Sommaire de la présentation
Sur le plongement du complété d’un espace normé dans son complété pour une autre norme
Laurent Poinsot
LIPN UMR 7030 - Université Paris 13 - Institut Galilée
CIP
Laurent Poinsot Sur le plongement du complété
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1 Présentation du problème
2 Quelques rappels utiles
3 La bonne hypothèse ?
4 Preuve
Laurent Poinsot Sur le plongement du complété
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1 Présentation du problème
2 Quelques rappels utiles
3 La bonne hypothèse ?
4 Preuve
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1 Présentation du problème
2 Quelques rappels utiles
3 La bonne hypothèse ?
4 Preuve
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1 Présentation du problème
2 Quelques rappels utiles
3 La bonne hypothèse ?
4 Preuve
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Présentation du problème Quelques rappels utiles La bonne hypothèse ? Preuve
Présentation du problème
SoitEun espace vectoriel (complexe ou réel) normépour deux normesp,q. On noteEp,Eql’espaceEmuni de la norme adéquate.
On suppose queqestplus fortequep,i.e., quel que soitx∈E, p(x)≤q(x)(on note celap≤q). (C’est une hypothèse qui apparaît assez naturellement dans l’étude des espaces de Fréchet.) Soient bEp,bEqles espaces de Banach, complétés des espaces normésEp,Eq. L’application identitéipq:Eq→Epest continue (par l’hypothèse sur les normes). Elle s’étend donc, par uniforme continuité, aux Banach bipq:bEq→bEp. Contrairement àipq, l’applicationbipqn’est pas
nécessairement injective (ni même surjective). On se pose alors la question suivante :sous quelle conditionbEqse plonge-t-il
(continûment) dansEp?En d’autres termes,quelle propriété doit être satisfaite pour quebipqsoit injective ?
Laurent Poinsot Sur le plongement du complété
Présentation du problème Quelques rappels utiles La bonne hypothèse ? Preuve
Présentation du problème
SoitEun espace vectoriel (complexe ou réel) normé pour deux normesp,q.On noteEp,Eql’espaceEmuni de la norme adéquate.
On suppose queqestplus fortequep,i.e., quel que soitx∈E, p(x)≤q(x)(on note celap≤q). (C’est une hypothèse qui apparaît assez naturellement dans l’étude des espaces de Fréchet.) Soient bEp,bEqles espaces de Banach, complétés des espaces normésEp,Eq. L’application identitéipq:Eq→Epest continue (par l’hypothèse sur les normes). Elle s’étend donc, par uniforme continuité, aux Banach bipq:bEq→bEp. Contrairement àipq, l’applicationbipqn’est pas
nécessairement injective (ni même surjective). On se pose alors la question suivante :sous quelle conditionbEqse plonge-t-il
(continûment) dansEp?En d’autres termes,quelle propriété doit être satisfaite pour quebipqsoit injective ?
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Présentation du problème Quelques rappels utiles La bonne hypothèse ? Preuve
Présentation du problème
SoitEun espace vectoriel (complexe ou réel) normé pour deux normesp,q. On noteEp,Eql’espaceEmuni de la norme adéquate.
On suppose queqestplus fortequep,i.e., quel que soitx∈E, p(x)≤q(x)(on note celap≤q).(C’est une hypothèse qui apparaît assez naturellement dans l’étude des espaces de Fréchet.) Soient bEp,bEqles espaces de Banach, complétés des espaces normésEp,Eq. L’application identitéipq:Eq→Epest continue (par l’hypothèse sur les normes). Elle s’étend donc, par uniforme continuité, aux Banach bipq:bEq→bEp. Contrairement àipq, l’applicationbipqn’est pas
nécessairement injective (ni même surjective). On se pose alors la question suivante :sous quelle conditionbEqse plonge-t-il
(continûment) dansEp?En d’autres termes,quelle propriété doit être satisfaite pour quebipqsoit injective ?
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Présentation du problème
SoitEun espace vectoriel (complexe ou réel) normé pour deux normesp,q. On noteEp,Eql’espaceEmuni de la norme adéquate.
On suppose queqestplus fortequep,i.e., quel que soitx∈E, p(x)≤q(x)(on note celap≤q). (C’est une hypothèse qui apparaît assez naturellement dans l’étude des espaces de Fréchet.)Soient bEp,bEqles espaces de Banach, complétés des espaces normésEp,Eq. L’application identitéipq:Eq→Epest continue (par l’hypothèse sur les normes). Elle s’étend donc, par uniforme continuité, aux Banach bipq:bEq→bEp. Contrairement àipq, l’applicationbipqn’est pas
nécessairement injective (ni même surjective). On se pose alors la question suivante :sous quelle conditionbEqse plonge-t-il
(continûment) dansEp?En d’autres termes,quelle propriété doit être satisfaite pour quebipqsoit injective ?
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Présentation du problème
SoitEun espace vectoriel (complexe ou réel) normé pour deux normesp,q. On noteEp,Eql’espaceEmuni de la norme adéquate.
On suppose queqestplus fortequep,i.e., quel que soitx∈E, p(x)≤q(x)(on note celap≤q).(C’est une hypothèse qui apparaît assez naturellement dans l’étude des espaces de Fréchet.) Soient bEp,bEqles espaces de Banach, complétés des espaces normésEp,Eq. L’application identitéipq:Eq→Epest continue (par l’hypothèse sur les normes). Elle s’étend donc, par uniforme continuité, aux Banach bipq:bEq→bEp. Contrairement àipq, l’applicationbipqn’est pas
nécessairement injective (ni même surjective). On se pose alors la question suivante :sous quelle conditionbEqse plonge-t-il
(continûment) dansEp?En d’autres termes,quelle propriété doit être satisfaite pour quebipqsoit injective ?
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Présentation du problème
SoitEun espace vectoriel (complexe ou réel) normé pour deux normesp,q. On noteEp,Eql’espaceEmuni de la norme adéquate.
On suppose queqestplus fortequep,i.e., quel que soitx∈E, p(x)≤q(x)(on note celap≤q). (C’est une hypothèse qui apparaît assez naturellement dans l’étude des espaces de Fréchet.)Soient bEp,bEqles espaces de Banach, complétés des espaces normésEp,Eq. L’application identitéipq:Eq→Epest continue (par l’hypothèse sur les normes).Elle s’étend donc, par uniforme continuité, aux Banach bipq:bEq→bEp. Contrairement àipq, l’applicationbipqn’est pas
nécessairement injective (ni même surjective). On se pose alors la question suivante :sous quelle conditionbEqse plonge-t-il
(continûment) dansEp?En d’autres termes,quelle propriété doit être satisfaite pour quebipqsoit injective ?
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Présentation du problème
SoitEun espace vectoriel (complexe ou réel) normé pour deux normesp,q. On noteEp,Eql’espaceEmuni de la norme adéquate.
On suppose queqestplus fortequep,i.e., quel que soitx∈E, p(x)≤q(x)(on note celap≤q). (C’est une hypothèse qui apparaît assez naturellement dans l’étude des espaces de Fréchet.) Soient bEp,bEqles espaces de Banach, complétés des espaces normésEp,Eq. L’application identitéipq:Eq→Epest continue (par l’hypothèse sur les normes). Elle s’étend donc, par uniforme continuité, aux Banach bipq:bEq→bEp.Contrairement àipq, l’applicationbipqn’est pas
nécessairement injective (ni même surjective). On se pose alors la question suivante :sous quelle conditionbEqse plonge-t-il
(continûment) dansEp?En d’autres termes,quelle propriété doit être satisfaite pour quebipqsoit injective ?
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Présentation du problème
SoitEun espace vectoriel (complexe ou réel) normé pour deux normesp,q. On noteEp,Eql’espaceEmuni de la norme adéquate.
On suppose queqestplus fortequep,i.e., quel que soitx∈E, p(x)≤q(x)(on note celap≤q). (C’est une hypothèse qui apparaît assez naturellement dans l’étude des espaces de Fréchet.) Soient bEp,bEqles espaces de Banach, complétés des espaces normésEp,Eq. L’application identitéipq:Eq→Epest continue (par l’hypothèse sur les normes).Elle s’étend donc, par uniforme continuité, aux Banach bipq:bEq→bEp. Contrairement àipq, l’applicationbipqn’est pas
nécessairement injective (ni même surjective).On se pose alors la question suivante :sous quelle conditionbEqse plonge-t-il
(continûment) dansEp?En d’autres termes,quelle propriété doit être satisfaite pour quebipqsoit injective ?
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Présentation du problème Quelques rappels utiles La bonne hypothèse ? Preuve
Présentation du problème
SoitEun espace vectoriel (complexe ou réel) normé pour deux normesp,q. On noteEp,Eql’espaceEmuni de la norme adéquate.
On suppose queqestplus fortequep,i.e., quel que soitx∈E, p(x)≤q(x)(on note celap≤q). (C’est une hypothèse qui apparaît assez naturellement dans l’étude des espaces de Fréchet.) Soient bEp,bEqles espaces de Banach, complétés des espaces normésEp,Eq. L’application identitéipq:Eq→Epest continue (par l’hypothèse sur les normes). Elle s’étend donc, par uniforme continuité, aux Banach bipq:bEq→bEp.Contrairement àipq, l’applicationbipqn’est pas
nécessairement injective (ni même surjective). On se pose alors la question suivante :sous quelle conditionbEqse plonge-t-il
(continûment) dansEp?En d’autres termes,quelle propriété doit être satisfaite pour quebipqsoit injective ?
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Présentation du problème Quelques rappels utiles La bonne hypothèse ? Preuve
Présentation du problème
SoitEun espace vectoriel (complexe ou réel) normé pour deux normesp,q. On noteEp,Eql’espaceEmuni de la norme adéquate.
On suppose queqestplus fortequep,i.e., quel que soitx∈E, p(x)≤q(x)(on note celap≤q). (C’est une hypothèse qui apparaît assez naturellement dans l’étude des espaces de Fréchet.) Soient bEp,bEqles espaces de Banach, complétés des espaces normésEp,Eq. L’application identitéipq:Eq→Epest continue (par l’hypothèse sur les normes). Elle s’étend donc, par uniforme continuité, aux Banach bipq:bEq→bEp. Contrairement àipq, l’applicationbipqn’est pas
nécessairement injective (ni même surjective).On se pose alors la question suivante :sous quelle conditionbEqse plonge-t-il
(continûment) dansEp?En d’autres termes,quelle propriété doit être satisfaite pour quebipqsoit injective ?
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Présentation du problème Quelques rappels utiles La bonne hypothèse ? Preuve
Présentation du problème
SoitEun espace vectoriel (complexe ou réel) normé pour deux normesp,q. On noteEp,Eql’espaceEmuni de la norme adéquate.
On suppose queqestplus fortequep,i.e., quel que soitx∈E, p(x)≤q(x)(on note celap≤q). (C’est une hypothèse qui apparaît assez naturellement dans l’étude des espaces de Fréchet.) Soient bEp,bEqles espaces de Banach, complétés des espaces normésEp,Eq. L’application identitéipq:Eq→Epest continue (par l’hypothèse sur les normes). Elle s’étend donc, par uniforme continuité, aux Banach bipq:bEq→bEp. Contrairement àipq, l’applicationbipqn’est pas
nécessairement injective (ni même surjective). On se pose alors la question suivante :sous quelle conditionbEqse plonge-t-il
(continûment) dansEp?En d’autres termes,quelle propriété doit être satisfaite pour quebipqsoit injective ?
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Présentation du problème Quelques rappels utiles La bonne hypothèse ? Preuve
Présentation du problème
SoitEun espace vectoriel (complexe ou réel) normé pour deux normesp,q. On noteEp,Eql’espaceEmuni de la norme adéquate.
On suppose queqestplus fortequep,i.e., quel que soitx∈E, p(x)≤q(x)(on note celap≤q). (C’est une hypothèse qui apparaît assez naturellement dans l’étude des espaces de Fréchet.) Soient bEp,bEqles espaces de Banach, complétés des espaces normésEp,Eq. L’application identitéipq:Eq→Epest continue (par l’hypothèse sur les normes). Elle s’étend donc, par uniforme continuité, aux Banach bipq:bEq→bEp. Contrairement àipq, l’applicationbipqn’est pas
nécessairement injective (ni même surjective). On se pose alors la question suivante :sous quelle conditionbEqse plonge-t-il
(continûment) dansEp?En d’autres termes,quelle propriété doit être satisfaite pour quebipqsoit injective ?
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Présentation du problème Quelques rappels utiles La bonne hypothèse ? Preuve
Présentation du problème
SoitEun espace vectoriel (complexe ou réel) normé pour deux normesp,q. On noteEp,Eql’espaceEmuni de la norme adéquate.
On suppose queqestplus fortequep,i.e., quel que soitx∈E, p(x)≤q(x)(on note celap≤q). (C’est une hypothèse qui apparaît assez naturellement dans l’étude des espaces de Fréchet.) Soient bEp,bEqles espaces de Banach, complétés des espaces normésEp,Eq. L’application identitéipq:Eq→Epest continue (par l’hypothèse sur les normes). Elle s’étend donc, par uniforme continuité, aux Banach bipq:bEq→bEp. Contrairement àipq, l’applicationbipqn’est pas
nécessairement injective (ni même surjective). On se pose alors la question suivante :sous quelle conditionbEqse plonge-t-il
(continûment) dansEp?En d’autres termes,quelle propriété doit être satisfaite pour quebipqsoit injective ?
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Présentation du problème Quelques rappels utiles La bonne hypothèse ? Preuve
Évacuons immédiatement la situation (triviale) suivante.Supposons queEsoit un espace de Banach pour les deux normesp,qtelles que p≤q. Alors le théorème de l’application ouverte, appliqué à l’application identique deE, implique que les deux normes sont équivalentes,c’est-à-dire que l’on peut trouver un réelC>0 tel que quel que soitx∈E,Cq(x)≤p(x)≤q(x). Par conséquent le
problème précédent n’est intéressant que siEn’est complet pas pour les deux normes simultanément.
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Présentation du problème Quelques rappels utiles La bonne hypothèse ? Preuve
Évacuons immédiatement la situation (triviale) suivante. Supposons queEsoit un espace de Banach pour les deux normesp,qtelles que p≤q.Alors le théorème de l’application ouverte, appliqué à l’application identique deE, implique que les deux normes sont équivalentes, c’est-à-dire que l’on peut trouver un réelC>0 tel que quel que soitx∈E,Cq(x)≤p(x)≤q(x).Par conséquent le
problème précédent n’est intéressant que siEn’est complet pas pour les deux normes simultanément.
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Présentation du problème Quelques rappels utiles La bonne hypothèse ? Preuve
Évacuons immédiatement la situation (triviale) suivante. Supposons queEsoit un espace de Banach pour les deux normesp,qtelles que p≤q. Alors le théorème de l’application ouverte, appliqué à l’application identique deE, implique que les deux normes sont équivalentes,c’est-à-dire que l’on peut trouver un réelC>0 tel que quel que soitx∈E,Cq(x)≤p(x)≤q(x). Par conséquent le
problème précédent n’est intéressant que siEn’est complet pas pour les deux normes simultanément.
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Présentation du problème Quelques rappels utiles La bonne hypothèse ? Preuve
Évacuons immédiatement la situation (triviale) suivante. Supposons queEsoit un espace de Banach pour les deux normesp,qtelles que p≤q. Alors le théorème de l’application ouverte, appliqué à l’application identique deE, implique que les deux normes sont équivalentes, c’est-à-dire que l’on peut trouver un réelC>0 tel que quel que soitx∈E,Cq(x)≤p(x)≤q(x).Par conséquent le
problème précédent n’est intéressant que siEn’est complet pas pour les deux normes simultanément.
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Présentation du problème Quelques rappels utiles La bonne hypothèse ? Preuve
Évacuons immédiatement la situation (triviale) suivante. Supposons queEsoit un espace de Banach pour les deux normesp,qtelles que p≤q. Alors le théorème de l’application ouverte, appliqué à l’application identique deE, implique que les deux normes sont équivalentes, c’est-à-dire que l’on peut trouver un réelC>0 tel que quel que soitx∈E,Cq(x)≤p(x)≤q(x). Par conséquent le
problème précédent n’est intéressant que siEn’est complet pas pour les deux normes simultanément.
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Présentation du problème Quelques rappels utiles La bonne hypothèse ? Preuve
Exemples
1 SoitP l’espace des fonctions (d’une variable réelle) polynomiales complexes,avec les normes
p(P) =supx∈[0,1]|P(x)|et
q(P) =supx∈[0,1]max{|P(x)|,|P0(x)|}. Le théorème de
Stone-Weiertraß implique que le complété dePpestC0([0,1]), alors que celui dePqestC1([0,1]). Dans ce cas, l’applicationbipq
est l’inclusion canonique ;
2 Siq(P) =supx∈[0,2]|P(x)|, alorsPbqestC0([0,2]), etbipqest surjective (c’est la restriction) mais non injective ;
3 Siq(P) =supx∈[0,2]max{|P(x)|,|P0(x)|}, alorsPbq=C1([0,2]), etbipq(encore la restriction) n’est ni injective ni surjective.
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Présentation du problème Quelques rappels utiles La bonne hypothèse ? Preuve
Exemples
1 SoitP l’espace des fonctions (d’une variable réelle) polynomiales complexes, avec les normes
p(P) =supx∈[0,1]|P(x)|et
q(P) =supx∈[0,1]max{|P(x)|,|P0(x)|}.Le théorème de
Stone-Weiertraß implique que le complété dePpestC0([0,1]), alors que celui dePqestC1([0,1]).Dans ce cas, l’applicationbipq
est l’inclusion canonique ;
2 Siq(P) =supx∈[0,2]|P(x)|, alorsPbqestC0([0,2]), etbipqest surjective (c’est la restriction) mais non injective ;
3 Siq(P) =supx∈[0,2]max{|P(x)|,|P0(x)|}, alorsPbq=C1([0,2]), etbipq(encore la restriction) n’est ni injective ni surjective.
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Présentation du problème Quelques rappels utiles La bonne hypothèse ? Preuve
Exemples
1 SoitP l’espace des fonctions (d’une variable réelle) polynomiales complexes, avec les normes
p(P) =supx∈[0,1]|P(x)|et
q(P) =supx∈[0,1]max{|P(x)|,|P0(x)|}. Le théorème de
Stone-Weiertraß implique que le complété dePpestC0([0,1]), alors que celui dePqestC1([0,1]). Dans ce cas, l’applicationbipq
est l’inclusion canonique ;
2 Siq(P) =supx∈[0,2]|P(x)|, alorsPbqestC0([0,2]), etbipqest surjective (c’est la restriction) mais non injective ;
3 Siq(P) =supx∈[0,2]max{|P(x)|,|P0(x)|}, alorsPbq=C1([0,2]), etbipq(encore la restriction) n’est ni injective ni surjective.
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Présentation du problème Quelques rappels utiles La bonne hypothèse ? Preuve
Exemples
1 SoitP l’espace des fonctions (d’une variable réelle) polynomiales complexes, avec les normes
p(P) =supx∈[0,1]|P(x)|et
q(P) =supx∈[0,1]max{|P(x)|,|P0(x)|}. Le théorème de
Stone-Weiertraß implique que le complété dePpestC0([0,1]), alors que celui dePqestC1([0,1]).Dans ce cas, l’applicationbipq
est l’inclusion canonique ;
2 Siq(P) =supx∈[0,2]|P(x)|,alorsPbqestC0([0,2]), etbipqest surjective (c’est la restriction) mais non injective ;
3 Siq(P) =supx∈[0,2]max{|P(x)|,|P0(x)|}, alorsPbq=C1([0,2]), etbipq(encore la restriction) n’est ni injective ni surjective.
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Exemples
1 SoitP l’espace des fonctions (d’une variable réelle) polynomiales complexes, avec les normes
p(P) =supx∈[0,1]|P(x)|et
q(P) =supx∈[0,1]max{|P(x)|,|P0(x)|}. Le théorème de
Stone-Weiertraß implique que le complété dePpestC0([0,1]), alors que celui dePqestC1([0,1]). Dans ce cas, l’applicationbipq
est l’inclusion canonique ;
2 Siq(P) =supx∈[0,2]|P(x)|, alorsPbqestC0([0,2]),etbipqest surjective (c’est la restriction) mais non injective ;
3 Siq(P) =supx∈[0,2]max{|P(x)|,|P0(x)|}, alorsPbq=C1([0,2]), etbipq(encore la restriction) n’est ni injective ni surjective.
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Exemples
1 SoitP l’espace des fonctions (d’une variable réelle) polynomiales complexes, avec les normes
p(P) =supx∈[0,1]|P(x)|et
q(P) =supx∈[0,1]max{|P(x)|,|P0(x)|}. Le théorème de
Stone-Weiertraß implique que le complété dePpestC0([0,1]), alors que celui dePqestC1([0,1]). Dans ce cas, l’applicationbipq
est l’inclusion canonique ;
2 Siq(P) =supx∈[0,2]|P(x)|,alorsPbqestC0([0,2]), etbipqest surjective (c’est la restriction) mais non injective ;
3 Siq(P) =supx∈[0,2]max{|P(x)|,|P0(x)|}, alorsPbq=C1([0,2]), etbipq(encore la restriction) n’est ni injective ni surjective.
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Exemples
1 SoitP l’espace des fonctions (d’une variable réelle) polynomiales complexes, avec les normes
p(P) =supx∈[0,1]|P(x)|et
q(P) =supx∈[0,1]max{|P(x)|,|P0(x)|}. Le théorème de
Stone-Weiertraß implique que le complété dePpestC0([0,1]), alors que celui dePqestC1([0,1]). Dans ce cas, l’applicationbipq
est l’inclusion canonique ;
2 Siq(P) =supx∈[0,2]|P(x)|, alorsPbqestC0([0,2]),etbipqest surjective (c’est la restriction) mais non injective ;
3 Siq(P) =supx∈[0,2]max{|P(x)|,|P0(x)|},alorsPbq=C1([0,2]), etbipq(encore la restriction) n’est ni injective ni surjective.
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Exemples
1 SoitP l’espace des fonctions (d’une variable réelle) polynomiales complexes, avec les normes
p(P) =supx∈[0,1]|P(x)|et
q(P) =supx∈[0,1]max{|P(x)|,|P0(x)|}. Le théorème de
Stone-Weiertraß implique que le complété dePpestC0([0,1]), alors que celui dePqestC1([0,1]). Dans ce cas, l’applicationbipq
est l’inclusion canonique ;
2 Siq(P) =supx∈[0,2]|P(x)|, alorsPbqestC0([0,2]), etbipqest surjective (c’est la restriction) mais non injective ;
3 Siq(P) =supx∈[0,2]max{|P(x)|,|P0(x)|}, alorsPbq=C1([0,2]), etbipq(encore la restriction) n’est ni injective ni surjective.
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Exemples
1 SoitP l’espace des fonctions (d’une variable réelle) polynomiales complexes, avec les normes
p(P) =supx∈[0,1]|P(x)|et
q(P) =supx∈[0,1]max{|P(x)|,|P0(x)|}. Le théorème de
Stone-Weiertraß implique que le complété dePpestC0([0,1]), alors que celui dePqestC1([0,1]). Dans ce cas, l’applicationbipq
est l’inclusion canonique ;
2 Siq(P) =supx∈[0,2]|P(x)|, alorsPbqestC0([0,2]), etbipqest surjective (c’est la restriction) mais non injective ;
3 Siq(P) =supx∈[0,2]max{|P(x)|,|P0(x)|},alorsPbq=C1([0,2]), etbipq(encore la restriction) n’est ni injective ni surjective.
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Exemples
1 SoitP l’espace des fonctions (d’une variable réelle) polynomiales complexes, avec les normes
p(P) =supx∈[0,1]|P(x)|et
q(P) =supx∈[0,1]max{|P(x)|,|P0(x)|}. Le théorème de
Stone-Weiertraß implique que le complété dePpestC0([0,1]), alors que celui dePqestC1([0,1]). Dans ce cas, l’applicationbipq
est l’inclusion canonique ;
2 Siq(P) =supx∈[0,2]|P(x)|, alorsPbqestC0([0,2]), etbipqest surjective (c’est la restriction) mais non injective ;
3 Siq(P) =supx∈[0,2]max{|P(x)|,|P0(x)|}, alorsPbq=C1([0,2]), etbipq(encore la restriction) n’est ni injective ni surjective.
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Exemples
1 SoitP l’espace des fonctions (d’une variable réelle) polynomiales complexes, avec les normes
p(P) =supx∈[0,1]|P(x)|et
q(P) =supx∈[0,1]max{|P(x)|,|P0(x)|}. Le théorème de
Stone-Weiertraß implique que le complété dePpestC0([0,1]), alors que celui dePqestC1([0,1]). Dans ce cas, l’applicationbipq
est l’inclusion canonique ;
2 Siq(P) =supx∈[0,2]|P(x)|, alorsPbqestC0([0,2]), etbipqest surjective (c’est la restriction) mais non injective ;
3 Siq(P) =supx∈[0,2]max{|P(x)|,|P0(x)|}, alorsPbq=C1([0,2]), etbipq(encore la restriction) n’est ni injective ni surjective.
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Rappels : les suites de Cauchy
SoitEp= (E,p)un espace normé.Une suite(xn)n∈Nd’éléments deE est unesuite de Cauchysi, et seulement si, quel que soit >0, il existe un entierNtel que quel que soientm,n≥N,p(xm−xn)< . On noteCp(E)l’ensemble des suites de Cauchy de l’espace normé (E,p). Un espace normé estcompletdès que toutes ses suites de Cauchy sont convergentes (exemples :R,C, et contre-exemple :Q).
Un espace normé complet est appeléespace de Banach.
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Rappels : les suites de Cauchy
SoitEp= (E,p)un espace normé. Une suite(xn)n∈Nd’éléments deE est unesuite de Cauchysi, et seulement si, quel que soit >0, il existe un entierNtel que quel que soientm,n≥N,p(xm−xn)< . On noteCp(E)l’ensemble des suites de Cauchy de l’espace normé (E,p).Un espace normé estcompletdès que toutes ses suites de Cauchy sont convergentes (exemples :R,C, et contre-exemple :Q).
Un espace normé complet est appeléespace de Banach.
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Présentation du problème Quelques rappels utiles La bonne hypothèse ? Preuve
Rappels : les suites de Cauchy
SoitEp= (E,p)un espace normé. Une suite(xn)n∈Nd’éléments deE est unesuite de Cauchysi, et seulement si, quel que soit >0, il existe un entierNtel que quel que soientm,n≥N,p(xm−xn)< . On noteCp(E)l’ensemble des suites de Cauchy de l’espace normé (E,p). Un espace normé estcompletdès que toutes ses suites de Cauchy sont convergentes (exemples :R,C, et contre-exemple :Q).
Un espace normé complet est appeléespace de Banach.
Laurent Poinsot Sur le plongement du complété
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Rappels : les suites de Cauchy
SoitEp= (E,p)un espace normé. Une suite(xn)n∈Nd’éléments deE est unesuite de Cauchysi, et seulement si, quel que soit >0, il existe un entierNtel que quel que soientm,n≥N,p(xm−xn)< . On noteCp(E)l’ensemble des suites de Cauchy de l’espace normé (E,p).Un espace normé estcompletdès que toutes ses suites de Cauchy sont convergentes (exemples :R,C, et contre-exemple :Q).
Un espace normé complet est appeléespace de Banach.
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SoitEp= (E,p)un espace normé. Une suite(xn)n∈Nd’éléments deE est unesuite de Cauchysi, et seulement si, quel que soit >0, il existe un entierNtel que quel que soientm,n≥N,p(xm−xn)< . On noteCp(E)l’ensemble des suites de Cauchy de l’espace normé (E,p). Un espace normé estcompletdès que toutes ses suites de Cauchy sont convergentes (exemples :R,C, et contre-exemple :Q).
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SoitEp= (E,p)un espace normé. Une suite(xn)n∈Nd’éléments deE est unesuite de Cauchysi, et seulement si, quel que soit >0, il existe un entierNtel que quel que soientm,n≥N,p(xm−xn)< . On noteCp(E)l’ensemble des suites de Cauchy de l’espace normé (E,p). Un espace normé estcompletdès que toutes ses suites de Cauchy sont convergentes (exemples :R,C, et contre-exemple :Q).
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Rappels : complétion d’un espace normé (1/3)
SoitEpun espace normé.L’ensembleCp(E)de ses suites de Cauchy est également un espace vectoriel. On peut le munir de la semi-norme p0((xn)n) =limp(xn)(la suite(p(x))n∈Nest convergence puisque de Cauchy dansRcomplet). Le noyau kerp0de cette semi-norme est l’espaceCp,0(E)des suites de Cauchy nulles à l’infini. L’espace vectoriel quotientCp(E)/Cp,0(E), notéEbp, est un espace de Banach appelécomplétédeEpdont la norme estbp(x) =p0((xn)n)pour chaque suite de Cauchy(xn)nappartenant à la classe d’équivalence (moduloCp,0(E))x.
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SoitEpun espace normé. L’ensembleCp(E)de ses suites de Cauchy est également un espace vectoriel.On peut le munir de la semi-norme p0((xn)n) =limp(xn)(la suite(p(x))n∈Nest convergence puisque de Cauchy dansRcomplet).Le noyau kerp0de cette semi-norme est l’espaceCp,0(E)des suites de Cauchy nulles à l’infini. L’espace vectoriel quotientCp(E)/Cp,0(E), notéEbp, est un espace de Banach appelécomplétédeEpdont la norme estbp(x) =p0((xn)n)pour chaque suite de Cauchy(xn)nappartenant à la classe d’équivalence (moduloCp,0(E))x.
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SoitEpun espace normé. L’ensembleCp(E)de ses suites de Cauchy est également un espace vectoriel. On peut le munir de la semi-norme p0((xn)n) =limp(xn)(la suite(p(x))n∈Nest convergence puisque de Cauchy dansRcomplet). Le noyau kerp0de cette semi-norme est l’espaceCp,0(E)des suites de Cauchy nulles à l’infini.L’espace vectoriel quotientCp(E)/Cp,0(E), notéEbp, est un espace de Banach appelécomplétédeEpdont la norme estbp(x) =p0((xn)n)pour chaque suite de Cauchy(xn)nappartenant à la classe d’équivalence (moduloCp,0(E))x.
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SoitEpun espace normé. L’ensembleCp(E)de ses suites de Cauchy est également un espace vectoriel. On peut le munir de la semi-norme p0((xn)n) =limp(xn)(la suite(p(x))n∈Nest convergence puisque de Cauchy dansRcomplet).Le noyau kerp0de cette semi-norme est l’espaceCp,0(E)des suites de Cauchy nulles à l’infini. L’espace vectoriel quotientCp(E)/Cp,0(E), notéEbp, est un espace de Banach appelécomplétédeEpdont la norme estbp(x) =p0((xn)n)pour chaque suite de Cauchy(xn)nappartenant à la classe d’équivalence (moduloCp,0(E))x.
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SoitEpun espace normé. L’ensembleCp(E)de ses suites de Cauchy est également un espace vectoriel. On peut le munir de la semi-norme p0((xn)n) =limp(xn)(la suite(p(x))n∈Nest convergence puisque de Cauchy dansRcomplet). Le noyau kerp0de cette semi-norme est l’espaceCp,0(E)des suites de Cauchy nulles à l’infini.L’espace vectoriel quotientCp(E)/Cp,0(E), notéEbp, est un espace de Banach appelécomplétédeEpdont la norme estbp(x) =p0((xn)n)pour chaque suite de Cauchy(xn)nappartenant à la classe d’équivalence (moduloCp,0(E))x.
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SoitEpun espace normé. L’ensembleCp(E)de ses suites de Cauchy est également un espace vectoriel. On peut le munir de la semi-norme p0((xn)n) =limp(xn)(la suite(p(x))n∈Nest convergence puisque de Cauchy dansRcomplet). Le noyau kerp0de cette semi-norme est l’espaceCp,0(E)des suites de Cauchy nulles à l’infini. L’espace vectoriel quotientCp(E)/Cp,0(E), notéEbp, est un espace de Banach appelécomplétédeEpdont la norme estbp(x) =p0((xn)n)pour chaque suite de Cauchy(xn)nappartenant à la classe d’équivalence (moduloCp,0(E))x.
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SoitEpun espace normé. L’ensembleCp(E)de ses suites de Cauchy est également un espace vectoriel. On peut le munir de la semi-norme p0((xn)n) =limp(xn)(la suite(p(x))n∈Nest convergence puisque de Cauchy dansRcomplet). Le noyau kerp0de cette semi-norme est l’espaceCp,0(E)des suites de Cauchy nulles à l’infini. L’espace vectoriel quotientCp(E)/Cp,0(E), notéEbp, est un espace de Banach appelécomplétédeEpdont la norme estbp(x) =p0((xn)n)pour chaque suite de Cauchy(xn)nappartenant à la classe d’équivalence (moduloCp,0(E))x.
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SoitEpun espace normé. L’ensembleCp(E)de ses suites de Cauchy est également un espace vectoriel. On peut le munir de la semi-norme p0((xn)n) =limp(xn)(la suite(p(x))n∈Nest convergence puisque de Cauchy dansRcomplet). Le noyau kerp0de cette semi-norme est l’espaceCp,0(E)des suites de Cauchy nulles à l’infini. L’espace vectoriel quotientCp(E)/Cp,0(E), notéEbp, est un espace de Banach appelécomplétédeEpdont la norme estbp(x) =p0((xn)n)pour chaque suite de Cauchy(xn)nappartenant à la classe d’équivalence (moduloCp,0(E))x.
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Rappels : complétion d’un espace normé (2/3)
Notonsjp:Ep,→ Cp(E)telle quejp(x)est la suite de Cauchy
“constante”,i.e., la suitexn=xquel que soitn.Soitsp:Cp(E)→Ebp l’épimorpisme canonique. On définitip=sp◦jp:Ep,→Ebp.L’image deEpparipest dense dansEbp,i.e., tout élément debEpest limite d’une suite d’éléments deip(Ep).
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Notonsjp:Ep,→ Cp(E)telle quejp(x)est la suite de Cauchy
“constante”,i.e., la suitexn=xquel que soitn. Soitsp:Cp(E)→Ebp l’épimorpisme canonique.On définitip=sp◦jp:Ep,→Ebp. L’image deEpparipest dense dansEbp,i.e., tout élément debEpest limite d’une suite d’éléments deip(Ep).
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Notonsjp:Ep,→ Cp(E)telle quejp(x)est la suite de Cauchy
“constante”,i.e., la suitexn=xquel que soitn. Soitsp:Cp(E)→Ebp l’épimorpisme canonique. On définitip=sp◦jp:Ep,→Ebp.L’image deEpparipest dense dansEbp,i.e., tout élément debEpest limite d’une suite d’éléments deip(Ep).
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Notonsjp:Ep,→ Cp(E)telle quejp(x)est la suite de Cauchy
“constante”,i.e., la suitexn=xquel que soitn. Soitsp:Cp(E)→Ebp l’épimorpisme canonique. On définitip=sp◦jp:Ep,→Ebp. L’image deEpparipest dense dansEbp,i.e., tout élément debEpest limite d’une suite d’éléments deip(Ep).
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Notonsjp:Ep,→ Cp(E)telle quejp(x)est la suite de Cauchy
“constante”,i.e., la suitexn=xquel que soitn. Soitsp:Cp(E)→Ebp l’épimorpisme canonique. On définitip=sp◦jp:Ep,→Ebp. L’image deEpparipest dense dansEbp,i.e., tout élément debEpest limite d’une suite d’éléments deip(Ep).
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Rappels : complétion d’un espace normé (2/3)
Le couple(bEp,ip)est solution du problème universel suivant :soient Fun espace de Banach, etf:Ep→Fune application linéaire et continue, il existe une et une seule application linéaire et continue bf:Ebp →Ftelle quebf ◦ip=f.Soit(B,i)une autre solution du même
problème universel, alors il existe une unique isométrie linéaire et bijectiveφ:Ebp→Btelle queφ◦ip=i. Le complété deEpest donc unique à isomorphisme près.
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Le couple(bEp,ip)est solution du problème universel suivant : soient Fun espace de Banach, etf:Ep→Fune application linéaire et continue,il existe une et une seule application linéaire et continue bf:Ebp →Ftelle quebf ◦ip=f. Soit(B,i)une autre solution du même
problème universel,alors il existe une unique isométrie linéaire et bijectiveφ:Ebp→Btelle queφ◦ip=i. Le complété deEpest donc unique à isomorphisme près.
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Le couple(bEp,ip)est solution du problème universel suivant : soient Fun espace de Banach, etf:Ep→Fune application linéaire et continue, il existe une et une seule application linéaire et continue bf:Ebp →Ftelle quebf ◦ip=f.Soit(B,i)une autre solution du même
problème universel, alors il existe une unique isométrie linéaire et bijectiveφ:Ebp→Btelle queφ◦ip=i. Le complété deEpest donc unique à isomorphisme près.
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Rappels : complétion d’un espace normé (2/3)
Le couple(bEp,ip)est solution du problème universel suivant : soient Fun espace de Banach, etf:Ep→Fune application linéaire et continue, il existe une et une seule application linéaire et continue bf:Ebp →Ftelle quebf ◦ip=f. Soit(B,i)une autre solution du même
problème universel,alors il existe une unique isométrie linéaire et bijectiveφ:Ebp→Btelle queφ◦ip=i.Le complété deEpest donc unique à isomorphisme près.
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Rappels : complétion d’un espace normé (2/3)
Le couple(bEp,ip)est solution du problème universel suivant : soient Fun espace de Banach, etf:Ep→Fune application linéaire et continue, il existe une et une seule application linéaire et continue bf:Ebp →Ftelle quebf ◦ip=f. Soit(B,i)une autre solution du même
problème universel, alors il existe une unique isométrie linéaire et bijectiveφ:Ebp→Btelle queφ◦ip=i. Le complété deEpest donc unique à isomorphisme près.
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Le couple(bEp,ip)est solution du problème universel suivant : soient Fun espace de Banach, etf:Ep→Fune application linéaire et continue, il existe une et une seule application linéaire et continue bf:Ebp →Ftelle quebf ◦ip=f. Soit(B,i)une autre solution du même
problème universel, alors il existe une unique isométrie linéaire et bijectiveφ:Ebp→Btelle queφ◦ip=i.Le complété deEpest donc unique à isomorphisme près.
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Rappels : complétion d’un espace normé (2/3)
Le couple(bEp,ip)est solution du problème universel suivant : soient Fun espace de Banach, etf:Ep→Fune application linéaire et continue, il existe une et une seule application linéaire et continue bf:Ebp →Ftelle quebf ◦ip=f. Soit(B,i)une autre solution du même
problème universel, alors il existe une unique isométrie linéaire et bijectiveφ:Ebp→Btelle queφ◦ip=i. Le complété deEpest donc unique à isomorphisme près.
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Présentation du problème Quelques rappels utiles La bonne hypothèse ? Preuve
Une conséquence de p ≤ q
SoitEun espace normé parpetq,lesquelles satisfontp≤q. Il s’ensuit queCq(E)⊆ Cp(E).On notei0pq:Cq(E),→ Cp(E)l’injection naturelle.
Laurent Poinsot Sur le plongement du complété
Présentation du problème Quelques rappels utiles La bonne hypothèse ? Preuve
Une conséquence de p ≤ q
SoitEun espace normé parpetq, lesquelles satisfontp≤q.Il s’ensuit queCq(E)⊆ Cp(E). On notei0pq:Cq(E),→ Cp(E)l’injection naturelle.
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Une conséquence de p ≤ q
SoitEun espace normé parpetq, lesquelles satisfontp≤q. Il s’ensuit queCq(E)⊆ Cp(E).On notei0pq:Cq(E),→ Cp(E)l’injection naturelle.
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Une conséquence de p ≤ q
SoitEun espace normé parpetq, lesquelles satisfontp≤q. Il s’ensuit queCq(E)⊆ Cp(E). On notei0pq:Cq(E),→ Cp(E)l’injection naturelle.
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En fait on montre queEbqest inclus dansbEp.Soit en effetx∈Ebq. Alors par densité deiq(Eq)dansbEqil existe une suite(xn)n
d’éléments deEqtelle que limn→∞iq(xn) =x. Il s’ensuit que(xn)nest une suite de Cauchy dansEq(puisque toute suite de Cauchy est convergente).Commep≤qimplique queCq(E)⊆ Cp(E), il en résulte que(xn)nest de Cauchy dansEp, et comme(xn)nconverge versxdansEq, il en est de même dansEp, de sorte quex∈Ebp.
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En fait on montre queEbqest inclus dansbEp. Soit en effetx∈Ebq. Alors par densité deiq(Eq)dansbEqil existe une suite(xn)n
d’éléments deEqtelle que limn→∞iq(xn) =x.Il s’ensuit que(xn)nest une suite de Cauchy dansEq(puisque toute suite de Cauchy est convergente). Commep≤qimplique queCq(E)⊆ Cp(E), il en résulte que(xn)nest de Cauchy dansEp,et comme(xn)nconverge versxdansEq, il en est de même dansEp, de sorte quex∈Ebp.
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En fait on montre queEbqest inclus dansbEp. Soit en effetx∈Ebq. Alors par densité deiq(Eq)dansbEqil existe une suite(xn)n
d’éléments deEqtelle que limn→∞iq(xn) =x. Il s’ensuit que(xn)nest une suite de Cauchy dansEq(puisque toute suite de Cauchy est convergente).Commep≤qimplique queCq(E)⊆ Cp(E), il en résulte que(xn)nest de Cauchy dansEp, et comme(xn)nconverge versxdansEq,il en est de même dansEp, de sorte quex∈Ebp.
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