiertraß implique que le complété dePpestC0([0,1]), alors que celui dePqestC1([0,1]). Dans ce cas, l’applicationbipq

est l’inclusion canonique ;

2 Siq(P) =supx∈[0,2]|P(x)|, alorsPbqestC0([0,2]), etbipqest surjective (c’est la restriction) mais non injective ;

3 Siq(P) =supx∈[0,2]max{|P(x)|,|P0(x)|}, alorsPbq=C1([0,2]), etbipq(encore la restriction) n’est ni injective ni surjective.

Laurent Poinsot Sur le plongement du complété

(34)

Présentation du problème Quelques rappels utiles La bonne hypothèse ? Preuve

Exemples

1 SoitP l’espace des fonctions (d’une variable réelle) polynomiales complexes, avec les normes

p(P) =supx∈[0,1]|P(x)|et

q(P) =supx∈[0,1]max{|P(x)|,|P0(x)|}. Le théorème de

Stone-Weiertraß implique que le complété dePpestC0([0,1]), alors que celui dePqestC1([0,1]). Dans ce cas, l’applicationbipq

est l’inclusion canonique ;

2 Siq(P) =supx∈[0,2]|P(x)|, alorsPbqestC0([0,2]), etbipqest surjective (c’est la restriction) mais non injective ;

3 Siq(P) =supx∈[0,2]max{|P(x)|,|P0(x)|}, alorsPbq=C1([0,2]), etbipq(encore la restriction) n’est ni injective ni surjective.

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(35)

Présentation du problème Quelques rappels utiles La bonne hypothèse ? Preuve

Rappels : les suites de Cauchy

SoitEp= (E,p)un espace normé.Une suite(xn)n∈Nd’éléments deE est unesuite de Cauchysi, et seulement si, quel que soit >0, il existe un entierNtel que quel que soientm,n≥N,p(xm−xn)< . On noteCp(E)l’ensemble des suites de Cauchy de l’espace normé (E,p). Un espace normé estcompletdès que toutes ses suites de Cauchy sont convergentes (exemples :R,C, et contre-exemple :Q).

Un espace normé complet est appeléespace de Banach.

Laurent Poinsot Sur le plongement du complété

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Rappels : les suites de Cauchy

SoitEp= (E,p)un espace normé. Une suite(xn)n∈Nd’éléments deE est unesuite de Cauchysi, et seulement si, quel que soit >0, il existe un entierNtel que quel que soientm,n≥N,p(xm−xn)< . On noteCp(E)l’ensemble des suites de Cauchy de l’espace normé (E,p).Un espace normé estcompletdès que toutes ses suites de Cauchy sont convergentes (exemples :R,C, et contre-exemple :Q).

Un espace normé complet est appeléespace de Banach.

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Rappels : les suites de Cauchy

SoitEp= (E,p)un espace normé. Une suite(xn)n∈Nd’éléments deE est unesuite de Cauchysi, et seulement si, quel que soit >0, il existe un entierNtel que quel que soientm,n≥N,p(xm−xn)< . On noteCp(E)l’ensemble des suites de Cauchy de l’espace normé (E,p). Un espace normé estcompletdès que toutes ses suites de Cauchy sont convergentes (exemples :R,C, et contre-exemple :Q).

Un espace normé complet est appeléespace de Banach.

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Rappels : les suites de Cauchy

SoitEp= (E,p)un espace normé. Une suite(xn)n∈Nd’éléments deE est unesuite de Cauchysi, et seulement si, quel que soit >0, il existe un entierNtel que quel que soientm,n≥N,p(xm−xn)< . On noteCp(E)l’ensemble des suites de Cauchy de l’espace normé (E,p).Un espace normé estcompletdès que toutes ses suites de Cauchy sont convergentes (exemples :R,C, et contre-exemple :Q).

Un espace normé complet est appeléespace de Banach.

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Rappels : les suites de Cauchy

SoitEp= (E,p)un espace normé. Une suite(xn)n∈Nd’éléments deE est unesuite de Cauchysi, et seulement si, quel que soit >0, il existe un entierNtel que quel que soientm,n≥N,p(xm−xn)< . On noteCp(E)l’ensemble des suites de Cauchy de l’espace normé (E,p). Un espace normé estcompletdès que toutes ses suites de Cauchy sont convergentes (exemples :R,C, et contre-exemple :Q).

Un espace normé complet est appeléespace de Banach.

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Rappels : les suites de Cauchy

SoitEp= (E,p)un espace normé. Une suite(xn)n∈Nd’éléments deE est unesuite de Cauchysi, et seulement si, quel que soit >0, il existe un entierNtel que quel que soientm,n≥N,p(xm−xn)< . On noteCp(E)l’ensemble des suites de Cauchy de l’espace normé (E,p). Un espace normé estcompletdès que toutes ses suites de Cauchy sont convergentes (exemples :R,C, et contre-exemple :Q).

Un espace normé complet est appeléespace de Banach.

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Rappels : complétion d’un espace normé (1/3)

SoitEpun espace normé.L’ensembleCp(E)de ses suites de Cauchy est également un espace vectoriel. On peut le munir de la semi-norme p0((xn)n) =limp(xn)(la suite(p(x))n∈Nest convergence puisque de Cauchy dansRcomplet). Le noyau kerp0de cette semi-norme est l’espaceCp,0(E)des suites de Cauchy nulles à l’infini. L’espace vectoriel quotientCp(E)/Cp,0(E), notéEbp, est un espace de Banach appelécomplétédeEpdont la norme estbp(x) =p0((xn)n)pour chaque suite de Cauchy(xn)nappartenant à la classe d’équivalence (moduloCp,0(E))x.

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Rappels : complétion d’un espace normé (1/3)

SoitEpun espace normé. L’ensembleCp(E)de ses suites de Cauchy est également un espace vectoriel.On peut le munir de la semi-norme p0((xn)n) =limp(xn)(la suite(p(x))n∈Nest convergence puisque de Cauchy dansRcomplet).Le noyau kerp0de cette semi-norme est l’espaceCp,0(E)des suites de Cauchy nulles à l’infini. L’espace vectoriel quotientCp(E)/Cp,0(E), notéEbp, est un espace de Banach appelécomplétédeEpdont la norme estbp(x) =p0((xn)n)pour chaque suite de Cauchy(xn)nappartenant à la classe d’équivalence (moduloCp,0(E))x.

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Rappels : complétion d’un espace normé (1/3)

SoitEpun espace normé. L’ensembleCp(E)de ses suites de Cauchy est également un espace vectoriel. On peut le munir de la semi-norme p0((xn)n) =limp(xn)(la suite(p(x))n∈Nest convergence puisque de Cauchy dansRcomplet). Le noyau kerp0de cette semi-norme est l’espaceCp,0(E)des suites de Cauchy nulles à l’infini.L’espace vectoriel quotientCp(E)/Cp,0(E), notéEbp, est un espace de Banach appelécomplétédeEpdont la norme estbp(x) =p0((xn)n)pour chaque suite de Cauchy(xn)nappartenant à la classe d’équivalence (moduloCp,0(E))x.

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Rappels : complétion d’un espace normé (1/3)

SoitEpun espace normé. L’ensembleCp(E)de ses suites de Cauchy est également un espace vectoriel. On peut le munir de la semi-norme p0((xn)n) =limp(xn)(la suite(p(x))n∈Nest convergence puisque de Cauchy dansRcomplet).Le noyau kerp0de cette semi-norme est l’espaceCp,0(E)des suites de Cauchy nulles à l’infini. L’espace vectoriel quotientCp(E)/Cp,0(E), notéEbp, est un espace de Banach appelécomplétédeEpdont la norme estbp(x) =p0((xn)n)pour chaque suite de Cauchy(xn)nappartenant à la classe d’équivalence (moduloCp,0(E))x.

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Rappels : complétion d’un espace normé (1/3)

SoitEpun espace normé. L’ensembleCp(E)de ses suites de Cauchy est également un espace vectoriel. On peut le munir de la semi-norme p0((xn)n) =limp(xn)(la suite(p(x))n∈Nest convergence puisque de Cauchy dansRcomplet). Le noyau kerp0de cette semi-norme est l’espaceCp,0(E)des suites de Cauchy nulles à l’infini.L’espace vectoriel quotientCp(E)/Cp,0(E), notéEbp, est un espace de Banach appelécomplétédeEpdont la norme estbp(x) =p0((xn)n)pour chaque suite de Cauchy(xn)nappartenant à la classe d’équivalence (moduloCp,0(E))x.

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Rappels : complétion d’un espace normé (1/3)

SoitEpun espace normé. L’ensembleCp(E)de ses suites de Cauchy est également un espace vectoriel. On peut le munir de la semi-norme p0((xn)n) =limp(xn)(la suite(p(x))n∈Nest convergence puisque de Cauchy dansRcomplet). Le noyau kerp0de cette semi-norme est l’espaceCp,0(E)des suites de Cauchy nulles à l’infini. L’espace vectoriel quotientCp(E)/Cp,0(E), notéEbp, est un espace de Banach appelécomplétédeEpdont la norme estbp(x) =p0((xn)n)pour chaque suite de Cauchy(xn)nappartenant à la classe d’équivalence (moduloCp,0(E))x.

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Rappels : complétion d’un espace normé (1/3)

SoitEpun espace normé. L’ensembleCp(E)de ses suites de Cauchy est également un espace vectoriel. On peut le munir de la semi-norme p0((xn)n) =limp(xn)(la suite(p(x))n∈Nest convergence puisque de Cauchy dansRcomplet). Le noyau kerp0de cette semi-norme est l’espaceCp,0(E)des suites de Cauchy nulles à l’infini. L’espace vectoriel quotientCp(E)/Cp,0(E), notéEbp, est un espace de Banach appelécomplétédeEpdont la norme estbp(x) =p0((xn)n)pour chaque suite de Cauchy(xn)nappartenant à la classe d’équivalence (moduloCp,0(E))x.

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Rappels : complétion d’un espace normé (1/3)

SoitEpun espace normé. L’ensembleCp(E)de ses suites de Cauchy est également un espace vectoriel. On peut le munir de la semi-norme p0((xn)n) =limp(xn)(la suite(p(x))n∈Nest convergence puisque de Cauchy dansRcomplet). Le noyau kerp0de cette semi-norme est l’espaceCp,0(E)des suites de Cauchy nulles à l’infini. L’espace vectoriel quotientCp(E)/Cp,0(E), notéEbp, est un espace de Banach appelécomplétédeEpdont la norme estbp(x) =p0((xn)n)pour chaque suite de Cauchy(xn)nappartenant à la classe d’équivalence (moduloCp,0(E))x.

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Rappels : complétion d’un espace normé (2/3)

Notonsjp:Ep,→ Cp(E)telle quejp(x)est la suite de Cauchy

“constante”,i.e., la suitexn=xquel que soitn.Soitsp:Cp(E)→Ebp l’épimorpisme canonique. On définitip=sp◦jp:Ep,→Ebp.L’image deEpparipest dense dansEbp,i.e., tout élément debEpest limite d’une suite d’éléments deip(Ep).

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Rappels : complétion d’un espace normé (2/3)

Notonsjp:Ep,→ Cp(E)telle quejp(x)est la suite de Cauchy

“constante”,i.e., la suitexn=xquel que soitn. Soitsp:Cp(E)→Ebp l’épimorpisme canonique.On définitip=sp◦jp:Ep,→Ebp. L’image deEpparipest dense dansEbp,i.e., tout élément debEpest limite d’une suite d’éléments deip(Ep).

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Rappels : complétion d’un espace normé (2/3)

Notonsjp:Ep,→ Cp(E)telle quejp(x)est la suite de Cauchy

“constante”,i.e., la suitexn=xquel que soitn. Soitsp:Cp(E)→Ebp l’épimorpisme canonique. On définitip=sp◦jp:Ep,→Ebp.L’image deEpparipest dense dansEbp,i.e., tout élément debEpest limite d’une suite d’éléments deip(Ep).

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Rappels : complétion d’un espace normé (2/3)

Notonsjp:Ep,→ Cp(E)telle quejp(x)est la suite de Cauchy

“constante”,i.e., la suitexn=xquel que soitn. Soitsp:Cp(E)→Ebp l’épimorpisme canonique. On définitip=sp◦jp:Ep,→Ebp. L’image deEpparipest dense dansEbp,i.e., tout élément debEpest limite d’une suite d’éléments deip(Ep).

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Rappels : complétion d’un espace normé (2/3)

Notonsjp:Ep,→ Cp(E)telle quejp(x)est la suite de Cauchy

“constante”,i.e., la suitexn=xquel que soitn. Soitsp:Cp(E)→Ebp l’épimorpisme canonique. On définitip=sp◦jp:Ep,→Ebp. L’image deEpparipest dense dansEbp,i.e., tout élément debEpest limite d’une suite d’éléments deip(Ep).

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Rappels : complétion d’un espace normé (2/3)

Le couple(bEp,ip)est solution du problème universel suivant :soient Fun espace de Banach, etf:Ep→Fune application linéaire et continue, il existe une et une seule application linéaire et continue bf:Ebp →Ftelle quebf ◦ip=f.Soit(B,i)une autre solution du même

problème universel, alors il existe une unique isométrie linéaire et bijectiveφ:Ebp→Btelle queφ◦ip=i. Le complété deEpest donc unique à isomorphisme près.

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Rappels : complétion d’un espace normé (2/3)

Le couple(bEp,ip)est solution du problème universel suivant : soient Fun espace de Banach, etf:Ep→Fune application linéaire et continue,il existe une et une seule application linéaire et continue bf:Ebp →Ftelle quebf ◦ip=f. Soit(B,i)une autre solution du même

problème universel,alors il existe une unique isométrie linéaire et bijectiveφ:Ebp→Btelle queφ◦ip=i. Le complété deEpest donc unique à isomorphisme près.

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Rappels : complétion d’un espace normé (2/3)

Le couple(bEp,ip)est solution du problème universel suivant : soient Fun espace de Banach, etf:Ep→Fune application linéaire et continue, il existe une et une seule application linéaire et continue bf:Ebp →Ftelle quebf ◦ip=f.Soit(B,i)une autre solution du même

problème universel, alors il existe une unique isométrie linéaire et bijectiveφ:Ebp→Btelle queφ◦ip=i. Le complété deEpest donc unique à isomorphisme près.

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Rappels : complétion d’un espace normé (2/3)

Le couple(bEp,ip)est solution du problème universel suivant : soient Fun espace de Banach, etf:Ep→Fune application linéaire et continue, il existe une et une seule application linéaire et continue bf:Ebp →Ftelle quebf ◦ip=f. Soit(B,i)une autre solution du même

problème universel,alors il existe une unique isométrie linéaire et bijectiveφ:Ebp→Btelle queφ◦ip=i.Le complété deEpest donc unique à isomorphisme près.

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Présentation du problème Quelques rappels utiles La bonne hypothèse ? Preuve

Rappels : complétion d’un espace normé (2/3)

Le couple(bEp,ip)est solution du problème universel suivant : soient Fun espace de Banach, etf:Ep→Fune application linéaire et continue, il existe une et une seule application linéaire et continue bf:Ebp →Ftelle quebf ◦ip=f. Soit(B,i)une autre solution du même

problème universel, alors il existe une unique isométrie linéaire et bijectiveφ:Ebp→Btelle queφ◦ip=i. Le complété deEpest donc unique à isomorphisme près.

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Présentation du problème Quelques rappels utiles La bonne hypothèse ? Preuve

Rappels : complétion d’un espace normé (2/3)

Le couple(bEp,ip)est solution du problème universel suivant : soient Fun espace de Banach, etf:Ep→Fune application linéaire et continue, il existe une et une seule application linéaire et continue bf:Ebp →Ftelle quebf ◦ip=f. Soit(B,i)une autre solution du même

problème universel, alors il existe une unique isométrie linéaire et bijectiveφ:Ebp→Btelle queφ◦ip=i.Le complété deEpest donc unique à isomorphisme près.

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Présentation du problème Quelques rappels utiles La bonne hypothèse ? Preuve

Rappels : complétion d’un espace normé (2/3)

Le couple(bEp,ip)est solution du problème universel suivant : soient Fun espace de Banach, etf:Ep→Fune application linéaire et continue, il existe une et une seule application linéaire et continue bf:Ebp →Ftelle quebf ◦ip=f. Soit(B,i)une autre solution du même

problème universel, alors il existe une unique isométrie linéaire et bijectiveφ:Ebp→Btelle queφ◦ip=i. Le complété deEpest donc unique à isomorphisme près.

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(61)

Présentation du problème Quelques rappels utiles La bonne hypothèse ? Preuve

Une conséquence de p ≤ q

SoitEun espace normé parpetq,lesquelles satisfontp≤q. Il s’ensuit queCq(E)⊆ Cp(E).On notei0pq:Cq(E),→ Cp(E)l’injection naturelle.

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Présentation du problème Quelques rappels utiles La bonne hypothèse ? Preuve

Une conséquence de p ≤ q

SoitEun espace normé parpetq, lesquelles satisfontp≤q.Il s’ensuit queCq(E)⊆ Cp(E). On notei0pq:Cq(E),→ Cp(E)l’injection naturelle.

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(63)

Présentation du problème Quelques rappels utiles La bonne hypothèse ? Preuve

Une conséquence de p ≤ q

SoitEun espace normé parpetq, lesquelles satisfontp≤q. Il s’ensuit queCq(E)⊆ Cp(E).On notei0pq:Cq(E),→ Cp(E)l’injection naturelle.

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Présentation du problème Quelques rappels utiles La bonne hypothèse ? Preuve

Une conséquence de p ≤ q

SoitEun espace normé parpetq, lesquelles satisfontp≤q. Il s’ensuit queCq(E)⊆ Cp(E). On notei0pq:Cq(E),→ Cp(E)l’injection naturelle.

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(65)

Présentation du problème Quelques rappels utiles La bonne hypothèse ? Preuve

En fait on montre queEbqest inclus dansbEp.Soit en effetx∈Ebq. Alors par densité deiq(Eq)dansbEqil existe une suite(xn)n

d’éléments deEqtelle que limn→∞iq(xn) =x. Il s’ensuit que(xn)nest une suite de Cauchy dansEq(puisque toute suite de Cauchy est convergente).Commep≤qimplique queCq(E)⊆ Cp(E), il en résulte que(xn)nest de Cauchy dansEp, et comme(xn)nconverge versxdansEq, il en est de même dansEp, de sorte quex∈Ebp.

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Présentation du problème Quelques rappels utiles La bonne hypothèse ? Preuve

En fait on montre queEbqest inclus dansbEp. Soit en effetx∈Ebq. Alors par densité deiq(Eq)dansbEqil existe une suite(xn)n

d’éléments deEqtelle que limn→∞iq(xn) =x.Il s’ensuit que(xn)nest une suite de Cauchy dansEq(puisque toute suite de Cauchy est convergente). Commep≤qimplique queCq(E)⊆ Cp(E), il en résulte que(xn)nest de Cauchy dansEp,et comme(xn)nconverge versxdansEq, il en est de même dansEp, de sorte quex∈Ebp.

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Présentation du problème Quelques rappels utiles La bonne hypothèse ? Preuve

En fait on montre queEbqest inclus dansbEp. Soit en effetx∈Ebq. Alors par densité deiq(Eq)dansbEqil existe une suite(xn)n

d’éléments deEqtelle que limn→∞iq(xn) =x. Il s’ensuit que(xn)nest une suite de Cauchy dansEq(puisque toute suite de Cauchy est convergente).Commep≤qimplique queCq(E)⊆ Cp(E), il en résulte que(xn)nest de Cauchy dansEp, et comme(xn)nconverge versxdansEq,il en est de même dansEp, de sorte quex∈Ebp.

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